熱力統(tǒng)計(jì)學(xué)第一章答案

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝第一章熱力學(xué)的基本規(guī)律1.1試求理想氣體的體脹系數(shù), 壓強(qiáng)系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)。解：已知理想氣體的物態(tài)方程為pV nRT,（1）由此易得1VnR1VTpV,pT1pnR1 ,pTVpVTT1V1nRT1 .VpTVp2p（2）（3）（4）1.2 證明任何一種具有兩個(gè)獨(dú)立參量 T , p 的物質(zhì)，其物態(tài)方程可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得的體脹系數(shù) 及等溫壓縮系數(shù) ，根據(jù)下述積分求得：ln V =dT dpT如果1 , T1 ，試求物態(tài)方程。Tp解：以 T , p 為自變量，物質(zhì)的物態(tài)方程為VV T , p ,其全微分為VVdp.（1）dVdTT ppT全式除以 V ，有dV1

2、V1Vdp.dTVVT pVpT精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝根據(jù)體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)T 的定義，可將上式改寫(xiě)為dVT dp.（2）dTV上式是以 T,p 為自變量的完整微分，沿一任意的積分路線(xiàn)積分，有l(wèi)nVdTT dp .（3）若1 , T1 ，式（ 3）可表為T(mén)plnV1 dT1 dp .（4）Tp選擇圖示的積分路線(xiàn)，從(T0 , p0 ) 積分到 T , p0，再積分到（ T , p ），相應(yīng)地體積由 V0 最終變到 V ，有VTpln=lnln,V0T0p0即pVp0V0C （常量），TT0或p VC. T（5）精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝式（5

3、）就是由所給進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。1 ,T1 求得的物態(tài)方程。 確定常量 C 需要Tp1.3在 0 C 和 1 pn 下，測(cè)得一銅塊的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)分別為4.8510 5 K 1和T7.8107 pn 1 . 和T 可近似看作常量，今使銅塊加熱至 10 C 。問(wèn)：（ a）壓強(qiáng)要增加多少 pn 才能使銅塊的體積維持不變？ （b）若壓強(qiáng)增加 100 pn ，銅塊的體積改變多少？解：（a）根據(jù) 1.2 題式（ 2），有dVT dp.（1）dTV上式給出，在鄰近的兩個(gè)平衡態(tài)，系統(tǒng)的體積差dV ，溫度差 dT 和壓強(qiáng)差 dp 之間的關(guān)系。如果系統(tǒng)的體積不變，dp 與 dT 的關(guān)系為dpdT .（2）

4、T在和 T 可以看作常量的情形下，將式（2）積分可得p2 p1T2 T1.（3）T將式（ 2）積分得到式（ 3）首先意味著，經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)等容過(guò)程后，系統(tǒng)在初態(tài)和終態(tài)的壓強(qiáng)差和溫度差滿(mǎn)足式（ 3）。 但是應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)，只要初態(tài) V , T1 和終態(tài) V , T2 是平衡態(tài)，兩態(tài)間的壓強(qiáng)差和溫度差就滿(mǎn)足式（ 3）。 這是因?yàn)?，平衡狀態(tài)的狀態(tài)參量給定后，狀態(tài)函數(shù)就具有確定值，與系統(tǒng)到達(dá)該狀態(tài)的歷史無(wú)關(guān)。 本題討論的銅塊加熱的實(shí)際過(guò)程一般不會(huì)是準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。 在加熱過(guò)程中，銅塊各處的溫度可以不等，銅塊與熱源可以存在溫差等等， 但是只要銅塊的初態(tài)和終態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的壓強(qiáng)和溫度差就滿(mǎn)足式（ 3）。將所給數(shù)據(jù)代入，

5、可得p2p14.85107.8 1057 10 622 pn .因此，將銅塊由0 C 加熱到 10 C ，要使銅塊體積保持不變，壓強(qiáng)要增精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝強(qiáng) 622 pn（b）1.2 題式（ 4）可改寫(xiě)為VT1T p2p1 .（4）T2V1將所給數(shù)據(jù)代入，有V4.8510 5107.810 7100V14.0710 4.因此，將銅塊由 0 C 加熱至 10 C ，壓強(qiáng)由 1pn 增加 100 pn ，銅塊體積將增加原體積的 4.07 10 4 倍。1.4簡(jiǎn)單固體和液體的體脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)T 數(shù)值都很小，在一定溫度范圍內(nèi)可以把和 T看作常量 .試證明簡(jiǎn)單固體和液

