第11章 彈性力學的變分原理

1、第十一章彈性力學的變分原理知識點靜力可能的應力彈性體的功能關系功的互等定理彈性體的總勢能虛應力應變余能函數應力變分方程最小余能原理的近似解法扭轉問題最小余能近似解有限元原理與變分原理有限元原理的基本概念有限元整體分析幾何可能的位移虛位移虛功原理最小勢能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz法伽遼金(法最小余能原理平面問題最小余能近似解基于最小勢能原理的近似計算方法基于最小余能原理的近似計算方法有限元單元分析一、內容介紹由于偏微分方程邊值問題的求解在數學上的困難,因此對于彈性力學問題,只能采用半逆解方法得到個別問題解答。一般問題的求解是十分困難的,甚至是不可能的。因此,開發(fā)彈性力學的數值或者

2、近似解法就具有極為重要的作用。變分原理就是一種最有成效的近似解法,就其本質而言,是把彈性力學的基本方程的定解問題,轉換為求解泛函的極值或者駐值問題,這樣就將基本方程由偏微分方程的邊值問題轉換為線性代數方程組。變分原理不僅是彈性力學近似解法的基礎,而且也是數值計算方法,例如有限元方法等的理論基礎。本章將系統地介紹最小勢能原理和最小余能原理,并且應用變分原理求解彈性力學問題。最后,將介紹有限元方法的基本概念。本章內容要求學習變分法數學基礎知識,如果你沒有學過上述課程,請學習附錄3或者查閱參考資料。二、重點1、幾何可能的位移和靜力可能的應力;2、彈性體的虛功原理;3、最小勢能原理及其應用;4、最小余

3、能原理及其應用;5、有限元原理的基本概念。§11.1 彈性變形體的功能原理學習思路:本節(jié)討論彈性體的功能原理。能量原理為彈性力學開拓了新的求解思路,使得基本方程由數學上求解困難的偏微分方程邊值問題轉化為代數方程組。而功能關系是能量原理的基礎。 首先建立靜力可能的應力和幾何可能的位移概念;靜力可能的應力 和幾何可能的位移可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài),二者彼此獨立而且無任何關系。建立彈性體的功能關系。功能關系可以描述為:對于彈性體,外力在任意一組幾何可能的位移上所做的功,等于任意一組靜力可能的應力在與上述幾何可能的位移對應的應變分量上所做的功。學習要點:1、靜力可能的

4、應力;2、幾何可能的位移;3、彈性體的功能關系;4、真實應力和位移分量表達的功能關系。1、靜力可能的應力假設彈性變形體的體積為V,包圍此體積的表面積為S。表面積為S可以分為兩部分所組成:一部分是表面積的位移給定,稱為S u;另外一部分是表面積的面力給定,稱為S 。如圖所示 顯然S=S u+S假設有一組應力分量ij在彈性體內部滿足平衡微分方程 在面力已知的邊界S,滿足面力邊界條件 這一組應力分量稱為靜力可能的應力。靜力可能的應力未必是真實的應力,因為真實的應力還必須滿足應力表達的變形協調方程,但是真實的應力分量必然是靜力可能的應力。為了區(qū)別于真實的應力分量,我們用表示靜力可能的應力分量。2、幾何

5、可能的位移假設有一組位移分量u i和與其對應的應變分量ij,它們在彈性體內部滿足幾何方程 在位移已知的邊界S u上,滿足位移邊界條件 這一組位移稱為幾何可能的位移。幾何可能的位移未必是真實的位移,因為真實的位移還必須在彈性體內部滿足位移表示的平衡微分方程;在面力已知的邊界S上,必須滿足以位移表示的面力邊界條件。但是,真實的位移必然是幾何可能的。為了區(qū)別于真實的位移,用表示幾何可能的位移。幾何可能的位移產生的應變分量記作。3、彈性體的功能關系 對于上述的靜力可能的應力、幾何可能的位移以及其對應的應變分量,設F b i和F s i分別表示物體單位體積的體力和單位面積的面力(面力也包括在位移邊界S

6、u的約束反力。則不難證明,有以下恒等式 證明:由于和滿足幾何方程,而且應力是對稱的,所以 將上式代入等式的右邊,并且利用高斯積分公式,可得 由于滿足面力邊界條件,上式的第一個積分為 由于滿足平衡微分方程,所以第二個積分為 將上述結果回代,可以證明公式為恒等式。4、真實應力和位移分量表達的功能關系公式揭示了彈性體的功能關系。功能關系可以描述為:對于彈性體,外力在任意一組幾何可能位移上所做的功,等于任意一組靜力可能應力在上述幾何可能位移對應的應變分量上所做的功。這里需要強調指出的是:對于功能關系的證明,沒有涉及材料的性質,因此適用于任何材料。當然,證明時使用了小變形假設,因此必須是滿足小變形條件。

