PA+kPB最值探究(胡不歸+阿氏圓)及以阿氏圓為背景的線段和最值問題

1、“PA+k·PB”型的最值問題【問題背景】“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。當k 值為 1時，即可轉化為“ PA+PB”之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理。而當 k 取任意不為 1 的正數(shù)時，若再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉換思路。此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類， 一般分為 2類研究。即點 P 在直線上運動和點P 在圓上運動。其中點 P 在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題 ；點 P 在圓周上運動的類型稱之為 “阿氏圓”問題。本文將分別從這兩類入手與大家共同

2、探究線段最值問題的解決方案?！局R儲備】線段最值問題常用原理：三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；兩點間線段最短；連結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；【模型初探】（一）點P 在直線上運動“胡不歸”問題如圖1-1-1所示，已知sinMBN=k,點P 為角 MBN其中一邊BM上的一個動點，點 A 在射線 BM、BN的同側，連接 AP,則當“ PA+k·PB”的值最小時， P 點的位置如何確定 ?分析：本題的關鍵在于如何確定“ k·PB”的大小，過點 P 作 PQBN垂足為Q，則 k·PB=PB·sin MBN=PQ,本題

3、求 “PA+k·PB”的最小值轉化為求 “PA+PQ”的最小值 ( 如圖 1-1-2) ，即 A、P、Q三點共線時最?。ㄈ鐖D1-1-3 ），本題得解。圖 1-1-1圖 1-1-2圖 1-1-3動態(tài)展示： 見 GIF 格式！思考：當 k 值大于 1 時，“PA+k·PB”線段求和問題該如何轉化呢？提取系數(shù) k 即可哦！【數(shù)學故事】 從前，有一個小伙子在外地學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路。 由于思鄉(xiāng)心切， 他只考慮了兩點之間線段最短的原理，所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑AB（如圖所示），而忽視了走折線雖然路程多但速度快的實際情況，當他氣喘吁吁地趕到家時

4、，老人剛剛咽了氣， 小伙子失聲痛哭。 鄰居勸慰小伙子時告訴說，老人彌留之際不斷念叨著 “胡不歸？胡不歸？ 何以歸” 。這個古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以， 他應該選擇一條怎樣的路線呢？這就是風靡千百年的“胡不歸問題”?！灸Ｐ统跆健浚ǘc P 在圓上運動“阿氏圓”問題如圖所示 2-1-1 ， O的半徑為 r, 點 A、B 都在 O外， P 為 O上的動點，已知 r=k · OB.連接 PA、PB，則當“ PA+k· PB”的值最小時， P 點的位置如何確定？ABAPPPAOBCOBCO圖 2-1-1圖 2-1-2圖 2-1-3分析：本題的關鍵在于

5、如何確定“ k·PB”的大小，（如圖 2-1-2 ）在線段 OB上截取 OC使 OC=k· r, 則可說明 BPO與 PCO相似，即 k·PB=PC。本題求“ PA+k·PB”的最小值轉化為求“ PA+PC”的最小值，即A、 P、 C三點共線時最小（如圖2-1-3 ），本題得解。動態(tài)展示： 見 GIF 格式！【問題背景】 阿氏圓又稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA=kPB（k1）的點 P 的軌跡是一個圓， 這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓” ?！鞍⑹蠄A”一般解題步驟：第一步：連接動點至圓心O（將系數(shù)不為1 的線段的

6、兩個端點分別與圓心相連接），則連接 OP、OB；第二步：計算出所連接的這兩條線段OP、OB長度；OP第三步：計算這兩條線段長度的比k ；OB第四步：在 OB上取點 C，使得 OCOP ；OPOB第五步：連接 AC，與圓 O交點即為點 P【模型類比】 “胡不歸”構造某角正弦值等于小于起點構造所需角（ k=sin CAE） -1 系數(shù)過終點作所構角邊的垂線-利用垂線段最短解決問題 “阿氏圓”構造共邊共角型相似構造 PAB CAP推出 PA2AB AC即：半徑的平方 =原有線段構造線段【典型例題】1( 胡不歸問題 ) 如圖，四邊形 ABCD是菱形， AB=4，且 ABC=60°，M為對角線

7、BD（不含 B 點）上任意一點 , 則 AM+1 BM的最小值為.2分析：如何將 1 BM轉化為其他線段呢？2即本題 k 值為 1 ，必須轉化為某一角的正弦值啊，2ADM即轉化為 30°角的正弦值。思考到這里，不難發(fā)現(xiàn)，只要作 MN垂直于 BC， BC11則 MN= BM，即 AM+ BM最小轉化為 AM+MN最小，本題得解。22詳解：如圖，作 AN于 BC垂足為 N,AD四邊形 ABCD是菱形且 ABC=60°， DBC=30°，M1MN，即 sin DBC= =B2BMNC 1 BM=MN，211 AM+ BM=AM+MN，即 AM+ BM的最小值為 AN.2

8、2在 RT ABN中， AN=AB·sin ABC=633 3 .21 AM+ BM的最小值為 3 3 .2變式思考： (1) 本題如要求“ 2AM+BM”的最小值你會求嗎？(2) 本題如要求“ AM+BM+CM”的最小值你會求嗎？答案：（1） 6 3 （2） 6 3本題也可用“費馬點”模型解決哦！ ！-詳見：本公眾號前文！2( 阿氏圓問題 ) 如圖，點 A、B 在 O上，且 OA=OB=6，且 OAOB，點 C 是 OA的中點，點 D在 OB上，且 OD=4，動點 P在 O上，則 2PCPD 的最小值為 _分析：如何將 2PC轉化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點，即 2 倍關系