6、體的物態(tài)方程可近似為V (T , p) V0 T0 , 0 1T T0T p .解:以 T , p 為狀態(tài)參量，物質(zhì)的物態(tài)方程為VV T , p .根據(jù)習(xí)題 1.2 式（ 2），有dVdTT dp.（1）V將上式沿習(xí)題 1.2 圖所示的路線(xiàn)求線(xiàn)積分， 在和 T 可以看作常量的情形下，有l(wèi)n VT T0T p p0 ,（2）V0或V T , p V T0 , p0 e T T0T p p0 .（3）考慮到和 T 的數(shù)值很小，將指數(shù)函數(shù)展開(kāi)，準(zhǔn)確到 和 T 的線(xiàn)性項(xiàng)，有V T , p V T0 , p0 1T T0T p p0 .（4）如果取 p0 0 ，即有精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)

7、站刪除謝謝V T , p V T0 , 0 1T T0T p .（5）1.5 描述金屬絲的幾何參量是長(zhǎng)度 L ，力學(xué)參量是張力 J，物態(tài)方程是fJ , L,T0實(shí)驗(yàn)通常在 1 p n 下進(jìn)行，其體積變化可以忽略。線(xiàn)脹系數(shù)定義為1LLTJ等溫楊氏模量定義為L(zhǎng)JYAL T其中 A是金屬絲的截面積，一般來(lái)說(shuō)，和 Y 是 T 的函數(shù)，對(duì)J僅有微弱的依賴(lài)關(guān)系，如果溫度變化范圍不大，可以看作常量，假設(shè)金屬絲兩端固定。試證明，當(dāng)溫度由 1 降至 2 時(shí)，其張力的增加為JYAT2T1解：由物態(tài)方程f J , L, T 0（1）知偏導(dǎo)數(shù)間存在以下關(guān)系：LTJ（2）TJ1.JLL T所以，有JLJTLTJLTLA

8、Y（3）LAY.積分得JYA T2 T1.（4）與 1.3 題類(lèi)似，上述結(jié)果不限于保持金屬絲長(zhǎng)度不變的準(zhǔn)靜態(tài)冷卻過(guò)精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝程，只要金屬絲的初態(tài)是平衡態(tài)，兩態(tài)的張力差JJ L,T2J L,T1就滿(mǎn)足式（ 4），與經(jīng)歷的過(guò)程無(wú)關(guān)。1.6 一理想彈性線(xiàn)的物態(tài)方程為L(zhǎng)L02,J bT2L0L其中 L 是長(zhǎng)度， L0 是張力 J 為零時(shí)的 L 值，它只是溫度 T 的函數(shù)， b 是常量 . 試證明：（a）等溫?fù)P氏模量為YbTL2L20 .AL0L2在張力為零時(shí)， Y0 3bT . 其中 A 是彈性線(xiàn)的截面面積。A（b）線(xiàn)脹系數(shù)為L(zhǎng)311 L300,TL32L03其中

9、0 1dL0 .L0dT（c）上述物態(tài)方程適用于橡皮帶， 設(shè)T 300K,b1.33 10 3 NK 1,A 110 6 m 2 , 0 5 10 4 K1 ，試計(jì)算當(dāng)L 分別為 0.5,1.0, 1.5和 2.0時(shí)的L0J, Y,值，并畫(huà)出 J, Y,對(duì) L的曲線(xiàn) .L0解: （a）根據(jù)題設(shè)，理想彈性物質(zhì)的物態(tài)方程為JbTLL20,（1）L02L由此可得等溫楊氏模量為L(zhǎng) JL1 2L02bT L 2L20（2）YA L TA bTL0L2AL0L2.精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝張力為零時(shí)， L L0 , Y03bT.A（b）線(xiàn)脹系數(shù)的定義為1L.LTJ由鏈?zhǔn)疥P(guān)系知1JL,

