暨南大學(xué)高等數(shù)學(xué)期末考試題

1、word43得分評(píng)閱人1.、填空題（共10小題，每小題2分，共20分）3.4.5.22已知 f x,y 3x 2y,.則 f (xy, x )3xy 2x因?yàn)閐(C) 0,所以0dx= C .設(shè)z=z（x,y）是由方程ez若函數(shù)f (x,y) x22f (x)dx 3sin x、八16 .計(jì)算廣義積分一2e xln2x7.函數(shù)y e的差分yx8.微分方程（y ）4 yxyz 0所確定的隱函數(shù)，則一z = x2 一y則在點(diǎn)（0, 0）取得極值,2C ,貝Uf(x) 6xcosxex(e 1)5xy39的階數(shù)是2 階。9.函數(shù)z4 x2 y2ln(x10.已知 z xy 當(dāng) x 2,y1,得分評(píng)閱

2、人1. x的原函數(shù)是（D2.已知邊際成本為C(x)2A. 0.2x2 2x202C. 0.4x 2xyzez xy1) 定義域?yàn)椋?D (x, y) |1x2y2 4x 0.02, y 0.01 時(shí)，則 dz、選擇題0.4x0.04（共5小題，每小題2分，共10分）-x2 C2且固定成本為B. 0.4x22D. 0.4x20,則成本函數(shù)是（A ）202x 20)°2.22xcosx d. sin xx 0,則二重積分o-12 02 d 0 f (r)rdr-102d0 f(r)rdr)2B. y x c2D. y x(共6小題，每小題5分，共30分)x3 .若 f(x) 0 sint

3、dt ,則 f '(x) =( A22-A. 2xsin x , b. xsin x C.4.設(shè)積分區(qū)域D:x2 y2 1,y 0f (, x2 y2)dxdy = ( D ) D_1A. 2 2d f (r)dr B. 00-1C. 02d0 f(r)dr D.5 .微分方程y 2x的通解是(BA. y 2x cC. y x2 1得分 評(píng)閱人_二、計(jì)算題1 .計(jì)算不定積分 excosxdx.1x解：e cosxdxcosxdexxxe cosx e sin xdxxxe cosx sin xdexxxe cosx e sinx e cosxdx移項(xiàng)xxx .2 e cosxdx e

4、cosx e sin x1xxxe cosxdx -e cosx e sin x1 ln x , dx °解：1e1 ln x dxx11dxeln x dx1 xIn xe1 ln xd(ln x)In x21n123.若 f(x, y)x (y 1)ln sin i-,求 fx(x,y).:y解 fx(x, y):x(y1)lnsin、"4求函數(shù)解：dz(y1) 1 cossin；2(y 1cos.q sin Jf ”2(y 1c0t、, yz exy的全微分及dzexy(ydx xdy)(1,2) °dz(1,2) exy(ydx xdy)|(1,2) e2

5、(2dx dy)5.求微分方程y2y ex的通解。解:p(x) 2,q(x) exp(x)dxq(x)ep(x)dxdx ce2 .計(jì)算定積分1(2)dxr xy e e e(2) dxdx c2x x 2xy e e e dxce2x e xdx c2 x xe e c2x=ce6.設(shè)zuv而u,vcost 求 dzdt(uv)zV, v(uv) u,dudttt(e) e,dvdt(cost) sintdzz duz dvdtdtv dttveu(sint)tveu(e costsint)etsint方法二：將u et ,v cost代入z uv得:z uv et costdz (et c

6、ost)e cost etsintdt得分評(píng)閱人四、判斷題（共1小題，每小題5,共5）判別級(jí)數(shù)n!是否收斂:解:limnan 1an(n 1)!limn(n1)nn!n n 1= lim () = e 1,n n 1原級(jí)數(shù)收斂.得分評(píng)閱人五、計(jì)算題（共1小題，每小題5分，共5分）求由曲線y x2, y 4所圍成的圖形的面積A解：兩曲線的交點(diǎn)為（0,0 ）, （1,1 ）,于是積分區(qū)間為0,1所求面積為S 01 x x2 dx2 2 x3 13x T0 分1一分3得分評(píng)閱人六、計(jì)算題（共1小題，每小題6分，共6分）設(shè)d是xoy平面上由曲線x y2,直線y 2及x 0所圍成的區(qū)域，試求Iyexdx