7、其次,功能關系中,靜力可能的應力、幾何可能的位移以及其對應的應變分量,可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài),二者彼此獨立而且無任何關系。假如靜力可能的應力和幾何可能的應變分量滿足材料本構方程時,則 對應的靜力可能的應力和幾何可能的位移以及其對應的應變分量均成為真實的應力,位移和應變分量。對于真實的應力,位移和應變分量,功能關系為 顯然這是應變能表達式。不過在應變能公式中,假設外力,即體力和面力是由零緩慢地增加到最后的數值的,因此應變能關系式中有1/2。而在功能關系公式的推導中,并沒有這一加載限制。功能關系是彈性力學中的一個普遍的能量關系,這一原理將用于推導其它的彈性力學變分原理。&

8、#167;11.2 變形體的虛功原理學習思路:本節(jié)討論的重點是彈性體的虛功原理。首先定義虛位移概念,通過將幾何可能的位移定義為真實位移與虛位移的和,可以確定虛位移是位移邊界條件所容許的位移微小改變量。對于虛位移所產生的虛應變,記作ij。根據彈性體的功能關系,可以得到虛功方程表達式W =U。虛功方程的意義為:如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的,外力在虛位移上所做的虛功,等于真實應力分量在對應的虛應變上所做的虛功,即虛應變能。這就是虛功原理。虛功原理等價于平衡微分方程和面力邊界條件,它滿足了靜力平衡的要求。學習要點:1、虛位移與虛應變;2、虛功原理;3、虛功原理的意義。1、虛位移與虛應變功是指力與力作

9、用點處沿力方向位移的乘積。顯然,功包括力和位移兩個基本量。如果力或者應力在其自身引起的真實位移或者應變上作功,這種功稱為實功;如果力或者應力在其他某種原因引起的微小位移或者應變上作功,這種功稱為虛功。設幾何可能的位移為 這里u i為真實位移, u i稱為虛位移。虛位移是位移邊界條件所容許的位移的微小改變量。由于幾何可能的位移在邊界S u上,應該滿足位移邊界條件,因此,邊界S u,有 u i=0將幾何可能位移公式代入幾何方程 顯然,上式右邊的第一項是真實應變,而第二項是虛位移所產生的虛應變,記作ij。因此,上式可以寫作 幾何可能的位移對應的應變可以用真實應變與虛位移所產生的虛應變之和表示。2、虛

10、功原理 如果用虛位移表達的幾何可能位移、和真實應力作為靜力可 能應力代入功能關系表達式,注意到真實應力和位移是滿足功能關系的,因此可以得到用虛位移 u i和虛應變ij表達的虛功方程 上式中應力分量為實際應力。注意到在位移邊界S u上,虛位移是恒等于零的,所以在上述面積分中僅需要在面力邊界S上完成。就力學意義而言,虛功原理表達式的等號的左邊為外力在虛位移中所做的功,稱為外力虛功 W;右邊為應力分量在虛位移對應的虛應變上產生的應變能,稱為虛應變能 U。即 W =U根據上述分析,可以得出結論:如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的,對于滿足變形連續(xù)條件的虛位移及其虛應變而言,外力在虛位移上所做的虛功,等于真

11、實應力分量在對應的虛應變上所做的虛功,即虛應變能。這就是虛功原理。3、虛功原理的意義 對于虛功方程,其右邊的積分可以寫作 上式在推導中應用了在位移邊界S u上, u i=0的邊界條件?，F在將上式回代到虛功方程,整理可得 因為虛位移 u i是任意的,因此上式的成立,要求在彈性體內 在位移已知邊界S u上,有 顯然,虛功原理等價于平衡微分方程和面力邊界條件,它滿足了靜力平衡的要求。應該指出:虛功原理的推導并沒有涉及任何材料性質,因此適用于任何材料。當然,由于使用了小變形假設,即線性的幾何方程,因此虛功原理必須是在小變形條件下適用于任何材料。除此以外應力和應變分量之間不需要滿足任何關系。§

12、11.3 功的互等定理學習思路:本節(jié)討論功的互等定理。定理的證明比較簡單,將功能方程應用于同一彈性體的兩種不同的受力和變形狀態(tài),則可以得到功的互等定理。它是彈性體功能原理的另一種應用形式。功的互等定理可以描述為:作用在彈性體上的第一種狀態(tài)的外力,包括體力和面力,在第二種狀態(tài)外力對應的位移上所做的功為例,等于第二種狀態(tài)的外力在第一種狀態(tài)對應的位移上所做的功。功的互等定理是一個十分重要的力學概念。它的應用可以幫助我們推導和理解有關的有關的力學公式和概念,同時也可以直接用于求解某些彈性力學問題。學習要點:1、功的互等定理1、功的互等定理如果將功能方程工科應用于同一彈性體的兩種不同的受力和變形狀態(tài),則