10、LTLJT而JbLL02bTL2L0dL0,L0L2L02L2dTT LJbT12L02,LTL0L3所以L(fǎng) L20L 2L0 dL0L3bbT1 dL0 1 L3011L0 L2L20 L2dTL1 2L02L0 dT T L3.bT2L0 L3L30（3）（4）精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝（c）根據(jù)題給的數(shù)據(jù)， J , Y,對(duì)L 的曲線(xiàn)分別如圖 1-2（a），（b），（c）L0所示。1.7 抽成真空的小匣帶有活門(mén)， 打開(kāi)活門(mén)讓氣體沖入， 當(dāng)壓強(qiáng)達(dá)到外界壓強(qiáng) p0 時(shí)將活門(mén)關(guān)上， 試證明：小匣內(nèi)的空氣在沒(méi)有與外界交換熱量之前，它的內(nèi)能U 與原來(lái)在大氣中的內(nèi)能U0 之差為U

11、 U 0 p0V0 ，其中 V0 是它原來(lái)在大氣中的體積，若氣體是理想氣體，求它的溫度與體積。解：將沖入小匣的氣體看作系統(tǒng)。系統(tǒng)沖入小匣后的內(nèi)能 U 與其原來(lái)在大氣中的內(nèi)能 U 0 由式（ 1.5.3）UU0WQ（1）確定。由于過(guò)程進(jìn)行得很迅速，過(guò)程中系統(tǒng)與外界沒(méi)有熱量交換，Q 0. 過(guò)程中外界對(duì)系統(tǒng)所做的功可以分為 W1 和W2 兩部分來(lái)考慮。一方面，大氣將系統(tǒng)壓入小匣，使其在大氣中的體積由 V0 變?yōu)榱?。由于精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝小匣很小，在將氣體壓入小匣的過(guò)程中大氣壓強(qiáng) p0 可以認(rèn)為沒(méi)有變化，即過(guò)程是等壓的（但不是準(zhǔn)靜態(tài)的） 。過(guò)程中大氣對(duì)系統(tǒng)所做的功為W1p

12、0 Vp0V0 .另一方面，小匣既抽為真空，系統(tǒng)在沖入小匣的過(guò)程中不受外界阻力，與外界也就沒(méi)有功交換，則W20.因此式（ 1）可表為U U 0 p0V0 .（2）如果氣體是理想氣體，根據(jù)式（1.3.11）和（ 1.7.10），有p0V0nRT ,U 0UCV (TT0 )nR (T T0 )1（3）（4）式中 n 是系統(tǒng)所含物質(zhì)的量。代入式（2）即有TT0.（5）活門(mén)是在系統(tǒng)的壓強(qiáng)達(dá)到 p0 時(shí)關(guān)上的，所以氣體在小匣內(nèi)的壓強(qiáng)也可看作 p0 ，其物態(tài)方程為p0V nR T0.（6）與式（ 3）比較，知VV0.（7）1.8 滿(mǎn)足 pV n C 的過(guò)程稱(chēng)為多方過(guò)程，其中常數(shù) n 名為多方指數(shù)。試證明

13、：理想氣體在多方過(guò)程中的熱容量 Cn 為nCnn1 CV解：根據(jù)式（ 1.6.1 ），多方過(guò)程中的熱容量CnlimQT nT 0UpV.（1）TTnn對(duì)于理想氣體，內(nèi)能U 只是溫度 T 的函數(shù)，UCV ,Tn精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝所以Cn CVV.（2）pTn將多方過(guò)程的過(guò)程方程式 pV n C 與理想氣體的物態(tài)方程聯(lián)立，消去壓強(qiáng) p 可得TV n 1C1 （常量）。（3）將上式微分，有V n 1dT(n1)V n 2TdV0,所以VTn代入式（ 2），即得V.（4）( n1)TCn CVpVnCV ,（5）T (n 1) n 1其中用了式（ 1.7.8 ）和（ 1.

