(完整版)上海大學(xué)隨機(jī)過程第六章習(xí)題及答案

1、第三章習(xí)題1甲乙兩人進(jìn)行某種比賽，設(shè)每局比賽中甲勝的概率為p ，乙勝的概率為q ，平局的概率為 r ，其中 p, q, r0, pqr1 ，設(shè)每局比賽后，勝者得1 分，負(fù)者得1分，平局不記分，當(dāng)兩個(gè)人中有一個(gè)人得到2 分時(shí)比賽結(jié)束，以X n 表示比賽至第n 局時(shí)甲獲得的分?jǐn)?shù)，則 X n , n 1 是一齊馮馬爾可夫鏈 .（ 1）寫出狀態(tài)空間；（ 2）求一步轉(zhuǎn)移概率矩陣；（ 3）求在甲獲得 1 分的情況下，再賽 2 局甲勝的概率 .解（ 1） X n , n0 的狀態(tài)空間為S2, 1,0,1,2（ 2） X n , n0 的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為10000qrp00P 0qrp000qrp00001

2、（ 3）因?yàn)閮刹睫D(zhuǎn)移概率矩陣為10000qrqr 2pq2 prp20P(2)P 2q22rqr 22 pq2 prp20q22qrpq r 2p pr00001所以在甲獲得1 分的情況下，再賽2 局甲勝的概率為p12(2)p prp(1 r )2設(shè) Yi ,i1,2,L 為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，則（1） Yi ,i1,2,L 是否為 Markov 鏈？n（2）令 X nYi ，問 X i , i 1,2,L 是否為 Markov 鏈？i 1解（ 1）由于P(Ynj Y1i1 ,Y2i2 ,L,Yn 1P(Y1 i1, Y2i2 ,L,Yn 1i ,Ynj )i)P(Y1i1 ,Y2 i2

3、,L , Yn 1 i)P(Y1i1 )P(Y2i2 )LP(Yn 1i )P(Ynj )j )P(Ynj Yn 1i )1i2,L,Yn 1i )P(YnP(Y i1 ,Y2因此， Yn , n1,2,L 是馬爾可夫鏈 .（ 2）取 f1 (U 1 )X1U 1 ，當(dāng) U 1 i1 時(shí)， X 2U 1U2 是U2的函數(shù)，記為f2 (U 2 ). 依次類推， X n 1U 1U 2LU n 1 為 U n 1 的函數(shù)，記為 fn 1 (U n 1 ), X n U 1 U 2LU n為 U n 的 函 數(shù) ， 記 為 fn (U n ). 由 于 U 1,U 2 ,L ,U n ,L相互獨(dú)立，

4、則其相應(yīng)的函數(shù)f1 (U 1), f 2 (U 2 ),L, fn (U n ),L也相互獨(dú)立，從而nP( X nj X1i1 , X 2i2 ,L , X n 1i ) P(Yij X1i1, X 2i2 ,L , X n 1i )i 1P( X n 1YnjX1i1 , X 2 i2 ,L, X n 1i)P(Ynji )P( X njX n1i )因此 X n , n1,2,L 是馬爾可夫鏈 .3 設(shè)X i , i1,2,L是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且使得P( X ij )a j , j0,1,L，如 果X nmax X i ,i1,2,L ,n1，其中X 0，就稱在時(shí)刻n 產(chǎn)生了一個(gè)記錄.

5、若在時(shí)刻n產(chǎn)生了一個(gè)記錄，就稱X n 為記錄值，以Rn 表示第n 個(gè)記錄值.（1）證明， Rn , n1,2,L 是Markov鏈，并求其轉(zhuǎn)移概率；（2）以 Ti 表示第i 個(gè)與第i1 記錄之間的時(shí)間， 問 Tn, n1,2,L 是否是Markov鏈，若是，則計(jì)算其轉(zhuǎn)移概率.證明：（a ） 根 據(jù) 題 意 有 ：R1X n1 , R2X n2 ,.RkX nk，滿 足X n1X n 2 .X nk .且1n1n2 .nk .故 P Rk 1z | Rkik , Rk 1i k 1 ,.R1i1P Rk 1z | jikik 1.i1P Rk1z | jikP Rk 1z | Rkik 故 Ri

