“用二分法求方程的近似解”教學(xué)設(shè)計

1、用二分法求方程的近似解教學(xué)設(shè)計一、教材分析：本節(jié)是人教A版普通高中標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書數(shù)學(xué)1(必修)第三章“函數(shù)的應(yīng)用”中第一節(jié)“函數(shù)與方程”的第二塊內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了集合與函數(shù)概念、基本初等函數(shù)后，研究函數(shù)與方程關(guān)系的內(nèi)容。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是：結(jié)合函數(shù)大致圖象，能夠借助計算器用二分法求出相應(yīng)方程的近似解，理解二分法的思想及了解這種方法是求方程近似解的常用方法。本節(jié)內(nèi)容是課標(biāo)教材中新增的內(nèi)容。在初中，學(xué)生學(xué)習(xí)了簡單的一元一次方程和一元二次方程等簡單方程的求根問題，但是實際問題中，有具體求根公式的方程是很少的。對于這類方程，我們只能根據(jù)根的存在性定理判斷根的存在，在利用二分法可以求出方程給定精確度的近似

2、解。經(jīng)過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，將使學(xué)生更加深入理解函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想。二、設(shè)計意圖與學(xué)情分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的時候可能會對二分法的本質(zhì)理解不夠透徹，特別是在“循環(huán)迭代與替換區(qū)間端點”這一環(huán)節(jié)的理解上相對比較困難，對精確的理解耶比較困難。同時在運算過程中，數(shù)值較繁瑣，這些都使學(xué)生對本節(jié)的學(xué)習(xí)與理解產(chǎn)生較大的阻礙，在課前應(yīng)給學(xué)生提前預(yù)習(xí)，以做好思想準(zhǔn)備。學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了“方程的根與函數(shù)的零點”，理解函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，并具有一定的數(shù)形結(jié)合思想，這些成為本節(jié)知識學(xué)習(xí)的生長點，在用二分法求近似解的步驟中又滲透著算法思想，為今后的算法內(nèi)容學(xué)習(xí)埋下伏筆。但是學(xué)生對動態(tài)與靜態(tài)的認(rèn)識薄

3、弱，對于函數(shù)與方程的聯(lián)系缺乏一定的認(rèn)識，這些都給學(xué)生在縮小零點所在區(qū)間的過程造成一定的難度。因此在教學(xué)中應(yīng)該多給學(xué)生動手的機(jī)會，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)熟悉的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察，計算，思考和總結(jié)，使他們理解問題背后的本質(zhì)從而得出結(jié)論三、教學(xué)目標(biāo)：(1)理解二分法的基本思想，能夠借助計算器用二分法求給定方程滿足一定精確度的近似解；(2)引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和計算體會二分法，感受函數(shù)與方程的思想，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體會近似思想、逼近思想、算法思想；(3)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，形成正確的數(shù)學(xué)觀，通過生活實例培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。四、教學(xué)重點:理解二分法的基本思想，把找方程近

4、似解轉(zhuǎn)化為縮小函數(shù)零點所在區(qū)間，對函數(shù)與方程的關(guān)系及化歸思想有更深入的認(rèn)識。教學(xué)難點：對精確度的理解，用二分法求近似解中，在不斷縮小區(qū)間時，對區(qū)間端點的循環(huán)迭代替換的理解.五、教學(xué)支持條件分析將問題導(dǎo)學(xué)法、討論法、游戲體驗法等多種教學(xué)方法有機(jī)結(jié)合，并結(jié)合多媒體手段，組織學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，合作交流完成本節(jié)的內(nèi)容。學(xué)生的課前準(zhǔn)備：1復(fù)習(xí)前一節(jié)課的內(nèi)容，熟悉連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判斷方法；2準(zhǔn)備好科學(xué)計算器，熟悉科學(xué)計算器的使用；3完成老師發(fā)給的導(dǎo)學(xué)案(附件中)。教師的教學(xué)準(zhǔn)備：將上課內(nèi)容制作成課件。六、教學(xué)過程：(一)復(fù)習(xí)引入上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系，也學(xué)習(xí)了方程的根的