14、7.9 ）。1.9 試證明：理想氣體在某一過(guò)程中的熱容量 C n 如果是常數(shù)，該過(guò)程一定是多方過(guò)程，多方指數(shù) n Cn Cp 。假設(shè)氣體的定壓熱容量CnCV和定容熱容量是常量。解：根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有dU ?Q ?W .（1）對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程有?WpdV ,對(duì)理想氣體有dUCV dT ,氣體在過(guò)程中吸收的熱量為?QC ndT ,因此式（ 1）可表為(Cn CV )dT pdV .（2）精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝用理想氣體的物態(tài)方程pVvRT除上式，并注意 C p CVvR可得,(CnCV ) dT(C p CV ) dV .（3）TV將理想氣體的物態(tài)方程全式求微分，有dp

15、 dVdT（4）pV.T式（ 3）與式（ 4）聯(lián)立，消去 dT ，有T(Cndp(CndV（5）CV )C p )0.pV令 nCn Cp Cn CV，可將式（ 5）表為dpn dV0.（6）pV如果 Cp , CV 和 Cn 都是常量，將上式積分即得pV nC （常量）。（7）式（ 7）表明，過(guò)程是多方過(guò)程。1.10聲波在氣體中的傳播速度為ps假設(shè)氣體是理想氣體， 其定壓和定容熱容量是常量， 試證明氣體單位質(zhì)量的內(nèi)能 u 和焓 h 可由聲速及 給出：a2u0 ,ha2uh01-1其中 u0 , h0 為常量。解：根據(jù)式（ 1.8.9 ），聲速 a 的平方為a2pv,（1）其中 v 是單位質(zhì)量

16、的氣體體積。理想氣體的物態(tài)方程可表為mpVRT ,m式中 m 是氣體的質(zhì)量， m 是氣體的摩爾質(zhì)量。對(duì)于單位質(zhì)量的氣體，精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝有pv1 RT,（2）m代入式（ 1）得a2RT .（3）m以 u, h 表示理想氣體的比內(nèi)能和比焓（單位質(zhì)量的內(nèi)能和焓） 。 由式（1.7.10 ）（ 1.7.12 ）知RTm u0 ,m u1m hRT（4）m h0.1將式（ 3）代入，即有a2uu0 ,(1)a2hh0.（5）1式（5）表明，如果氣體可以看作理想氣體， 測(cè)定氣體中的聲速和 即可確定氣體的比內(nèi)能和比焓。1.11大氣溫度隨高度降低的主要原因是在對(duì)流層中的低處與

17、高處之間空氣不斷發(fā)生對(duì)流， 由于氣壓隨高度而降低， 空氣上升時(shí)膨脹，下降時(shí)收縮，空氣的導(dǎo)熱率很小， 膨脹和收縮的過(guò)程可以認(rèn)為是絕熱過(guò)程，試計(jì)算大氣溫度隨高度的變化率dT ，并給出數(shù)值結(jié)果。dz解：取 z 軸沿豎直方向（向上） 。以 p( z) 和 p( z dz) 分別表示在豎直高度為 z 和 z dz處的大氣壓強(qiáng)。 二者之關(guān)等于兩個(gè)高度之間由大氣重量產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即p( z)p( zdz)( z) gdz,（1）式中 ( z) 是高度為 z 處的大氣密度， g 是重力加速度。 將 p( z dz) 展開(kāi)，有精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝p( zdz)p( z)d p( z)

18、dz,dz代入式（ 1），得d(z)g.（2）p( z)dz式（ 2）給出由于重力的存在導(dǎo)致的大氣壓強(qiáng)隨高度的變化率。以 m 表大氣的平均摩爾質(zhì)量。在高度為 z 處，大氣的摩爾體積為m ，則物態(tài)方程為( z)p(z) mRT ( z),（3）( z)T ( z) 是豎直高度為 z 處的溫度。 代入式（ 2），消去(z) 得d p( z)m g p(z).（4）dzRT ( z)由式（ 1.8.6 ）易得氣體在絕熱過(guò)程中溫度隨壓強(qiáng)的變化率為T(mén)pS1 T .（5）p綜合式（ 4）和式（ 5），有d T ( z)Td p z1 m g .（6）dzpS dzR大氣的1.41（大氣的主要成分是氮和氧，

19、都是雙原子分子），平均摩爾質(zhì)量為 m2910 3 kg mol 1, g9.8ms 2 ，代入式（ 6）得d T z10Kkm 1 .（7）dz式（7）表明，每升高 1km，溫度降低 10K。 這結(jié)果是粗略的。由于各種沒(méi)有考慮的因素，實(shí)際每升高 1km，大氣溫度降低 6K 左右。1.12 假設(shè)理想氣體的 C p和 CV 之比是溫度的函數(shù)，試求在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中 T和 V 的關(guān)系，該關(guān)系式中要用到一個(gè)函數(shù)F T ，其表達(dá)式為ln F (T )dT1 T精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝解：根據(jù)式（ 1.8.1），理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中滿(mǎn)足CV dTpdV 0.（1）用物態(tài)方程

