(完整版)數(shù)學(xué)分析中求極限的方法總結(jié).

1、數(shù)學(xué)分析中求極限的方法總結(jié)1 利用極限的四則運(yùn)算法則和簡(jiǎn)單技巧極限的四則運(yùn)算法則敘述如下：定理 1.1 ：如果 limf （ x）=, lim g（ x）=x x 0x x0（ 1） lim f ( x) g (x)lim f ( x)lim g(x)x x0x x0x x0（ 2） limf （ x）g（ x）= lim f（ x) lim g( x)x x0x x0x x0f (x)lim f (x)（ 3）若 B0則： limxx0xx0g(x)lim g(x)xx0（ 4） limcf ( x) clim f ( x)cx x0xx0nnn （ n 為自然數(shù)）（ 5） limlimf

2、(x)f ( x)x x0x x0上述性質(zhì)對(duì)于 x, x, x也同樣成立 i由上述的性質(zhì)和公式我們可以看書(shū)函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。例 1.求 lim x25 的極限x 2 x3解：由定理中的第三式可以知道lim x25limx25x2x3x 2 x3limx2lim x2lim5x2x 2lim xlim3x2x 2225923例 2.求 limx1 2的極限x 3x3解：分子分母同時(shí)乘以x121limx1 2limx12x12x3x 3x 3x3x12limx3x3x12x 314式子經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后就能得到一個(gè)只有分母含有未知數(shù)的分式，直接求極限即可111例 3.

3、已知 xn23LLn1n，求 lim xn1 2n解：觀察1=111=111=111 222323n 1 n n-1 n因此得到xn11L L11223n1n11111L L1112233n 1n 1n11n所以lim xnlim111nnn2利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù) f(x) 在 x0 附近有定義，則yfx0xf x0如果limylimfx0xfxxxx0x0存在，則此極限值就稱(chēng)函數(shù) f(x) 在點(diǎn) x0 的導(dǎo)數(shù)記為 f 'x0。即f'x0limfx0xfx00xx2在這種方法的運(yùn)用過(guò)程中， 首先要選好 f(x)。然后把所求極限都表示成 f(x)在定點(diǎn) x0的導(dǎo)數(shù)

4、。例 4.求 limxx2ctg 2x 的極限x2解： limx2ctg 2x11tg 2xtg 2xtg 2x2limxx2xxxlimx22xx22fxf1lim2xxxf '222123 利用兩個(gè)重要極限公式求極限兩個(gè)極限公式：（ 1） lim sin x1 ，x 0x1x（2） lim 1ex x但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：sinxx0 ，（1） lim1,x1xe,x求極限。（2） lim 1x例 5： lim0( 12 x )x(1x )1x1解：為了利用極限 lim (1x) xe 故把原式括號(hào)內(nèi)式子拆成兩項(xiàng)， 使得第一項(xiàng)為 1，x0第二項(xiàng)和括號(hào)外的指數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行配平

5、。312 x )13 x1xlim= lim(1(0)xx0( 1x )x1x3x1 x1 3x= lim13xx 1x1 xx 03 x )1 x3=lim( 13 x 1xe 3x01x例 6： lim1cosx0x2x解：將分母變形后再化成“ 0/0 ”型 所以lim1cosxx2x02 sin2x=lim0x22xsin2x=lim121x02x)22(21lim (12x) x例 7: 求 x 0的極限11解：原式lim(12 x) 2 x(12x) 2xe2= x 0利用這兩個(gè)重要極限來(lái)求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過(guò)變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用

6、此方法來(lái)求極限。 一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。4 利用函數(shù)的連續(xù)性因?yàn)橐磺谐醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的, 所以如果 f (x) 是初等函數(shù) , 且 x0是 f (x)的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn) ,則 lim f (x) f (x0 )。x x0例 8：lim arcsin2 x 16x 1解 : 因?yàn)閺?fù)合函數(shù) arcsin 是初等函數(shù) , 而 x1是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn) , 所以極限值就等于該點(diǎn)處的函數(shù)值 . 因此4limarcsin2 x 1arcsin2 x1x 1661= arcsin=2例 8：求 lim ln sin x6x2解： 復(fù)合函數(shù) ln sin x 在 x處是連續(xù)的，所以在這點(diǎn)