6、 , i1 是一個(gè)馬爾可夫鏈且P Rk 1 z | Rk i k P Xn k 1z | X nka j , jii k i0, j（由于 Xi 的獨(dú)立性）（b）記 Ti 為第 i 個(gè)記錄與第 i1 個(gè)記錄之間的時(shí)間，Ti 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，因?yàn)镻Ti t P Ri 1X ni tz | RiX nii , X ni k i , k 1,2., t 1P Ri 1X n i ta j , jiz =i（由于 X i 的獨(dú)立性）0, j故 Ti ， i 1 是一個(gè)馬爾可夫鏈令 Zi ( Ri ,Ti ), i 1則 P Zi 1 Zi , Zi 1, , Z1P ( Ri 1, ti 1 )

7、 ( Ri ,ti ),( Ri 1, ti 1),( R1, t1 )P (X1t+t, ti1) ( X1 t1? +t ,ti ),(X1 t ? +t,ti1 ), ,( X1 tt,t 2 ),( X1, t1 )1i 1i1i 112P ( X1 t1+ti 1 , ti1) ( X1 t1 ? +ti , ti )P (X1t1+t i 1z, ti 1 ) ( X1 t1 ? +tii ,ti )j , ji0, ji故 ( Ri ,Ti ), i1 是一個(gè)馬爾可夫鏈。4 考慮一個(gè)具有狀態(tài) 0,1,2,L 的 Markov 鏈，其轉(zhuǎn)移概率滿足 pi ,i 1 pi 1pi,i

8、1 ，其中p0 1 ，請(qǐng)找出為了使該Markov 鏈正常返， 所有的 pi 所應(yīng)該滿足的充要條件，并計(jì)算其在這種情況下的轉(zhuǎn)移概率 .解：根據(jù)題意知，要滿足馬爾可夫鏈為正常返約，當(dāng)且僅當(dāng)ji Pyj =0，1，2.i有一組解j 0,j1j根據(jù) Pi , i 1Pi1Pi ,i 1，方程可重寫為01q1ii 1Pi 1i 1qi1, i1則i 1qi 1i Pi , i 0因此 i 10P0.Pi, i 0q .q11i從而，隨機(jī)游動(dòng)為正常返約的充要條件是P0.Pii 0 q1.qi 15 捕捉蒼蠅的一只蜘蛛依循一個(gè)Markov 鏈在位置 1，2 之間移動(dòng)， 其初始位置是1，轉(zhuǎn)移矩0.70.32，

9、并依照轉(zhuǎn)移矩陣為0.40.6陣為，未覺察到蜘蛛的蒼蠅的初始位置是0.6的0.30.70.4Markov 鏈移動(dòng)，只要它們?cè)谕粋€(gè)位置相遇，蜘蛛就會(huì)捉住蒼蠅而結(jié)束捕捉.（ 1）證明：在捕捉的過程中，除非知道它結(jié)束的位置，否則都必須用三個(gè)狀態(tài)的Markov鏈來(lái)描述，其中一個(gè)是吸收狀態(tài)，表示結(jié)束捕捉，另外兩個(gè)代表蜘蛛與蒼蠅處在不同位置，對(duì)此求轉(zhuǎn)移矩陣；（ 2）求在時(shí)刻 n 蜘蛛與蒼蠅都處在各自初始位置的概率；（ 3）求捕捉過程的平均持續(xù)時(shí)間 .證明：捕捉過程中， 除非知道它結(jié)束時(shí)的位置， 可用三個(gè)狀態(tài)的馬爾可夫鏈來(lái)描述，其中一個(gè)是吸收狀態(tài)代表捕捉結(jié)束， 而另外的兩個(gè)代表植蜘蛛與蒼蠅處在不同的位置，對(duì)

10、此鏈求轉(zhuǎn)移概率矩陣。求在時(shí)刻 n 蜘蛛與蒼蠅都處于各自的出事位置的概率， 捕捉過程的平均持續(xù)時(shí)間是多少？解：（ 1）根據(jù)題意可知，在捕捉過程中共有三個(gè)狀態(tài)，我們分別令為1，2，3則 1= 蜘蛛為 1，蒼蠅在 2 2= 蜘蛛為 2，蒼蠅在 1 3= 蜘蛛，蒼蠅在同一位置 0.280.180.54其中狀態(tài) 3 也代表著捕捉結(jié)束，則轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.180.280.54001（2）分別設(shè) X n ， Yn 代表時(shí)刻 n 蜘蛛和蒼蠅的位置。令Pn1,2P X1nnnP X nYnP2,Y則有 PnP X n1,Yn2 =P X n1,Yn2 | X n11,Yn 12 Pn 1 +P X n1,Yn

