數(shù)學(xué)舊教材回歸課本篇

1、基礎(chǔ)知識(shí)及習(xí)題一、集合與簡(jiǎn)易邏輯1.研究集合問(wèn)題，一定要抓住集合的代表元素，如：與及2.數(shù)形結(jié)合是解集合問(wèn)題的常用方法，解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問(wèn)題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決；3.一個(gè)語(yǔ)句是否為命題，關(guān)鍵要看能否判斷真假，陳述句、反詰問(wèn)句都是命題，而祁使句、疑問(wèn)句、感嘆句都不是命題；4.判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。原命題與其逆否命題是等價(jià)命題 ，逆命題與其否命題是等價(jià)命題 ，一真俱真，一假俱假，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可考慮判斷其等價(jià)命題的真假；5.判斷命題充要條件的三種方法：（1）定義法；（2）利用集合間的包含關(guān)系判

2、斷，若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；（3）等價(jià)法：即利用等價(jià)關(guān)系判斷，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法；6.（1）含n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為，真子集（非空子集）個(gè)數(shù)為1；（2） （3）二、函數(shù)（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知的定義域?yàn)閍，b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出即可；若已知fg(x)的定義域?yàn)閍,b,求 f(x)的定義域，相當(dāng)于xa,b時(shí)，求g(x)的值域（即 f(x)的定義域）；研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定；（1）若f(x)是偶函數(shù)，那么f

3、(x)=f(x)=;（2）若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則（可用于求參數(shù)）；（3）判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)±f(-x)=0或（f(x)0）; (4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡(jiǎn)，再判斷其奇偶性；（5）奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；3.函數(shù)圖像（或方程曲線的對(duì)稱(chēng)性）(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心（對(duì)稱(chēng)軸）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖像上；（2）證明圖像C1與C2的對(duì)稱(chēng)性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心（對(duì)稱(chēng)軸）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在C2上，反之亦然；（3）曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y

4、=-x+a)的對(duì)稱(chēng)曲線C2的方程為f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);（4）曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）的對(duì)稱(chēng)曲線C2方程為：f(2ax,2by)=0;（5）若函數(shù)y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(a+x)=f(ax)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)；（6）函數(shù)y=f(xa)與y=f(bx)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)；(1)y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(x +a)=f(xa) 或f(x2a )=f(x) (a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（2）若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（3）若y

5、=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；（4）若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱(chēng)，則f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（5）y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(ab)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；（6）y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2的周期函數(shù)；5.方程k=f(x)有解kD(D為f(x)的值域)；f(x) 恒成立af(x)max,; af(x) 恒成立af(x)min;7.（1） (a>0,a1,b>0,nR+); (2) l og a N=( a>

6、0,a1,b>0,b1);(3) l og a b的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶; (4) a log a N= N ( a>0,a1,N>0 );8.能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。9.判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：（1）A中元素必須都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；10.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；（3）定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)；（5）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性；(5) y=

7、f(x)與y=f-1(x)互為反函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽，則有ff-1(x)=x(xB),f-1f(x)=x(xA).11.處理二次函數(shù)的問(wèn)題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問(wèn)題用“兩看法”：一看開(kāi)口方向；二看對(duì)稱(chēng)軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系；12.恒成立問(wèn)題的處理方法：（1）分離參數(shù)法；（2）轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解；13.依據(jù)單調(diào)性，利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類(lèi)參數(shù)的范圍問(wèn)題：(或（或）；的圖象和性質(zhì)；函數(shù)(b ac0)）定義域值域奇偶性非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性當(dāng)b-ac>0時(shí):分別在上單調(diào)遞減；當(dāng)b-ac<0時(shí):分

8、別在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；圖象yxox=cy=axyo15實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根的分布問(wèn)題：根的情況等價(jià)命題在上有兩根在上有兩根在和上各有一根充要條件注意：若在閉區(qū)間討論方程有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開(kāi)區(qū)間上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，在令和檢查端點(diǎn)的情況。三、數(shù)列1.由Sn求an，an= 注意驗(yàn)證a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要單獨(dú)列出。一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題均可考慮用上述公式；2.等差數(shù)列；3.等比數(shù)列； 4.首項(xiàng)為正（或?yàn)樨?fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或最?。﹩?wèn)題，轉(zhuǎn)化為解不等式解決；5.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，

