數(shù)值分析題庫與答案

1、模擬試卷(一)一、填空題(每小題3分，共30分)<3、-43 ;，則 MIL 二，國1 .有3個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度是次的.15-2-2 101 -4 214153 .已知 片；W 的均差(差商)/口0，為，±= y，/xpx2,x3= y ,918fx2,xx4 = , fxQ,x2,x. = -,那么均差/4，&,占二.4 .已知n=4時(shí)Newton - Cotes求積公式的系數(shù)分別是：Q4)=1,盤4)=竺,= 2,9045 -155 .解初始值問題=八"y)的改進(jìn)的Euler方法是 階方法;b?Uo)=)o5x. - 3x. - 0. lx

2、. = 3 上.J6 .求解線性代數(shù)方程組-2 + 6x2 + 0.7& = 2的高斯一塞德爾迭代公式為, 11 + 2& + 3.5& = 1若取H=(1,1,1),貝I元=.7 .求方程x= /(x)根的牛頓迭代格式是.8 . £o(x), GO)，£”(M是以整數(shù)點(diǎn)%,玉,，X”，為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù),則n1區(qū)(演)二2=09 .解方程組Ax = b的簡單迭代格式=&+ g收斂的充要條件是.10 .設(shè)/(-1) = 1,/(0) = 0,/(1) = 1,/(2) = 5 ,則/(刈的三次牛頓插值多項(xiàng)式為，其誤均古計(jì)式為.

3、二、綜合題(每題10分，共60分)1 .求一次數(shù)不超過4次的多項(xiàng)式p(x)滿足：p(l) = 15 , p'(l) = 20 , p(l) = 30 p(2) = 57 , /(2) = 72.2 .構(gòu)造代數(shù)精度最高的形式為小'4/(；) +4/的求積公式,并求出 其代數(shù)精度.3 .用Newton法求方程x lnx = 2在區(qū)間(2,s)內(nèi)的根，要求也不回 <10-8.4 .用最小二乘法求形如y = a + bx2的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：馬19253038力19.032.349.073.35.用矩陣的直接三角分解法解方程”-1 C0 11 20 16試用數(shù)值積分法建立求解

4、初值問題y“+i = y,.-20占501x2_343x3-17,0 3m L7_/ = /(x, y)"的如下數(shù)值求解公式1X0) = Joh 、1+ 不«+】+"+九1) r其中 fi = /區(qū)，)9， i = 一 L ， +1 .三、證明題(10分)設(shè)對任意的x ,函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)/'")都存在且,對于滿足90<2< 的任意2 ,迭代格式4丑=z /(X,)均收斂于f (M = 0的根x*. M參考答案一、填空題1 . 5 ; 2. 8, 9 ; 3. ; 4.1545xf+】）=（3 + 3x，+ 0.LY，）/5；5.二；

5、(0.02,0.22,0.1543)7.ki=4，一/（天）.1-廣區(qū)）8.9.< 1;6工”）=（2 + 241）一0.7入，）/6 , 鏟=。_._2鏟）*2/7學(xué)習(xí)幫手10.，犬+ /一，/Ox+l)x(x-l)(x-2)/24 欠(-1,2) 66、綜合題p(x) = 15 + 20(x-l) + 15(x-l)2 + 7(x-l)3 + (x-1)3 (x - 2) = 5 + 4x + 3x2 + 2/ + x4其他方法：設(shè) P(x) = 15 + 20(x -1) + 15(x -l)2 + 7(x -1)，+ (x-1)3(ax + b)令 p(2) = 57 , p&#

6、39;(2) = 72,求出 a 和 b.2 .取/(x) = 1, x ,令公式準(zhǔn)確成立，得：.4 11 4 414 14 1A)+A = t.-A)+ A= t-A)= t.A = 7-zz55o/(x) = V時(shí)，公式左右=；;/*) = V時(shí)，公式左=公式右=得公式的代數(shù)精度=2.3 .此方程在區(qū)間(2,s)內(nèi)只有一個(gè)根s，而且在區(qū)間(2 , 4 )內(nèi)。設(shè) /(X)= x-lnx-2則:(%)=1一，/"W = , Newton法迭代公式為X無24+i = xk -Xk 一比42 xk (1 + hixjIT/4取 % =3，彳導(dǎo)s = X4 = 3.146193221 o=

