高三數(shù)學(xué)壓軸小題訓(xùn)練(十)

1、高三數(shù)學(xué)小題沖刺訓(xùn)練（十）姓名： _ 班級： _ 考號： _一、填空題（共 16 小題，每小題5 分，共計(jì) 80 分）1集合 x| 1 log110< 1，x N * 的真子集的個數(shù)是x2_2復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1， z2 在以 i 為圓心， 1 為半徑的圓上， z1·z2 的實(shí)部為零， z1 的輻角主值為，則 z2= _ 63.曲線 C 的極坐標(biāo)方程是= 1+cos，點(diǎn) A 的極坐標(biāo)是(2,0)，曲線 C 在它所在的平面內(nèi)繞 A旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過的圖形的面積是_4.已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為2，

2、則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離是 _5.從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的六個面染色，每面恰染一種顏色，每兩個具有公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染色方法共有_種 (注：如果我們對兩個相同的正方體染色后，可以通過適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個正方體的上、下、左、右、前、后六個對應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說這兩個正方體的染色方案相同)6.在直角坐標(biāo)平面， 以 (199,0)為圓心， 199 為半徑的圓周上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn) )的個數(shù)為 _7. 若 tan2 ,則 4sin 23sincos5cos 2=.8.在復(fù)數(shù)集C 內(nèi) ,方程 2x2(5i) x60 的解為.9.設(shè) x(1

3、5220) 19(15220) 82 ，求數(shù) x 的個位數(shù)字 .10.設(shè)A n |100 n600, nN ，則集合 A 中被 7 除余 2 且不能被57 整除的數(shù)的個數(shù)為_.11.設(shè) P 是拋物線 y24 y 4 x 0 上的動點(diǎn) ,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (0, 1) ,點(diǎn) M 在直線 PA 上 ,且分 PA 所成的比為 2:1,則點(diǎn) M 的軌跡方程是.12.AB 為 y 1 x2 上在 y 軸兩側(cè)的點(diǎn)，過AB 的切線與 x 軸圍成面積的最小值為_13.AB 為邊長為 1的正五邊形邊上的點(diǎn)則AB 最長為 _14. 正四棱錐 S-ABCD 中，側(cè)棱與底面所成的角為 ，側(cè)面與底面所成的角為 ，側(cè)面等

4、腰三角形的底角為 ，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為 ，則 、 、的大小關(guān)系是 _15. 在數(shù) 1 和 2 之間插入n 個實(shí)數(shù)，使得這n+2 個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2 個數(shù)的乘積記為An，令 an=log 2An，n N（ 1）數(shù)列 A n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 為_（ 2） Tn=tana 2?tana 4+tana 4?tana 6+ +tana 2n?tana 2n+2=_16. 已知數(shù)列 A： a1， a2， ， an（ n 3），令 TA=x|x=ai+aj.1 i j n ， car （TA）表示集合 TA 中元索的個數(shù)若 A： 2， 4， 8， 16，則 card （ TA）

5、=_；若 a-a=c（ c 為非零常數(shù)1 i n-1 ），則 card （ T ） =_i+1iA參考答案11. 解 由已知，得 2<log x10 11lg x<210 x<100故該集合有 90 個元素其真子集有 290- 1 個2. 解： z1 滿足 |z i |=1； argz1=3+1_，得 z1=i， z1= cos( )+isin( )62266_設(shè) z2 的輻角為 (0< <)，則 z2= 2sin(cos+isin)z1·z2= 2sincos( )+ isin( ) ，若其實(shí)66 23 3部為 0，則 = ，于是 = z2= 2+ i

6、62323. 解：只要考慮|AP|最長與最短時所在線段掃過的面積即可P設(shè) P(1+cos ，)，O1x則|AP|2= 22+(1+cos )2 2·2(1+cos)cos= 3cos2 2cos+512161621616= 3(cos+3) + 33 且顯然 |AP|能取遍 0，3 內(nèi)的一切值，故所求面積 = 3 4. 解：該六面體的棱只有兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長為2a，側(cè)棱為 b取 CD 中點(diǎn) G，則 AG CD ， EGCD，故 AGE 是二面角ACD E 的A平面角由BD AC，作平面BDF 棱 AC 交 AC 于 F，則 BFD 為二面bbb角 B AC D 的平面角FB

7、D2222aaG22222a b a3a)CAG=EG= b a， BF=DF=， AE= 2 b (3bE= 2 b2 4a232AG2 AE2 2BF 2 BD 2由 cos AGE= cos BFD ，得2AG2=2BF24(b242a2)224232 =4a b29b2= 16a2b=a，從而 b= 2， 2a= 32 23b a4a (b a )AE= 2即最遠(yuǎn)的兩個頂點(diǎn)距離為35. 解：至少 3 種顏色：6 種顏色全用：上面固定用某色，下面可有5 種選擇，其余4 面有 (4 1)!= 6 種方法，共計(jì)30 種方法；4用 5 種顏色：上下用同色：6 種方法，選4 色： C5(4 1)

