彈性力學(xué)講義-例題3-b課件

1、例題例題（第（第3 3章）章） 例題例題3-1 3-1 （見(jiàn)（見(jiàn)3-13-1）試考察應(yīng)力函數(shù)試考察應(yīng)力函數(shù) 在圖在圖3-1所示的矩形板和坐標(biāo)所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)）。系中能解決什么問(wèn)題（體力不計(jì)）。3ay圖圖3-1xyxPe解解: 首先考察給定的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)是是否否滿足相容方程。滿足相容方程。代入代入后后滿足，說(shuō)明該函數(shù)可作滿足，說(shuō)明該函數(shù)可作應(yīng)力應(yīng)力函數(shù)函數(shù) 。 當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將當(dāng)體力不計(jì)時(shí)，將代入應(yīng)力分量公式可得：代入應(yīng)力分量公式可得：0244224444yyxx00 ,622222yxxayyxyyx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，考察左、右兩端的時(shí)，考察左、右兩端的 分布情況：

2、分布情況：左端左端 右端右端應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng)應(yīng)力分布如圖所示，當(dāng) 時(shí)應(yīng)用圣維南原理能解決各時(shí)應(yīng)用圣維南原理能解決各種偏心拉伸的問(wèn)題。種偏心拉伸的問(wèn)題。因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為點(diǎn)的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為b，集中荷載集中荷載P的偏心距為的偏心距為e。則：則：,6e 0, 61 , 06)(2hheFPbhPebhPAx0)( ,6)( , 0)(0)( ,6)( , 0)(00000lxxyhylxxylxxxxyhyxxyxxahahx0ahl 例題例題3-2 3-2 （習(xí)題（習(xí)題3-73-7）設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作

3、用，體力可以不計(jì)，圖力可以不計(jì)，圖3-2，試用應(yīng)力函數(shù)，試用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。求解應(yīng)力分量。332DxyCyByAxy圖圖3-2解解: 本題是較典型的例題本題是較典型的例題, 已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù), 可按下列可按下列步驟求解。步驟求解。 1. 將將代人相容方程代人相容方程, 顯然是滿足的。顯然是滿足的。2. .將將代入應(yīng)力代入應(yīng)力關(guān)系式關(guān)系式, , 求出應(yīng)力分量求出應(yīng)力分量 )3(, 0 ,6622DyADxyCyBxyyx3. 考察邊界條件考察邊界條件: : 主要邊界主要邊界 y= y=h/2h/2上上, , 應(yīng)精確滿足式應(yīng)精確滿足式(2-(2-15), 15), 043

4、 , 0)( , 0)(22/2/DhAhyxyhyy得滿足； 在次要邊界在次要邊界x=O=O上上, , 只給出了面力的主矢量和主矩只給出了面力的主矢量和主矩, , 應(yīng)應(yīng)用圣維南原理用圣維南原理, , 用三個(gè)積分的邊界條件代替。注意用三個(gè)積分的邊界條件代替。注意 x=O x=O 是是負(fù)負(fù)x x面面, , 圖圖 3-5 3-5 中表示了負(fù)中表示了負(fù) x x 面上面上x x 和和xyxy 的正方向的正方向, , 由此得由此得 。，）解出），（由式（。得求得求得332/2/032/2/02/2/02 23 41 , )(;2 ,)( ;2 ,)(hFDhFAbaFDhAhFdyhMCMdyyhFBF

5、dysssshhxxyhhxxNNhhxx 最后一個(gè)次要邊界條件最后一個(gè)次要邊界條件 (x=l上上 ), 在平衡微分方程和上述邊在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下界條件均已滿足的條件下, 是必然滿足的是必然滿足的, 故不必再校核。故不必再校核。 代入應(yīng)力公式代入應(yīng)力公式, , 得得 。)41 (23, 0 ,12122233hyhFxyhFyhMhFSxyySNx例題例題3-3 3-3 （習(xí)題（習(xí)題3-113-11）擋水墻的密度為擋水墻的密度為1, 厚度為厚度為 b, 圖圖 3-6, 水的密度水的密度為為2, , 試求試求應(yīng)力分量。應(yīng)力分量。 解解: 用半逆解法求解。用半逆解法求解。