9、就出現(xiàn)了。套用“阿氏圓”模型：構造共邊共角相似半徑的平方 =原有線段 構造線段詳解： 連接 OP,在射線 OA上截取 AE=6.E即： OP2OCOE OPC OEPAP PE2 PC 2PCPDPEPD , 即 P、D、E 三點共線最小 .C在 RT OED中， DEOD 2 OE216 144 4 10OD B即 2PC PD 的最小值為 4 10 .變式思考： (1) 本題如要求“ PC1 PD ”的最小值你會求嗎？23(2)本題如要求“ PCPD ”的最小值你會求嗎？2ACP答案：（1） 2 10 （2） 3 10ODBE【變式訓練】( 胡不歸問題 )1. 如圖，等腰 ABC中， AB

10、=AC=3，BC=2，BC邊上的高為AO，點 D為射線 AO上一點，一動點 P 從點 A 出發(fā)，沿 AD-DC運動，動點 P 在 AD上運動速度 3 個單位每秒，動點P 在CD上運動的速度為 1 個單位每秒，則當 AD= 時，運動時間最短為 秒.答案：72，424 32. 如圖，在菱形 ABCD中， AB=6，且 ABC=150°，點 P 是對角線 AC上的一個動點，則 PA+PB+PD的最小值為.答案：62本題也可用“費馬點”模型解決哦！ ！【中考真題】( 胡不歸問題 )1. （2016?徐州）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖像經(jīng)過點 A（-1 ， 0）

11、，B（0，-3 ）、 C（ 2， 0），其中對稱軸與x 軸交于點 D。若 P 為 y 軸上的一個動點，連接PD，則 1 PBPD 的最小值為。22.（ 2014. 成都）如圖，已知拋物線 y8 3 (x 2)(x 4) 與 x 軸從左至右依次交于點9A、B，與 y 軸交于點 C，經(jīng)過點 B 的直線 y3 x 4 3 與拋物線的另一個交點為33D（-5，3 3）。設 F 為線段 BD上一點（不含端點），連接 AF，一動點 M從點 A 出發(fā)，沿線段 AF以每秒 1 個單位的速度運動到F，再沿線段 FD以每秒 2 個單位的速度運動到D后停止，當點 F 的坐標為時，點 M在整個運動過程中用時最少？答案

12、： 33， 2,2 34課外提升： 2015 日照、 2015 內江、 2016 隨州多個城市均在壓軸題考察了“胡不歸”問題。要好好專研哦！( 胡不歸問題變式 )【變式訓練】( 阿氏圓問題 )1. （1）【問題提出】： 如圖 1，在 Rt ABC中， ACB90°， CB 4， CA6， C半徑為 2，P 為圓上一動點，連結 AP， BP，求 AP 1 BP的最小值2嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接 CP，在CB上取點 D，使 CD1，則有 CDCP1 ，又 PCD BCP, PCD BCP,CPCB2 PD1 , PD 1 BP,AP 1 BP APP

13、DBP222請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP 1 BP的最小值為 _ 2（ 2） . 【自主探索】： 在“問題提出”的條件不變的情況下，1 AP BP的最小3值為 _（ 3） . 【拓展延伸】： 已知扇形 COD中， COD 90o， OC6，OA3，OB 5，點 P 是 CD上一點 ，則 2PAPB的最小值為 _答案： 37 ， 23 37 ，13.2. 如圖，在直角坐標系中，以原點 O為圓心作半徑為 4 的圓交 X軸正半軸于點 A，點 M坐標為（ 6,3 ），點 N坐標為（ 8,0 ），點 P 在圓上運動，求 PM1PN 的最小值23. 如圖，半圓的半徑為1， AB為直徑，AC、B

14、D為切線， AC=1，BD=2，P 為上一動點，求PC+PD的最小值為_答案： 5，32 .2A,E, F, H【中考真題】( 阿氏圓問題 )（ 2017·甘肅蘭州）如圖，拋物線24, 4 ，B 0,4yx bx c 與直線 AB 交于 A兩點，直線 AC : y1x 6 交 y 軸與點 C ，點 E2是直線 AB 上的動點，過點 E 作 EFx 軸交 AC于點 F ，交拋物線于點 G .(1) 求拋物線 y x2 bx c 的表達式；(2) 連接 GB ，EO ，當四邊形 GEOB 是平行四邊形時，求點 G 的坐標；(3) 在 y 軸上存在一點 H ，連接 EH ， HF ，當點 E 運動到什么位置時， 以為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E,H的坐標；在的前提下，以點E 為圓心， EH 長為半徑作圓，點M 為 E 上一動點，求1 AM CM 的最小值 .2答案： (1) y= x2 2x+4； (2) G （ 2， 4）；(3) E（ 2，0）H（0， 1）； 5 5 2寫在最后：“胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決最短距離問題，即“PA+k·PB”（ k 1 的常數(shù)）型的最值問題。兩類問題所蘊含的都是數(shù)學的轉化思想，即將k·PB這條線段的長度轉化為某條具體線段PC的長度，進而根據(jù)“垂線段最短或兩點之間線段最