9、前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，勿忘分類(lèi)討論思想；6. 在等差數(shù)列中，；在等比數(shù)列中，;7. 當(dāng)時(shí)，對(duì)等差數(shù)列有；對(duì)等比數(shù)列有；8.若an、bn是等差數(shù)列，則kan+pbn(k、p是非零常數(shù))是等差數(shù)列；若an、bn是等比數(shù)列，則kan、anbn等也是等比數(shù)列；9. 若數(shù)列為等差（比）數(shù)列，則也是等差（比）數(shù)列；10. 在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，（即）； 11.若一階線性遞歸數(shù)列an=kan1+b（k0,k1）,則總可以將其改寫(xiě)變形成如下形式:(n2)，于是可依據(jù)等比數(shù)列的定義求出其通項(xiàng)公式；（一上）習(xí)題一、 選擇題1如果X = ，那么(2003版 一上40頁(yè)例1

10、(1)(A) 0 Í X (B) 0 Î X (C) F Î X(D) 0 Í X2ax2 + 2x + 1 = 0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是(2003版一上43頁(yè)B組6)(A)0<a1 (B) a<1(C) a1(D) 0<a1或a<03命題p：“a、b是整數(shù)”，是命題q：“ x 2 + ax + b = 0 有且僅有整數(shù)解”的(A) 充分不必要條件 (B) 必要不充分條件(C) 充要條件(D) 既不充分也不必要條件4若y = x + b與y = ax + 3互為反函數(shù)，則 a + b =(A) 2 (B) 2 (C) 4 (

11、D) 105已知x + x 1 = 3，則 + 的值為(A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 46下列函數(shù)中不是奇函數(shù)的是(A) y = (B) y = (C) y = (D) y = log a 7下列四個(gè)函數(shù)中，不滿足f()的是(A) f(x) = ax + b (B) f(x) = x2 + ax + b (C) f(x) = (D) f(x) = lnx8已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和 Sn= an 1（a是不為0的實(shí)數(shù)），那么an(A) 一定是等差數(shù)列 (B) 一定是等比數(shù)列 (C) 或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列 (D) 既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列二、 填空題9設(shè)A =

12、，B =，則AB =_. (2003版 一上12頁(yè)例6) 10不等式1的解集是_. (2003版 一上43頁(yè)B組5(2)11已知A = ，B = ，且AB = R，則a的取值范圍是_. (2003版 一上43頁(yè)B組2) 12函數(shù)y = 的定義域是_；值域是_. 函數(shù)y =的定義域是_；值域是_. (2003版 一上102頁(yè)A組13)13已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a n = pn + q，其中p，q是常數(shù)，且，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？_ 如果是，其首項(xiàng)是_，公差是_. (2003版 一上113頁(yè)例4)14下列命題中正確的是 。（把正確的題號(hào)都寫(xiě)上）（1）如果已知一個(gè)數(shù)列的遞推公式，那么可以

13、寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng)；（2）如果an是等差數(shù)列，那么an2也是等差數(shù)列；（3）任何兩個(gè)不為0的實(shí)數(shù)均有等比中項(xiàng)；（4）已知an是等比數(shù)列，那么也是等比數(shù)列15顧客購(gòu)買(mǎi)一件售價(jià)為5000元的商品,如果采取分期付款,那么在一年內(nèi)將款全部付清的前提下,商店又提出了下表所示的幾種付款方案,供顧客選擇:方案類(lèi)別分幾次付清付款方法每期所付款額付款總額與一次性付款差額13次購(gòu)買(mǎi)后4個(gè)月第一次付款,再過(guò)4個(gè)月第二次付款,在過(guò)4個(gè)月第三次付款26次購(gòu)買(mǎi)后2個(gè)月第一次付款,再過(guò)2個(gè)月第二次付款購(gòu)買(mǎi)后12個(gè)月第6次付款.312次購(gòu)買(mǎi)后1個(gè)月第1次付款,過(guò)1個(gè)月第2次付款購(gòu)買(mǎi)后12個(gè)月第12次付款.注規(guī)定月利率為0

14、.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算說(shuō)明:1.分期付款中規(guī)定每期所付款額相同.2.每月利息按復(fù)利計(jì)算,是指上月利息要計(jì)入下月本金. (2003版 一上130頁(yè)研究性學(xué)習(xí))三、 解答題16如圖,有一塊半徑為R的半圓形鋼板,計(jì)劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀,它的下底AB是O的直徑,上底CDy和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)式,并求出它的定義域. 17已知函數(shù)y = (x Î R)(1)求反函數(shù) y =(x) ; (2)判斷函數(shù)y =(x) 是奇函數(shù)還是偶函數(shù). (2003版 一上102頁(yè)例2)18已知函數(shù)f(x) = loga(a>0, a 1)。(1)求f(x)的定義域；(2)求使f(x)>0的x取