6、 1.1.假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。因?yàn)樵诩僭O(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。因?yàn)樵?y =- -b/2 邊界上邊界上, , y =b/2邊界上邊界上, , 所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi)所以可假設(shè)在區(qū)域內(nèi) 為為 ; 0y;2gxy);(yxfyy2. 2. 推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由推求應(yīng)力函數(shù)的形式。由 推測(cè)推測(cè)的形式的形式, , y 。則)()()(6 ),(2 ),(2131222yfyxfyfxyfyfxxyxfxy3.3.由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將代得代得 04。得得得，處都成立，必須要使上式在任意的。2324242345122414234422424414443 , 0;610 , 02

7、; 0026FyEyfdyfdIyHyGyyByAfdyfddyfdDCyByAyfdyfdxdyfdxdyfddyfdxdyfdx代人代人, , 即得應(yīng)力函數(shù)的解答即得應(yīng)力函數(shù)的解答, , 其中巳略去了與應(yīng)力無(wú)關(guān)的其中巳略去了與應(yīng)力無(wú)關(guān)的一次式。一次式。 4.4.由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。將由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。將代人式代人式 (2-24), (2-24), 注意體力注意體力 ，求得應(yīng)力分量為求得應(yīng)力分量為 0 ,1yxfgf。)23322( )23(2),(,)26( )2622(32342222322123322IHyGyyByACByAyxyxDCyByAyxyfxgxFEyHGyByAy

8、xBAyxxfyxyyyxx5. 5. 考察邊界條件考察邊界條件 : : 在主要邊界在主要邊界 y = y = b/2 b/2 上上, , 有有）（）（由上式得到得得得feIHbbGbBbAdcCBbbAIHbbGbBbACBbbAxDbCbBbAxgxDbCbBbAxgxbyxybyybyy, 0)431232( , 0)43( 0)431232( )43(2 ; 0)(b) ; 0)248( ; 0)(a) ;)248( ;)(2342234222/232/22322/。由此得。得）（得）（得）（得）（求解各系數(shù)，由gbCgbACbAdcgDBdcgbCbAbagDbBba22332232

9、223 ,2043 )(,21 , 0 )(,2124 )(,214 )(）（，得代入。得）（得）（又有g(shù)bGgbIAIbGbAfeHfe 4316 04332 )(, 0 )(2224）（，得代入。得）（得）（又有。由此得gbGgbIAIbGbAfeHfegbCgbA 4316 04332 )(, 0 )(23 ,22224223gbGgbIhgEydyFdyGbgbIdyxbbxxbbxxbbxxy222/2/02/2/0222/2/0101 800 , 0, 0 , 0(h) ,480, 00，）解出），（由式（。得）（得）（得）（界條件：上，列出三個(gè)積分的邊在次要邊界（小邊界）)801

10、03()432(),2132(,4532332332233213322332ybbybygybbygxbybygxgxxybgxybgyxbgxyyx，得應(yīng)力解答：代入應(yīng)力分量的表達(dá)式已知 試問(wèn)它們能否作為平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù) ?解解: : 作為應(yīng)力函數(shù), 必須首先滿足相容方程, 例題例題3-43-4,)(),()()(42223422222EyDxyyCxyBxAxbyxCBxyxaAya 將代入,(a) 其中 A=0, 才可成為應(yīng)力函數(shù) ;(b) 必須滿足 3(A+E)+C =0, 才可成為應(yīng)力函數(shù)。 04例題例題3-53-5圖圖 3-7 所示的所示的矩矩形截面柱體形截面柱體 , 在在頂部受

11、有集中力頂部受有集中力 F 和力矩和力矩 M=Fb/2的作用，的作用，試用應(yīng)力函數(shù)試用應(yīng)力函數(shù) 求解圖示問(wèn)題的應(yīng)力及位移求解圖示問(wèn)題的應(yīng)力及位移, , 設(shè)設(shè)在在 A A 點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角均為零。 23BxAx 圖圖 3-7解解: 應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)求解:(1) 校核相容方程校核相容方程 , 滿足。滿足。(2) 求應(yīng)力分量求應(yīng)力分量，在無(wú)體力時(shí)在無(wú)體力時(shí)，得得(3) 考考察察主要邊界條件主要邊界條件, 均己滿足。均己滿足?？疾齑我吔鐥l件考察次要邊界條件, , 在在 y=0 y=0 上上 , , 040 ,26xyxyBAx0 , 0 ,xyxbx滿足； , 0)

