一維小粗糙度表面上方物體的波散射

1、一維小粗糙度表面上方物體的波散射    摘 要: 本文應用隨機泛函方法研究一維小粗糙度表面上方物體的波散射。由粗糙表面的隨機格林函數(shù)以及邊界條件，可以將物體和粗糙面相聯(lián)系，從而簡化分析過程。本文計算了小粗糙度表面上方一個圓柱的非相干散射(包括Dirichlet和Neumann邊界條件)角分布，結果證明粗糙面上方的物體會使后向散射顯著增強，在Neumann邊界條件時由于表面波的存在這一現(xiàn)象尤為明顯。關鍵詞: 隨機格林函數(shù) 隨機粗糙面上方的物體 后向散射增強中圖分類號: O441.41 引言已有各種嚴格或者近似的理論研究粗糙表面的后向散射增強現(xiàn)象，同時實驗上

2、也觀察到了這種現(xiàn)象。后向散射增強的主要機理是多重散射波的相干干涉。對于粗糙度很小的粗糙面，這種現(xiàn)象主要歸因于作為中間散射過程的穩(wěn)定或者不穩(wěn)定的表面電磁波的參與。本文證明了在小粗糙度表面上方的物體會產(chǎn)生顯著的后向散射增強，這一現(xiàn)象可以成為判斷粗糙面上方是否存在物體的一個重要判據(jù)。事實上，由于地球科學和醫(yī)學生理學上的大量應用，對于探測不同表面上方的物體的興趣正在持續(xù)增加，并且兩種不同介質(zhì)的分界面上方一個物體的散射1-4或者多個物體的散射5-8也已經(jīng)是許多研究的課題。這些研究雖然絕大多數(shù)是基于隨機粗糙表面的數(shù)值模擬，沒有牽涉到近似，但是這些數(shù)值模擬只能針對有限長的粗糙面，并且當被照射表面的邊長大于1

3、0時這種計算是非常耗時的。另一方面，對于這些散射問題同樣也能使用解析方法求解。與數(shù)值計算方法不同，解析方法局限于經(jīng)典的幾何條件或者在經(jīng)典的幾何條件作微擾的情況下。然而解析方法由于不需要幾何上的數(shù)值離散化而體現(xiàn)其價值，并且能夠為數(shù)值計算方法提供標尺。另外，通過解析方法分析散射過程能加深對散射機理的基本認識。文獻9提出了一個絕緣圓柱和輕微粗糙面之間散射問題的解析解，而文獻10用解析方法解決了埋在粗糙面下的絕緣圓柱體的散射問題，文章中用到了微擾法，但是結果中沒有顯示出后向散射增強現(xiàn)象。本文采用隨機泛函方法研究小粗糙度表面上方一個物體的散射問題(圖1)。這種方法已經(jīng)被證明在處理各種小粗糙度表面的波散射

4、情況下的后向散射增強問題11-14和波的局域化15-16以及在大粗糙度表面散射問題17都非常有效。特別地，該方法可以很簡單地推導出小粗糙度表面的隨機格林函數(shù)，利用隨機格林函數(shù)可以大大地簡化小粗糙度表面與物體之間相互作用的散射分析。本文以小粗糙度表面上方一個圓柱的散射角分布的推導計算作為應用的例子，并且證明了小粗糙度表面上方圓柱的存在可以顯著地增強后向散射的效應，尤其是在Neumann邊界條件時。_* 基金項目: 國家973項目(2001CB309401-5)1小粗糙度表面的散射圖1 散射問題的幾何模型平面波的隨機散射 考慮二維空間下笛卡爾坐標,以及柱坐標),(zx),(r。假設一維粗糙面均值為

5、)(),(xfxfz=0=z，入射平面波為入射方向為()i0krire=),(000=k0，)(0，2)(。入射波在粗糙面上方產(chǎn)生的波場用隨機Floquet理論可以表示為:00000(,;|)(,|)ixizizxxzeeeUz=mm (1)00(,|)(,|xnnUzUz= (2)11()(0(,|)niinUze+=xxLLL$101(,)(),()nnnnL,2,1,0=n× (3)00(,;)(,)iszeUTzxxxm (4)其中，s表示由于粗糙表面所造成的散射波，其中(1)和(4)中的復合符號分別對應于Dirichlet和Neumann邊界條件。m1(,.,)nnA表示n