7、dy。D解：依題意作積分區(qū)域如圖，選擇先積x此時(shí)積分區(qū)域?yàn)镈f （x, y） |0 x y2,0 y 2_x 一 一I ye dxdyy2 xydy ° e dxxyeo J22yedy1dy22ey0dy2ydy2e1 . 42e 3得分評(píng)閱人設(shè) z f (x七.計(jì)算題（共1小題，每小題5分，共5分）y,xy,）,函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。試求 x2 zox y z解：xyf vuu+(xhy)f uv''xyf w方法二記:f i,2z-2xfii,f121111nf 1 yf 2x y得分''''f 11+(x y)f 12評(píng)閱人

8、求幕級(jí)數(shù)（nn 0解：由limnan 1anxyf22 f 2八、計(jì)算題（共1小題，每小題6,共6分）1）xn的收斂區(qū)間及和函數(shù).limn1 (1 n)1 n當(dāng)x 1時(shí)級(jí)數(shù)為(1 n)發(fā)散(“l(fā)im(1 n) 0)I nn 0當(dāng) x1 時(shí)級(jí)數(shù)為(1)n(1 n)發(fā)散(lim( 1)n(1 n) 0)n 01n.嘉級(jí)數(shù) (nn 01）xn的收斂區(qū)間為（-1,1）設(shè)和函數(shù)為S（x）(n 1)xnn 0兩端關(guān)于x求積分得:x0 s(x)dxx(10n 0n)xndxx° (1 n)xndx(-1,1)兩端求導(dǎo)數(shù)得:S（x）（1 x）2即 (n 1)xnn 01(1 x)2,(-1,1)得分

9、評(píng)閱人九、應(yīng)用題（共1小題，每小題8分，共8分）某化妝品公司計(jì)劃通過報(bào)紙和電視臺(tái)做化妝品的促銷廣告 售收入R與報(bào)紙廣告費(fèi)用 x （百萬元）和電視廣告費(fèi)用y.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，銷（百萬元）之間有如下關(guān)系：R 15 14x 32y 8xy 2x2 10y2若可供使用的廣告費(fèi)為150萬元，求相應(yīng)的最佳廣告策略解：已知報(bào)紙廣告費(fèi)用為 x （百萬元），電視廣告費(fèi)用為y（百萬元）.如果限定廣告支出為 150 萬元即 1.5 百萬元為求函數(shù)R(x, y) 15 13x 31y 8xy 2x2 10y2在條件x1.5 即x y 1.5 0限制下的條件極值問題 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)10y2(x1.5)2F(x,y, )

10、 15 13x 31y 8xy 2x求偏導(dǎo)數(shù)，建立方程組得Fx 13 8y 4x 0Fy 31 8x 20y0x y 1.5 0解之得x 0, y 1.5答：根據(jù)該問題的實(shí)際意義知，此時(shí)將廣告費(fèi)全部用于電視廣告，可使得該公司獲 得最大的純銷售收入.得分評(píng)閱人十、證明題（共1題，每小題5分，共5）a 3.21a.證明 °x f(x )dx 0 xf(x)dx (a 0)、，212證：由左邊設(shè)xt則2xdx dt xdx -dt,當(dāng)x 0時(shí)t 0,當(dāng)x a時(shí)t a2 ,21xf(x)xdx 22a0 tf(t)dt2, a 3 ,2于是左邊 ° x3f (x2)dxx3 f (

11、x2)dx1 a22 0xf (x)dx =右邊2a0 xf(x)dx (a0)得分評(píng)閱人1. 3cos xdx ( B )*2007 - 2008 學(xué)年度第二學(xué)期一、單選題（在每小題的備選答案中選出一個(gè)正確 的答案，并將正確答案的號(hào)碼填在題干的括號(hào)內(nèi)。每 小題2分）(A ) 3cosx c ( B )3sin x c ( C )3cosx c ( D ) 3sinx c2.經(jīng)過點(diǎn)（1, 0）,且其切線的斜率為3x2的曲線方程是（A ）(A ) y x3 1 ( B ) y x3( C)y x3 1 ( D )y x3 32( D )xyx ( D )8( D )階微分方程。yxln x3 .