7、的極限值就等于該點(diǎn)處2的函數(shù)值即有 limln sinx lnsinx22=limsinln 12=05 利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限。（ 1）函數(shù)極限的迫斂性：若一正整數(shù)N, 當(dāng) n>N時(shí)，有 xnyn zn 且lim xnlim zna,則有l(wèi)im ynaxxx。利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從xn 的表達(dá)式中，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列yn 和zn，使得 ynxnzn 。11.1xn1n2n2nn22例 9 ： 求 xn 的極限解：因?yàn)?xn 單調(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)xn11.1nn2nn2nnn2nn2xn111n1n21.1n21n2n2nxnn則nn21n2

8、5又因?yàn)?limnlimn1n2nn2xx1lim xn1x（ 2 ）單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。例 12：設(shè) x1 10, xn 16xn n 1,2L, n。試證數(shù)列 xn的極限存在 ,并求此極限。解 : 由 x1 10 及 x2 4 知 x1x2 。設(shè)對(duì)某個(gè)正整數(shù) k有 xkxk1 ， 則有 xk16 xk6 xk1xk 2從而由數(shù)學(xué)歸納法可知, 對(duì)一切自然數(shù) n ,都有 xnxn 1 ，即數(shù)列 xn 單調(diào)下降 ,由已知易見(jiàn) xn0(n 1,2.) 即有下界 ,根據(jù)“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限”這一定理可知存在。令 lim xnA 對(duì) xn 16xn 兩邊取極限，n有6

9、所以有260解得 A=3,或2 。因?yàn)?xn0(n 1,2.) ，所以0 ，舍去2lim xn 3, 故 n6 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限定義 6.1 ：若當(dāng) xa （或 x）時(shí)，函數(shù) fx 和 Fx 都趨于零 ( 或無(wú)窮大 ) ，limf(x)0)F(x) 可能存在、也可能不存在， 通常稱(chēng)為則極限 (xxa型和0型未定式。例如：limtan x0, (0 型);xx0limln sin ax, (型).x0ln sin bx定理 6.2 ：設(shè) （ 1）當(dāng) x時(shí),函數(shù) fx 和 F x 都趨于零 ;6（ 2）在 a 點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi) , f ' x 和 F ' x 都存在且

10、F ' x0 ;（ 3） limxaf ( x )存在 ( 或無(wú)窮大 ),) F ( x )( x則f ( x )f ( x )limlimx a F ( x )x a F ( x )定義 6.3 ：這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱(chēng)為洛必達(dá)法則 .例 10： limsin 2 x2x 22cos 2 xx 0xsinx解：(sin xx cos x)(sin xx cosx)sin x x cosxlimsin x x cosxlimx4= limxx3x 0x 0x 0=2lim cosxcosxxsin x = 2 lim sin x = 2x0

11、3x23 x0x3在利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)， 為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，并注意觀察所求極限的類(lèi)型如下例，limx1ex例 11：求 x0limxlimtlim11解：1 ex1 etetx 0= t 0t 0洛必達(dá)法則通常適用于以下類(lèi)型：0型：例 12limx(arctan x)求 x2.arctan x11lim 2lim1 x2lim1解 原式1xx1x11.xx2x2型：7例 13limsecxtan x.求 x2Q secxtan x1sin x1sin xcos xcos x解cos x，lim 1sin xlimcosx0故原式x2cos xx2sin

12、x.00型：例 14limx x求 x0.lim eln xxlim exln xlim ex ln x1ex0解原式x 0x0.1型：lim 1xe例 15求 xx.lime1解原式xxx eeee.0型：例 16lim ( 1 )tan x求 x 0x.limln(1 )tan xlim e tan xln xlime tan x ln xexex 0解 原式x 0x 0，lim(tan xln x)tan x xlim( x ln x)0而 x 0x 0，因此：原式 =1.7. 用泰勒展式來(lái)求極限用此法必須熟記基本初等函數(shù)的展開(kāi)式 , 它將原來(lái)函數(shù)求極限的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求多項(xiàng)式或有理分式的極