15、值范圍。(2003版 一上99頁(yè)例3) 19已知Sn是等比數(shù)列 an 的前項(xiàng)和S3，S9，S6，成等差數(shù)列，求證a2，a8，a5成等差數(shù)列。(2003版 一上128頁(yè)例4) 20 在數(shù)列an中，a1 = 1，an+1 = 3Sn(n1)，求證：a2，a3，an是等比數(shù)列。(2003版 一上137頁(yè)B組5)21用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，對(duì)用一定量的水清洗演出一次的效果做如下規(guī)定：用1個(gè)單位量的水可清除蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多，洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還用農(nóng)藥殘留在蔬菜上.設(shè)用x單位的水清洗一次以后,蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f(x).(1)試規(guī)定f(0

16、)的值,并解釋其實(shí)際意義;(2)試根據(jù)假定寫(xiě)出函數(shù)f(x)應(yīng)該滿足的條件和具有的性質(zhì);(3)設(shè)f(x)=.現(xiàn)在a(a0)單位量的水,可以清洗一次.也可以把水平均分成2份后清洗兩次.哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?請(qǐng)說(shuō)明理由.( 2003版 一上98頁(yè)例2)（一上）習(xí)題參考答案DCBC BACC 9. (1,2) 10. (¥,3(2,5 11. (1,3) 12. ；(0，1)(1， + ¥) 。；0，1)13. 是、p + q、p 14. （1）（4） 15. 答案：看課本P130 16. 答案：看課本90頁(yè)例1 17. 答案：看課本P102例2 18.答案：參看

17、課本P99(應(yīng)做相應(yīng)變化) 19. 答案：看課本P128 21.看課本P98 例2四、三角函數(shù)1.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律記憶口訣：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.對(duì)于誘導(dǎo)公式，可用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”概括；3.記住同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟練掌握三角函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)；4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)題勿忘三內(nèi)角和等于1800，一般用正余弦定理實(shí)施邊角互化；(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于軸的直線，對(duì)稱(chēng)中心為圖象與軸的交點(diǎn)；正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是圖象和漸近線分別與軸的交點(diǎn)，但沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸。6.（1）正弦平方差公式：sin

18、2Asin2B=sin(A+B)sin(AB);（2）三角形的內(nèi)切圓半徑r=；（3）三角形的外接圓直徑2R=五、平面向量1.兩個(gè)向量平行的充要條件,設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),為實(shí)數(shù)。（1）向量式：ab(b0)a=b;（2）坐標(biāo)式：ab(b0)x1y2x2y1=0;2.兩個(gè)向量垂直的充要條件, 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：ab(b0)ab=0; （2）坐標(biāo)式：abx1x2+y1y2=0;a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2;其幾何意義是ab等于a的長(zhǎng)度與b在a的方向上的投影的乘積；4.設(shè)A（x1,x2）、B(x2,y2)

19、，則SAOB；5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2;（2）若a=(x,y),則a2=aa=x2+y2,;6.三角形中,正弦定理,余弦定理及面積公式.7.解斜三角形的四種基本類(lèi)型. (一下)習(xí)題1、若一個(gè)6000的角的終邊上有一點(diǎn)P(4 , a)，則a的值為(A) 4 (B) 4 (C) ± 4 (D) 2、 = (A) (B) ( C) (D) 3、= (2003版P38例3) (2006版P41例3)(A) (B) (C) (D) 4、cosa + sina = (2003版P39例5) (2006版P43例5)(

20、A) 2sin(+ a )(B) 2sin(+ a ) (C) 2cos (+ a )(D) 2cos(a )5、tan200 + tan400 + tan200 tan400 = _。 (2003版P40練習(xí)4(1) (2006版P44練習(xí)4(1)6、(1 + tan440)(1 + tan10) = _；(1 + tan430)(1 + tan20) = _；(1 + tan420)(1 + tan30) = _；(1 + tana )(1 + tanb ) = _ (其中a + b = 45 0)。 (2003版P89A組16) (2006版P98A組16)7、化簡(jiǎn)sin500(1 +