8、! = 30； 6× 30÷ 2=90 種方法；2 2用 4 種顏色： C6C4 =90 種方法用 3 種顏色： C36= 20 種方法共有 230 種方法6. 解：把圓心平移至原點(diǎn)，不影響問題的結(jié)果故問題即求222的整數(shù)解數(shù)x +y = 199顯然 x、 y 一奇一偶，設(shè)x= 2m， y= 2n 1且 1 m， n 99則得 4m2 =1992 (2n 1)2=(198+2 n)(200 2n) m2= (99+n)(100 n) (n1)( n) (mod 4)由于 m 為正整數(shù)， m2 0， 1 (mod 4)； (n 1)( n) 0，( 當(dāng) n0， 1(mod 4

9、)時 )2，( 當(dāng) n2， 3(mod 4)時 )二者矛盾，故只有 (0，± 199)， (± 199，0)這 4解 共有 4 個 (199，± 199)， (0， 0)， (398， 0)7.由 tan2 ,得 sin2cos,有 sin 24cos 2,即 1 cos24cos 2.則 cos21,原式 =16cos 26cos25cos25cos 21.58.設(shè) xabi, a, b代入原方程整理得225a6b)(4 aba5b)i0R ,(2 a2b22a1a3有 2a 2b2,所以 x1 i 或 x3 3 i .5a 6 b 0,解得1或4aba5b 0

10、bb32229.直接求 x 的個位數(shù)字很困難，需將與x 相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).【解】令 y(15220)19(15 220)82 ,則 xy(15220)19(15220)82 (15220 ) 19(15220) 82 ，由二項(xiàng)式定理知，對任意正整數(shù)n.(15220) n(15220)n2(15nCn215n 2220)為整數(shù)，且個位數(shù)字為零 .因此， xy 是個位數(shù)字為零的整數(shù) .再對 y 估值，因?yàn)?015220522050.2 ， 且 (15220) 88(15220)19 ，1525所以 0y2(15220 ) 1920.2190.4.故 x 的個位數(shù)字為 9.【評述】轉(zhuǎn)化

11、的思想很重要，當(dāng)研究的問題遇到困難時，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題.10.解：被 7除余 2 的數(shù)可寫為 7k 2. 由100 7k2 600. 知 14 k 85 .又若某個 k 使7k 2能被 57整除，則可設(shè)7k2=57n. 即 k57n28nn27.7即 n 2 應(yīng)為7的倍數(shù).設(shè) n7m 2代入，得 k57m 16. 1457m1685 .m=0,1. 于是所求的個數(shù)為7011. 設(shè)點(diǎn) P ( x0 , y0 ) ,M ( x, y) ,有 xx0 2 0y0 2( 1), y3,得 x0 3x , y0 3y3而 y024 y04x0 0 ,于是得點(diǎn) M 的軌跡方程是9 y2 12x 4

12、0 .【解析】 12.不妨設(shè)過 A點(diǎn)的切線交x 軸于點(diǎn) C ，過 B 點(diǎn)的切線交 x 軸于點(diǎn) D ，直線直線 BD 相交于點(diǎn) E 如圖設(shè) B(x1 , y1 ), A(x2 ,y2 ) ，2AC 與且有 y21 x22 , y1 1 x12 , x10 x2 由于 y2x ，于是 AC 的方程為2 x2 x2y2y ；BD 的方程為2 x1x2 y1y 聯(lián)立 AC , BD 的方程，解得E(y1y2, 1x1 x2 ) 2( x2x1 )對于，令 y0，得 C(2y2, 0)；2 x2對于，令 y0，得 D(2y1 , 0) 2x1于是 CD2y2 y1x 21x 212 x22122x12x

13、12x21CD (1x1x2 ) 不妨設(shè) x1a0 ，x2 b 0 ，則S ECD2yEABCODxS ECD1 (1a21 b2)(1ab)1 (2a2b11a2b ab2 )4ab4ab1(ab)(2ab1) 12 ab(2 ab1)4ab4ab不妨設(shè)abs0 ，則有S ECD132s11311s1.1(s)(ss.)2s2339s9s6 個9 個 1 16 s31 s)61243831 9168 (1)1681 ) 2239s339又由當(dāng) x1a3b33, x23, s3時，處的等號均可取到3 (S ECD )min83911注記：不妨設(shè) g (s)( s32s) ，事實(shí)上，其最小值也可

14、用導(dǎo)函數(shù)的方法求解2s由 g (s)1(3s2212)知當(dāng) 0s21 時 g (s)0；當(dāng) 1s2 時 g (s)0 2s33則 g(s) 在 (0 ,3) 上單調(diào)減，在(3,) 上單調(diào)增于是當(dāng)s3時 g (s) 取得最小值33313. 以正五邊形一條邊上的中點(diǎn)為原點(diǎn)，此邊所在的直線為x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系當(dāng) A, B 中有一點(diǎn)位于P 點(diǎn)時，知另一點(diǎn)位于R1 或者 R2 時有最P大值為 PR1；當(dāng)有一點(diǎn)位于O 點(diǎn)時， AB maxOP PR1 ；QR2OR1當(dāng) A , B 均不在 y 軸上時，知 A, B 必在 y 軸的異側(cè)方可能取到最大值（否則取A 點(diǎn)關(guān)于 y軸的對稱點(diǎn) A ，有 ABAB ）P不妨設(shè) A 位于線段 OR2 上（由正五邊形的中心對稱性，知這樣的假設(shè)是BQ合理的），則使AB 最大的 B 點(diǎn)必位于線段 PQ 上且當(dāng) B 從 P 向 Q