11、2 | Xn 1 1,Yn 1 2 Pn1=0.28 Pn 1 +0.18Pn1同理 Pn =0.28 Pn1 +0.18Pn 1且 P1 =0.28,P1 =0.18(3) 蒼蠅被吃掉的概率為 P = P 蜘蛛不動(dòng)，蒼蠅動(dòng) P 蒼蠅不動(dòng)，蜘蛛動(dòng) 故 P 0.7*0.6+0.4*0.3=0.54故捕捉過程的平均時(shí)間為1.856 在一個(gè)分枝過程中，每個(gè)個(gè)體的后代個(gè)數(shù)服從參數(shù)為（2， p ）的二項(xiàng)分布，從一個(gè)個(gè)體開始，計(jì)算：（ 1）滅絕概率；（ 2）到第三代群體滅絕的概率；（ 3）若開始時(shí)不是一個(gè)個(gè)體， 初始的群體總數(shù) Z0 是一個(gè)隨機(jī)變量， 服從均值為的泊松分布，證明：此時(shí)對(duì)于p1 ，滅絕概率為

12、 exp (1 2 p) / p2 .22p 滅絕的概率 |X 1 j P X1 j解 （ a）設(shè) 0 = P 滅絕的概率 =j02j0j0故有 0 (1 p)22 p(1 p) 0 p2022p j (1 p)2 jj12 p(1 p)14 p(1p)|1 2 p | 1 2 p2 p21解得( p 1)202p22 p2p2因?yàn)镋X2p ，根據(jù)定理4.5.1可知，若 P0.5時(shí)，0=1P 0.5時(shí) ，0 =( p1)2p21, p0.5即 0(p12, p0.5)p2（b） = 第三代群體首次滅絕 =p 第三代群體首次滅絕 | x2 j x2 j j1=2jjj2j(1p)j1C2p故 =

13、22p(1p)p+2（c） * = p 群體滅絕 =p 群體滅絕 | Z0 k p Z 0 kk 0=k kp 群體滅絕 | Z0ek 0k!kk=0k0e=eexp0 =exp(12 p) p2 k!7 一輛出租車流動(dòng)在三個(gè)位置之間，當(dāng)它到達(dá)位置1 時(shí)，然后等可能的去位置2 或 3.當(dāng)它到達(dá)位置 2 時(shí)，將以概率1/3 到位置 1，以概率2/3 到位置 3.但由位置3 總是開往位置1.在位置 i 和位置 j 之間的平均時(shí)間是t1220,t1330,t2330 ，且 tijt ji .求（1）此出租車最近停的位置是i 的（極限）概率是多少？i1,2,3 ；（2）此出租車朝位置2 開的（極限）概

14、率是多少？（3）有多少比例的時(shí)間此出租車從位置2 開到位置 3?注意，以上均假定出租車到達(dá)一個(gè)位置后立即開出.解：根據(jù)題意有P =1/2 ， P =1/2 ， P =1/3 ， P =2/3 ， P =01213212332t12 = t21 =20， t13t31 =30， t23 =3012311123(a)ji pij3根據(jù)i1i122131122231解得2337314514(b)此出租汽車朝位置2 開的極限概率是1 p123 p32 ，為 3/142 p23t23323012(c)143j p ji t ji313 1253076ij(30 20)(2030)7214 33148 轉(zhuǎn)

15、移矩陣稱為雙隨機(jī)的，若對(duì)于一切j ， pij1 ，設(shè)一個(gè)具有雙隨機(jī)轉(zhuǎn)移矩陣的 Markovi 0鏈，有 n 個(gè)狀態(tài)，且是遍歷的，求它的極限概率.解：由于Markov 鏈?zhǔn)菭顟B(tài)有限的遍歷鏈，極限分布是唯一的平穩(wěn)分布，滿足12.n1nj i pij , j 1,2,., ni 1解得12 .n1。故極限分布為1,1,.,1。nnnn9設(shè)齊次 Markov鏈的狀態(tài)空間為 1,2,3，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為1pp0P1p0p01pp其中， 0p 1，問該齊次 Markov 鏈?zhǔn)欠袷潜闅v的，若是，則求其極限分布.解： 解 記 q1p，因?yàn)閝2pqpqp2P(2)P 2q22 pqp2q2pqpqp 2并且

