高中數(shù)學(xué)必修5__第三章《不等式》復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)(一)

1、高中數(shù)學(xué)必修5_第三章不等式復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)（一）第一節(jié)不等關(guān)系與不等式知識(shí)能否憶起1 實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系a b0? a b； a b 0? a b； a b 0? a b.2 不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對(duì)稱性a>b? b<a傳遞性a>b，b>c? a>c可加性a>b? a c>b ca>b? ac>bcc>0可乘性a>b? ac<bcc<0注意?c 的符號(hào)同向可加性a>b? a c>b dc>d同向同正可乘性a>b>0? ac>bdc>d>0可乘方

2、性a>b>0? an>bn (nN ， n 2)可開(kāi)方性a>b>0? n a> n b(n N， n 2)1.使用不等式性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題：?同正在使用不等式時(shí)， 一定要搞清它們成立的前提條件 不可強(qiáng)化或弱化成立的條件 如 “ 同向不等式 ”才可相加， “ 同向且兩邊同正的不等式 ” 才可相乘；可乘性中 “ c 的符號(hào) ” 等也需要注意2作差法是比較兩數(shù)(式 )大小的常用方法，也是證明不等式的基本方法要注意強(qiáng)化化歸意識(shí)，同時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)在比較大小中的作用高頻考點(diǎn)1. 比較兩個(gè)數(shù) (式 )的大小例 1已知等比數(shù)列 an 中， a1 0， q0，前 n 項(xiàng)和為

3、Sn，試比較S3與 S5的大小a3 a5自主解答 S3 3，S55，所以 S3S5；當(dāng) q 1 時(shí)， a3a5a3 a5當(dāng) q0 且 q 1 時(shí)，S3S5a1 1 q3a1 1 q5q2 1 q3 1 q5 q 1S3S5a3 a5a1q2 1 q a1q4 1 q q4 1 qq4 0，所以 a3 a5.綜上可知S3S5.a3a5由題悟法比較大小的常用方法(1)作差法：一般步驟是：作差；變形；定號(hào)；結(jié)論其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、 有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差(2)作商法：一般步驟是：作商；變形；判斷商與1 的大??；結(jié)論(3)

4、特值法：若是選擇題、填空題可以用特值法比較大??； 若是解答題，可先用特值探究思路， 再用作差或作商法判斷注意 用作商法時(shí)要注意商式中分母的正負(fù)，否則極易得出相反的結(jié)論以題試法1(2012 ·林聯(lián)考吉 )已知實(shí)數(shù)a、b、c 滿足 b c 64a 3a2，c b 4 4a a2，則 a、b、 c 的大小關(guān)系是()A c b aCc b aB a c bD a c b解析： 選 Ac b 4 4a a2 (2 a)2 0， c b.將題中兩式作差得222b 2 2a ，即 b 1 a .21232 1 a a a2>0， 1 a >a.4 b 1 a2>a. c b>

5、;a.2. 不等式的性質(zhì)a b 0； a(2012 包·頭模擬 )若 a 0b a，c d0，則下列結(jié)論：adbc； d cc b d； a·(d c) b(d c)中成立的個(gè)數(shù)是 ()A 1B 2C3D 4(2) a 0 b， c d 0， ad0， bc 0， adbc，故錯(cuò)誤 a 0 b a， a b 0， c d 0， c d 0， a( c) ( b)( d)， acbd 0， a b acbd 0，dccd故正確 c d， c d， a b， a ( c) b ( d)，a cb d，故正確 a b， d c 0， a(d c) b(dc) ，故正確，故選 C.

6、由題悟法1判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，先把要判斷的命題與不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì)， 并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題的真假， 當(dāng)然判斷的同時(shí)可能還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2特殊值法是判斷命題真假時(shí)常用到的一個(gè)方法，在命題真假未定時(shí)，先用特殊值試試，可以得到一些對(duì)命題的感性認(rèn)識(shí)， 如正好找到一組特殊值使命題不成立， 則該命題為假命題以題試法2若 a、 b、 c 為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()A 若 a b，c d，則 ac bd2 ab b2B若 a b0，則 a1 1 C若 a b0，則 abb a D若 a b0，則 a b解析： 選 B A 中，只有 ab

7、0， cd 0 時(shí)，才成立； B 中，由 a b0，得 a2ab b2 成立； C，D 通過(guò)取 a 2， b 1 驗(yàn)證均不正確3. 不等式性質(zhì)的應(yīng)用典題導(dǎo)入例 3已知函數(shù) f(x) ax2 bx，且 1f( 1) 2，2 f(1) 4.求 f(2) 的取值范圍自主解答 f( 1) a b， f(1) a b.f(2) 4a 2b.設(shè) m(a b) n(a b) 4a 2b.m n4，m 1，則解得m n 2，n 3. f( 2) (a b) 3(a b) f(1) 3f( 1) 1 f( 1) 2,2 f(1) 4， 5 f( 2) 10.即 f( 2)的取值范圍為 5,10 由題悟法利用不等

