概率論與數(shù)理統(tǒng)計湯大林期末復習大綱習題答案

1、一.填空題：第 2 章一維隨機變量習題 25 設 隨 機 變 量的 分 布 律 是pk1ka, k21,2,3, 415則p=0.8。24解：pk 12111115kaa2481616令15 a1得a161615151611pp1p22215240 .84. 設 某 離 散 型 隨 機 變 量的 分 布 律 是 pkkc, k k!0,1, 2,，常 數(shù)>0， 則 c的 值 應 是 e。二.計算題：7、一大樓內(nèi)裝有 5 個同類型的供水設備。調(diào)查表明在任一時刻t 每個設備被使用的概率為0.1 ，問在同一時刻：(1) 恰有兩個設備被使用的概率是多少？p x2c 2 ( 0 .1) 2 ( 0

2、 .9 ) 30 .07295(2) 至少有 3 個設備被使用的概率是多少？p x3c 3 ( 0 .1) 3 ( 0 .9 ) 2c 4 ( 0 .1) 4 0. 9c 5 ( 0 .1) 5 ( 0.9 ) 00.00856555(3) 至多有 3 個設備被使用的概率是多少？p x3)1p x314 c 5 ( 0. 1)40 .955c 5 ( 0 .1)0.99954(4) 至少有 1 個設備被使用的概率是多少？p x101c 50( 0 .1)5( 0 .9 )0 .4095120、 設連續(xù)型隨機變量x 的分布函數(shù)為f ( x )xabe,x00,x0(0 )求(1) 常數(shù) a, b

3、(2)p x2,p x3(3) 概率密度f ( x )解:(1)a1,b1(2) 123e,e(3)f ( x )xe,x00,x021、某種型號的電子管壽命x( 以小時計 ) ，具有如下概率密度：f ( x )10002x0, x1000,其它現(xiàn)有一大批此種電子管( 設各電子管損壞與否相互獨立) ，任取 5 只，問其中至少有2 只壽命大于 1500 小時的概率是多少？并求f ( x ) .解：設使用壽命為x 小時1500 1000100015002p x1500 1p x11500 1dx1(1000x 22) |1000x323p x1500 ，所求事件的概率：p553c 5 p ( x1

4、500 ) p ( x1500 )5c 3 p ( x1500) 3 p ( x1500) 2c 4 p ( x1500) 4p( x1500 )c 5 p ( x1500) 52210()313()1032312()()33245()3125()33232243xx10001000再求 f( x )f ( x ) dx10002dx1xxf ( x )10001x0, x1000,其它23、設顧客在銀行的窗口等待服務的時間x( 以小時計 ) 服從指數(shù)分布，其概率密度為f ( x )x1e 5 , x50某顧客在窗口等待服務，若超過10 分鐘，他就離開，他一個0, 其它kk月要到銀行 5 次，

5、以 y 表示一個月內(nèi)他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出 y 的分布律， 并求 p y1 .解：p yk c 5 e2 k (1e 2 ) 5, k0, k ,1,2,3,4 ,5p y10.5166二、證明和計算題第三章多維隨機變量及其分布6、設隨機變量( x ,y )的密度函數(shù)為f ( x , y )( 3 xke04 y )x0 , y0其它(1) 確定常數(shù) k(2) 求 ( x , y )的分布函數(shù)(3) 求 p 0x1, 0y2解： (1)dyk e004 y3 x( 3 x4 y )dx114 y13 xkkedyedxk e 0e 0k1200yx(2) (2)( 3 u44 v

6、)31213 x4 yf ( x , y )12 e00dudv12( 1e12)( 1e)(1e3 x4 y)( 1e)x0 , y0f ( x , y )0(3) (3)p 0x1, 0y2f( 1,2 )f ( 0,0 )f (1,0 )f ( 0,2 )(1e38)( 1e)00. 950218、設隨機變量( x , y )在矩形區(qū)域 d( x,y ) | ax b, cy d內(nèi)服從均勻分布，(1) 求聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度. (2)問隨機變量x , y是否獨立？解： (1) 根據(jù)題意可設( x , y )的概率密度為f ( x , y)maxb, cyd0其它1f ( x,y )