13、可以得到功的互等定理。假設第一種狀態(tài)的體力為,在面力邊界S 上的面力為,在位移已知的 邊界S u的位移為,彈性體內部的應力,應變和位移分別為; 第二種狀態(tài)的體力,面力,應力,應變和位移分別為, 。由于兩種狀態(tài)的應力和應變分量都是真實解,所以它們當然也就是靜力可能的和幾何可能的?，F在把第一種狀態(tài)的應力作為靜力可能的應力,而把第二種狀態(tài)的位移和應變作為幾何可能的位移和應變。將上述兩種狀態(tài)的應力和位移分別代入功能方程,有 同理,把第二種狀態(tài)的應力取為靜力可能的應力,而把第一種狀態(tài)的位移和應變作為幾何可能的位移和應變分別代入功能方程,有 對于上述公式的右邊,由于 所以 上式稱為功的互等定理。功的互等定

14、理可以敘述為:作用在彈性體上的第一種狀態(tài)的外力,包括體力和面力,在第二種狀態(tài)對應的位移上所做的功等于第二種狀態(tài)的外力在第一種狀態(tài)對應的位移上所做的功。功的互等定理是一個十分重要的力學概念。主要用于推導有關的力學公式,也可以直接用于求解力學問題。§11.4 位移變分方程-最小勢能原理學習要點:本節(jié)討論最小勢能原理。首先根據虛功原理推導應變能的一階變分表達式,然后根據任意幾何可能位移場與真實位移場的總勢能的關系,得到真實位移場的總勢能取最小值的結論。最小勢能原理用數學方程描述:總勢能的一階變分為零,而且二階變分大于零。最小勢能原理等價于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的面力邊界條件,

15、所以,對于一些按實際情況簡化后的彈性力學問題,可以通過最小勢能原理推導出其對應的平衡微分方程和面力邊界條件。本節(jié)通過例題對此作了說明。推導中設應變能密度函數是應變分量的函數,因此最小勢能原理是位移解法在變分原理中的應用。進入本節(jié)內容學習之前,應該首先學習有關泛函和變分的基礎知識。學習思路:1、總勢能;2、總勢能的變分;3、最小勢能原理;4、最小勢能原理推導彎曲問題的平衡微分方程和面力邊界條件;5、最小勢能原理推導扭轉問題的平衡微分方程和面力邊界條件。1、總勢能下面根據虛功方程推導僅應用于彈性體的最小勢能原理。設應變能密度函數是應變分量的函數,則應變能密度函數的一階變分為 上式推導中,應用了格林

16、公式,將上式代入虛功方程,則 上式表示外力虛功等于彈性體應變能的一階變分。定義外力勢能為 注意到虛位移與真實的應力無關,因此在虛位移過程中外力保持不變,即變分與外力無關。而且積分和變分兩種運算次序可以交換的,所以外力勢能的一階變分可以寫作 回代可得其中E t 稱為總勢能,它是應變分量的泛函。由于應變分量通過幾何方程可以用位移分量表示,所以總勢能又是位移分量的泛函。 公式表明,在所有幾何可能的位移中,真實位移將使彈性體總勢能的一階變分為零,因此真實位移使總勢能取駐值。2、總勢能的變分以下證明:對于彈性體的穩(wěn)定平衡狀態(tài),總勢能將取最小值。將幾何可能位移對應的應變代入總勢能表達式,可以得到幾何可能位

17、移對應的總勢能 將上式減去真實應變分量的總勢能,可得 將按泰勒級數展開,并略去二階以上的小量,有 回代可得 由于總勢能的一階變分為零,因此 3、最小勢能原理總勢能的二階變分為 由于 由于應變能密度函數為正定函數,即只有在所有的應變分量全部為零時其才可能為零,否則總是大于零的,因此 所以以上證明了在所有的可能位移場中,真實位移場的總勢能取最小值。所以這一原理稱為最小勢能原理。數學描述即總勢能的一階變分為零,而且二階變分是正定的(大于零。必須強調指出的是,真實位移與其他的可能位移之間的差別在于是否滿足靜力平衡條件,所以說最小勢能原理是用變分形式表達的平衡條件。通過總勢能的一階變分為零,可以推導出平

