導數(shù)專題三零點問題教師版

1、(2013昌平二模理)(18)(本小題滿分13分)(零點問題)A已知函數(shù) f (x)- x2alnx(a 0).2(I)若 a 2,求 f(x)在(1,f(1)處的切線方程;(n)求 f(x)在區(qū)間1,e上的最小值;(III)若 f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個零點，求 a 的取值范圍.(18)(本小題滿分13分)解：(I)a 2.f(x)2x2a(n)由 f(x) x -x當 1 a e2時，要使 f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個零點，則導數(shù)專題(三)零點問題2ln x, f (x)f (x)在(1,f(1)處的切線方程為 2x2y0.- .3分由a 0及定義域為(0,)，令 f(x)0

2、,得x若苗 1,即0 a1,在(1,e)上, f(x) 0 ,f(x)在1,e上單調(diào)遞增,1 因此，f(x)在區(qū)間 1,e 的最小值為 f(1)-.2若 1 ja e,即1 a e2,在(1/a)上, f (x)0 , f (x)單調(diào)遞減；在(石,e)上，f(x)0 ,f (x)單調(diào)遞增，因此 f(x)在區(qū)間1,e上的最小值為 f(Ja)- a(1 In a).2若 ja e,即a e2,在(1,e)上, f (x)0 , f (x)在1,e上單調(diào)遞減,因此，f(x)在區(qū)間1,e上的最小值為 f(e)1綜上，當0a 1時，fmin(x) 1；當1 a12-e a.221當2時，fmMa.9分(

3、III)由(II)可知當0 a 1或 a e2時,能存在兩個零點.f (x)在(1,e)上是單調(diào)遞增或遞減函數(shù)，不可2a(1In a) 0,0,12(e, e ).2(2014西城期末理)18.(本小題滿分13分)(零點問題)已知函數(shù) f(x) (X a)ex，其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)，a R.(I)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)當a 1時，試確定函數(shù) g(x) f(x a) X2的零點個數(shù)，并說明理由18.(本小題滿分13分)令 f(X)0，得X當 x 變化時，f(X)和 f(X)的變化情況如下:/故 f(X)的單調(diào)減區(qū)間為(，a 1)；單調(diào)增區(qū)間為(a 1,理由如下:由 g(x) f

4、 (x a) X20，得方程 xeX ax2顯然X 0為此方程的一個實數(shù)解所以X 0是函數(shù) g(x)的一個零點當X 0時，方程可化簡為 exaX.- f(1)f(e)2 0,ie2a2a e即 12，此時,a - e212e a -e2所以，a 的取值范圍為 13分(I)解：因為 f (X) (Xa)eX,X R,所以 f (x) (x a1)ex. 2.3分.6分(n)解：結(jié)論：函數(shù) g(x)有且僅有一個零點 7.9分設(shè)函數(shù) F(x) ex aX，則 F (X) ex a1 , 令 F(X)0,得 x a .當 x 變化時，F(xiàn)(x)和 F(X)的變化情況如下:因為a 1,所以當x 0時，函數(shù)

5、 g(x)不存在零點.綜上，函數(shù) g(x)有且僅有一個零點.分(2015上學期期末豐臺理)18.(本小題共13分)(圖像交點、問題轉(zhuǎn)化)已知函數(shù) f (x) X ex1 .(I)求函數(shù) f(x)的極小值;(n)如果直線 y kx 1 與函數(shù) f (x)的圖象無交點，求k的取值范圍.18.解：(I)函數(shù)的定義域為R因為 f (x) X ex1 ,令 f (x) 0，則x 0.0-0+極小值所以當x 0時函數(shù)有極小值 f(x)極小值=f(0)0 ./);單調(diào)減區(qū)間為(，a).即 F(x)的單調(diào)增區(qū)間為(a,所以 F(X)的最小值 F(X)minF(a) 1 a. 11分所以 F(X)minF(a)

6、 1 a所以對于任意X R, F(x) 0,因此方程 ex ax 無實數(shù)解.所以 f (x)x.e1x.6(l)當(n)當(m)若解：(I)當 aa 1 時，試求 f(x)在(1,f (1)處的切線方程；a 0 時，試求 f (x)的單調(diào)區(qū)間；f (x)在(0,1)內(nèi)有極值，試求a的取值范圍.1 時，f/(x)e (x21)11，f/(1) 0，f(1) e 1 .xx21(n)函數(shù) f(x)x 1 Ae令 g(x)x 111 (kxe1)，即 g(x)(1 k)xxe ,所以 g (x)(1 k)ex1xe.當k 1時,1g(x)0 ,滿足 ykx 1 與f (x)無交占-八 、J當k 1時

7、,g(丄)(1 k)11e11e 和1 ,k 1-1k 1而10，1尹 1，1 k所以 g(宀0，此時不滿足 ykx1與f(x)無交點.當k 1時, 令 g(x)(1 k)exxe1 0 ,則xln(1k),當 x (,l n(1 k)時, g (x) 0 , g(x) 在(,ln(1k)上單調(diào)遞減當 x ( ln(1 k),)時,g (x) 0 , g(x) 在( ln(1 k),)上單調(diào)遞增當 xln(1 k)時，g(x )ming(ln(1k)(1k)(1ln(1k).由(1k)(1ln(1 k)得1 e k1,當x 0時 f(x) 0 11T0，y k 011，ekx 1 與 f(x)