20、pVnRT 除上式，第一項(xiàng)用 nRT 除，第二項(xiàng)用 pV 除，可得CV dTdV（2）nRT0.V利用式（ 1.7.8）和（ 1.7.9），C pCVnR,C pCV可將式（ 2）改定為,1dTdV1 TV0.（3）將上式積分，如果是溫度的函數(shù)，定義ln F (T )1 dT ,1 T可得ln F(T )ln VC1 （常量），或（4）（5）F (T )VC （常量）。（6）式（ 6）給出當(dāng)是溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體在準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程中T和 V 的關(guān)系。1.13利用上題的結(jié)果證明：當(dāng)為溫度的函數(shù)時(shí)，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為1T2.T1解：在 是溫度的函數(shù)的情形下， 1.9 就理想氣體卡諾循環(huán)得到

21、的式（ 1.9.4 ）（ 1.9.6 ）仍然成立，即仍有Q1RT1ln V2 ,（1）V1精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝Q2RT2ln V3 ,V4WQ1Q2RT1ln V2RT2ln V3 .V1V4（2）（3）根據(jù) 1.13 題式（ 6），對(duì)于 1.9 中的準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過(guò)程（二）和（四） ，有F (T1)V2F (T2 )V3 ,（4）F (T2 )V4F (T1)V1 ,（5）從這兩個(gè)方程消去F (T1 ) 和 F (T2 ) ，得V2V3,（6）V1V4故W R(T1T2 )ln V2,（7）V1所以在是溫度的函數(shù)的情形下，理想氣體卡諾循環(huán)的效率仍為W1 T2.（8）Q

22、1T11.14 試根據(jù)熱力學(xué)第二定律證明兩條絕熱線(xiàn)不能相交。解：假設(shè)在 p V 圖中兩條絕熱線(xiàn)交于 C 點(diǎn)，如圖所示。設(shè)想一等溫線(xiàn)與兩條絕熱線(xiàn)分別交于 A 點(diǎn)和 B 點(diǎn)（因?yàn)榈葴鼐€(xiàn)的斜率小于絕熱線(xiàn)的斜率，這樣的等溫線(xiàn)總是存在的） ，則在循環(huán)過(guò)程 ABCA中，系統(tǒng)在等溫精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝過(guò)程 AB 中從外界吸取熱量 Q ，而在循環(huán)過(guò)程中對(duì)外做功 W ，其數(shù)值等于三條線(xiàn)所圍面積（正值） 。循環(huán)過(guò)程完成后，系統(tǒng)回到原來(lái)的狀態(tài)。根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有WQ 。這樣一來(lái)，系統(tǒng)在上述循環(huán)過(guò)程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉(zhuǎn)變?yōu)楣α?，這違背了熱力學(xué)第二定律的開(kāi)爾文說(shuō)法，是不可能的。

23、 因此兩條絕熱線(xiàn)不可能相交。1.15 熱機(jī)在循環(huán)中與多個(gè)熱源交換熱量， 在熱機(jī)從其中吸收熱量的熱源中，熱源的最高溫度為 T1 ，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為 T2 ，試根據(jù)克氏不等式證明，熱機(jī)的效率不超過(guò)1T2 .T1解：根據(jù)克勞修斯不等式（式（1.13.4），有Qi0,（1）i Ti式中 Qi是熱機(jī)從溫度為 Ti的熱源吸取的熱量（吸熱 Qi為正，放熱 Qi 為負(fù)）。 將熱量重新定義，可將式（1）改寫(xiě)為Q jQk0,（2）jTjk Tk式中 Q j是熱機(jī)從熱源Tj吸取的熱量，QTk 是熱機(jī)在熱源k 放出的熱量，Q j ， Qk 恒正。 將式（ 2）改寫(xiě)為Q jQk.（3）jTj