16、P (2)的元素都大于零，所以該齊次馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v鏈.由于齊次馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v鏈，因而其極限分布就是平穩(wěn)分布.設(shè)平穩(wěn)分布為1,2 ,3 ，求解方程組P,1231即q 1q21p1q32p2p 331231得112pp1qqp2q2pp1qq2p3q2pp1qq所以極限分布為p1,q,p2p2p1p11qqqq10 設(shè)一個(gè)單細(xì)胞生物處于兩個(gè)狀態(tài)A, B 之一，處于狀態(tài)態(tài) B ；處于狀態(tài) B 的一個(gè)個(gè)體以指數(shù)率分裂成兩個(gè)新的2pq2ppqqA 的一個(gè)個(gè)體以指數(shù)率變到狀A(yù) 型個(gè)體 .請(qǐng)為這樣的生物群體定義一個(gè)合適的連續(xù)時(shí)間Markov 鏈，并且確定這個(gè)模型的適當(dāng)?shù)膮?shù).解：我們以X A t ， X

17、 B t 分別記 t 時(shí)刻群體中細(xì)胞和細(xì)胞的個(gè)數(shù)，則鏈X A t , X B t ,t0 是連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈。且根據(jù)題意：處于A 的一個(gè)個(gè)體以指數(shù)率變到狀態(tài) B；處于狀態(tài) B 的一個(gè)個(gè)體以指數(shù)率分裂成兩個(gè)新的A 型個(gè)體，則轉(zhuǎn)移率為：q m,n , m 1,n 1mq m,n , m 2,n 1 n11 設(shè)系統(tǒng)的“狀態(tài)”可建模為兩狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間Markov 鏈，其轉(zhuǎn)移率為v0, v1.當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)是 i 時(shí)，“事件”按照速率為i 的泊松過程發(fā)生，i0,1 .記 N (t) 為 (0, t) 中事件的個(gè)數(shù)，求（ 1） lim N (t ) ；t t（ 2）如果初始狀態(tài)是狀態(tài) 0，求 E(N (t)

18、 .解： a 假設(shè)初始狀態(tài)處于 1 并保持 z1 時(shí)間，然后轉(zhuǎn)到狀態(tài) 0 并保持 y1 時(shí)間；然后再轉(zhuǎn)到狀態(tài) 1 并保持 z2 時(shí)間，然后再轉(zhuǎn)到狀態(tài) 0 并保持 y2 時(shí)間；這樣循環(huán)往復(fù)下去，則過程zi , yi構(gòu)成一交替更新過程。如果初始狀態(tài)處1于 0，那么過程zi , yi構(gòu)成了一延遲交替更新過程。1設(shè)處于狀態(tài) 1 時(shí)在 zi 時(shí)間內(nèi)得到累積報(bào)酬為N i 在 zi時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的個(gè)數(shù)處于狀態(tài) 0 時(shí)，在 yi 時(shí)間內(nèi)得到累積報(bào)酬為N i 在 yi時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的個(gè)數(shù)設(shè) M t =到 t 時(shí)刻為止更新的總個(gè)數(shù)，則有N tN1N1N 2N 2N M tN M tN tN1N1N2N 2N M

19、tN M tN M t 1N M t 1由交替更新報(bào)酬定理知：N1 N1N M t N M tlimttE 在一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)得到的報(bào)酬=E 周期長(zhǎng)度01=0111N M t 1N M t1limt0tN t01故有 limttb 若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，類似a 的構(gòu)造知，過程yi, zii1仍然成為一交替更新過程。由 a 知limN tE 在一個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)得到的報(bào)酬tE 周期長(zhǎng)度t=01則 E N tt單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件數(shù) =01 t12 設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在1，2，3 上作隨機(jī)跳躍，在時(shí)刻 t 它位于三點(diǎn)之一，且在 t ,th 內(nèi)依概率10(h) 分別可以跳到其它兩個(gè)狀態(tài)，求轉(zhuǎn)移概率所滿足的Kolm