21、tan100) 。(2003版P43例3) (2006版P48例3)8、已知tana = ，則sin2a + sin2a = _。9、求證(1)1 + cosa =2cos2 ；(2) 1cosa =2sin2 ；(3) 1 + sina = (sin+cos )2 ；(4) 1sina = (sincos )2 ；(5) = tan2. (2003版P45例4) (2006版P49例4) (以上結(jié)論可直接當(dāng)公式使用，主要用來(lái)進(jìn)行代數(shù)式的配方化簡(jiǎn))。10、cos(p + a ) + cos(p a )(其中k Î Z) = _。(2003版P85例1) (2006版P93例1)11、

22、已知cos(+ x) = ，<x<，求的值。(2003版P92 B組10) (2006版P101 B組10)b a 12、如圖，三個(gè)相同的正方形相接，則a +b = . (2003版P89A組17) (2006版P98A組17)13、已知函數(shù)y = 3sin(2x + )，x Î R。(1) 用五點(diǎn)作圖法畫(huà)出簡(jiǎn)圖；(2) 如何變化可以得到函數(shù)y = sinx的圖象；(3) 寫(xiě)出其遞減區(qū)間；(4) 寫(xiě)出y取得最小值的x的集合；(5)寫(xiě)出不等式3 sin(2x + )>的解集。(2003版P64例4) (2006版P70例4)14、已知函數(shù)y = Asin(w x +

23、j )，x Î R (其中A>0，w >0)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)(函數(shù)取最大值的點(diǎn))為M(2,2)，與x軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為N(6,0)，求這個(gè)函數(shù)的解析式。(2003版P86例3) (P95例3) 15、下列各式能否成立？為什么？(A) cos2x = (B) sinxcosx = (C) tanx + = 2(D) sin3x = (2003版P90 A組25) (P99 A組25)y1x1O16、求函數(shù)y = 的定義域。(2003版P92B組12) (2006版P101B組12) 17、如圖是周期為2p 的三角函數(shù) y = f (x) 的圖象，則 f

24、 (x) 可以寫(xiě)成(A) sin 2 (1x) (B) cos (1x)(C) sin (x1)(D) sin (1x)18、與正弦函數(shù)關(guān)于直線x = p對(duì)稱(chēng)的曲線是 (A) (B) (C) (D)19、 x cos 1y sin 10的傾斜角是(A) 1(B) 1(C) 1(D) 120、函數(shù)在區(qū)間a，b是減函數(shù)，且，則函數(shù)上 (A)可以取得最大值A(chǔ)(B)可以取得最小值A(chǔ)(C)可以取得最大值A(chǔ)(D)可以取得最小值A(chǔ)21、已知, 為兩個(gè)單位向量，下列四個(gè)命題中正確的是(2003版P149A組2) (2006版P161A組2) (A) = (B) 如果 ，則 = (C) · = 1 (

25、D) 2 = 222、和向量 = (6,8)共線的單位向量是_。(2003版P150A組17) (2006版P162A組17)23、已知= (1,2)， = (3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，(1)k +與3垂直？(2) k +與3平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？(2003版P147例1) (2006版P158例1)24、已知 |1，|。（I）若/，求·；（II）若，的夾角為135°，求 | (2004廣州一模)25、已知sin=m sin(2+),且m1, ,+k (kZ),求證:tan(+)=.26、已知向量，兩兩所成的角相等，并且|=1,|=2,|=3.求向量+的長(zhǎng)度及與三已

26、知向量的夾角. (2003版P150 B組2) (2006版P163 B組2) (一下)習(xí)題參考答案14、BBDA；5、；6、2；7、1；8、1；10、(1)k (cosa sina )，k Î Z；11、；12、45°；13、解：(1) 參考課本答案(求周期列表描點(diǎn))；(2)參考課本答案(注意做相應(yīng)變化)；(3)遞減區(qū)間是kp + ，kp + ，k Î Z；(4) y取得最小值的x的集合是；(5) 。14、y = 2sin(x + ); 15、(A) 否 ; (B) 否 ; (C) 能; (D) 能; 16、(+ kp, + kp)(+ kp, + kp), k

27、 Î Z; 1721、DADDD 22、(, ),(, )23、(1)k = 19；(2)k = ，反向. 24、解：（I）/，若，共向，則 ·|， 若，異向，則·|。（II），的夾角為135°， ·|cos135°1，|2()2222·1221， 。25、略; 26、|+|=,與的夾角為150°,與的夾角為90°,與的夾角為30°,或|+|=6,與,的夾角都是0°.六、不等式1.掌握不等式性質(zhì)，注意使用條件；2.掌握幾類(lèi)不等式（一元一次、二次、絕對(duì)值不等式、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式）的