24、k Tk假設(shè)熱機(jī)從其中吸取熱量的熱源中，熱源的最高溫度為 T1 ，在熱機(jī)向其放出熱量的熱源中，熱源的最低溫度為 T2 ，必有1Q jQ j,T1TjjjQk1Qk ,TkT2kk精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝故由式（ 3）得11（4）Q jQk .T1 jT2 k定義 Q1Q j 為熱機(jī)在過(guò)程中吸取的總熱量， Q2Qk 為熱機(jī)放出的jk總熱量，則式（ 4）可表為Q1Q2 ,（5）T1T2或T2Q2 .（6）T1Q1根據(jù)熱力學(xué)第一定律，熱機(jī)在循環(huán)過(guò)程中所做的功為WQ1Q2.熱機(jī)的效率為W1Q21T2 .（7）QQ1T11.16 理想氣體分別經(jīng)等壓過(guò)程和等容過(guò)程，溫度由T1升至

25、T2。假設(shè) 是常數(shù)，試證明前者的熵增加值為后者的倍。解：根據(jù)式（ 1.15.8），理想氣體的熵函數(shù)可表達(dá)為S C pln T nRln p S0 .（1）在等壓過(guò)程中溫度由 TTSp為1 升到2 時(shí)，熵增加值SpC pln T2 .（2）T1根據(jù)式（ 1.15.8 ），理想氣體的熵函數(shù)也可表達(dá)為S CV ln T nRlnV S0.（3）在等容過(guò)程中溫度由 T1 升到 T2 時(shí)，熵增加值SV 為SVCV ln T2 .（4）T1所以精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝SpC p.（5）SVCV1.17 溫度為 0C 的 1kg 水與溫度為 100C 的恒溫?zé)嵩唇佑|后， 水溫達(dá)到 1

26、00 C 。試分別求水和熱源的熵變以及整個(gè)系統(tǒng)的總熵變。欲使參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)如何使水溫從0C升至100 C？已知水的比熱容為 4.18J g 1K 1 .解： 0 C 的水與溫度為 100 C 的恒溫?zé)嵩唇佑|后水溫升為100C，這一過(guò)程是不可逆過(guò)程。為求水、熱源和整個(gè)系統(tǒng)的熵變，可以設(shè)想一個(gè)可逆過(guò)程，它使水和熱源分別產(chǎn)生原來(lái)不可逆過(guò)程中的同樣變化，通過(guò)設(shè)想的可逆過(guò)程來(lái)求不可逆過(guò)程前后的熵變。為求水的熵變， 設(shè)想有一系列彼此溫差為無(wú)窮小的熱源，其溫度分布在 0 C 與 100 C 之間。令水依次從這些熱源吸熱 , 使水溫由 0 C 升至100 C 。在這可逆過(guò)程中 , 水的熵變

27、為S水373 mcp dT373103373k1.（1）273mcp ln4.18 ln1304.6JT273273水從 0 C 升溫至 100 C 所吸收的總熱量Q 為Qmcp T1034.18 1004.18 105 J.為求熱源的熵變，可令熱源向溫度為100 C 的另一熱源放出熱量Q 。在這可逆過(guò)程中，熱源的熵變?yōu)镾熱源4.18 1051120.6 J K 1 .（2）373由于熱源的變化相同，式（ 2）給出的熵變也就是原來(lái)的不可逆過(guò)程中熱源的熵變。則整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)镾總S水S熱源184J K 1 .（3）為使水溫從 0 C 升至 100 C 而參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的熵保持不變，應(yīng)令水與

28、溫度分布在 0 C 與 100 C 之間的一系列熱源吸熱。水的熵變S水 仍由式（ 1）給出。這一系列熱源的熵變之和為S熱源373 mcp dT1 .（4）2731304.6J KT參與過(guò)程的整個(gè)系統(tǒng)的總熵變?yōu)镾總S水S熱源0.（5）精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝1.1810A 的電流通過(guò)一個(gè) 25的電阻器，歷時(shí)1s。（a）若電阻器保持為室溫27 C ，試求電阻器的熵增加值。（b）若電阻器被一絕熱殼包裝起來(lái)，其初溫為27 C ，電阻器的質(zhì)量為 10g，比熱容 cp 為 0.84 J g 1 K 1 , 問(wèn)電阻器的熵增加值為多少？解：（a）以 T , p 為電阻器的狀態(tài)參量。設(shè)想