7、 dxdybdmdxdyacm (ba )( dc)1于是 m，故f ( x, y)1 /( ba )( dc )axb, cyd( ba )( dc )0其它f x ( x)f ( x,y )dydc ( bdy1a )( dc )ba即 f x( x )1axbba0其它f y ( y)f ( x,y ) dxba ( bdx1a )( dc )dc即 f y ( y )1 /( dc) 0cyd其它(2) 因為f ( x , y)f x ( x )f y (y ) ，故 x 與y 是相互獨立的 .9、隨機變量( x , y ) 的分布函數(shù)為f ( x, y )xy133x y3,x0,

8、y0求：0 ,其它22xy（ 1）邊緣密度； （ 2）驗證 x,y 是否獨立。解：（ 1）f ( x, y )xln 3( 3x3x y ) ，f ( x , y )xyln33,x0 , y0 .f ( x, y)2xyln33x0其它0 , 0yf x ( x )2ln30x y3dyxln 33x0,0其它f y ( y )2ln30x y3dxln 3y3, y00其它(2)因為f ( x , y )f x ( x )f y ( y )，故 x 與 y 是相互獨立的 .10、一電子器件包含兩部分，分別以x , y記這兩部分的壽命( 以小時記 ) ，設( x , y ) 的分布函數(shù)為 f

9、( x , y )0 .01 x1e0 . 01 ye00 .01 ( x y )ex0 , y0其它(1) 問 x 和 y 是否相互獨立？(2)并求p x120 , y120 解： (1)f x ( x )f ( x,)0. 01 x1ex00x0fy ( y )f (, y)0 .01 y1ey00y0易證 f x( x) fy( y)f ( x,y ) ，故x , y相互獨立 .(2) 由(1)x , y相互獨立p x120 , y120 p x120 p y120 1p x120 1p y120 1f x( 120) 12 4f y ( 120 )e0. 09111 、 設 隨 機 變

10、 量 (,) 的 分 布 函 數(shù) 為 f ( x, y )a ( barctgxy)( carctg)23求： ( 1 )系 數(shù) a , b及 c 的 值 ， ( 2 )(,) 的 聯(lián) 合 概 率 密 度(x , y)。解： ( 1 )f (,)a ( b)( c)1 22f (,)a ( b)( c)022f (,)a ( b)( c)0 2211y132,由 此 解 得 a2bc, 26111pk244( 2 )( x, y )222( 4x)( 9y)一、填空題2、設 x 為今年任一時刻天津的氣溫，y 為今年任一時刻北京的氣溫，則今年天津的氣溫變化比北京的大，相當于d ( x )d (

11、y ) .3、已知隨機變量 x 服從二項分布，且e ( x )2 .4 ,d ( x )1. 44，則二項分布的參數(shù)n= 6 ,p= 0.4 .4、已知 x 服從( x )1x 2e2 x1，則 .e ( x) = 1,d ( x )= 1/2 .6、設x ,y相互獨立，則協(xié)方差cov(x , y )0.這時，x ,y之間的相關系數(shù)xy0.7 、 若xy是 隨 機 變 量( x ,y )的 相 關 系 數(shù) ， 則|xy|1 的 充 要 條 件 是p yaxb1 .8、xy 是隨機變量( x ,y )的相關系數(shù)， 當 xy0 時， x 與y不相關 ，當 |xy|1時 ， x 與y幾乎線性相關.(