6、階Wiener核，并且10(A關于其n個變量1(,.,)n是對稱的。表示關于復高斯變量的復Hermite 多項式。 $nhWiener核的近似解 對于小粗糙度表面，文獻13已經(jīng)得到Wiener核最高至二階的近似解。如果為了描述僅僅由粗糙面造成的后向散射增強，需要二階Wiener核，但是在目前的討論下它比由粗糙面上的物體造成的散射貢獻小。所以這里只給出零階和一階的Wiener核:對于Dirichlet邊界條件: )()(1)()(1)(1)(1)(0+=+=DDZZA (5) 2)()(1)()(1)(2)|(11111+=iFA (6) 2()|()|()1()()Fd + (7)對于Neum

7、ann邊界條件: )()()()()(1)(1)(0+=+=NNZZA (8) )()()()()()(2)|(1111211+=FkiA (9) 222|()|()()()kFd + (10)其中和分別對應Dirichlet和Neumann邊界條件下粗糙面的表面阻抗。 DZNZ小粗糙度表面的隨機格林函數(shù) 設),(000zxr=為源點，),(zxr=為場點，其中。隨機格林函數(shù)G滿足隨機粗糙表面的邊界條件和下式: 0,0>zz)()();,|,()(000022zzxxzxzxGk=+, (11) 0,0>zz00(,|,;)Gxzxz由非擾動項和擾動項 組成: 0GsG);,|,(

8、),|,();,|,(0000000zxzxGzxzxGzxzxGsm=, (12) 0,0>zz注意到(4)式中的s為波場的擾動分量，(1)式中0包括波場中的擾動分量和非擾動分量，波場中的非擾動部分可以從(1)和(4)得到:000ixizizunpeee=m (13)用unp和s的積分形式表示自由空間格林函數(shù)和0GsG: 001()()00,0(,)4()ixizzizzRieGxzxzeed+=m, (14) 0,zz>001()()00(,;)(,)4()10,0xRzz, > (15)其中，可以進一步劃分為相干分量和非相干分量: sGcgicg000000(,|,;)

9、(,|,)(,|,;)scicGxzxzgxzxzgxzxz+ (16)類似于(2)和(3)中的Wiener-Ito展開，和可以表示為: cgicg3001()()()000()1(,|,)4ixxizzcRAigxzxzed+= (17)(18) L+=1)()|,;,();,|,(110000RicdBzzxxKzxzxg+=dAeizzxxKzixizixi)|(4)|,;,(11)()()(1000011 (19)為表達簡單起見只保留到一階Wiener 核。由上式，總的相干分量為: 1AcG),|,(),|,(),|,(0000000zxzxgzxzxGzxzxGccm= deAeei

10、zzizzixxi+=)()(4)(0|)()(000m (20)其中，復合符號分別對應于Dirichlet和Neumann邊界條件。 m隨機格林函數(shù)的漸近形式 令sinrx=, cosrz=，)(sink=, )(cos)(k=其中 和 是頂角, 所以有:)()(=+krzx, )(cos)( (21)(17)-(19)式中的積分可以在kr用鞍點法作漸近估計 18-19。隨機格林函數(shù)的相干部分和非相干部分的漸近表達式為:),;,(),;,(),;,(0000000zxrgzxrGzxrGcc+=00/4coscossin01(sin)22ikriikzikzikxeeeAkekr+×

11、;m 0,/2/2,krz << > (22)000011(,|,;)(,;,|)()icgxzxzKxxzzdB 1010/4(sin)(sin)1111cos(22ikriikzikxkeeAkkr+ ×0,/2/2,krz << > (23)2小粗糙度表面上方物體的散射散射場 設物體的表面S和粗糙表面有相同的邊界條件，入射波為平面波。 物體的散射可以用隨機格林函數(shù));|(0rrG, ),(yxr=, ),(000yxr=來描述，由于);|(0rrG滿足隨機粗糙面的邊界條件所以粗糙表面的影響已經(jīng)包含在);|(0rrG中。包含了波矢量為),(00