29、過(guò)程是在大氣壓下進(jìn)行的，如果電阻器的溫度也保持為室溫 27 C 不變，則電阻器的熵作為狀態(tài)函數(shù)也就保持不變。（b）如果電阻器被絕熱殼包裝起來(lái)， 電流產(chǎn)生的焦耳熱 Q 將全部被電阻器吸收而使其溫度由 Ti 升為 Tf ，所以有mcp (TfTi )i 2 Rt,故Tfi2 Rt102251600K.Ti30010 20.48103mcp電阻器的熵變可參照1.17 例二的方法求出，為T(mén)f mcp dTmcplnTf10236005.8J K1.STTi0.84 10 ln300Ti1.19均勻桿的溫度一端為T(mén)1 ，另一端為 T2 ，試計(jì)算達(dá)到均勻溫度 1 T1 T2 后的熵增。2解：以 L 表示桿

30、的長(zhǎng)度。桿的初始狀態(tài)是 l0端溫度為 T ，L端2l溫度為 T1 ，溫度梯度為 T1T2 （設(shè) T1T2 ）。 這是一個(gè)非平衡狀態(tài)。通L過(guò)均勻桿中的熱傳導(dǎo)過(guò)程，最終達(dá)到具有均勻溫度1 T1 T2 的平衡狀2態(tài)。為求這一過(guò)程的熵變， 我們將桿分為長(zhǎng)度為dl 的許多小段，如圖所示。位于 l 到 ldl 的小段，初溫為T(mén) T2T1 T2 l .（1）L精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝這小段由初溫 T 變到終溫 1T1T2 后的熵增加值為2T1 T2dSlcp dl2TdTT1T22,（2）cp dllnT2TT1lT2L其中 cp 是均勻桿單位長(zhǎng)度的定壓熱容量。根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均

31、勻桿的熵增加值為SdSlLT1T2T1 T2 lcplnln T2dl02LT1T2cpT1T2T1T2T1T2Ll ln T2llcp L ln2T1T2T2LT2LL0LTTcp LT1 ln T1 T2 ln T2 T1T2cp L ln 122T1T2C p ln T1T2T1 ln T1T2 ln T21 .2T1T2（3）式中 Cpc p L 是桿的定壓熱容量。1.20一物質(zhì)固態(tài)的摩爾熱量為Cs ，液態(tài)的摩爾熱容量為Cl .假設(shè) Cs 和 Cl 都可看作常量 . 在某一壓強(qiáng)下， 該物質(zhì)的熔點(diǎn)為 T0 ，相變潛熱為 Q0 . 求在溫度為 T1 T1 T0 時(shí)，過(guò)冷液體與同溫度下固體的

32、摩爾熵差. 假設(shè)過(guò)冷液體的摩爾熱容量亦為 Cl .解: 我們用熵函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算. 以T , p 為狀態(tài)參量 .在討論固定壓強(qiáng)下過(guò)冷液體與固體的熵差時(shí)不必考慮壓強(qiáng)參量的變化. 以a 態(tài)表示溫度為 T1 的固態(tài)， b 態(tài)表示在熔點(diǎn) T0 的固態(tài) . b, a兩態(tài)的摩爾熵差為（略去摩爾熵 Sm 的下標(biāo) m 不寫(xiě)）SbaT0 C sdTC sln T0 .（1）T1TT1精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝以 c 態(tài)表示在熔點(diǎn) T0 的液相， c，b 兩態(tài)的摩爾熵差為ScbQ0 .（2）T0以 d 態(tài)表示溫度為 T1 的過(guò)冷液態(tài)， d，c 兩態(tài)的摩爾熵差為SdcT1 Cl dTCl

33、ln T1 .（3）T0TT0熵是態(tài)函數(shù)， d，c 兩態(tài)的摩爾熵差 Sda為SdaSdcScdSbaC lnT1Q0Cln T0lT0T0sT1Q0CsCl ln T0 .（4）T0T11.21物體的初溫 T1 ，高于熱源的溫度T2 ，有一熱機(jī)在此物體與熱源之間工作，直到將物體的溫度降低到 T2 為止，若熱機(jī)從物體吸取的熱量為 Q，試根據(jù)熵增加原理證明，此熱機(jī)所能輸出的最大功為WmaxQT2 ( S1S2 )其中 S1S2 是物體的熵減少量。解：以Sa ,Sb 和Sc 分別表示物體、 熱機(jī)和熱源在過(guò)程前后的熵變。由熵的相加性知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)镾SaSbSc.由于整個(gè)系統(tǒng)與外界是絕熱的，熵增加