18、衡微分方程和面力邊界條件,這和虛功原理是相同的,即最小勢能原理也等價于平衡微分方程和面力邊界條件。虛功原理和最小勢能原理之間的差別在于:虛功原理不涉及本構關系,適用于任何材料,只要滿足小變形條件;最小勢能原理除了小變形條件之外,還需要滿足應變能密度函數表達的本構關系,因此僅限于線性和非線性彈性體。最后,將最小勢能原理完整的敘述為:在所有幾何可能位移中,真實位移使得總勢能取最小值。該方法是以位移函數作為基本未知量求解彈性力學問題的。當然,選擇的位移函數必須是在位移已知的邊界上滿足位移邊界條件,對于面力邊界是不需要考慮的,因為面力邊界條件是會自動滿足的。4、最小勢能原理推導彎曲問題的平衡微分方程和

19、面力邊界條件例2:圖示直梁,分布載荷q(x作用在軸線所在的鉛垂平面內。用最小勢能原理推導問題的平衡微分方程和面力邊界條件。解: 該梁為超靜定結構。在梁的端面,施加適當的約束使梁不能產生剛體位移,施加適當的剪力和彎矩,使梁保持平衡。設w(x表示梁的撓度, 表示梁軸線變形后的曲率半徑,則梁的應變能為 由于,并且注意到對于小變形問題,所以上式可以寫作 本問題的面力邊界為梁的上下表面,作用分布載荷q(x,則外力功為 梁的總勢能為 對上式作一階變分并且令其為零,有 整理可得 因此 上述關系式的第1式即問題的平衡方程,第2,3和4式為梁邊界條件。以上根據最小勢能原理推導出梁的彎曲問題對應的平衡微分方程和面

20、力邊界條件。5、最小勢能原理推導扭轉問題的平衡微分方程和面力邊界條件。例3:應用最小勢能原理推導柱體扭轉問題的基本方程和邊界條件。解:對于柱體扭轉的位移解法,位移分量用扭轉翹曲函數表示為 與上述位移分量對應的應力分量為 由于其他的應力分量全部為零,所以柱體的應變能為 令 則由于柱體的側表面不受外力的作用,不存在外力功的問題。在端面上,作用有扭矩T,產生扭矩的是x和y方向的面力F s x和F s y,而z方向的面力F s z為零。根據柱體扭轉的位移表達式,本問題的虛位移為 u=0, v=0, w=因此,柱體所有表面的外力虛功均為零。根據最小勢能原理 所以即 利用高斯積分公式,上式簡化為 由于是任

21、意的,所以上式成立的條件為 顯然,這和第九章中導出的扭轉函數所要滿足的平衡微分方程和面力邊界條件是相同的。§11.5 最小勢能原理的應用學習要點:最小勢能原理是彈性力學問題近似解法的基礎。這一原理要應用于實際問題,必須有對應的求解方法。首先建立以級數形式表達的位移試函數,選擇的位移試函數必須滿足位移邊界條件,它是幾何可能的。根據位移試函數可以確定應變分量以及總勢能E t的表達式。注意到總勢能E t原為位移的泛函,寫作成為待定系數A m,B m和C m的二次函數。這樣就把求解泛函的駐值問題,轉化成為求解函數的極值問題。根據上述原則推導的近似解法稱為瑞利-里茨法。如果選擇的位移試函數不僅

22、滿足位移邊界條件,而且滿足面力邊界條件,則求解公式將進一步簡化。稱為伽遼金法最后舉例說明瑞利-里茨法和伽遼金法的應用。學習思路:1、位移試函數;2、瑞利-里茨法;3、伽遼金法;4、簡支梁彎曲問題;5、矩形板;6、扭轉問題。1、位移試函數最小勢能原理的主要用途并非推導平衡微分方程和面力邊界條件,它是彈性力學問題近似解法的基礎。如果要使得某個原理要應用于實際問題,必須有對應的求解方法。本節(jié)介紹基于最小勢能原理的兩種近似解法:瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz法和伽遼金(法。根據最小勢能原理,如果能夠列出所有的幾何可能位移,那么使總勢能1取最小值的那一組位移就是真實位移。問題是列出所有幾何可能的

23、位移是非常困難的,甚至是不可能的。因此,對于實際問題的計算,只能憑借經驗和直覺縮小尋找范圍,在這個范圍內的一族幾何可能的位移中,找到一組位移使得總勢能E t 最小。雖然這一組位移一般的說并不是真實的,但是可以肯定,它是在這個縮小的給定范圍內部,與真實位移最為接近的一組位移,由此解答可以作為近似解。從上述思想出發(fā),在一般情況下,可以將位移分量選擇為如下的形式 其中,A m,B m和C m均為任意的常數;u0,v0和w0以及u m,v m和w m都是坐標的已知函數,并且在位移邊界S u上,有 這樣構造的位移試函數,不論系數A m,B m和C m取何值,總是滿足位移邊界條件的。而且對于連續(xù)函數,必然