5、存在性定理。我們一起來回憶一下：1 .方程的根與函數(shù)的零點有什么關(guān)系？答：方程的根是相應(yīng)函數(shù)的零點，函數(shù)的零點是相應(yīng)方程的根。求一個方程的解時，如果直接從方程角度入手難度較大時，我們可以嘗試從“求函數(shù)的零點”入手。2 .還記得根的存在性定理嗎？答：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)'f(b)<0那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，這個零點也是方程f(x)=0的根.【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生復(fù)習(xí)的習(xí)慣，對上節(jié)課的復(fù)習(xí)為本節(jié)的學(xué)習(xí)提供了知識保障。(二)新課講授在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，解方程將是我們經(jīng)常遇到的問題。問題1：你會求下列方程的根嗎？.2x

6、1=3;.3x2-2x-1=0;(3).lnx2x-6=0.【設(shè)計意圖】從學(xué)生熟悉的方程入手，引入求方程根的話題，引起學(xué)生的認(rèn)識沖突，激起進(jìn)一步探究的欲望.對于前兩個方程，學(xué)生很快找出解決辦法，最后一個方程學(xué)生無法根據(jù)之前學(xué)過的知識進(jìn)行求解，從方程角度入手不知如何下手，這時教師適時點撥引導(dǎo)：當(dāng)從方程角度直接入手難以求出方程的根時，我們可以轉(zhuǎn)化為求該方程相應(yīng)函數(shù)的零點的問題。方程lnx+2x6=0相應(yīng)的函數(shù)是f（x）=lnx+2x6,由課本88頁例1我們知道函數(shù)f（x）=lnx+2x6在區(qū)間（2,3）內(nèi)有唯一零點，這一節(jié)課的重點就是如何找出這個零點的位置。例求方程lnx+2x6=0的近似解.（精

7、確度為0.01）教師引導(dǎo)分析：根據(jù)前面我們的分析，我們可以將“求方程lnx+2x-6=0的近似解”問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢液瘮?shù)f（x）=lnx+2x6在區(qū)間（2,3）內(nèi)的近似零點”問題。問題2：那么怎么找出這個近似零點呢?,這樣一來問題更【設(shè)計意圖】進(jìn)一步理清思路，明確問題，使問題由“求”變?yōu)椤罢摇本哂杏螒虻奈兜?，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在“找”這個零點之前，我們先來玩?zhèn)€小游戲:前兩天我剛剛買了個手機(jī)，為了游戲更有趣，我暫且不能告訴大家是什么牌子，我只能50元以內(nèi)的價錢？注意啊,25003000元，此時還不能25002750元，此時還不能告訴大家這個手機(jī)的價位是20003000元，如果我給大家6次猜價的機(jī)會

8、，我只能告訴大家猜的價格比真實值多或少，大家能否猜出與手機(jī)真實價錢的誤差在你們的機(jī)會只有6次!第一次猜價：2500元，教師提示少了，手機(jī)價錢范圍縮小到確保誤差小于50元（為什么？）；第二次猜價：2750元，教師提示多了，手機(jī)價錢范圍縮小到確保誤差小于50元（為什么？）；一次類推到第五次的時候，學(xué)生成功的猜出誤差在50以內(nèi)的價錢。游戲結(jié)束。問題引導(dǎo)總結(jié)：問題3:大家如何猜誤差在50元內(nèi)的價格？問題4:猜價過程當(dāng)中，大家發(fā)現(xiàn)手機(jī)價錢的范圍有什么變化？問題5:我們?yōu)槭裁床碌降?次就停止？經(jīng)過三個問題的引導(dǎo)，大家很快便總結(jié)出猜價格的方法：不斷取中點值與真實值比較,懂得判斷真實值所屬區(qū)間，區(qū)間長度不斷縮