28、解法，尤其注意用分類(lèi)討論的思想解含參數(shù)的不等式；勿忘數(shù)軸標(biāo)根法，零點(diǎn)分區(qū)間法；3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b(a>0,b>0)時(shí)要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些變形，如；七、直線和圓的方程1.設(shè)三角形的三頂點(diǎn)是A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3）,則ABC的重心G為（）；1:A1x+B1y+C1=0與l2: A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0；3.兩條平行線Ax+By+C1=0與 Ax+By+C2=0的距離是；2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件 ：A=C0且B=0且D2+E24AF>

29、0；2+y2=r2上的點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為：x0x+y0y=r2;6.以A(x1，y2)、B(x2,y2)為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)+(yy1)(yy2)=0;7.求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：（1）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的約束條件列出不等式；（2）作出可行域，寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解；八、圓錐曲線方程1.橢圓焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為橢圓（a>b>0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2(c,0),則（e為離心率）；2.雙曲線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為雙曲線（a>0,b>0）上任一點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(-c,0),F2

30、(c,0),則:（1）當(dāng)P點(diǎn)在右支上時(shí)，；（2）當(dāng)P點(diǎn)在左支上時(shí)，；（e為離心率）；另：雙曲線（a>0,b>0）的漸近線方程為；3.拋物線焦半徑公式：設(shè)P（x0,y0）為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；y2=2px(p0)上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則；4.涉及圓錐曲線的問(wèn)題勿忘用定義解題；的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，0）；6.計(jì)算焦點(diǎn)弦長(zhǎng)可利用上面的焦半徑公式，一般地，若斜率為k的直線被圓錐曲線所截得的弦為AB， A、B兩點(diǎn)分別為A(x1，y1)、B(x2,y2)，則弦長(zhǎng) ,這里體現(xiàn)了解析幾何“設(shè)而不求”的解題思想；7.橢圓、雙曲線的通徑（最短弦）為，焦準(zhǔn)距為

31、p=，拋物線的通徑為2p，焦準(zhǔn)距為p; 雙曲線（a>0，b>0）的焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為b;8.中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓，雙曲線方程可設(shè)為Ax2+Bx21；2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）為AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),則有如下結(jié)論：（1）x1+x2+p;（2）y1y2=p2，x1x2=;（a>b>0）左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB，則，過(guò)右焦點(diǎn)的弦；2=2px(p0)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（，y0）,以簡(jiǎn)化計(jì)算;12.處理橢圓、雙曲線、拋物線的弦中點(diǎn)問(wèn)題常用代點(diǎn)相減法，設(shè)A(x1，y1)、B(x2,y2)為橢圓（a>b>0）上不同

32、的兩點(diǎn)，M(x0,y0)是AB的中點(diǎn)，則KABKOM=；對(duì)于雙曲線（a>0，b>0），類(lèi)似可得：KAB.KOM=；對(duì)于y2=2px(p0)拋物線有KAB13.求軌跡的常用方法：（1）直接法：直接通過(guò)建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成F(x,y)0，是求軌跡的最基本的方法；（2）待定系數(shù)法：所求曲線是所學(xué)過(guò)的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；（3）代入法（相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法）：若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1,y1)的變化而變化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲線上，則可先用x、y的代數(shù)式表示x1、y1，再將x1、y1

33、帶入已知曲線得要求的軌跡方程；（4）定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫(xiě)出方程；（5）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P（x,y）坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x、y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程。（二上）習(xí)題一、 選擇題1、下列命題中正確的是(A) ac2>bc2 Û a>b(B) a>b Û a3>b3(C) Û a + c>b + d(D) loga2<logb2<0 Û 0<a<b<12、如果關(guān)于x的不等式ax

34、2 + bx + c<0的解集是(m<n<0)，則關(guān)于x的不等式cx2bx + a>0的解集是 (二上P31B組7)(A) (B) (C) (D) 3、若x<0，則2 + 3x + 的最大值是 (二上P11習(xí)題4)(A) 2 + 4 (B) 2±4(C) 24(D) 以上都不對(duì)4、已知目標(biāo)函數(shù)z2xy，且變量x、y滿足下列條件： ，則(廣州抽測(cè)) （A） z最大值12，z無(wú)最小值 （B） z最小值3，z無(wú)最大值 （C） z最大值12，z最小值3 （D） z最小值，z無(wú)最大值5、將大小不同的兩種鋼板截成A、B兩種規(guī)格的成品，每張鋼板可同時(shí)解得這兩種規(guī)格的成