12、29、若d ( x )8, d (y )4 ，且x ,y相互獨立，則d (2 xy )36 .10、若a, b 為常數(shù)，則d ( axb)adx ) .13、若d ( x )25,d (y )36 ,xy0 .4 ，則cov(x ,y )12， d ( xy )85，d ( xy )37 .14、已知e ( x )3 ， d ( x )5 ，則2e ( x2 )30 .二, 計算題5、設連續(xù)型隨機變量x 的分布函數(shù)f ( x )0 ,xab arcsin x,11x11,x1求a 、 b 、 e ( x ) 、 d ( x ) .解:x 為連續(xù)型隨機變量，f ( x) 為連續(xù)函數(shù) .f (1)

13、f (1),a2 b0ba12f ( 1)f (1),a,b.2可解得 ;11x 的概率密度f ( x )f ( x )1, x121x0,其它e ( x )1xf ( x ) dxxdx =0121xd ( x )12e ( x)x21x22dxdx1202令xsint ，則d ( x )22 sin01x1x21tdt217、設隨機變量 ( x , y ) 具有概率密度f ( x , y )1( xy )800x2, 0y2其它求 e ( x), e (y ),cov(x , y ),xy .解：e ( x )xfxoy( x ,y ) d xd y122d x800x( x7y )d y

14、6由 x ,又y 的“對稱性”可得7e ( y ).6e ( xy )xoyxyf( x ,y ) dxdy122dx800xy ( x4y ) dy3所以cov(x , y )e ( xy )e ( x1) e (y ).362又e ( x)xoy2xf ( x ,y ) dx d y122dx8002x( x5y )d y3由 x , y 的“對稱性”可得e ( y 2 )53221111d ( x )e ( x)所以( e ( x ),d (y ).3636cov(xyx ,y )1.故d ( x) d (y )11第 5章 大數(shù)定律與中心極限定理一、填空題：1. 設隨機變量e ( )，

15、方差d( )2，則由切比雪夫不等式有p |1|39.3.設 隨 機 變 量x 1 ,x 2 ,x 9相 互 獨 立 且 同 分 布 ,而 且 有ex i1,d x i1 ( ix1, 2, 9) ,令9x ii 1,則對任意給定的0 ,由切比雪夫不等式直接19可得 px92.二計算題：1、在每次試驗中，事件a發(fā)生的概率為 0.5 ，利用切比雪夫不等式估計，在1000 次獨立試驗中，事件 a 發(fā)生的次數(shù)在 450 至 550 次之間的概率 .解：設 x 表示 1000 次獨立試驗中事件a發(fā)生的次數(shù)，則e ( x )500 ,d ( x )250p 450x550 p| x500 |50 p| x

16、e ( x ) |50 d ( x )1250250125000 .911將一枚硬幣連擲100 次，試用隸莫佛 - 拉普拉斯定理計算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于60 的概率 。已知 ：(1) = 0.8413；(2) = 0.9772； 當 x > 4 ,(x) =1。1解：設為 擲 100 次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，它服從二項分布b ( 100， 2 )1np100這 里250,npq150252由 隸 莫 佛 -拉 普 拉 斯 定 理 ， 得p 601006050p255010050252550p2105102查 n ( 0， 1 )分 布 函 數(shù) 表 ， 得 p 60 <100 = 10.9

17、77 = 0.023 .第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念一. 填空題5. 設 x n (0,16),y n (0, 9),x , y 相互獨立 ,x 1 , x 2 , x 9與y1 , y2 , y16 分別為 x 與 y 的一個簡單隨機樣本 ,222x 1x 2x 9y 2y 2y 2則1216服從的分布為f (9,16).2. 樣本( x 1 , x 2 , x n) 來自總體( n2x n( ,) 則1)2s2 n2 ( n1)；n( x)s n_ t ( ns n21)。其中 x 為樣本均值，n21( xx )n1 i 1。二、選擇題2 、設1 ,2 ,n 是來自正態(tài)總體n (,2) 的簡單