8、式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)： 一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)； 二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍以題試法 1 1，3若 ， 滿足試求 3的取值范圍1 2 3，解： 設(shè) 3 x( ) y( 2) (x y) (x 2y).xy 1，x 1，則解得x 2y 3，y 2. 1 ( ) 1,2 2( 2)6，兩式相加，得1 3 7. 3的取值范圍為 1,7 第二節(jié)一元二次不等式及其解法 知識(shí)能否憶起 一元二次不等式的解集二次函數(shù) y ax2 bx c 的圖象、一元

9、二次方程ax2 bx c0 的根與一元二次不等式22 bx c<0的解集的關(guān)系，可歸納為：ax bx c>0 與 ax判別式 b2 4ac>0 0<0二次函數(shù)y ax2bx c (a>0)的圖象一元二次方程ax2 bx c有兩相異實(shí)根 x x1 或 x有兩相同實(shí)根 x無(wú)實(shí)根0(a 0)的根x2 x1一元ax2 bx c>0( a>0) x|x<x1 或 x>x2 x|x x1R二次不等式的ax2 bx c<0( a>0) x|x1<x<x2?解集若 a<0 時(shí)，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，對(duì)照上表求解解一元二次

10、不等式應(yīng)注意的問(wèn)題：(1)在解一元二次不等式時(shí)，要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)(2) 二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，參數(shù)的符號(hào)會(huì)影響不等式的解集，討論時(shí)不要忘記二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況(3)解決一元二次不等式恒成立問(wèn)題要注意二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)(4) 一元二次不等式的解集的端點(diǎn)與相應(yīng)的一元二次方程的根及相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同高頻考點(diǎn)1. 一元二次不等式的解法典題導(dǎo)入例 1解下列不等式：(1)0 x2 x 24；(2)x2 4ax 5a2 0(a0) 自主解答 (1) 原不等式等價(jià)于x2 x 2 0，x2 x 20，?x2 x 2 4x2 x 6 0x 2x 1 0，x 2或 x 1，?x 3x

11、 2 0 2 x 3.借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為 x| 2 x 1，或 2 x 3 .(2)由 x2 4ax 5a2 0 知 (x 5a)(x a) 0.由于 a 0 故分 a 0 與 a 0 討論當(dāng) a0 時(shí)， x 5a 或 x a；當(dāng) a0 時(shí)， x a 或 x 5a.綜上， a 0 時(shí)，解集為 x|x 5a，或 x a ；a 0 時(shí)，解集為 x|x 5a，或 x a .由題悟法1解一元二次不等式的一般步驟：(1)對(duì)不等式變形，使一端為0 且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即 ax2 bx c0(a 0)， ax2 bxc 0(a 0)；(2)計(jì)算相應(yīng)的判別式；(3)當(dāng) 0 時(shí)，求出相應(yīng)的一

12、元二次方程的根；(4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫出不等式的解集2解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏以題試法1解下列不等式：(1) 3x2 2x 80；(2)ax2 (a1)x 1 0(a0)解： (1)原不等式可化為3x2 2x 80，即 (3x 4)(x 2) 0.解得 2 x4，3所以原不等式的解集為x 2 x4.3(2)原不等式變?yōu)?(ax 1)(x 1) 0，因?yàn)?a 0，所以1x a(x 1) 0.所以當(dāng) a 1 時(shí)，解為 1ax 1；當(dāng) a1時(shí)，解集為 ?；1當(dāng) 0a 1 時(shí)，解為 1 x .

13、a綜上，當(dāng) 0 a 1 時(shí)，不等式的解集為1；x 1 x a當(dāng) a1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng) a1 時(shí)，不等式的解集為x1x 1 .a2一元二次不等式恒成立問(wèn)題典題導(dǎo)入例 2已知 f(x) x2 2ax 2(aR )，當(dāng) x 1， ) 時(shí)， f(x) a 恒成立，求a 的取值范圍自主解答法一 ： f(x) (x a)2 2 a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x a.當(dāng) a ( ， 1) 時(shí)， f(x)在 1， )上單調(diào)遞增，f(x) min f( 1) 2a 3.要使 f(x) a 恒成立，只需f(x)min a，即 2a 3 a，解得 3a 1；22當(dāng) a 1， ) 時(shí)， f( x)min f(