24、滿足幾何方程。因此滿足幾何可能位移的條件。2、瑞利-里茨法現在的問題是將要如何選擇待定系數A m,B m和C m,使得總勢能1在位移表達式表示的這一族位移中取最小值。為此,將位移表達式代入幾何方程求得應變分量,然后代入總勢能1的表達式,注意到應變能密度函數是應變分量的齊二次函數,因此總勢能1表達式的第一個積分成為待定系數A m,B m和C m的齊二次函數,而第二和第三個積分為A m,B m和C m的一次函數。于是,總勢能E t 原本是自變函數的泛函,現在成為待定系數A m,B m和C m的二次函數。這樣就把求解泛函的極值問題,轉化成為求解函數的極值問題。總勢能E t 取極值的條件為 總勢能E

25、t 取極值的條件又可以寫作 上述公式是一組以A m,B m和C m(m=1,2,3為未知數的線性非齊次代數方程組,求解方程可得待定系數,回代就可以得到近似位移解答。這一方法稱為瑞利里茨法。3、伽遼金法下面討論伽遼金(法。注意到應變能的一階變分可以寫作 將上式回代最小勢能原理,整理可得 如果選擇的位移試函數不僅在位移邊界上滿足位移邊界條件,而且在面力邊界上滿足面力邊界條件,即位移試函數滿足全部的邊界條件,則上式可以進一步簡化為 上式展開可以寫作 將位移函數表達式代入幾何方程求得應變分量,再根據物理方程求出應力分量代入上式,并且注意到 將上述結果代入虛功方程,可得 由于A m,B m和C m 彼此

26、獨立而且是完全任意的,所以上式成立的條件為 由于應力分量為A m,B m和C m的線性函數,所以上述公式為A m,B m和C m 的線性非齊次代數方程組。解出待定系數代入公式就得到位移函數的近似解答,這種方法稱為伽遼金法。4、簡支梁彎曲問題例4:兩端簡支的等截面梁,受均勻分布載荷q作用如圖所示。試求解梁的撓度w(x。解:首先使用瑞利里茨法求解。為了滿足梁的位移邊界條件,即簡支梁兩端的約束條件: 在x=0和l 處, w=0,取位移試函數,即撓曲線方程為 問題的總勢能為 即 根據,所以 所以 回代到位移公式,可得 撓曲線表達式是無窮級數,它給出了本問題的精確解答。這個級數收斂很快,只要取少數幾項就

27、可以得到足夠的精度。最大撓度在梁的中點,即處,因此 如果取一項,有。這一結果與精確值十分接近。由于上述位移試函數表示的撓曲線方程在求二階導數后仍為正弦函數,所以二階導數在x=0 和x=l處仍舊為零。本問題的靜力邊界條件是梁的絞支處彎矩為0,所以該表達式也滿足面力邊界條件,因此這一試函數也可以應用于伽遼金法求解。注意到 將位移試函數公式代入上式并且積分,可以得到與瑞利里茨法相同的結果。5、矩形板例5:圖示矩形薄板,四邊固定,受有平行于板面的體力作用。設坐標軸如圖所示,試用瑞利里茨法求解。解:設位移試函數為 上式中m和n為正整數,在邊界x=0,a,和y=0,b上,u=v=0,所以試函數滿足位移邊界

28、條件。由于問題屬于平面應力問題,所以 因此 將位移試函數代入上述公式求導數后再積分,并且注意到方程 則由此可見,只要體力的分布是已知的,通過積分即可以求得待定系數A mn和B mn,從而位移分量可以求解,根據幾何方程可以得到應變分量,再由物理方程求出應力分量。例6:圖示矩形薄板,三邊固定,而另外一條邊的位移給定為受有平行于板面的體力作用。設坐標軸如圖所示,試用伽遼金法求解。解:設位移試函數為 位移試函數滿足位移邊界條件。由于問題沒有面力邊界條件,因此我們可以認為位移試函數滿足面力邊界條件,即可以采用伽遼金方法求解。由于問題屬于平面應力問題,有 將位移試函數代入上式,積分后可得 積分后,求解關于

29、A mn和B mn的線性方程組則問題可解。如果 =0,則問題與例5完全相同。本問題當然可以采用瑞利里茨法求解。但是,一般的講,使用伽遼金法求解相對的工作量要小一些。6、扭轉問題例7:應用瑞利里茨法求解橢圓截面柱體和矩形截面柱體的扭轉函數(x,y。解:柱體的扭轉問題歸結為求解變分方程,其中I0由公式確定。對于橢圓截面柱體,根據其扭轉時橫截面的翹曲情況,設扭轉函數為 (x, y=Axy。其中A為任意常數。將上式代入公式,積分后可得 。I0本來是泛函,它取極值的必要條件是一階變分為零,但現在I0是A的函數,其取極值的必要條件為 所以 因此 對于矩形截面桿,同樣根據橫截面的翹曲,設扭轉函數為 將上式代