12、 e xdx ( D ) 0(A )4( B )3( C )4 .設(shè)z yx ,則上 (B ) x(A ) xyx1 ( B ) yxiny ( C )1 15 . dy 2dx ( C ) 11(A )10( B )9( C )6 .微分方程(y )3 5(y)4 y5 x7 0是(B(A ) 一 ( B ) 二(C )7 .二元函數(shù)f (x,y) x3 y3 3xy的極值點(diǎn)是(A )(A ) (1,1) ( B )(0, 0)( C )(1, 0)( D )(0, 1)8 .差分方程yx 2 2yxi yx 3是(B )階的差分方程。得分評(píng)閱人(A ) 一 ( B ) 二 (C ) 三(D

13、 ) 四二、填空題(將題目的正確答案填寫在相應(yīng)題目劃 線空白處。共8小題，每小題2分，)1 .函數(shù)1的全體原函數(shù)是In x Cx2 .某產(chǎn)品產(chǎn)量為x的邊際成本C (x) 2 0.2x,且固定成本為2 ,則總成本函數(shù)C(x) 2x 0.1x223 . x5dx 0 14 .若 f(x)t2 dt ,則 f (x)= jx25 .函數(shù) z &_y2_1 74x2y2 的定義域?yàn)?x, y) 1 x2 y246 .已知函數(shù) z xy ，則dz ydx xdy7 .差分(2x)28.微分方程dy x2的通解是dx13y -x c3得分評(píng)閱人二、計(jì)算題（共4小題，每小題7分，共28分）1.2計(jì)算

14、止積分xexdx02解： xe0xdx2xdex0x xe2xe0dx2.求不定積分(x23.4.解：（x21-x 32x2e22xsin x)dxsin x11 x21Tx)dx2x ln 2cosxarc tan x 2 x c注：錯(cuò)一項(xiàng)扣1分。計(jì)算定積分解：令3.x13xdxt3, dx3t2dt ,于是01 3xdx23 I01叼(t)dt1 tln |t 1川 0 3ln 3用定積分計(jì)算由曲線yx2與直線y 2x所圍成的平面圖形的面積。解：如圖由yy得交點(diǎn)2x2， x(0, 0)和(2,4)。2 2S o (2x x2z確定函數(shù)z f(x,y)可導(dǎo)。求二和二 x y)dx(x2133

15、x)43注：僅畫圖給1分。得分評(píng)閱人四、計(jì)算題(共2小題，每小題8分,共16分)1.設(shè)z解:exy(xy)x2yx2xy)2.由方程解：令F(x, y,z)x2 y2 z2 2z ,則有FxFy2y, Fz 2z 2FxFzFyFzxyye 2xy/ xy一(yeyexy yexy(xy)y 2x(1 xy)exy 2x得分dz xdx y- dy1 z 1 z評(píng)閱人五、計(jì)算題（7分）求方程電2xy x的通解及在初始條件y dx1，一-下的特解。2解：p(x) 2x, q(x)則方程的通解為:p(x) dxp (x)dxe q(x)e dx c2 xdx2xdxxe dx cx2x(xe2dx

16、 c)x21 1 x2 (2ece x2c)得分由初始條件y（0）1,則c21x2y - e2評(píng)閱人六、計(jì)算題（6分）計(jì)算二重積分 （2xD2y)d，其中D是由直線x 0, y 0與y 1 x圍成的圖形.解：積分區(qū)域如圖(2x 2y)dDdx0x(2x 2y)dy(2xy y2)0 xdx得分評(píng)閱人七、應(yīng)用題(11分)設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量Q(x,y)與所用兩種原料A和B的數(shù)量x, y之間有關(guān)系 式：Q(x, y) 2x08y0-2。現(xiàn)用300元購買兩種原料，已知 A和B兩種原料的價(jià)格都是1元，問應(yīng)購買兩種原料各多少單位，才能使生產(chǎn)該種產(chǎn)品的數(shù)量最多？ (本題要求用拉格朗日乘數(shù)法求解)。解：設(shè)購

17、買A原料x單位和購買B原料y單位，則該種產(chǎn)品的數(shù)量為Q(x, y) 2x0.8y0.2,且 x y 3000.80.2令 F(x, y, ) 2x y (x y 300),00,得0x 240y 600.2 0.2Fx 1.6x y由 Fy0.4x0.8y0.8F x y 300根據(jù)實(shí)際問題可知Q(x,y)一定存在最大值，故(240, 60)是使Q(x, y)取得 最大值的點(diǎn)。答：購買A原料240單位和購買B原料60單位，才能使生產(chǎn)該種產(chǎn)品的數(shù) 量最多。*一、單選題(在每小題的備選答案中選出一個(gè)正確的答案，并將正確答案的號(hào) 碼填在題干的括號(hào)內(nèi)。共8小題，每小題2分，共16分)1. 2sin x