7、spanl. x21 1192 2521 1302 38219.0 32.3 49.0 73.3 .解方程組A'ACnA，其中a/a =4333033303416082解得：C =1.41665L0.0504305 所以 a = 0.9255577 ,/? = 0.0501025.5 .解設(shè)21，31,411,43u222333“2434“44由矩陣乘法可求出與和"21,411,43解下三角方程組乃10u2434121“22”233301121 0再解上三角方程組1得原方程組的解為占=1,%2 = 1 / X3 = 2 I Xq 2 .6解初值問題等價(jià)于如下形式心)二)，()

8、 + /(八3處， 取 X = X有)'區(qū)+J = y(x_J+/"(蒼 y(x)心， 利用辛卜森求積公式可得y,r+1 - y“T + ?(<+】+ 4/ + A-J .三、證明題 證明才各/(x) = 0寫成X = X-4/(X)2°(X),由于 U) = x-2/(x)r = l-2/f(x)，所以|?？?4|1打。切<1所以迭代格式X,+1 = X,-/(%,)均收斂于/*) = 0的根/.模擬試卷(二)一、填空題(每小題3分，共30分)1 .分別用2.718281和2.718282作數(shù)e的近似值，則其有效位數(shù)分別有位和-20201-8, f 2

9、 X, - 5x? = 13 .對于方程組加?；氐ǖ牡仃囀荊”一 4 .設(shè)/(乃=/+1_1 ,則差商/0,1,2,3二, /0, 1, 2, 3,4=.4 25 .已知A =,則條件數(shù)CondA)o 1.6 .為使兩點(diǎn)的數(shù)值求積公式fj(x)dx =/(.%) +/(占)具有最高的代數(shù)精確度，則其求積基點(diǎn)應(yīng)為%0=，芭=7 .解初始值問題!)'近似解的梯形公式是丫、b7Uo ) =)08 .求方程/(x) = 0根的弦截法迭代公式是9 .計(jì)算積分J；、Gdx，取4位有效數(shù)字，用梯形公式計(jì)算求得的近似值是,用辛卜生公式計(jì)算的結(jié)果是10 .任一非奇異矩陣A的條件數(shù)Cod(A)=，

10、其Cbd(A)一定大于等于二、綜合題(每題10分，共60分)1證明方程l-x = sinx在區(qū)間0,1有且只有一個(gè)根，若利用二分法求其誤差不超過xIO"4近似解，問要迭代多少次？2已知常微分方程的初值問題：dy x t 1c=,l<x<1.2< ax y,刈=2試用改進(jìn)的Euler方法計(jì)算y(l.2)的近似值，取步長 =0.2.1016303 3 53用矩陣的LDU分解法解方程組3 5 95 9 174用最小二乘法求一個(gè)形如y = -的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下列數(shù)據(jù)擬合. a + bxX1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.168x+

11、0Ay+0Az=15設(shè)方程組0.4x + y + 0.8z = 2 ,試考察解此方程組的雅可比迭代法及高斯-賽德爾迭 0.4x + 0.8y+ z = 3代法的收斂性。'4 -1 1 "6按幕法求矩陣A= -1 3 -2的按模最大特征值的近似值，取初始向量1 -2 3x=（1。0尸，迭代兩步求得近似值/I即可.三、證明題（10分） 已知求北9 > °）的迭代公式為：4+1 = _0 k = 0,1,22 x,證明：對一切k = L 2,，*卜”.且序列是單調(diào)遞減的，從而迭代過程收斂.參考答案一、填空題1.6, 7 ; 2. 9Z VTT； 3 .02.52.5

