電子科大隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析試題b卷-評(píng)講

1、電子科技大學(xué)2013-2014學(xué)年第2學(xué)期期末考試B卷題號(hào)一二三四五六七八九十合計(jì)得分一、若隨機(jī)變量X 的概率特性如下，求其相應(yīng)的特征函數(shù)：（共 10 分）（1）（ 3， 3）伯努利分布：f ( x)0.5( x 3)0.5( x3)； (3分)（2）指數(shù)分布： f (x)e xu( x) ； (3分)（3） P Xc1 ，c 是常數(shù)。 (4分)X (v)jvXkpejv xijv3jv3j3vj 3v)解：（1）E ei 1ie 0.5 e0.50.5(ee（2） X (v)E ejvX0ejvxexdx0e( jv)xdxjv（3） X (v) E ejvXE ejvcejvc ，如果 c

2、=0，則 X (v) 1二、正弦隨機(jī)信號(hào) X tAcos 200 t , 其中振幅隨機(jī)變量A取值為 1 和-1，概率分別為 0.5 和 0.5，試 : （共 10 分），（ 1）求 X t 的一維概率分布 F x;5 ；（3 分）（ 2）求 X t 的二維概率分布 F x1 , x2 ;0,0.0025 ；（3 分）（ 3）問 X t 是否嚴(yán)格平穩(wěn)？（ 4 分）cos 200 t，依概率發(fā)生0.5解： X (t )，依概率發(fā)生cos 200t0.5（1） Fx;t0.5u xcos200 t0.5u xcos200 t1 ，依概率 0.5發(fā)生X (5)，依概率 0.5發(fā)生1F x;50.5u

3、x10.5u x1（ 2）Fx1, x2 ;t1, t20.5u x1cos200 t1，x2cos200 t20.5u x1cos200 t1 , x2cos200 t2X (0)1,X (0.0025)0, 依概率 0.5發(fā)生X (0)1, X (0.0025)0, 依概率 0.5發(fā)生Fx1, x2 ;0,0.00250.5u x11，x20.5u x11, x2（3）因?yàn)镕 x;t0.5u xcos200 t0.5u xcos200 tX (t ) 一階不平穩(wěn)，故X (t ) 非嚴(yán)格平穩(wěn)。三、設(shè)隨機(jī)過程X (t) AcostB sin t ，其中為常數(shù)，A和 B 是兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)

4、變量。已知E AEB 0，EA2E B22 。試：（共 10分）（1）求 X (t ) 的均值和相關(guān)函數(shù)。 （3 分）（2）求 X (t ) 的一維和二維概率密度函數(shù)。 （ 4 分）（3）問 X (t ) 是否嚴(yán)格平穩(wěn)。（3 分）解：（ 1）因?yàn)?A 和 B 是兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，故X (t) 是高斯信號(hào)。E X tE A cos tEB sin t 0R s,tEXs X tEAcossB sinsA cos tB sintE A2 coss cos tE B2 sinssint2 cosscos t2 sinssint2 cos s t（2）因?yàn)椋?m t0 ，C s,t R s,

5、t2 cos s t ，所以2 tC(t,t)2 ，并且，C(s, t)cos(st)(s)(t )所以， X t N 0,2，其一維概率密度函數(shù)為：1x2fX x, texp222進(jìn)而可得Xs , Xt N 0,2 ;0,2 ;cosst，即其二維密度函數(shù)為：f XYx, y; s, t1x22xy cosst y22 sin s texp2 2 sin2st2（3）因?yàn)?X (t ) 均值平穩(wěn)，相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)，故X (t) 廣義平穩(wěn)，又因?yàn)閄 (t ) 是高斯信號(hào)，故也嚴(yán)格平穩(wěn)。 ）四、零均值平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)N(t) ，自相關(guān)函數(shù)RN( )2 ( ) ，通過頻響為H ( j )11 j RC 的