35、品的塊數(shù)如下表所示： 規(guī)格類(lèi)型鋼板類(lèi)型A規(guī)格B規(guī)格第一種鋼板21第二種鋼板13若現(xiàn)在需要A、B兩種規(guī)格的成品分別為12塊和10塊，則至少需要這兩種鋼板張數(shù)(廣州二模) (A)6 (B) 7 (C) 8(D) 96、 函數(shù)f(q ) = 的最大值和最小值分別是(二上P82習(xí)題11)(A) 最大值 和最小值0 (B) 最大值不存在和最小值 (C) 最大值 和最小值0 (D) 最大值不存在和最小值二、 填空題7、當(dāng)點(diǎn)(x，y)在以原點(diǎn)為圓心，a為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)(x + y，xy)的軌跡方程是_。(二上P89B組10) 8、過(guò)拋物線y2 = 2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、

36、B兩點(diǎn)，自A、B向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為A/、B/。則A/FB/ = _。 (二上P133B組2) 9、 人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離分別是r1，r2，則衛(wèi)星軌道的離心率 = _。(二上P133B組4)10、已知a>b>0，則a2 + 的最小值是_。16 (二上P31B組3)三、解答題11、兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件MBA = 2MAB，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。(二上P133B組5)12、設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍。13、已知ABC的三邊長(zhǎng)是a，b，c，且m為正數(shù)，求證

37、 + > 。(二上P17習(xí)題9)14、求證:. (二上P23 習(xí)題4)15、已知x是正數(shù), 且x1, nN*, 求證: (1+xn) (1+x)n2n+1xn. (二上P30 A組9)16、已知ab0,求的最小值. (二上P31 B組3)17、設(shè)a, b, c為ABC的三條邊,求證: a2+ b2+ c22(ab+bc+ca). (二上P31B組6)18、求證：到圓心距離為a(a0)的兩個(gè)相離定圓的切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的軌跡是直線. (二上P85例2)19、求由曲線x2+y2=|x|+|y|所圍成的圖形的面積. (二上P89B組9)20、設(shè)滿足y|xa|的點(diǎn)(x, y)的集合為A,滿足y|x|

38、的點(diǎn)(x, y)的集合為B,其中a、b為正數(shù),且AB. (1) a、b之間有什么關(guān)系? (2)求AB所表示的圖形的面積. (二上P89B組9)21、過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)P、Q, 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)M.求證:直線MQ平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸. (二上P123習(xí)題6)22、一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y26x91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程. (二上P128 例1)23、兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1, 0)、B(2, 0),動(dòng)點(diǎn)M滿足MBA=2MAB,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. (二上P133 B組5)24、求曲線y2+2x+4=0上與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn)

39、的坐標(biāo). (二上P133B組6)（二上）習(xí)題參考答案一、選擇題 16 BAC(注意符號(hào))B(注意虛實(shí))B(注意整點(diǎn))A(注意橫縱坐標(biāo)不要搞顛倒)二、填空題 7、x2 = a2 + 2y(axa)8、證明： 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，則A/(,y1)、B/(,y2)。 kA/F·kB/F = ， 又 y1y2 = p2 ， kA/F·kB/F = 1， A/FB/ = 900 .9、e = 10、解：由a>b>0知ab>0， b(ab) = ()2( )2 = 。 a2 + a2 + 2= 16。上式中兩個(gè)“”號(hào)中的等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

40、a2 = ，b = ab時(shí)都成立。即當(dāng)a = 2，b = 時(shí)，a2 + 取得最小值16。三、 解答題 11、解：設(shè)MBA = a ，MAB = b (a >0，b >0)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)。a = 2b ，tana = tan2b = . 當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，tana = ，tanb = ，所以 = ，即3x2y2 = 3。當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，tana = ，tanb = ，仍可得上面方程。又a = 2b ，| AM |>| BM | .因此點(diǎn)M一定在線段AB垂直平分線的右側(cè)，所求的軌跡方程為雙曲線3x2y2 = 3的右支，且不包括x軸上的點(diǎn)。12、解：； 時(shí)，時(shí)，。時(shí)

41、， 。13、證明： f(x) = (m>0) = 1在(0， + ¥)上單調(diào)遞增，且在ABC中有a + b > c>0， f(a + b)>f(c)， 即 > 。 又 a，b Î R*， + > + = ， + > 。另解：要證+ > ，只要證a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m)c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2abcacmbcmcm2>0，即abc + 2abm + (a + bc)m2&g