30、入公式,積分后可得 所以 求解可得 將上述待定系數代入公式,可得扭矩為 。最大切應力發(fā)生在長邊的中點,即 上述結果與精確解很接近。§11.6 應力變分方程-最小余能原理學習思路:如果設能量為應力分量的泛函,則可以得到應變余能的定義。將靜力可能的應力表示為真實應力與虛應力、或者說應力變分之和。根據定義,虛應力滿足無體力的平衡微分方程和無面力的面力邊界條件。將應力試函數代入功能方程,并且用真實位移替代幾何可能的位移,就可以得到應力變分方程-最小余能原理。對于穩(wěn)定的平衡狀態(tài),真實應力使總余能取最小值。這一關系稱為最小余能原理。應力變分方程或者最小余能原理應該是等價于以應力分量表示的變形協調

31、方程和位移邊界條件。應力變分的實質就是引入應力解法于能量原理,因此對于多連域問題,還有位移單值連續(xù)條件需要考慮,這將導致問題十分復雜。學習要點:1、應變余能函數;2、虛應力;3、應力變分方程;4、最小余能原理1、應變余能函數首先介紹有關應變余能的概念。以單向拉伸為例,設單向拉伸應力為x,應變?yōu)閤。對于線彈性問題,應力與應變曲線是一條直線,對于一般的彈性體,它是一條曲線。當彈性體受到拉伸,應變達到x時,彈性體內部存儲的應變能密度相當于應力應變曲線與x軸所圍的面積,有 而應力應變曲線與應力x軸所圍的面積定義為應變余能密度,有 。對于復雜應力狀態(tài),應變能和應變余能密度函數分別定義為 和 對于應變能和

32、應變余能,顯然。這里定義應變能密度是應變分量的泛函,而應變余能密度是應力分量的泛函。對于上式作變分,有 即 根據格林公式,上式的右邊為零。而ij是任意的,所以可以證明對于應變 余能密度函數。2、虛應力以下通過虛功方程推導最小余能原理,設靜力可能的應力為 其中,ij為真實應力,ij為真實應力鄰近的應力的微小改變量,通常稱為虛應力。將上式代入微分平衡方程和面力邊界條件,則 和(在 由于ij為真實應力,必然滿足平衡微分方程和面力邊界條件,所以虛應力ij必然滿足 (在上式表明,如果應力試函數表示的應力是靜力可能的,則虛應力應該滿足無體力的平衡微分方程和無面力的面力邊界條件。3、應力變分方程 現在將應力

33、勢函數代入功能方程 并且用真實位移替代幾何可能的位移,則 注意到公式 則上式簡化為 應該注意的是,虛應力與虛位移、即位移變分方程不同,表面面力是有增量F si 的。即虛應力ij在位移邊界S u 將引起的面力,稱為虛面力。有 (在S u將虛面力表達式回代公式 可得 上式稱為虛應力方程,又稱為應力變分方程。它表示在已知位移的邊界上,虛面力在真實位移上所作的功等于整個彈性體內部的虛應力在真實變形中所作的功。4、最小余能原理 將公式代入虛應力方程的右邊,有 由于在位移邊界S u 上的位移是給定的,所以上式左邊的變分符號可以提到積分符號的外邊,則應力變分方程還可以寫作以下形式 令則 這里,E t(ij稱

34、為總余能,它是應力分量的泛函。上述公式表示,當應力分量從真實應力ij變化到靜力可能的應力ij+ij時,總余能的一階變分為零,即真實應力使得總余能取駐值。因此這一關系稱為最小余能原理。和最小勢能原理相同,可以證明,對于穩(wěn)定的平衡狀態(tài),真實應力使總余能取最小值。這一關系稱為最小余能原理。它可以敘述為:在所有靜力可能的應力中,真實應力使得總余能取最小值。如果彈性體的全部邊界面力已知,最小余能原理可以簡化為 上式稱為最小功原理,它是最小余能原理的特殊形式。根據彈性力學的分析方法,真實應力除了滿足平衡微分方程和面力邊界條件以外,還必須滿足用應力分量表示的變形協調方程。而根據能量變分的原理,真實應力除了滿

35、足平衡微分方程和面力邊界條件以外,還要滿足應力變分方程或者總余能的極值條件。因此,應力變分方程或者最小余能原理應該是等價于以應力分量表示的變形協調方程和位移邊界條件。應力變分方程是應力解法在能量原理中的應用,因此對于多連域問題,同樣需要考慮位移單值連續(xù)條件,這將是十分復雜的。§11.7 基于最小余能原理的近似計算方法學習思路:最小余能原理近似解法的基礎是首先選擇以級數形式表達的應力試函數。試函數滿足滿足平衡微分方程和面力邊界條件,它是靜力可能的應力。問題的求解級數確定試函數的待定系數。將應力試函數代入總余能的表達式,于是總余能E't成為待定系數A m的二次函數,這樣就把求解泛