12、01 1;4. 1, 0;5. 9; 6. h7,為+5/（，"）+ /（七+】，+】）；(591再解方程組4 解 令丫 =！，則丫 =。+區(qū)容易得出正規(guī)方程組 A!9 17.8 I b/ 一16.97135.3902，解得。=2.0535, /? = 3.0265.故所求經(jīng)驗(yàn)公式為y=-2.0535+ 3.0265X(1)2 由于6(乃=040.40.4 0.42 0.8 -96/1 + 0.2560.8 4 /7(-1)= -1 + 0.98+0.256>0 ,%(-2) =-8+ L96 +0.256 <0 所以(4) = 0在(-2, -1)內(nèi)有根4且14 |&g

13、t; 1 ,故利用雅可比迭代法不收斂.20.40.4(2)由于幾(入)=0.4420.8=A(A2-0.8322+ 0.128)0.44 0.82 2所以P(G) < 0.832 ,故利用高斯-賽德爾迭代法收斂.6 解因?yàn)閤0=l,0,0，故|3°)必=1 ,且 了=Ax(0) = 4,-1,17 ,義=max(y” = 4.從而得1 1八 99 9嚴(yán)/ii 嚴(yán) n=i,-pk嚴(yán)=)=弓了,/4 42 4 4,/92 =niax(),(2)=-.三、證明題證明：由于 xku=-(xk+)>4a, & = 0,1,2,2 居故對一切攵，Xk>y7l，又也 =

14、L(1+K)<L(1+1) = 1年 2所以x,+1 <4 ,即序列是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂.模擬試卷(三)一、填空題(每小題3分，共30分)1 .設(shè)。= 2.40315是真值x = 2.40194的近似值，則。有_位有效位數(shù)，相對誤差限為；2 .若用二分法求方程/(x) = 0在區(qū)間L2內(nèi)的根,要求精確到第3位小數(shù)，則需要對 分 次。3 .有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為 次.4 .設(shè)e(x) = x + a(x7.插值型求積公式公的求積系數(shù)之和是k=0"8.數(shù)值求解初值問題的龍格-庫塔公式的局部截?cái)嗾`差是9.已知函數(shù)"0.4) = 0.411,

15、/(0.5) = 0.578 ,“0.6) = 0.697，用此函數(shù)表作牛頓插值多 項(xiàng)式，那么插值多項(xiàng)式/的系數(shù)是'2 1 0-10.設(shè)4= 1 2 a ，為使A可分解為A = LL7，其中L是對角線元素為正的下三角 0。2矩陣，則。的取值范圍是 O 二、綜合題(每題10分，共60分) .用 此此。法求方程工一111工=2在區(qū)間(2,8)內(nèi)的根要求" 一 "t <10-8 xk1 .設(shè)有方程組a=，其中4= 2 0 - 5),要使迭代格式xk+l =貝)局部收斂到x* ="，則。的取值 范圍是5 .設(shè)線性方程組Ar = 有唯一解，在不考慮系數(shù)矩陣擾動

16、的情況下，若方程組右端項(xiàng)的 擾動相對誤差愕 <,就一定能保證解的相對誤差悼( & ；IHIkll. 9x 一 K=8一6 .給定線性方程組彳1-,則解此線性方程組的Jacobi迭代公式& - 5x2 = -4-1121/2h= 1/3,已知它有解-2/3是, Gauss-Seidel迭代公式是1/2-x= -1/30如果右端有小擾動忸方，=；X1()Y ,試估計(jì)由此引起的解的相對誤差。3 .試用Simpson公式計(jì)算積分/八公的近似值 并估計(jì)截?cái)嗾`差.4 .設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試用埃爾米特插值法求一個(gè)次數(shù)不高于3的多項(xiàng)式乙(x),使其滿足

17、3;(0) = 0,鳥(1) = 1,£'(1) = 3,£(2) = 1,并寫出誤差估計(jì) 式。-2 -1 0-5 . A= -1 2 -1 ，給出用古典Jacobi方法求A的特征值的第一次迭代運(yùn)算, 0-12y *4- y = 0(2 - 116 .用梯形方法解初值問題八： ,證明其近似解為Vn= J ，并證明當(dāng)1X0) = 112 + 30時(shí)，它收斂于原初值問題的準(zhǔn)確解y = 三、證明題(10分)k0,0<k<n-2nn丫在若/(x) = £qx'有個(gè)不同的實(shí)根，證明1 l_ i1=i/=iJCs)，k = _i參考答案一、填空題1