12、, 202的入射波的初始場用隨機波場)|;(00r來描述，)|;(00r也已滿足粗糙面的dSnSSrGrrS+=);();|()|;();(00 (Dirichlet) (24) dSSnSrGrrS=);();|()|;();(00 (Neumann) (25)從中可以得到關于邊界值的積分方程。上述積分方程中的邊界值可以用數(shù)值方法或者迭代 過程來求解。本文采用最簡單的估計(0階迭代),即假設邊界值直接由初始場產(chǎn)生，所以有: dSnSSrGrrS+)|;();|()|;();(0000 (Dirichlet) (26) dSSnSrGrrS)|;();|()|;();(0000 (Neuman

13、n) (27)        其中的第二項關于物體表面的積分表示由物體產(chǎn)生的散射場，由于隨機格林函數(shù)包括了粗糙面引起的散射貢獻，所以粗糙面和物體之間的相互作用已經(jīng)自動包含在積分項中了。將波場中的相干成分和非相干成分再次分解得:)|;()|;()|;(0000rrrs+= (28)|;()|()|;(000000rrricc+= (29)|;()|()|;(000rrricscss+= (30)最后可以得到散射場表達式如下:dSnSSrGrccScs+=)|()|()|;(000 (Dirichlet) (31) d

14、SSnSrGScc=)|()|(00 (Neumann) (32) dSnSSrgnSSrGrciciccSics)|();|()|;()|()|;(00000+= (Dirichlet) (33) dSSnSrgSnSrGciciccS)|();|()|;()|(0000+= (Neumann) (34)相干散射和非相干散射的角分布 入射角為0散射角為s的角分布可以由散射功率得到: =rrrPccs)|()|(Im)|(000 )(r (35)上式可以由格林函數(shù)的漸近式計算。同樣地，散射角分布也分為相干部分和非相干部分:+=)(Im)|(000csccscscrrP)|()|()|(0000

15、0sscsscscPPP+= (36) >+<=)(Im)|(000icsicicsicsicrrP)|()|()|(00000ssicssicsicPPP+= (37)其中的上標“0”, “s” 和 “0s”分別為初始場 0 (已經(jīng)包括了粗糙面的散射), 物體的散射場 s , 粗糙面和物體間相互作用的散射場。3粗糙表面上方圓柱的散射考慮圓柱散射的情況，設圓柱的中心在，截面半徑為a。計算圓柱上的面積分，得到相干散射角分布為: ),0(h)()(),|()()|(000)()(0042000shihissscAAeeCkaWkaPss+×=200)(0)(00)()(),|

16、(00AeAeCkaWhishisss+ (38)以及非相干散射角分布為:2400(|)()|(|,)(|,)()(|)sicssssssPkaVVAA =×mdAAVVsss21000000|)|()(),|(),|(+m (39)上式中的中間變量定義如下:hieCkaWV)(00000),|(),|(+= (40) 00200)()/2(),|(+=kkC (41)/()()(12CkaCkaJCCkaW= (42)1J為一階第一類Bessel函數(shù),其中的復合符號分別對應于Dirichlet和Neumann邊界條件。對于Dirichlet條件和Neumann條件Wiener核和是

17、不同的。在(38)式中如果取為1表示忽略粗糙度的影響，相干散射僅僅來自于圓柱和平面，這在Dirichlet條件和Neumann條件下是相同的。對于非相干散射，由(39)式的對稱性可以看出增強的散射發(fā)生在后向，也就是m0A1A0A00s+=的方向。4數(shù)值結果和討論在數(shù)值計算中，假設粗糙面的功率譜為高斯譜:4/2222)2/()(ll=eF (43)其中， 是粗糙面的相關長度，是表面粗糙度。 l2由(39)式計算非相干散射角分布，對于粗糙面參數(shù)，取歸一化粗糙度1.0=k，歸一化相關長度。 0.1=kl圖2 給出了不同歸一化高度下的非相干散射角分布。從圖2(a)與(b)可以看出，在Dirichlet