36、函的駐值問題,轉化成為求解函數的極值問題。在利用最小余能原理求解彈性力學問題的近似解時,最困難的問題是應力試函數的選擇必須同時滿足平衡微分方程和面力邊界條件。對于能夠應用應力函數的平面和扭轉問題,需要考慮的僅是應力試函數滿足面力邊界條件,比較容易得到解答。學習要點:1、應力試函數;2、最小余能近似解;3、平面問題最小余能近似解;4、扭轉問題最小余能近似解;5、矩形薄板。1、應力試函數本節(jié)討論的近似計算方法僅限于線彈性問題。因此應變能與應變余能是相等的。根據最小余能原理,如果可以將所有靜力可能的應力全部列出,則其中使總余能取最小值的那一組應力分量就是真實應力。對于實際的計算問題,列出所有的靜力可

37、能的應力是困難的。但是我們可以根據經驗和感覺在一定的范圍內部列出一族靜力可能的應力,并在此找出一組應力分量使得總余能取最小值。雖然這一組應力分量一般并不是問題的真實應力,但是可以肯定的是它在這一族應力中是最接近真實應力的。因此這一組應力分量就是問題的近似解。(帕普考維奇建議,將應力分量的表達成如下形式 其中,是平衡微分方程的特解,并且滿足面力邊界條件,當然,如果它還滿足變形協調方程,則它就是問題的真解,這里不妨假設其是不滿足變形協調方程的。 滿足無體力的平衡微分方程和無面力的面力邊界條件,當然,它也是不滿足變形協調方程的。A m(m=1,2,3,為任意常數。顯然,應力試函數給出的應力分量是靜力

38、可能的。2、最小余能近似解將應力試函數代入總余能的表達式,于是原為應力泛函的總余能E't 成為關于待定系數A m(m=1,2,3,的二次函數,求解泛函極值的條件轉換為 (m=1,2,3,上式為關于待定系數A m(m=1,2,3,的線性非齊次方程組,求解線性方程組可以得到全部待定系數。回代到應力應力試函數表達式即可得到問題的近似解。最小余能原理求解彈性力學問題的近似解時,最困難的問題是應力試函數的選擇必須同時滿足平衡微分方程和面力邊界條件。對于一般問題,構造同時滿足面力邊界條件和平衡微分方程的應力試函數是十分可能的。但是對于彈性力學的平面問題和柱體的扭轉問題,由于應力函數的應用,使得應力

39、分量自然滿足平衡微分方程。因此,只需要考慮應力試函數的表達式滿足面力邊界條件。這將使得困難大為減少。以下將分別介紹最小余能原理在平面問題和扭轉問題中的應用。 對于平面應力問題,設板的厚度為1,由于只有應力分量存在,而且這些應力分量均為x,y的函數,與坐標z無關。則彈性體的應變余能表達式為(對于線彈性問題,應變能和應變余能是相等的 對于平面應變問題,只要將上式中的E和分別用替代即可。3、平面問題最小余能近似解如果討論的平面問題是單連通的,應力分量和彈性常數是無關的,因此可以設泊松比 =0,這樣應變余能表達式可以簡化為 將應力分量用應力函數表達,在不計體力時,有 則 假如平面物體全部邊界上的面力都

40、是已知的,則根據最小功原理,有 不難證明,上述變分方程等價于。設應力函數為。 為了使面力邊界條件得到滿足,設由給出的應力分量滿足實際的面力邊 界條件,而由給出的應力分量應該滿足面力為零的面力邊界條件。A m(m=1,2,3,為任意常數,于是彈性體的余能成為關于A m(m=1,2,3,的二次函數,其取極值的條件為 (m=1,2,3,上式為關于A m(m=1,2,3,的線性代數方程組。求解即可得到問題的近似解。4、扭轉問題最小余能近似解以下介紹最小余能原理在柱體扭轉中的應用。扭轉問題的應變余能表達式為 其中l(wèi)為桿的長度。按應力法求解,橫截面上的切應力可以表示為應力函數的偏導數,則應變余能可以寫作

41、為了建立適用于扭轉問題的變分方程,需要計算面力在實際位移上做的功。在柱體的側面,由于沒有面力作用,因此也沒有面力的功。在柱體的兩端,面力合成為方向相反的兩個扭T,而兩端的相對扭轉角為 l ,端面是位移已知的邊界。因此面力在實際位移上做的功就等于 所以。將上述結果代入總余能公式,則柱體扭轉問題的總余能為 求一階變分,可得 上式即為柱體扭轉問題的應力變分方程。在實際計算中,可以將應力函數(x,y定義為 其中,A m(m=1,2,3,為互相獨立的m個待定系數。為了使應力函數m滿足邊界條件,即應力函數(x,y在橫截面的邊界上等于零,必須設定m在橫截面的邊界上等于零。對于泛函總余能的一階變分,即求解總余