20、ogorov方程 .2解：若 i2, 則pi ,i 1h1 ho hqi ,i 11 , qi,i1(1)22pi ,i 1h1 h o h , pi ,i h 1 h o h 。2類似可得，i1,2,3，（ 1）式成立。其中當(dāng)i1時(shí)， i13 ，當(dāng) i3時(shí)， i 1 1，Kolmogorov 向前方程為p ijqjj pijtqj 1, j pi , j 1tqj 1 pi , j 1tpijt1 pij1 t1 pi , j 1t1 1 pij3 pij22又pij1 ，故 p ijpij ttt1 ，3j 1222t3t s3tp t解得1 e 2ds p 0 e 2 。ij2ij01i

21、j12 e利用初始條件 p 0t33，解得 pijij0ij11 e333t23 t2ij。ij13 設(shè) Xt , t0 為狀態(tài)離散連續(xù)參數(shù)的齊次Markov 鏈，其狀態(tài)空間為1,2,L , m ，且qij1,iji , j1,2,L, m ，求 pij (t ) .1m, ij解： 解 由題設(shè)設(shè)知 Q 矩陣為1m11L1Q11 m1L1MMMM111L1m由向前方程得dpij (t )1mpij (t )pik (t ),iSdtkjm由 pik(t ) 1，得k 1pik (t )1 pij (t)kj代入上面的方程，得dpij(t)1 m pij(t )(1pij (t)dt=mpij

22、(t)1,i, j1,2,L, m解之得pij(t )Ce mt1,i , j1,2,L, mm由初始條件 pii (0)1, pij(0)0, ij ，所以：當(dāng) ij 時(shí)， C11；m當(dāng) ij 時(shí)， C1 . ；m于是pii (t)11e mt1 ,i1,2,L, mmmpij (t )1 (1 e mt ), i, j 1,2,L ,mm14 已知齊次馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣1 23 30P1 113 330 2133問此馬爾可夫鏈有幾個(gè)狀態(tài)？求二步轉(zhuǎn)移概率矩陣.解 因?yàn)檗D(zhuǎn)移概率矩陣是三階的,故此馬爾可夫鏈的狀態(tài)有三個(gè);二步轉(zhuǎn)移概率矩陣P( 2)( pij( 2) )P21 2012034

23、23 3339991 111112523 3333399.90 21021243333399915.在一串貝努利試驗(yàn)中, 事件 A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p , 令0, 第 n次試驗(yàn) A不發(fā)生, n1,2,3,X n1, 第n次試驗(yàn) A發(fā)生(1) X n , n 1,2, 是否齊次馬爾可夫鏈？(2)寫出狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣 ;(3) 求 n 步轉(zhuǎn)移概率矩陣 .解 (1)根據(jù)題設(shè)條件知道 X 1 , X 2 , X n ,是相互獨(dú)立的,所以 X n , n1,2, 是馬爾可夫鏈 ,又轉(zhuǎn)移概率P X n 1j | X ni P X n 1jq, j0p, j1與 n 無(wú)關(guān) ,故 X n , n

24、1,2, 是齊次馬爾可夫鏈 ;(2)狀態(tài)空間 S 0,1 ,一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P( pij)q pq p,pijP X n 1j | X ni P X n 1jq, j0p, j 1 .(3) n 步移概率矩陣P( n)( pij( n) ) Pnq pq p.16. 從次品率 p(0p1) 的一批產(chǎn)品中 , 每次隨機(jī)抽查一個(gè)產(chǎn)品, 以 X n 表示前 n 次抽查出的次品數(shù) ,(1) X n , n1,2, 是否齊次馬爾可夫鏈？(2)寫出狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣;(3) 如果這批產(chǎn)品共有 100 個(gè) , 其中混雜了 3 個(gè)次品 , 作有放回抽樣 , 求在抽查出 2 個(gè)次品的條件下 , 再抽查 2