14、 a) 2 a ，由 2a a，解得 1 a1.法二 ：令 g(x) x2 2ax 2 a，由已知，得 x2 2ax 2 a 0 在 1， )上恒成立，即 4a2 4(2 a) 0 或 0，a 1，g 1 0.解得 3 a 1.所求a 的取值范圍是 3,1 本題中的“ x 1， )改為“ x 1,1)”，求 a 的取值范圍解：令g(x) x22ax 2 a，由已知，得x2 2ax2 a 0在 1,1)上恒成立，即4a2 4(2 a) 0 或 0，a 1，g 1 0 0，或 a 1，g 1 0.解得 3 a 1，所求a 的取值范圍是 3,1 .由題悟法1對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0 就是相

15、應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在 x 軸上方；恒小于 0 就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x 軸下方2一元二次不等式恒成立的條件：(1)ax2 bx c 0(a 0)(x R) 恒成立的充要條件是：a 0 且 b2 4ac 0.(2)ax2 bx c 0(a 0)(x R)恒成立的充要條件是：2a 0 且 b 4ac 0.以題試法2(2012 九·江模擬 )若關(guān)于 x 的不等式2的解集為 (， )，則實(shí)數(shù) a 的x ax a>0取值范圍是 _；若關(guān)于 x 的不等式x2ax a 3 的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 _2解析： 由1 <0，即 a 4

16、( a)<0，得 4<a<0；2由2 0，即 a 4(3 a) 0，得 a 6 或 a 2.答案： ( 4,0)(， 6 2， )2.一元二次不等式的應(yīng)用典題導(dǎo)入例3某商品每件成本價(jià)為80 元，售價(jià)為100 元，每天售出100 件若售價(jià)降低x 成(1成 10%)，售出商品數(shù)量就增加85x 成要求售價(jià)不能低于成本價(jià)(1)設(shè)該商店一天的營(yíng)業(yè)額為y，試求y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) f( x)，并寫出定義域；(2)若再要求該商品一天營(yíng)業(yè)額至少為10 260元，求x 的取值范圍自主解答(1) 由題意得xy 100 1 108·100 1 50x .因?yàn)槭蹆r(jià)不能低于成本價(jià)，

17、x所以 100 1 80 0.所以 yf(x) 20(10 x)(508x)，定義域?yàn)?0,2 (2)由題意得20(10 x)(50 8x) 10 260，化簡(jiǎn)得 8x2 30x 130.解得 1 x 1324 .所以 x 的取值范圍是1， 2.2由題悟法解不等式應(yīng)用題，一般可按如下四步進(jìn)行：(1)認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系；(3)解不等式；(4)回答實(shí)際問(wèn)題以題試法收費(fèi)3某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)現(xiàn)有兩家1.5 元；公司B 在用戶每次上網(wǎng)的第1 小時(shí)內(nèi)收費(fèi)ISP 公司可供選擇公司1.7 元，第 2 小時(shí)內(nèi)收費(fèi)A 每小時(shí)1.6 元

18、，以后每小時(shí)減少 0.1 元 (若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)17 小時(shí)，按 17 小時(shí)計(jì)算 )假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時(shí)間總是小于 17 小時(shí)，那么該同學(xué)如何選擇ISP 公司較省錢？解：假設(shè)一次上網(wǎng)x 小時(shí)，則公司 A 收取的費(fèi)用為 1.5x 元，公司 B 收取的費(fèi)用為x 35 x20元若能夠保證選擇A 比選擇 B 費(fèi)用少，則x 35 x 1.5x(0 x 17)， 20整理得 x25x 0，解得 0 x 5，所以當(dāng)一次上網(wǎng)時(shí)間在5 小時(shí)內(nèi)時(shí)，選擇公司A 的費(fèi)用少；超過(guò)5 小時(shí)，選擇公司B的費(fèi)用少練習(xí)題 小題能否全取 1 (教材習(xí)題改編 )下列命題正確的是 ()A 若 ac bc? a bB 若 a2 b

19、2? a bC若 1 1? a bD 若 a b? a bab答案： D2若 x y>0， a<0， ay>0 ，則 x y 的值 ()A大于 0B等于 0C小于 0D 不確定解析：選A由 a<0， ay>0 知 y<0 ，又 xy>0 ，所以 x>0.故 x y>0.4.1_ 3 1(填 “ >或”“ <)”2 1解析：1 213 1.2 1答案： <5已知 a， b， c R ，有以下命題：2222若 a>b，則 ac >bc ；若 ac >bc ，則 a>b；其中正確的是_(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)

20、都填上)c解析： 若 c 0 則命題不成立正確中由2 >0 知成立答案： a4若 x y, ab，則在 ax b y， a x b y， axby， x b ya， yb這五個(gè)式子中，恒成立的所有不等式的序號(hào)是_x解析： 令 x 2， y 3，a 3， b 2，符合題設(shè)條件xy， a b， a x 3 ( 2) 5，b y 2 (3) 5， a x b y，因此不成立又 ax 6， by 6， ax by，因此也不正確又 a3 1， b2 1，y3x2 ab，因此不正確 y x由不等式的性質(zhì)可推出成立答案 ： 小題能否全取 1 (教材習(xí)題改編 )不等式 x(1 2x) 0的解集是 ()A