18、隨機樣本212ns1(i)n1 i 1，n21s2(in i 122)s3，1n(in1 i 122)s4，1n(in i 12)，則服從自由度為 n1的 t 分布的隨機變量是( b ).a 、 s1 /n1b 、 s2 /n1c 、 s 3 /nd 、 s4 /n4、設1 ,2 ,n 是總體 n ( 0,1)的樣本，, s 分別是樣本的均值和樣本標準差，則有 ( c )a 、 n n ( 0,1)b、 n ( 0,1)nc、 i 122i x( n)d 、/ s t ( n1)第 7 章 參數(shù)估計點估計一、填空題1、設總體 x 服從二項分布b ( n , p)， 0p1 ， x 1 , x

19、2x n 是其一個樣本，那么矩估x計量 p?n.2 、設總體x n (,22) ，且已知，現(xiàn)在以置信度1 估計總體均值，下列做法中一定能使估計更精確的是( c ).a、提高置信度 1，增加樣本容量b、提高置信度 1，減少樣本容量c、降低置信度 1，增加樣本容量d、降低置信度 1，減少樣本容量3 、 設x 1 , x 2 , x n是 來 自 總 體x n (,22) 的 樣 本 ， 則 有 關 于及的 似 然 函 數(shù)l ( x 1 , x 22, x n ;,)n_ i 111e 222( x i)2 。二、計算題1 、設總體 x具有分布密度f ( x;)(1) x, 0x1 ，其中1 是未知

20、參數(shù)，x 1 , x 2 ,x n 為一個樣本，試求參數(shù)的矩估計和極大似然估計.a解：因e (x )1x (01)xdx11( 1)xdx0 1a21 1x| 0 2 2e ( x )xn令?1?22x1?1x為的矩估計因似然函數(shù)l ( x1 ,x 2 ,x ;)(1) n( x1 x 2xn )ln ln ln( 1)nln x iln lnnln x i0i 1，由1i 1得，?的極大似量估計量為(1ni 1n)ln x i2、設x 1 , x 2 ,x n 是來自總體 n (,2) 的一個樣本，若使n 1c( x i 1i 12x i )2為的無偏估計，求常數(shù)c 的值。解：e cn 1(

21、 x i 1i 12x i ) 2nc1 e ( xi1nc12 ex ii 1x i )21ex i2 e x i1 ex i i1nc1i1222222第 8 章 假設檢驗一、填空題2( n221) cc12( n1)1、對正態(tài)總體的數(shù)學期望進行假設檢驗，如果在顯著性水平0.05下，接受假設 h 0 :0 ，那么在顯著性水平0.01 下，必然接受h 0 。3、設總體 x n (,2) ，樣本x 1 , x 2 ,x n ，2 未知， 則 h 0 :0 ，h 1 :0的拒絕域為x0s /nt( n1)，其中顯著性水平為。4、設x 1 , x 2 ,x n 是來自正態(tài)總體n (,2) 的簡單隨

22、機樣本，其中2,未知，記1nxx ixn ( n1)n i 1，則假設h 0 :0 的 t 檢驗使用統(tǒng)計量 tq.2、一種電子元件，要求其使用壽命不得低于1000 小時，現(xiàn)在從一批這種元件中隨機抽取252件，測得其壽命平均值為950 小時，已知該種元件壽命服從標準差100 小時正態(tài)分布， 試在顯著性水平0.05 下確定這批產(chǎn)品是否合格.解：設元件壽命x n (,22) ，已知1000， n25 , x950 ,0 .05檢驗假設h 0 :1000h 1 :10002在已 知 條 件 下 ， 設 統(tǒng) 計 量x1000/n n ( 0,1)拒絕域為 0 .05 ，查表得0 . 050. 951 .645950而100100050/25202.51 .645拒絕假設h 0 選擇備擇假設h 1 ，所以以為這批產(chǎn)品不合格 .5、某裝置的平均工作溫度據(jù)制造廠講是190。c，今從一個由 6 臺裝置構成的隨機樣本得出的工作溫度平均值和標準差分別為195。c 和 8。c。這些數(shù)據(jù)是否提供了充分證據(jù)，說明平均工作溫度比制造廠講的要高？取a=0.05