分離猜想(1)猜求和公式

1、 分離猜想（1） 猜求和公式 學(xué)生：經(jīng)常聽您說“解題猜想”. 請問：猜想到底是怎么回事？ 老師：看具體問題，請計(jì)算1+2+3+4+n = ？ 生：這不是“前n個(gè)自然數(shù)求和”嗎？答案是： 師：這不是猜想，這是背現(xiàn)成的公式！ 生：好吧，我來推這公式 師：這也不是猜想，這是按熟悉的思路推導(dǎo)公式. 生：那到底什么是猜想呢？ 師：猜想是從具體到一般，從局部到整體、從元素到集合的推理過程. 對于本題，則是S1=1，S2=3，S3=6等，探索Sn= f (n) 是什么的過程？看表一： 表一：n1234nSn13610? 生：從這表上能看到什么呢？ 師：想看到Sn與n的關(guān)系. 豎著看表，看下一行數(shù)與上一行數(shù)的

2、關(guān)系. 生：這也看不出什么關(guān)系呀！ 師：所以嘛. 我們要將下一行數(shù)進(jìn)行變換，在變換后再看Sn與n的關(guān)系. 比如，我們將下一行數(shù)分別乘以2，則得表二： 表二：n1234nSn13610?2Sn261220? 再看第三行數(shù)與第一行數(shù)的關(guān)系.生：嗯，有關(guān)系：第三行數(shù)分別是第一行數(shù)乘以它的后面那個(gè)相鄰的自然數(shù). 有了， 師：這就是猜想解題. 從局部或個(gè)例開始，觀察，變換，尋找，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.生：有道理，我明白了猜想是什么，不過，對于此題，有點(diǎn)不值得.師：不值得的原因，是由于問題簡單，而且你事先已經(jīng)知道了結(jié)果. 那么，再看下題.Sn=13+23+n3 = ?生：這是個(gè)難題，您能猜嗎？師：面對難題，才顯示猜想的價(jià)值，先看表三： 表三：n1234nn3182764n3Sn1936100?看看第三行數(shù)與第一行數(shù)的關(guān)系？生：我看不出什么關(guān)系.師：退一步，將第二行變形，先看第三行本身的特征？生：有特征，它們都是完全平方數(shù)！師：好了，將第二行數(shù)分別配方，將表三化簡成表四 表四：n1234nSn123262102?再看表四中，上、下兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，如果看不到關(guān)系，可將下行中各平方數(shù)的底數(shù)變形.生：有了！各底數(shù)乘以2，關(guān)系就出來了，我制出了表五： 表五：n1234nSn 師：非常好！經(jīng)過這樣的變形，Sn與n的關(guān)系就出來了，猜想的結(jié)果也出來了： Sn = 能證