8、無交點，等價于 f(x) kx 1 恒成立.綜上所述當 k (1 e,1時，ykx 1 與 f (x)無交點.分(2016東城上學期期末理)(19)(本小題共14分)(零點，問題轉(zhuǎn)化)X X已知函數(shù) f(x) a(x In x).x所以要使 y即 y kx 1 與 f (x)無交點.00極小值所以當 a e 時，f(x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一.當a e時，當 x (0,1)時，f(x) 0 恒成立，f(x)單調(diào)遞增，不成立.綜上，a的取值范圍為(e,) .14分(2015海淀一模理)(18)(本小題滿分13分)(問題轉(zhuǎn)化、零點) 已知函數(shù) f(x) alnx -(a 0).x方程為 y e

9、 1 .ex(x 1). 4分(n) f (x)2x(exax)(x 1)a(1-)xex(x 1) ax(x 1)x2所以所以x20 時，對于 xf(x)0?x(0,exax(x)0恒成立,(m)若0?0 x 10.)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1).(0,1)內(nèi)有解.單調(diào)增區(qū)間為(1,f(x)在(0,1)內(nèi)有極值，則 f(x)在 x. 8分令 f(x)(ex ax)(x 1)x20?exaxx設(shè) g(x)exx (0,1),ex(x 1)Jx所以 g(x)單調(diào)遞減.e,又當 x所以 g(x)當 x (0,1)時,g(x)0 恒成立,又因為 g(1)即 g(x)在 x0 時，g(x),(0,1)上的

10、值域為(e,所以當 ae 時，f(x)(ex ax)(x有解.設(shè) H (x) ex所以 H (x)在 x 因為 H(0)1所以 H (x) ex所以有：2xax,貝 U H (x) exa 0 x (0,1), (0,1)單調(diào)遞減.0, H (1) e a 0,ax 在 x (0,1)有唯一解 X0.(I)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間；2 分3(n)若xf(x) 0 b,c(其中b c),求 a 的取值范圍，并說明b,c(18)(共13分)a 1 ax 1, c (X0).x x x當 x 變化時，f(x), f(x)的變化情況如下表極小值所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,丄)，單調(diào)遞增區(qū)間是(

11、丄，).-aa(n)由(I)知:51f (x)在(0,-)內(nèi)是減函數(shù)，在(-,)內(nèi)是增函數(shù),aa(0,1).解：(I)f(x)(i)當a0時，f(x)0，則函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,).(ii)當a0時，令f(x) 0,得x.5 分記為 c.因為所以x f(x) 0 b,c.2 分351f (x)在(0,-)內(nèi)是減函數(shù)，在(-,)內(nèi)是增函數(shù),aa當a 0時, 函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,)內(nèi)是減函數(shù)，所以，函數(shù) f(x)至多存在一個零不符合題意. 6分當a0時, 因為f (x)在(0,-)內(nèi)是減函數(shù),1在(丄，)內(nèi)是增函數(shù)，所以要使a1C-a 0.a0b,c，必須1f( (一一) )0，

12、即alnaa所以a e. -7分當 a e 時, f(2)aln(丄)a5 62aln a2a a (a 2ln a).aa令g(x) x 21 nx (x e)，則g(x)1 -2(x e).xx當 x e 時,g(x)0,所以，g(x )在e,)上是增函數(shù).所以 當 ae 時，g(a) a 2lnag(e) e2 0.所以1fr a)0. -9分因為丄2丄1,f(-) 0,f(1)1 0,aaa所以f(x)在(2,1)內(nèi)存在一個零丿民不妨i記為b，在(-,1)內(nèi)存在一個零點，不妨a. 11分占八、5x f(x)a a0時，因為 f (x) a si nx si nx xcosx (1 a)

13、si nx xcosx 0, x由 f(x)是偶函數(shù)可知，集合 A x| f(x) 0中元素的個數(shù)為2.綜上所述，當a 0時，集合 A x|f(x) 0中元素的個數(shù)為0;當a 0時，集合綜上所述，a 的取值范圍是(e,+ ).12分因為 b(丄，丄)，c (-,1)，a aa所以b,c(0,1). 13分(2015海淀上學期期末)(19)(本小題滿分已知函數(shù) f(x) acosx xsinx， x 13分)(零點、三角函數(shù))n n,.2 2判斷函數(shù) f(x)的奇偶性，并證明你的結(jié)論;(n)求集合 A x| f (x)0中元素的個數(shù);(rn)當1 a 2時，問函數(shù) f(x)有多少個極值點(只需寫出結(jié)論)(19) (共13分)解：(I)函數(shù) f(x)是偶函數(shù),證明如下:. 1分對于. 2分因為f ( x) a cos( x) xsin( x) a cosx xsin x f (x)，所以f(x)是偶函數(shù). 4分(n)當a0時，因為 f (x)acosx xsinx 0，x -,-恒成立,2 2所以 集合 A x| f (x)0中元素的個數(shù)