6、 RC 低通電路后，試判斷系統(tǒng)輸出信號(hào)Y(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)。（共 10 分）解：EY(t ) 0SY ()SN () | H ( j) |222 | H ( j) |21( RC)22 (1/ RC)222(1/ RC)2(1/ RC)22RC2(1/ RC)22e |/ RCRY ()2RC又： CY( )RY ()lim 1Tlim 1T2| |/ RCd12T|/ RCd( )delimCeT2TTYT2TT2RCT2T 2RCT120/ RCdT/ RC dlim 12e / RC |0T e / RC |T0limeRCTeT2T 2RC0T2T 2RC122e T / RC2e

7、 T / RClimRC2lim10T2T 2RCT2T所以， Y(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。五、隨機(jī)信號(hào) Y(t ) X (t ) cos( 0t) ，其中 X(t)是廣義各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)信號(hào)，是 0,2 上均勻分布的隨機(jī)變量，X(t)與 相互獨(dú)立，請(qǐng)判斷： （共 10 分）(1)Y(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)？（5 分）(2)Y(t)在滿足什么條件下是廣義各態(tài)歷經(jīng)的？（5 分）解：EY(t )E X (t)cos( 0t)E X (t)EY(t)Y (t)E X (t) cos(0tE X (t) X (t)E X (t )cos(0t0E X (t)cos(0t)Ecos(0tR ( )1 cos0R

8、 ()X2YEcos( 0t)mX0) X (t )cos( 0t)cos(0t0)所以， Y(t)是廣義平穩(wěn)的。又AY (t )A X (t )cos( 0t)A X (t )Acos(0t)E X (t )所以 Y(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)。AY(t)Y(t )A X (t)cos(0t0) X (t )cos( 0t)A X (t) X (t )A X (t )cos( 0t0)A X (t)cos(0t)Acos(0t)cos(0t0)R ()1 cos0A X (t )cos(t0)A X (t)cos(0t)X20其中： Acos(0t)cos(0t0)1cos(20t2)Acos002

9、lim11 Tcosdt11Tcos(20t2 )dtT0limT0T2T2T2T21 cos 02只有當(dāng) X(t)與 cos( 0t) 聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)時(shí)， Y(t)才廣義各態(tài)歷經(jīng)。六、設(shè)有一個(gè)廣義平穩(wěn)信號(hào) S(t)，通過線性時(shí)不變系統(tǒng)后的信號(hào)為 X(t)，S(t)的帶寬大大于系統(tǒng)帶寬， X(t)自相關(guān)函數(shù)如圖 1 所示，類似于 sin(x)/x 函數(shù)，試：（共 10 分）圖 1(1) 問輸出信號(hào) X(t)是廣義平穩(wěn)的嗎？如果是，求輸出信號(hào)的均值和方差；（3 分）(2) 對(duì) X(t)進(jìn)行采樣， 如果要求相鄰采樣點(diǎn)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立， 給出可能的采樣間隔集合。（4 分）(3) 給出最小采樣間隔下 N 個(gè)連續(xù)

10、采樣點(diǎn)的聯(lián)合密度函數(shù)。 （3 分）解：(1) 根據(jù)廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)后， 輸出仍然是廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的原理，得出輸出信號(hào) X(t)是廣義平穩(wěn)的。其均值和方差為：RX () m2m 0221XRX (0) m(2) 寬帶信號(hào)通過窄帶系統(tǒng)后，其輸出信號(hào)服從高斯分布。同時(shí)，不相關(guān)的高斯隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。當(dāng)采樣間隔 1,2,3, 時(shí)，相鄰的兩個(gè)隨機(jī)變量是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的， 因此，其可能的采樣間隔集合為： Ts Ts 1,2,3,(3) 最小采樣時(shí)間間隔為 Ts 1（1 分）， N 個(gè)點(diǎn)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，因此其聯(lián)合密度函數(shù)為：N1222fX ( x1 , x2 , , xN ; t1 , t2