9、短，直到“猜值”與真實值的最大誤差小于50元為止。這種方法在數(shù)學(xué)中我們叫做“二分法”【設(shè)計意圖】使學(xué)生更加輕松有趣的學(xué)習(xí)，通過猜價格游戲來引出二分法的概念，讓學(xué)生更容易接受二分法的思想和體會到學(xué)習(xí)二分法的顯示使用價值，借此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.回到“例求方程lnx+2x6=0的近似解.(精確度為0.01)”。問題6：利用剛才我們猜價格的方法，借助計算器，你能“找函數(shù)f(x)=lnx+2x6在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似零點(精確度為0.0.1)”嗎？【設(shè)計意圖】從游戲把學(xué)生拉回本節(jié)主題，把游戲和本例的解決過程融合到一起對比分析比較，使學(xué)生真正的理解二分法的本質(zhì).模仿猜價格的方法，學(xué)生很快找出“尋找

10、近似零點”的方法，注意鼓勵學(xué)生用通俗的語言概括上面求方程近似解的方法的思想，理解二分法的本質(zhì)內(nèi)涵。給出教材上的規(guī)范的定義。(結(jié)論歸納)1 .二分法的定義對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷，且f(a),f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)y=f(x)的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似解(或?qū)?yīng)方程的近似根)的方法叫做二分法注：結(jié)合例題來理解二分法的定義。2 .利用二分法求方程近似解的步驟:1 .確定初始區(qū)間，驗證f(a)f(b)<0、一，ab2 .求區(qū)間的中點x1=ab23 .計算:f(x1)判斷:如果f(泡=0,則x1就是f(x)的零點，計算

11、終止;(2)如果f(a)f(x1)<0,則令b=x1(此時零點x°C(a,x。中);如果f(a)f(x1)>0,則令a=x1(此時零點x。C(x1,b);4 .判斷是否達(dá)到精確度e：即若最終區(qū)間長度小于£，則得到零點近似值是(a,b)區(qū)間內(nèi)的一點；否則重復(fù)24步驟。3.口訣定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看。同號去，異號算，零點落在異號間。周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷?！驹O(shè)計意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)用二分法求方程近似解的思維過程，歸納解題步驟，使學(xué)生由經(jīng)驗水平上升到理論水平。通過歸納總結(jié)形成二分法的理論知識，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。(三)、課堂練習(xí)

12、課堂練習(xí)1:下列函數(shù)中能用二分法求零點的是()ABcD問題7:根據(jù)練習(xí)，請思考用二分法求零點的條件是什么？【設(shè)計意圖】讓學(xué)生辨析什么情況下事宜用二分法求零點，辨析過程也是學(xué)生認(rèn)識完善的過程。課堂練習(xí)2:用二分法求函數(shù)y=f(x)在xw(1,2)內(nèi)零點近似值的過程中得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,則零點落在區(qū)間()A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能確定【設(shè)計意圖】進(jìn)一步鞏固如何判斷零點所屬區(qū)間的方法。課堂練習(xí)3：計算函數(shù)f(x)=x3+x2-2x-2的一個正零點近似值，列表如下：中點坐標(biāo)中點函數(shù)值取區(qū)間1,2x=1.5f(x)>01,1.5x1=1.25f(xj<01.25,1.5x2=1.375f(x2)<01.375,1.5x3=1.4375f(x3)>01.375,1.4375x4=1.40625f（X4）<01.40625,1.4375若精確度為0.1,結(jié)果是。【設(shè)計意圖】進(jìn)一步理解二分法的定義及解題步驟，理解精確度的含義。（四）、課堂小結(jié)問題8:這節(jié)課你有哪些收獲？（二分法的定義；用二分法求方程近似解的步驟）教師補(bǔ)充：*八方程的標(biāo)似解滿孝焉）1尋找解所在的西方.不斷二分解所在的區(qū)前1