18、. 3, 0.5xlO 3 ;2. 10;3.2/7-1; 4. -l/>/5 <f/<0;5. £/concl（A）;/刈=（8+爐）/91 , * = 0,1,xf+D=（8+ 巖）/9&g（4+染叫）/5 k = 0,1,儀=（4+0）/5 7. b-a; 8.。（/?5）； 9. - 2.4; 10 . -道 <a<小 二、綜合題1 .此方程在區(qū)間(2, s)內(nèi)只有一個(gè)根s ,而且在區(qū)間(2,4)內(nèi)。設(shè)/(x) = x-lnx-2則:。)=1一J，/M(x) = , Newton法迭代公式為X無24+ - xk -；f-； ， k - u

19、,l,2,1-1/x xk -1取=3，得s、X4 = 3.146193221 02 .解 A-1-12-21 -1-1 1.51 -1,Cond(A) = 22.5 ,由公式kll. <Cond(A)lxIIIL 有JlMLIK-xlO-6<22.5x2= 1.6875x10-52/33 . *2,八 3(e + 4*5+也=2.0263,-4, =(± +日+ : + 芻產(chǎn) , Ji6x x x xnnx |/(4)(x)| = /=198.43 , 2截?cái)嗾`差為展| &(2-1P max|/(4)(x)| = 0.068902880 i<x<z5

20、74 .由所給條件可用插值法確定多項(xiàng)式g(x) , Px) = -x .首先取 i = l,/ = 2 ,因 cot2Q=0 ,故有 8=生 ,于是 coso=sin°= J=, 4V2 + lx2-x(由題意可設(shè)R(x) = /(x)-6(x) = k(x)x(x-l)2(x-2)為確定待定函數(shù)Mx)，作輔助函數(shù)：g(f) = /«)-4-女(初DP-2),則g在0,3上存在四階導(dǎo)數(shù)且在0,3上至少有5個(gè)零點(diǎn)f = x, f = 0,l,2 ( / = 0為二重零點(diǎn))，反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，知至少有一個(gè)零點(diǎn)4£(0.3),使g4)= 0，從而得女(x) = L/“(

21、J)。故誤差估計(jì)式 4;為 R").(加(I)"2)'會(0,3)。o O 1If001正1一0丫=匕式。）=JLV2JLV22 - -O 3 1 一>/2-1 O1一V2 一一=o O 1 101一>/2。 1正1友。0-12-12-12-10_Lfv2oJLV21poA =y<0>A(0V(0)r6.梯形公式為)1=%+5/(當(dāng),”)+ /(%2+1)， h”+】 = y“+5(ym乙）“，用上述梯形公式以rrij, 2 /?2 ,/ 2 - h ”+iz 2 /?所以 y“+i =(T7-)>n =r)")= = (zr

22、) >0 = (zr2 + h2 + /?2 + h2 + h步長經(jīng)步計(jì)算得到此，所以有6 二 x ,所以2-/?2-/?-lun y/f = lmi()n = lmi(),r = e”30 jo 2 + /?/to 2 + /?三、證明題由于=有個(gè)不同的實(shí)根，故/ W = %(X - 占)(x - &) (X - x)金。叱(X),于是寸X，寸 % _1寸七£/'區(qū)）0。產(chǎn)：區(qū)）cin f=1 W；（x;）記山）則注0,0<k<n-2再由差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系知£ i=l八七）出k = n-l模擬試卷(四)一、填空題(每小題3分，共30分)24

23、81 .為了減少運(yùn)算次數(shù)，應(yīng)將算式y(tǒng) = 1 +,改寫2x-3 (2x-3)- (2x-3)3為,為減少舍入誤差的影響，應(yīng)將算式9-回改寫為。-1 11 2-A= 211，|A卜，|A%=。-3 -2 -13 .設(shè)在x=g(x)的根a*附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且卜1 ,則當(dāng) 時(shí)迭代過程七打=g(xj是線性收斂的，則當(dāng) 時(shí)迭代過程4+1 = g(xQ是平方收斂的。 4 .設(shè)A= G ，則當(dāng)。滿足時(shí)，有l(wèi)imA'O0 1 JA->x5 .用列主元消去法解線性方程組Ar = 時(shí)，在第 -1步消元時(shí),在增廣矩陣的第歹U取主元成F ,使得|成一“=o6 .已知函數(shù)"0) = 1,=