42、能的最小值的條件轉換成為 通過上式可以確定待定系數A m(m=1,2,3,。5、矩形薄板例8:圖示矩形薄板,其兩端受拋物線分布的拉力作用,求應力分量。 解:本問題的邊界條件為 為了滿足邊界條件,設 顯然以上假設滿足面力邊界條件?，F在適當的選取,并且使與之對應的應力分量在邊界為零。為達到這一目的,設各個函數中都包括這些因子,則這些函數對x,y的二階偏導數在x=±a,y=±b 為零。所以設 由于對稱性,上式中僅取x和y的偶次冪,為了使得待定系數A1,A2A m 成為無因次的,所以上式中布臵了因子qb2,并且使x和y分別除以a和b等,如果在上式中僅取一項,即A1一個系數,則 將上

43、式代入公式,則 對于正方形薄板,即a=b,可得A1=0.0425。因此,問題的應力分量近似解為 在薄板的中心,x=y=0,可得 x=0.830q。如果取A1,A2,A3三項,通過同樣的運算,可得A1=0.0414, A2=A3=0.0117, 在薄板的中心,x=y=0,可得x=0.862q。為了得到更為精確的解答,應力試函數應該選取更多的項數。§11.8 有限元原理基礎知識學習思路:有限元原理是目前工程上應用最為廣泛的結構數值分析方法,它的理論基礎仍然是彈性力學的變分原理。在有限元方法中,試函數的選取不是整體的,而是在彈性體內分區(qū)(單元完成的,因此試函數形式簡單統一。有限元原理將單元

44、內部位移用節(jié)點位移表示,這可以使用插值函數構造單元位移函數。并且通過單元位移描述單元的應力和應變分量。通過最小勢能原理建立單元位移與單元節(jié)點力的關系,構造單元平衡方程。對于由單元集合得到的彈性體整體,應用最小勢能原理構造整體平衡方程。這個方程是一個線性方程組,求解可以得到彈性體的位移,以及單元的應力和應變分量。近年來,隨著計算機技術的迅速發(fā)展和廣泛應用,使得以有限元原理為代表的計算力學的迅速發(fā)展,改變了彈性力學理論在工程應用領域的處境。特別是以計算機的強大計算能力為后盾開發(fā)的大型通用有限元程序,目前已經成為工程技術人員手中強大的結構分析工具。如果你需要進一步學習有限元方法的理論和應用,請查閱參

45、考資料。學習要點:1、有限元原理與變分原理的關系;2、有限元原理的基本概念;3、單元與單元位移確定;4、有限元單元分析;5、有限元整體分析。1、有限元原理與變分原理的關系彈性力學問題的本質是求解偏微分方程的邊值問題。由于偏微分方程邊值問題的復雜性,只能采取各種近似方法或者漸近方法求解。變分原理就是將彈性力學的基本方程-偏微分方程的邊值問題轉換為代數方程求解的一種方法。有限元原理是目前工程上應用最為廣泛的結構數值分析方法,它的理論基礎仍然是彈性力學的變分原理。那么,為什么變分原理在工程上的應用有限,而有限元原理卻應用廣泛。有限元原理與一般的變分原理求解方法有什么不同呢。問題在于變分原理用于彈性體

46、分析時,不論是瑞利-里茨法還是伽遼金法,采用整體建立位移試函數或者應力試函數的方法。由于試函數要滿足一定的條件,導致對于實際工程問題求解仍然困難重重。有限元方法選取的試函數不是整體的,而是在彈性體內分區(qū)(單元完成的,因此試函數形式簡單統一。當然,這使得轉換的代數方程階數比較高。但是,面對強大的計算機處理能力,線性方程組的求解不再有任何困難。因此,有限元原理成為目前工程結構分析的重要工具。近年來,隨著現代科學技術的發(fā)展,特別是計算機技術的迅速發(fā)展和廣泛應用,使得有限元方法首先在彈性力學和結構力學領域發(fā)展起來。以有限元方法為代表的計算力學的發(fā)展,迅速改變了彈性力學理論和方法在工程應用領域的處境。以計算機的強大計算能力為后盾開發(fā)的大型通用有限元程序,可以求解數十萬自由度的線性代數方程組,目前已經成為工程技術人員手中強大的結構分析工具。在此基礎之上,CAD、CAE等技術的應用使得計算機不僅成為數值分析的工具,而且成為設計分析的工具。2、有限元原理的基本概念變分原理實際是把求解偏微分方程邊值問題轉換為求解某一泛函的最小值問題。例如對于最小勢能原理,變分