13、限問(wèn)題。 對(duì)于和或差中的項(xiàng)不能用其等價(jià)無(wú)窮小代替的情形 , 有時(shí)可用項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng) , 使運(yùn)算十分簡(jiǎn)便。x2例 17： limcos xe 2x4x 0解：因?yàn)?cos x1x2x4o(x 4 )2!4!x2x21x44e2o(x)1*4!2!2!所以x21x4o(x4)cosxe 21241limx4limx12x0x0例 18： lim xx 2 ln( 11 )xx1解：因?yàn)楫?dāng) x0 所以時(shí)，xln(11 )11* (1)2o( 1 ) 2 )( x)xx2xx從而x 2 ln( 11)x1o(1)xx2于是lim xx 2( 11 )lim1o(1)1xxx22注意：如果該題

14、利用其他方法就不容易做了。8. 利用定積分求極限由于定積分是一個(gè)有特殊結(jié)構(gòu)和式的極限， 這樣又可利用定積分的值求出某一和數(shù)的極限 . 若要利用定積分求極限， 其關(guān)鍵在于將和數(shù)化成某一特殊結(jié)構(gòu)的和式。凡每一項(xiàng)可提 1/n, 而余下的項(xiàng)可用通式寫(xiě)成 n項(xiàng)之和的形式的表達(dá)式 , 一般可用定積分的定義去求 。利用定積分可求如下二種形式的極限:f ( 1 )f ( 2 ) .f ( n )limnnn 型xn定理 8.1 ：設(shè) fx 在0 ， 1 上可積，則有f ( 1 )f ( 2 ) .f ( n )1nnnlimf ( x) dxxn012n.例 19：求極限 limnnnxn解：令 f xx ，

15、 fx 在0,1上可積。912n.11lim nnn0xdxxn2lim nf ( 1 )f ( 2 ) .f ( n ) 型xnnn定理 8.2 ：若 f (x) 在 0,1上可積，則lim nf ( 1)f ( 2 ). f ( n)1epx ln f ( x)dxxnnn0例 20：求 limnn !nxnn!= lim1*2*.*n解： limnxnxnnn令 f x x , 則有：nn !12n11limnlim n *.*epx ln xdxexxnnn0lim(111 )例 21：求 nn1n 22n解：把此極限式化為某個(gè)積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算計(jì)算定積分，為此作如下變形：J

16、 limn11inni 11nf (x)10,11x 在區(qū)間不難看出，其中的和式是函數(shù)發(fā)上的一個(gè)積分和。（這xi1ii1 i里所取的是等分分割，,in,1.2.n.）， 所以nnn （ i1 dxln(1x)1Jxln 20 10f ( x)11,2x 在當(dāng)然，也可把 J 看作上的定積分，同樣有102 dx3dxJln 21 x2x 19. 利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限 i我們知道在某一過(guò)程中為無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量 ; 有界函數(shù)與無(wú)窮小量的乘積 , 仍是無(wú)窮小量。利用這兩個(gè)定理可以求出某些函數(shù)的極限。例 22： lim4 x723 x 2x 1 x解：當(dāng) x1 時(shí)分母的極限為 0，而分子的極限不

17、為 0，可先求出所給函數(shù)的倒數(shù)是無(wú)窮大量：lim4 x72= 132 = 0x 1x 23 x47利用無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量故x14x72=x 23xlimx 2sin1例 23：極限 lim0sinxxxx2sin1解： lim0xxsinxlimxxsin1sinxxx0因?yàn)閘imx1 ；0 sinxx當(dāng) x0 時(shí)， x 為無(wú)窮小量， sin 1為有界量x，故 limx sin10；x0x所以原式 =0。xsin1例 24：求極限 limx3x1x解：因?yàn)?sin 11 所以 sin 1 是有界函數(shù)xxlimx0x1x3故x在 x時(shí)是無(wú)窮小量。1x311利用無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積還是無(wú)