24、(1) = 3,/(2) = 7,則/0,1=, /0,1,2= , /W的二次牛頓插值多項(xiàng)式7 .求解方程/(x)=0 ,若/(x)=0可以表成x=°(x),則用簡單迭代法求根，那么(p (x)滿足,近似根序列X,工,工,一定收斂。8 . + 1點(diǎn)插值型數(shù)值積分公式之AjCq)、£7(x)dx的代數(shù)精度至少是 次，最k=0'高不超過 次。, 2xV = y9 .寫出初值問題' y在0刀上歐拉計(jì)算格式y(tǒng)(0) = 1V' = /"( X V)10 .解初始值問題1一' '的梯形方法是階方法二、綜合題(每題10分，共60分)1

25、 .證明方程Y-x-1 = 0在區(qū)間1 , 2內(nèi)有唯一根必，用牛頓迭代法求必(精確至3位小數(shù))。& + x2 + x3 = 32 .用列主元消去法解線性方程組1% + 3& - 2& = 2 ；2a; - 2x2 + x3 = 13 .給定數(shù)據(jù)0,1,23 ,對應(yīng)函數(shù)值分別為六L324 ,求三次拉格朗日或牛頓插值多項(xiàng) 式。2 -1 0 、4 .設(shè)有矩陣A=-l 2 -1用”規(guī)范化“的方法求其按模最大的特征值及對應(yīng)的特征 I。T 2 J向量(注：求迭代4次即可)",25 .用改進(jìn)的Euler方法求初值問題4V = > , (0 « x <

26、1,取步長/? = 0.1).1X0) = 16 .給定數(shù)據(jù)/(0.1) = 5.1234,/(0.2) = 5.3053,/(0.3) = 5.5684 ,求一次最小二乘擬合 多項(xiàng)式。三、證明題(10分).CL.X. +6區(qū)二回防程組為，一二-二,可小工0生占+。22&=%(1)證明用雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法解此方程組要么同時(shí)收斂,要么同時(shí)發(fā) 散；(2 )當(dāng)同時(shí)收斂時(shí)，比較它們的收斂速度。參考答案一、填空題1. u =, y = （8 - 4） + 2） +1, 1 ; 2. 6, 6;2x39 + y/SO3. g，（M）wO, g，（x*） = 0, g"，）。

27、0； 4.同 vl;5. maxa，-% 6. 2, 1, x 1.5 z 故$ = x> =工=1 . + x+l; 7. (px)<L<l; 8. n r 2/z +1;2 vc %H = y“+/7(y” -) “ _9. j尤 io. _.)o=l二、綜合題1.4/(x) = x5/4 ,3. M(x) = 1 + 2文一3/2 x (x-l) + x (x-1) (%-2) = x3 -4.5 x2 -5.5x + l或 L3(x) = x3 -4.5 x2 -5.5x+l .取N° = (1,1,1)7 f由乘幕法得， 匕=Auq = (1,0,1 1,

28、% 二 (1,0,1), 匕=V% =(2,-2,2尸 m=(1,- 1,1)7匕=4整2=(3，-4,3尸，%=(075,1,0.75),3.4142,與 右(一0.7071,1,0.7071), 5.改進(jìn)的Euler方法£，”)=尤+1=" + /"2"氏，s) + “4+0+/(%，)')-x-l, I(x) = 3£-l>0J(x)在(1,2)嚴(yán)格單增又/(1) = 一1, /(2) = 5,/./(x)在(1,2)上有唯一根：由牛頓迭代公式xA+1 =甘一玉,3.1取的二L2，得 1.2, 1.34217, 1.325, 1.32472, 1.32472, 1.32472r 2 -2104 -2.5I 005/4婢%=L0 , L, L5, 1.34783, 1.3252, 1.32472, 1.32472 z 所以x* = L32472.1113 )(2-21