42、t;0，由于a,b,c為ABC的邊長(zhǎng)，m>0，故有a + b> c，即(a + bc)m2>0。所以abc + 2abm + (a + bc)m2>0是成立的，因此 + > 。14、提示: 放縮法. 15、提示: 1+xn2, 1+x2.16、提示: 2=16.(判斷等號(hào)!)17、a(bc)0，b(ca)0，c(ab)0，aa(bc)+bb(ca)+cc(ab)0，a2+ b2+ c22(ab+bc+ca). 18、看課本P85例2. 19、+2; 20、(1) ba; (2). 21、證明略. 22、看課本P128 例1. 23、3x2y2=3,(x1) 24、

43、(2,0)九、直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體1.從一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點(diǎn)A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；2. 已知:直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影AB成，設(shè)BAC=,則coscos=cos；4.異面直線所成角的求法：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；斜線和平面所成的

44、是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過(guò)斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；（2）三垂線法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；（4）射影法：利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此

45、方法不必在圖形中畫(huà)出平面角；特別:對(duì)于一類(lèi)沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算；（2）求點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；（3）求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來(lái)作，因此，確定已知面的垂面是關(guān)鍵；二是不作出公垂線，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；8.正棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底；9.已知:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2

46、=1; 若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;于其體對(duì)角線長(zhǎng)；11.球的體積公式V=，表面積公式；掌握球面上兩點(diǎn)A、B間的球面距離求法：（1）計(jì)算線段AB的長(zhǎng)，（2）計(jì)算球心角AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧的長(zhǎng)；十、排列組合二項(xiàng)式定理1.排列數(shù)公式:=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(mn,m、nN*),當(dāng)m=n時(shí)為全排列=n(n-1)21;2.組合數(shù)公式：（mn）,；3.組合數(shù)性質(zhì)：；4.常用性質(zhì)：n.n!=(n+1)!-n!;即（1rn）;5.二項(xiàng)式定理：（1）掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：（2）注意第r1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與第r1系數(shù)的

47、區(qū)別；6.二項(xiàng)式系數(shù)具有下列性質(zhì)：(1) 與首末兩端等距離的二項(xiàng)式系數(shù)相等；(2) 若n為偶數(shù)，中間一項(xiàng)（第1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；若n為奇數(shù)，中間兩項(xiàng)（第和1項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)最大；（3）7.F(x)=(ax+b)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為f(1);奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為；偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；十一、概率一.幾個(gè)基本概念1.必然事件,不可能事件,隨機(jī)事件2.一次試驗(yàn): 將事件的條件實(shí)現(xiàn)一次3.事件A的概率P(A) 在大量重復(fù)同一試驗(yàn)時(shí), 事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù),在它附近擺動(dòng),就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率,記做P(A). 0P(A)1.4.等可能性隨機(jī)事件 如果一次試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)(即此

48、試驗(yàn)由n個(gè)基本事件組成),而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等.5.互斥事件 不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件6.對(duì)立事件(A與) 其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件稱(chēng)為對(duì)立事件. 事件A的對(duì)立事件記做,且有P(A)+P()=1.7.獨(dú)立事件 事件A(或B)是否發(fā)生,對(duì)事件B (或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響. 若A與B相互獨(dú)立,則A與,與B, 與也相互獨(dú)立.例.(課本.P132. 練習(xí)1)一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,把“從中任意摸出1個(gè)球,得到白球”記做事件A.把“從剩下的3個(gè)球中 任意摸出1個(gè)球,得到白球”記做事件B.那么,在先摸出白球后,再摸出白球的概率是多少?在先摸出黑球后,再摸出白球的概率是多少?這里事件

49、A與事件B是相互獨(dú)立的嗎? (; ; A與B相互不獨(dú)立.)二.等可能性隨機(jī)事件概率的計(jì)算1.先進(jìn)行等可能基本事件劃分,計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)n;2.計(jì)算事件A包含基本事件的個(gè)數(shù)m;3. P(A)= .三.事件運(yùn)算及其概率1.A+B: A與B至少有一個(gè)發(fā)生(1)若A與B互斥,則P(A+B)= P(A)+P(B)(2)若A1, A2, An彼此互斥,則P(A1+ A2+ An)= P(A1)+P(A2)+ P( An); 特別地,有P(A)=1P()2. A·B: A與B同時(shí)發(fā)生(1)若A與B相互獨(dú)立,則P(A·B)= P(A)·P(B)(2)若A1, A2, An相互獨(dú)立