21、. ， 1B.0， 1221，D.1，C( ， 0) 22答案： B2不等式 9x2 6x 1 0 的解集是 ()A. x x 1B. 133C. x 1 x1D R33答案： B3 (2011 福·建高考 )若關(guān)于 x 的方程 x2 mx 10有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A ( 1,1)B ( 2,2)C( ， 2) (2， )D (， 1) (1， )解析：選 C由一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得：判別式 0，即 m2 40，解得 m 2 或 m 2.4(2012 天·津高考 )已知集合 A xR |x 2|<3 ，集合 B x R|(x

22、 m)(x 2)<0 ，且 A B(1， n)，則 m _， n _.解析： 因?yàn)?|x 2|<3，即 5< x<1，所以 A(5,1)，又 A B?，所以 m<1 ，B (m,2)，由 A B ( 1， n)得 m 1， n 1.答案： 1 11 1 的解集為 _5不等式 x 1解析： 由1 1得 11 0，即 x 2 0，解得 x 1，或 x 2.x 1x1x 1答案： x|x 1，或 x 21 (2012 重·慶高考 )不等式 x 1 0 的解集為 ()x 2A (1， )B (， 2)C( 2,1)D (， 2) (1， )解析： 選 C 原不等

23、式化為 (x 1)(x 2) 0，解得 2 x 1，故原不等式的解集為(2,1)4 x2 的解集是 ()2 (2013 湘·潭月考 )不等式 x 2A (， 0 (2,4B 0,2) 4， )C2,4)D (， 2 (4， )解析： 選 B 當(dāng) x 2 0 即 x2 時(shí)，原不等式等價(jià)于 (x 2)2 4，解得 x 4.當(dāng) x2 0 即 x 2時(shí)，原不等式等價(jià)于 (x 2)2 4，解得 0 x 2.2)3關(guān)于 x 的不等式 x (a1)x a 0 的解集中，恰有 3 個(gè)整數(shù)，則 a 的取值范圍是 (A (4,5)B (3， 2) (4,5)C(4,5D 3， 2) (4,5解析： 選

24、D 原不等式可能為 (x 1)(x a) 0，當(dāng) a 1 時(shí)得 1 xa，此時(shí)解集中的整數(shù)為 2,3,4，則 4 a 5，當(dāng) a1 時(shí)得 a x 1，則 3 a 2，故 a 3， 2)(4,54若 (m 1)x2 (m 1)x3(m 1)<0 對(duì)任何實(shí)數(shù)x 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是()A (1， )B (， 1)C. ，13D. ，13 (1， )1111解析：選C m 1 時(shí)，不等式為 2x 6<0 ，即 x<3，不合題意m 1<0，解得 m<13 m 1 時(shí)，<0，11.6 (2012 長(zhǎng)·沙模擬 )已知二次函數(shù)f(x) ax2 (a

25、2)x 1(aZ )，且函數(shù) f(x)在 (2，1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，則不等式f(x) 1的解集為 ()A (， 1)(0， )B (， 0)(1， )C( 1,0)D (0,1)解析： 選 C f(x) ax2(a2)x 1，2 2 (a 2) 4a a 4 0，函數(shù) f(x) ax2 (a 2)x 1 必有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，又 f(x) 在( 2， 1)上有一個(gè)零點(diǎn)，則f( 2)f( 1) 0，3 5 (6a 5)(2a3) 0，解得 a .26又 a Z ， a 1.不等式 f(x) 1，即 x2 x 0，解得 1x 0.k 3 1 的解集為 x|1 x 3 ，則實(shí)數(shù) k _.7若不等式 x

26、 3解析 ：k 3 1，得 1 k3 0，即 x k 0， (x k)(x 3) 0，由題意得k 1.x 3x3x3答案 ：18不等式 x2 2x 3 a22a 1 在 R 上的解集是 ?，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_解析： 原不等式即x2 2x a2 2a 4 0，在 R 上解集為 ?， 44( a2 2a 4) 0，即 a2 2a 3 0，解得 1 a 3.答案 ： ( 1,3)9 (2012 陜·西師大附中模擬 )若函數(shù) f(x)x 5， x 3，且 f( f(3) 6，則 m 的取值2x m，x 3，范圍為 _解析： 由已知得f(3) 6 m，當(dāng) m 3 時(shí)， 6m 3，則 f(f(3) 2(6 m) m 123m 6，解得 m 2；當(dāng) m 3 時(shí)， 6m 3，則 f(f(3) 6m 5 6，解得 3 m 5.綜上知， m 2 或 3 m 5.答案 ： (， 2) (3,5)10解下列不等式：(1)8x 1