11、 , ,t N )x1x2xNf X (xi ;ti )Nexp2i122七、在圖 2 所示的 RC 電路中，設(shè)其輸入隨機(jī)過程X(t)為平穩(wěn)白噪聲，功率N0譜密度為2。試求：（共10 分）（1）輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)RY；（5分）（2）系統(tǒng)的等效噪聲帶寬。 （5分）RCX(t)Y(t)圖 2解：（ 1）由題意知系統(tǒng)的頻響為1/ jC11/ RCa1Hj CjRC1j 1/ RCa j，其中 aR 1/RC（系統(tǒng)沖激響應(yīng)為h(t )ae at u(t ) ）H (2a2功率傳輸函數(shù))a22則輸出功率譜密度為輸出的相關(guān)函數(shù)為SY2a2N0() H()SX()2 。a22RY( )aN0ea4。（

12、2）系統(tǒng)的等效噪聲帶寬（亦即系統(tǒng)輸出信號(hào)的等效矩形帶寬）為：(PY RY 0 N0BNG02N0BNH0 )RY0a1BN0244RCN0 H八、設(shè)確定信號(hào) S(t)圖 3 所示，試：（共 10 分）（1）畫出相應(yīng)匹配濾波器的沖激響應(yīng)，并給出最佳抽樣時(shí)刻；（5 分）（ 2）假設(shè)背景噪聲是功率譜為 N0/2 的白噪聲，求最佳抽樣時(shí)刻匹配濾波器的輸出信噪比。（ 5 分）圖 3解：（ 1）取 t0=T ， c 為任意非零常數(shù)（不妨取 1），則相應(yīng)的匹配濾波器如下所示。（2）根據(jù) S / N out2Es / N0 ， Ess2 (t)dtA2TA2TA2T5 A2T3999則2Es / N010A2

13、TS / N out9N0九、若零均值、方差為 X2 的平穩(wěn)窄帶高斯隨機(jī)信號(hào) X (t) A(t )cos 0t B(t)sin 0t 作 用到 4 所 示 的 系 統(tǒng) ， 系 統(tǒng)輸 出 Z (t) ， 理 想 低 通 濾 波 器 頻 響為H ( j )1,1.5 0，試：（共 10 分）0,其他（ 1）分別寫出 M (t ) 和 Z (t) 的表達(dá)式；（ 3 分）（ 2）求 Z (t ) 的一維概率密度函數(shù)； （4 分）（ 3）判斷 Z (t ) 的廣義平穩(wěn)性和嚴(yán)格平穩(wěn)性。 （3 分）X (t)M (t) 理想低通Z (t)濾波器2cos0t圖 4解：（ 1） M (t)X (t )2cos

14、0tA(t)(1 cos2 0t ) B(t )sin 2 0tZ (t)A(t)（2） Z(t ) N (0,X2 )1z2fZ ( z; t)e2X22X（3） Z (t) 是廣義平穩(wěn)性和嚴(yán)格平穩(wěn)性。十、若零均值平穩(wěn)窄高斯隨機(jī)信號(hào)X (t) 的功率譜密度如圖5 所示，試：（共10 分）（1）求 X (t) 的兩個(gè)正交分量 i (t ), q(t ) 的功率譜； (3 分 )（2）寫出此隨機(jī)信號(hào) X (t) 的一維概率密度函數(shù)； (3 分 )（3）寫出 X (t) 的兩個(gè)正交分量 i (t), q(t) 的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)。(4 分)SXWA000圖 5解：（1）Si ( )Sq ( )SX (0) SX(0 )，W MHz20,others2tri ()W 2（ 2）基于功率譜計(jì)算功率得：2PX1AW2SX ( )d2由題意， X (t ) N (0,X2 )，所以 X (t) 的一維概率密度函數(shù)為：x2