50、,則P(A1 A2An)= P(A1)P(A2)P( An)(3)一般地,對(duì)于n個(gè)隨機(jī)事件A1, A2, An,有P(A1+A2+An)=1P()四.典型情況1.按試驗(yàn)特點(diǎn)分類(lèi)(1)無(wú)放回抽取試驗(yàn)- 若事件中,抽取有順序,則按排列計(jì)數(shù)基本事件個(gè)數(shù);若事件中,抽取無(wú)順序,則按組合計(jì)數(shù)基本事件個(gè)數(shù).(2)放回抽取試驗(yàn) (獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))-按乘法原理計(jì)數(shù)基本事件個(gè)數(shù).2.按事件特點(diǎn)分類(lèi)(1)抽簽問(wèn)題(P136.閱讀材料)-無(wú)放回抽取試驗(yàn)假定n張票中有2張獎(jiǎng)票(n2).n個(gè)人依次從中各抽1張,且后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果,那么第i個(gè)抽票者(i=1,2,n),抽取獎(jiǎng)票的概率是=,與抽票的順序無(wú)關(guān).(2)

51、 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,某事件恰有k次發(fā)生概率為Pn(k)=pk(1p)nk (k=0,1,2,n)其中p為一次試驗(yàn)中,某事件發(fā)生的概率(3)連續(xù)抽取直到某一事件發(fā)生為止 分“無(wú)放回”,“放回”兩種情況例.在10把各不相同的鑰匙中,依次任意取一把去開(kāi)一個(gè)門(mén)鎖,直到打開(kāi)為止.若已知其中恰有一把是此門(mén)鎖的鑰匙,在下面所列的條件之一下,計(jì)算在第3次恰好打開(kāi)的概率.(1)取出后,不放回; (2)取出后,放回)（二下）習(xí)題1、 確定一個(gè)平面的條件有：_。 2、 “點(diǎn)A在平面a 內(nèi)，平面內(nèi)的直線a不過(guò)點(diǎn)A”表示為_(kāi)。3、異面直線所成的角的范圍是_；直線與平面所成角的范圍是_；二面角的范圍是_；向量夾角的范圍

52、是_。4、 如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在_；經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜射線，設(shè)它和已知角兩邊的夾角為銳角且相等，這條斜線在平面內(nèi)的射影是_。(P31例3、P34習(xí)題11) 5、 四面體ABCD中，若ABCD，ACBD，則AD_BC；若ABAC，ACAD，ADAB，則A在平面BCD上的射影是BCD的_心；若ABAC，ACAD，則AD_AB；若AB = AC = AD，則A在平面BCD上的射影是BCD的_心；若四面體ABCD是正四面體，則AB_CD。6、 已知ab = CD，EAa ，垂足為A，EBb ，垂足為B，求證(1)CDAB；(2)二面角

53、a CDb + AEB = p 。(P33習(xí)題7) (如果兩異面直線與二面角的兩個(gè)面分別垂直，則異面直線所成的角與二面角相等(二面角為銳角或直角時(shí))或互補(bǔ)(二面角為鈍角時(shí))7、求證:用一平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角,所得截面是銳角三角形.(P86A組14)8、如圖,有一軸截面為正三角形的圓錐形容器,內(nèi)部盛水的高度為h,放入一個(gè)球后,水面恰好與球相切,求球的半徑. (P87B組8)9、 已知OA、OB、OC兩兩所成的角都為600，則OA與平面BOC所成角的余弦為_(kāi)。10、已知兩條異面直線所成的角為q ，在直線a、b上分別取E、F，已知A/E = m，AF = n，EF = l，求公垂線段AA/的長(zhǎng)d。

54、11、已知球面上的三點(diǎn)A、B、C，且AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，球的半徑為13cm。求球心到平面ABC的距離。(P76習(xí)題3) 12.如果直線AB與平面a 相交于點(diǎn)B，且與a 內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的三條直線BC、BD、BE所成的角相等，求證ABa 。13、一條線段夾在一個(gè)直二面角的兩個(gè)面內(nèi)，它和兩個(gè)面所成的角都是300，求這條線段與這個(gè)二面角的棱所成的角。14、P、A、B、C是球面O上的四個(gè)點(diǎn)，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA = PB= PC = 1，求球的體積和表面積。(P83 例2) 15、求證：(P103習(xí)題10)16、 = _。 (P122習(xí)題10)17、 = _(n為偶數(shù)) 。18、甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題