25、次 , 共查出 3 個(gè)次品的概率 .解 (1) 根據(jù)題意知 , X n , n1,2, 是齊次馬爾可夫鏈 ;(2)狀態(tài)空間S 0,1,2, n,p是次品率, q1p是正品率,根據(jù)題意知0, jipij P X n 1 j | X niq, jip, ji1 ,0, ji1i , j0,1,2, n,;(3) 次品率 p 0.03 ,所求概率為P X n 23 | X n2p23(2)p2 k pk3k00 0qpp q02 pq20.030.970.0582 .17. 獨(dú)立重復(fù)地?cái)S一顆勻稱的骰子 , 以 X n 表示前 n 次擲出的最小點(diǎn)數(shù) ,(1) X n , n1,2, 是否齊次馬爾可夫鏈

26、？(2)寫出狀態(tài)空間和轉(zhuǎn)移概率矩陣 ;(3)求 P X n 13, X n 23 | X n 3 ;(4)求PX21 .解 (1) 根據(jù)題意知 , X n , n1,2, 是齊次馬爾可夫鏈 ;(2)狀態(tài)空間S,1,2,3,4,5,6 ,pijP X n 1j | X nip1 jP X n 1j | X n11, j 10, j 2 ,1 , j16p2 j P X n 1 j | X n 25 , j 260, j31 , j1,26p3 j P X n 1 j | X n 34 , j 3,60, j411,2,3, j6p4 j P X n 1 j | X n 43 , j4,60, j

27、5,611,2,3,4, j6p5 j P X n 1 j | X n 52 , j 5,60, j6p6 j P X n 1j | X n 61 , j 1,2, ,6;6(3) P X n 13, X n 23 | X n3P X n 13 | X n3P X n 23 | X n 1 3, X n3P X n 1 3 | X n3 P X n 2 3 | X n 13p33 p33444669 ;6(4) P X2 1P X1 i P X 2 1 | X 1 ii 1161111166.6i 23618. 設(shè)齊次馬爾可夫鏈 X n , n0,1,2, 的轉(zhuǎn)移概率矩陣為1 23 3 01

28、11P,3 330 2 13 3且初始概率分布為p j (0)PX0j1 , j 1,2,3 ,3(1)求PX11,X22,X33 ;(2)求PX23 ;(3) 求平穩(wěn)分布 .解 (1) P X11,X22,X331 2 |X 113 |X22,X11P X1P X 2P X 3P X11P X22| X11P X33| X22P X11p12p233PX0j P X11|X0j p12 p23j13P X 0 j p j 1p12p23j 1211 (110)4;33333813(2) P X231PX0j P X 2 3 | X 0 jj3P X0j p (j32 )j11 ( 223)7

29、;399927(3) 平穩(wěn)分布 ( p1 , p2 , p3 ) 滿足方程組11p1p1 3p2 3p3 0 ,pp2p1p22132333 ,pp 0p1p1312333 ,p1p2 p31解之得121p14 , p24 , p34 .19. 具 有 三 狀 態(tài) :0,1,2的 一 維隨 機(jī) 游 動(dòng) , 以 X (t )j 表示 時(shí) 刻 t 粒 子 處 在 狀 態(tài)j ( j 0,1,2), 過 程 X (t ), tt0 ,t1 ,t2 , 的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣qp 0Pq0p,0qp(1) 求粒子從狀態(tài)1 經(jīng)二步、經(jīng)三步轉(zhuǎn)移回到狀態(tài)1的轉(zhuǎn)移概率 ;(2) 求過程的平穩(wěn)分布 .解 (1)p11

30、(2 )P X (t n 2 )1 | X (t n ) 12p1kpk 1 qp 0pq 2 pq ,k0qpqp 2P(2)P 2q 22 pqp 2,q 2pqpqp 2q 2q 2 ppqqp2p 2P(3)P3q32 pq3pq2 p 2 q p3q3pq 22 pq2p2 q2 p 2 q p3于是p ( 3)P X (tn 3) 1 | X (tn) 1 pq ,11(2) 平穩(wěn)分布 ( p0 , p1 , p2 ) 滿足方程組p0p0 q p1 q p2 0 ,p1p0 p p10 p2 q ,p2p0 0 p1 p p2 p ,p0p1p21,解之得p0q2, p1pq,p2p2.1 pq1pqpq120. 設(shè)同型產(chǎn)品裝在兩個(gè)盒內(nèi) , 盒 1 內(nèi)有 8 個(gè)一等品和 2 個(gè)二等品 , 盒 2 內(nèi)有 6 個(gè)一等品和 4個(gè)二等品 . 作有放回地隨機(jī)抽查, 每次抽查一