18、dx ( c )(a) 2cosx c (b) 2sin x c (c) 2cosx c (d) 2sin x c2.經(jīng)過點(diǎn)(1, 3),且其切線的斜率為2x的曲線方程是(a )22.一22(a) y x 2(b) y x 2(c) y x 1(d) y x 33. -(5)-( b )(a) 3(b)4(c)2(d)1274.設(shè) z e' y,則 一 (d )x2222x y2 x yx yx y(a) 2xe (b) x e (c) e (d) 2xye215. dy 3dx ( c ) 00(a) 3(b)5(c)6(d)46 .微分方程 電 2y的通解是(d ),其中c為任意常

19、數(shù)。 dx(a) y e2x(b) y c e2x(c) y c e2x(d) y ce2x7 .二元函數(shù)f (x, y) 4(x y) x2 y2的極值點(diǎn)是(a )(a)(2,-2)(b)(-2, 2)(c)(-2, 3)(d)(3,-2)8 .差分(x2)( b )(a) 2x (b) 2x 1(c) 2x 1(d)x2 1二、填空題(將題目的正確答案填寫在相應(yīng)題目劃線空白處。共 8小題，每小題2分，共16分)1. 函數(shù)cosx的全體原函數(shù)是sin x c2. 5 . 224.右 f (x) e dt ,則 f (x)= e 05.函數(shù) z y/4x2y2 的定義域?yàn)?x, y) x2 y

20、2 46.已知函數(shù) z x2y2 ，則 dz 2xy(ydx xdy)7.差分方程yx 2 2yx 1 y 2yx 1 2是 三 階的差分方程。8.微分方程x(y)3 2yy x4 0是 二 階微分方程。三、計(jì)算題(共4小題，每小題7分，共28分)1.求不定積分 x ln x dx2解： x ln x dx ln x d 2dx-5x cln51 cc3. x dx 01 2x .In x21 xdx22x .In x22.求不定積分Lx2 dx1 x1 x ,1, x ,角單：2 dx 2 dx 2 dx1 x 1 x 1 x,12、arctan x ln(1 x ) c23. 計(jì)算定積分

21、1dx1 1 x 1解：令人7 t ,則x 1 t2, dx 2tdt ,于是102t1 tdt1=20(17dt= 2t In |t1|02(1 ln2)4.用定積分計(jì)算由曲線y x2及直線yx所圍成的平面圖形的面積解：如圖得交點(diǎn)(0, 0)和(1 1)1 2S x )dx1 12(2x13、3x)6四、計(jì)算題（共2小題，每小題6分，共12分）1.設(shè) z x ln( xy),求一z 和x2 zox y解： - ln(xy) x 工 y xxyIn x In y 12 (ln x In y 1) x y y1y2.已知x y2 z2 xz ,求隱函數(shù)z z(x, y)的偏導(dǎo)數(shù) -z和z x y

22、解：令 F(x, y,z) x y2 z2 xz ,則有Fx 1 z, Fy2y, Fz 2z xzFxz1xFz2zxzFy2yyFz2zx五、計(jì)算題(共1小題，每小題7分，共7分)求方程電1y 2x的通解及在初始條件yx1 0下的特解。 dx x-1斛：p(x) 一，q(x) 2x ,x,、一 一一 一， ,p(x)dxp(x)dx則方程的通解為：y e q(x)e dx c-dx-dxe x 2xe x dx cx( 2dx c)x(2 x c)由初始條件y(1) 0,則c 2, 特解為：y x(2x 2)六、計(jì)算題(共1小題，每小題5分，共5分)x圍成的圖形.計(jì)算二重積分 2xyd ,

23、其中D是由直線x 0, y 0與y 1D解：積分區(qū)域如圖。2xyd11 xdx2xydyioi0112xy2 1 xo dx(x 2x2 x3)dx七、應(yīng)用題(共2小題，第1小題10分，第2小題6分，共16分)1 .某公司的兩家工廠生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品， 但成本不同。第一家工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品 和第二家工廠生產(chǎn)y單位產(chǎn)品時(shí)的總成本是C(x, y) x2 3y2 x y 15。若公司 生產(chǎn)的任務(wù)是1000單位，問如何在這兩家工廠之間分配任務(wù)才能使公司的總成 本最低？(本題要求用拉格朗日乘數(shù)法求解)。解：設(shè)第一家工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品和第二家工廠生產(chǎn)y單位產(chǎn)品，則總成本 C(x, y) x2 3y2 x y