34、原理要求SSaSbSc 0.（1）以 S1, S2 分別表示物體在開(kāi)始和終結(jié)狀態(tài)的熵，則物體的熵變?yōu)镾aS2S1.（2）熱機(jī)經(jīng)歷的是循環(huán)過(guò)程， 經(jīng)循環(huán)過(guò)程后熱機(jī)回到初始狀態(tài)， 熵變?yōu)榱?，即Sb0.（3）以 Q 表示熱機(jī)從物體吸取的熱量， Q 表示熱機(jī)在熱源放出的熱量， W 表示熱機(jī)對(duì)外所做的功。 根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有QQW ,精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝所以熱源的熵變?yōu)镾cQQ W .（4）T2T2將式（ 2）（ 4）代入式（ 1），即有S2QW（5）S10.T2上式取等號(hào)時(shí)，熱機(jī)輸出的功最大，故WmaxQ T2S1 S2.（6）式（ 6）相應(yīng)于所經(jīng)歷的過(guò)程是可逆過(guò)程。1

35、.22有兩個(gè)相同的物體，熱容量為常數(shù)，初始溫度同為T(mén)i 。今令一制冷機(jī)在這兩個(gè)物體間工作，使其中一個(gè)物體的溫度降低到T2 為止。假設(shè)物體維持在定壓下，并且不發(fā)生相變。試根據(jù)熵增加原理證明，此過(guò)程所需的最小功為T(mén)i 2WminCp T2 T2 2Ti解：制冷機(jī)在具有相同的初始溫度Ti 的兩個(gè)物體之間工作，將熱量從物體 2 送到物體 1, 使物體 2 的溫度降至 T2 為止。以T1 表示物體 1 的終態(tài)溫度， C p 表示物體的定壓熱容量，則物體 1 吸取的熱量為Q1C p T1Ti（1）物體 2 放出的熱量為2Cpi2（2）QTT經(jīng)多次循環(huán)后，制冷機(jī)接受外界的功為WQ1Q2Cp T1 T22Ti

36、（3）由此可知，對(duì)于給定的 Ti 和 T2，T1 愈低所需外界的功愈小。用 S1, S2 和 S3 分別表示過(guò)程終了后物體 1，物體2 和制冷機(jī)的熵變。由熵的相加性和熵增加原理知，整個(gè)系統(tǒng)的熵變?yōu)镾S1S2S30（4）顯然精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝S1C p ln T1 ,TiS2C p ln T2 ,TiS30.因此熵增加原理要求S C p ln TT1 20,Ti2或TT1 21,Ti2對(duì)于給定的 Ti 和 T2 ，最低的 T1 為T(mén)1Ti2,T2代入（ 3）式即有Ti 2WminC p T2 T2 2Ti式（ 7）相應(yīng)于所經(jīng)歷的整個(gè)過(guò)程是可逆過(guò)程。（5）（6）（7）

37、1.23 簡(jiǎn)單系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立參量。 如果以 T, S 為獨(dú)立參量，可以以縱坐標(biāo)表示溫度 T ，橫坐標(biāo)表示熵 S ，構(gòu)成 T S 圖。圖中的一點(diǎn)與系統(tǒng)的一個(gè)平衡態(tài)相對(duì)應(yīng)， 一條曲線(xiàn)與一個(gè)可逆過(guò)程相對(duì)應(yīng)。 試在圖中畫(huà)出可逆卡諾循環(huán)過(guò)程的曲線(xiàn)， 并利用 T S 圖求可逆卡諾循環(huán)的效率。解： 可逆卡諾循環(huán)包含兩個(gè)可逆等溫過(guò)程和兩個(gè)可逆絕熱過(guò)程。在 TS精品文檔資料收集于網(wǎng)絡(luò)如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝圖上，等溫線(xiàn)是平行于 T 軸的直線(xiàn)。 可逆絕熱過(guò)程是等熵過(guò)程，因此在 T S 圖上絕熱線(xiàn)是平行于 S軸的直線(xiàn)。 圖 1-5 在T S 圖上畫(huà)出了可逆卡諾循環(huán)的四條直線(xiàn)。（一）等溫膨脹過(guò)程工作物質(zhì)經(jīng)等溫膨脹過(guò)程（溫度為 T