12、(0yxy0 ,2312 ,2312400 ,2312;8 ,2)(;2 ,)(4200 xyyxxyxybbyybbyybxEbFbxEbFbxbFbFAbFxdxbFBFdx）求應(yīng)變分量，（因而是上述問(wèn)題的解。和全部邊界條件，和應(yīng)力已滿足了上述代入，得應(yīng)力的解答，求得求得0 ,2312 ,2312400 ,2312;8 ,2)(;2 ,)(4200 xyyxxyxybbyybbyybxEbFbxEbFbxbFbFAbFxdxbFBFdx）求應(yīng)變分量，（因而是上述問(wèn)題的解。和全部邊界條件，和應(yīng)力已滿足了上述代入，得應(yīng)力的解答，求得求得);(232 ,2312);(232 ,2312 )5(2

13、12xfbxyyEbFvybxEbFyvyfbxxEbFuxbxEbFxuyx積分，得對(duì)由積分，得對(duì)由求位移分量。即等于常數(shù)兩邊分開(kāi)變量，并令都代入幾何方程第三式將yEbFdyydfdxxdfxvyuvuxy21243)()(,0,0022202210223283232,83)(,)(vxbxyyEbFvuyyEbFbxxEbFuvuuyyEbFyfvxxf，得代入。從上式分別積分，求出 ：，得到位移分量的解答代入。得得得再由剛體約束條件，vuhEbFvvhEbFuuhEbFxuhyxhyxhyx,2, 0;83, 0;43, 00, 0220, 02, 0再由剛體約束條件，得代入。從上式分別

14、積分，求出0022202210223283232,83)(,)(vxbxyyEbFvuyyEbFbxxEbFuvuuyyEbFyfvxxf 。，在頂點(diǎn)：，得到位移分量的解答代入。得得得hEbFv0yxbxy)yh(EbFv)yh(EbFbxxEbFuv ,uhEbFv,v;hEbFu,u;hEbF,xuyxhy ,xhy ,xhy ,x22328323220830430022200220020例題例題3-63-6矩形截面的簡(jiǎn)支梁上矩形截面的簡(jiǎn)支梁上, , 作用有三角形分布荷載作用有三角形分布荷載, , 圖圖3-83-8 試用下列應(yīng)力函數(shù)試用下列應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。求解應(yīng)力分量。,333533

15、FxyExDxyyCxBxyyAx圖圖3-83-8FxyExDxyyCxBxyyBxBABA33353343535 , 0120720由此，。得解解: 應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)求解 :(1) 將將代人相容方程代人相容方程 ,。下，得求應(yīng)力分量，在無(wú)體力）（)33515(,6610,62010 222422333FDyCxByyBxExCxyBxyDxyxyyBxxyyx043156041530)43156(4153, 0 , 2/2/32422422FDhBhBhCxFDhBhBhCxhyhyxy，此得值，上式均應(yīng)滿足，由對(duì)于任意的。）（得）考察主要邊界條件（ 4 5 2345 1

16、2 6345, , 2/ , 06345, 0 , 2/2/33233lhqClhqBaeelhqCBhdclqEdcdlxqEChBhxlxqhycEChBhxhyhyyy，）得（）由（）（。）得（）由（。）得（）由（）（。）（得）（）（得）考察主要邊界條件（。）解出）和式（由式（），由條件（）考察小邊界上的邊界（hllhqFlhhlqDfbqldyxhhxxy480,1013,6)(0432/2/0：力表達(dá)式，得應(yīng)力解答于是，將各系數(shù)代入應(yīng)顯然是滿足的。，另兩個(gè)積分的邊界條件, 0)( 0)( 2/2/02/2/0hhxxhhxxydydy例題例題3-73-7矩形截面的矩形截面的柱體受到頂

17、部的集中力柱體受到頂部的集中力和力矩的作用，和力矩的作用，圖圖3-93-9，不計(jì)體力，不計(jì)體力，試用下列應(yīng)力函數(shù)試用下列應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量。求解應(yīng)力分量。332DyCxyBxyAy圖圖3-93-9）（。滿足；）邊界（考察邊界條件。在主要。力下，得）求應(yīng)力分量，在無(wú)體（，滿足。）代入相容方程，（求解：解：應(yīng)用上述應(yīng)力函數(shù)aqCbBqbybyCyBDyCxyAyxyxyyx 43 , , 0 ,2 2/)3()3( , 0 ,66 201222。得得得在次要邊界bFCbBFCyByFdybMDMDyyAMydybFAFDyAyFdyxbbbbxxybbbbxxbbbbxx22/2/32/2/032/2/322/2/02/2/22/2/041 ,)( ,)(;2,)22( ,)(;,)3( ,)(, 0。代入，得應(yīng)力解答，223