24、15 ,且 x y 1000 令 F(x, y, ) x2 3y2 x y 15 (x y 1000),x 750y 2502x 10由 6y 10 ,得x y 1000 0根據(jù)實(shí)際問題可知C(x,y)一定存在最小值，故(750, 250)是使C(x, y)取得最小值的點(diǎn)。答：第一家工廠生產(chǎn)750單位產(chǎn)品，而第二家工廠生產(chǎn)250單位產(chǎn)品時(shí)公司 的總成本最低。2 .某商品的需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性為Pln 2,已知該商品的最大需求量為1000(即當(dāng)P 0時(shí)，Q 1000 ),求該商品的需求量Q對(duì)價(jià)格P的函數(shù)關(guān)系。解：解：依題意，得 PdQ Pln2Q dP1分離變量：一dQ ( ln 2)dP Q

25、1兩邊積分：一dQ ( ln 2) dP , Q即 ln Q Pln 2 g ,從而 Q c2 P ,由初始條件Q(0) 1000,則c 1000,所求的需求函數(shù)為Q 1000 2 P。得分評(píng)閱人(3x);1. e d 3x e3x!(C)一、填空題(將題目的正確答案填寫在相應(yīng)題目劃 線空白處。共10小題，每小題2分，共20分)2_經(jīng)過點(diǎn)(1, 3),且其切線的斜率為2x的曲線方程為 y x2 2.2.若 f(x)dx x2 c 則 f(x).2x.3.21092x dx =0O4.d x 22ddx(0(1 t2)dt)=35.設(shè) f(x,y) 5x2y3 貝U fy(1, 1) 15.26

26、.微分方程xdy ydx 0在初始條件y |x 1 2下的特解是y 一.x7.y。.-1函數(shù)z 1的JE義域 D(f) (x,y)|x, x|y8.函數(shù) z 4(x y) x2 y2 的駐點(diǎn)為：(2, 2)9.設(shè)某產(chǎn)品在時(shí)刻t總產(chǎn)量的變化率是f(t) 2t 5 (t 0),則從t 2到t 4這兩小時(shí)的總產(chǎn)量是22。10.差分 &x2)=(2x +1)得分評(píng)閱人二、單選題(在每小題的備選答案中選出一個(gè)正確 的答案，并將正確答案的號(hào)碼填在題干的括號(hào)內(nèi)。共 10小題，每小題2分，共20分)1 .已知 y| 二 2x且 x二1 是 y二 2,則 丫二(C )2 、.2-(A) X(B) X C

27、(C) x2 1(D) x222. 設(shè)f (x) sinx,則下列選項(xiàng)中f(x)(D )(A) 1 sinx(B) 1 sinx(C) 1 cosx(D) 1 cosx3. /4、dx .(D)(A) x4x 1(B) 4x 1x 1(C) 4xlnx(D) 4xln414. 400dx ( A )2(A) 1200(B) -1200(C) 400(D) -4005.設(shè)曲線y 1在0,2上連續(xù)，則曲線y 1, x 2,及x軸和y軸所圍成的圖形的面積是(A )22(A) 0dx(B)0dx02(C) 2dx(D) 02dx22Z -小 2、6.函數(shù)z x y ,則干廠 (2xy )(A) 2x2

28、y-0x-(B) 2xy2(D) 4xy，一、22(C) 2xy 2x y7.函數(shù)z xy在點(diǎn)（1, 1）處的全微分是（C ）(A) dx dy(B) dx(C) dy(D) 01 x 8. xe dx ( D )0(A) 4(B) 3(C) 2(D) 1219. dy 4dx= ( A )00(A) 8(B) 7(C) 6(D) 510.下列差分方程中，是二階差分方程的是( D )(A) yx 3 3yx 2 yx 12(B) yx 3 3yx 2 yx 2(C) YxYx 30(D) yxyx 10得分評(píng)閱人三、計(jì)算題（共3小題，每題7分，共21分）1.求不定積分 Tdx x 1二 1dx2.3.2(t In |t 1|)2 (1e求定積分1 xln xdxexln xdx1已知z2zx2L)dte2ln xdx1=1(x2lnx21 z 2= 4(e1/2=8(edx、1 2 e)=(x In x |12dxe1 xdx)1)ie)exy,求偏導(dǎo)數(shù)xyye ,xyxey2exy ,2zy7x2exy2zxyexy得分評(píng)閱人四、計(jì)算題（