18、和Neumann邊界條件下都可以明顯地觀察到后向散射增強，但是對于不同的邊界條件后向散射峰的特征不同。Neumann條件下，增強的后向散射峰顯得窄而強，而Dirichlet條件下，后向散射峰比Neumann條件更寬且弱一些。Neumann邊界條件下，較強的后向散射峰主要是由于作為中間散射過程的穩(wěn)定或者不穩(wěn)定的表面電磁波的參與，與沒有圓柱的情況下由于二階Wiener核產(chǎn)生的較弱的峰類似。此外，從圖2(a)可以看到，Neumann條件下的后向散射峰的峰值并不是隨著歸一化高度kh增加或減少呈單調(diào)變化，時的峰比和的情況都弱。圖3給出了不同入射角的非相干散射角分布。從圖3(a)與(b)可以看出，當入射角

19、增加時，Neumann條件下的后向散射峰變化非常快，但是Dirichlet條件下的變化則顯得較緩慢。 5kh=7kh=4kh=(b)圖 2 對應于不同歸一化高度kh的非相干散射角分布結果， (a) 和 (b) 分別對應Dirichlet條件和Neumann條件，入射角為 ，粗糙面的歸一化參數(shù)分別為o030=1.0=k and , 圓柱的歸一化半徑為0.1=kl0.2=ka。(b)圖 3 對應于不同入射角的非相干散射角分布結果，(a) 和 (b) 分別對應Dirichlet條件和Neumann條件，歸一化高度為7.0kh=，粗糙面的歸一化參數(shù)分別為1.0=k and 0.1=kl,圓柱的歸一化半

20、徑為。 3ka=圖4和圖5考察歸一化半徑ka和歸一化高度kh的變化對非相干散射角分布的影響。圖4中，歸一化半徑取很小的值(0.25ka=)的同時，保持歸一化高度為,與圖3(b)比較可以看出，當歸一化半徑減小時后向散射峰值幅度顯著變小，但是后向散射增強現(xiàn)象仍然很明顯。圖5中，歸一化高度和歸一化半徑分別取7.0kh=20kh=和3.11 Ogura H., Kawanishi T., Takahashi N. and Wang Z. L., Scattering of electromagnetic wave from a slightly random surface - reciprocal

21、theorem, cross-polarization and backscattering enhancement, Waves Random Media, 1995,5(4) :461-49512 Ogura H. and Takahashi N., Green function and radiation over a random rough surface, J. Opt. Soc. Am. A, 1985, 2(12) :2208-222413 Ogura H. and Takahashi N., Wave scattering from a random rough surfac

22、e: reciprocal theorem and backscattering enhancement, Waves Random Media, 1995,5(2) :223-24214 Ogura H. and Wang Z. L., Surface-plasmon mode on a random rough metal surface: enhanced backscattering and localization, Phys. Rev. B, 1996,53(15) :10358-1037115 Ogura H., Wang Z. L., Sasakura Y. and Freil

23、ikher V., Localization of surface plasmon waves on the surface of a random rough metallic grating with a narrow-band spectrum, Optics Communication, 1997, 134(1) :1-616 ONeill K., Lussky R. F. and Paulsen K. D., Scattering from a metallic object embedded near the randomly rough surface of a lossy di

24、electric, IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing, 1996,34(3) :367-37617 Wang Z. L., Jin Y. Q. and Ogura H., Enhanced backscattering from a metallic cylinder with a random rough surface, Phys. Rev. B, 2005a ,71(15), 155415 :1-718 Wang Z. L., Ogura H. and Takahashi N., Enhanced scattering from a planar wa

25、veguide structure with a slightly rough boundary, Phys. Rev. B, 1995, 52(8) :6027-604119 Wang Z. L., Xu F., Jin Y. Q. and Ogura H., A double Kirchhoff approximation for very rough surface scattering using stochastic functional approach, Radio Sci., 2005,VOL. 40, RS4011, doi:10.1029/2004RS00307920 Zh

26、ang G., Tsang L. and Pak K., Angular correlation function and scattering coefficient of electromagnetic waves scattered by a buried object under a two-dimensional rough surface, J. Opt. Soc. Am. A, 1998,15(12) :2995-3002Scattering of Waves from an Objectabove a One-dimensional Slightly Rough Surface

27、Chen ying, Wang zhi-liang, Ogura.H.(Key Laboratory of Wave Scattering and Remote Sensing Information Fudan University,Shanghai 200433)Abstract : The scattering of waves from an object above a one-dimensional random rough surface with slight roughness is studied, using the stochastic functional approach. The stochastic G