18、窮小量。所以x sin1limx03x1x.10. 利用等價(jià)無(wú)窮小的代換求極限利用等價(jià)無(wú)窮小代換求函數(shù)的極限時(shí)， 一般只在以乘除形式出現(xiàn)時(shí)使用， 若以和、差形式出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榻?jīng)此代換后，往往會(huì)改變無(wú)窮小之比的階數(shù)，故此慎用為好。常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小量( x 0 ) sin x tan x ln( 1 x) e x1 arcsin x arctan x x 等價(jià)無(wú)窮小有''重要性質(zhì):設(shè) ' , ' 且 lim'存在，則 lim= lim ' , 這個(gè)性質(zhì)表明 , 求兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限時(shí) , 分子 , 分母均可用等價(jià)無(wú)窮小量之比的極限時(shí) ,

19、 分子 , 分母均可用等價(jià)無(wú)窮小量代替 , 從而使計(jì)算大大簡(jiǎn)化 。 itg 3 x例25：極限 limx 0 sin 5 x解：當(dāng) x0 時(shí)， tg 3 x 3x ,sin 5 x 5 x,limtg3 xlim3 x3sin5 x0 5 x5x0x例 26：求極限 lim02 sin x3sin 2 xxx解：lim2 sinxsin2 xx3x0sinxlim2 (1cosx )=x0x=lim1x0xx22x12錯(cuò)誤的解法是： lim 2 sin xx3sin 2xlim 2 xx32x0 ( 錯(cuò)在對(duì)加減中的某一項(xiàng)x 0x 0進(jìn)行了等價(jià)無(wú)窮小代換 )11.利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限i給

20、出一數(shù)列 un , 對(duì)應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù)un 若能判定此級(jí)數(shù)收斂 , 則必有n 1lim un0。由于判別級(jí)數(shù)收斂的方法較多 ,因而用這種方法判定一些以零為極n限的數(shù)列極限較多方便。12例 27：求極限 lim a( a1).( an1) xn ,x(1,1)nn!解：設(shè)級(jí)數(shù)a ( a1 ).(an1 )x nn0n !其中 u na ( a1).( an1)x nn!u n 1a ( a1).( an1)( an )x n 1( n1)!u n1limanx1limxnu nnn1由達(dá)朗貝爾判別法知級(jí)數(shù)收斂 , 再由級(jí)數(shù)收斂的必要條件 lim un0 可知：nlim a(a1).( an1) x n

21、0 ,x( 1,1)nn!例 28：求極限 lim2 nn !nnn解：設(shè) u nlim2 nnn!nn級(jí)數(shù)u n為 2n項(xiàng)級(jí)數(shù)。n1由比值審斂法： lim 2u n 1lim2 n 1( n 1)!n nu n( n1)!2nn!nn=lim2 (n) nnn1=lim21211en(1) n=n所以2 nn !收斂，n nn1故lim2 nnn ! =0nn1312 .利用極限定義驗(yàn)證極限用極限定義驗(yàn)證極限， 是極限問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)。 做這類(lèi)題目的關(guān)鍵是對(duì)任意給定的正數(shù) ，如何找出定義中所說(shuō)的 N或 確實(shí)存在。這實(shí)際上是利用逆推的方法論證問(wèn)題，可以培養(yǎng)逆向思維能力。例 27 ： lim5n531nnn1證：任給0要找 N , 使 nN 時(shí)，有n 51n 5n 31即n 31，n 5n 31顯然，當(dāng) n 較大時(shí)，如 n2 ，有n 51n 31n 3n 5n 31111n5(1)5(1)n2n5n22=413n2,因此要使n 31成立，5n 31n當(dāng) n>=2時(shí)，只要4 13 n 2即n 24 或 n433 。這樣一來(lái)，取N max(2,4 )則當(dāng)時(shí)，,n>N314則有 n2 及 n4,3因此上述各式成立。證畢。13. 涉及單側(cè)極限與雙側(cè)極限的問(wèn)題x1在 x1處的左右極限，并說(shuō)明在 x1處是否有例 28：求函數(shù) f ( x)1