題15一元二次不等式(二)――

1、課 題：1.5一元二次不等式（二）高次不等式、分式不等式解法教學目的：1鞏固一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，掌握掌握簡單的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；2培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力，一題多解的能力，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；3激發(fā)學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會從不同側(cè)面觀察同一事物思想教學重點：簡單的分式不等式和特殊的高次不等式的解法教學難點：正確串根（根軸法的使用）授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：1本小節(jié)首先對照學生已經(jīng)了解的一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的圖象，找出一元二次方程、一元二次不等式與二次函

2、數(shù)的關(guān)系，進而得到利用二次函數(shù)圖象求解一元二次不等式的方法說明一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，由此引出簡單的分式不等式的解法    2本節(jié)課學習簡單的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，這是這小節(jié)的重點，關(guān)鍵是弄清簡單的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根軸法的使用 教學過程：一、復習引入：1一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系2一元二次不等式的解法步驟一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，則不等式的解的各種情況如下表：(課本第19頁) 二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根 無實根 R 引言：今天我們來研

3、究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法   二、講解新課： 一元二次不等式與特殊的高次不等式解法例1 解不等式.分析一：利用前節(jié)的方法求解；分析二：由乘法運算的符號法則可知，若原不等式成立，則左邊兩個因式必須異號，原不等式的解集是下面兩個不等式組：與的解集的并集，即x|=x|-4<x<1=x|-4<x<1.書寫時可按下列格式：解二：(x-1)(x+4)<0或x或-4<x<1-4<x<1，原不等式的解集是x|-4<x<1.小結(jié)：一元二次不等式的代數(shù)解法：設(shè)一元二次不等式相應(yīng)

4、的方程的兩根為，則兩根將x軸分為三部分：（-，-4）（-4，1）（1，+）；若當時，得或；當時，得.若當時，得；當時，得.分析三：由于不等式的解與相應(yīng)方程的根有關(guān)系，因此可求其根并由相應(yīng)的函數(shù)值的符號表示出來即可求出不等式的解集.解：求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（從小到大排列）分別為-4，1，這分析這三部分中原不等式左邊各因式的符號（-，-4）（-4，1）（1，+）x+4-+x-1-+(x-1)(x+4)+-+由上表可知，原不等式的解集是x|-4<x<1.例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應(yīng)方程的根為：-2，1

5、，3；列表如下：-2 1 3x+2-+x-1-+x-3-+各因式積-+-+由上表可知，原不等式的解集為：x|-2<x<1或x>3.小結(jié)：此法叫列表法，解題步驟是：將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式（各項x的符號化“+”），令(x-x1)(x-x2)(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點，一個分界點把（實數(shù)）數(shù)軸分成兩部分，n個分界點把數(shù)軸分成n+1部分；按各根把實數(shù)分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應(yīng)各因式縱向排列（由對應(yīng)較小根的因式開始依次自上而下排列）；計算各區(qū)間內(nèi)各因式的符號，下面是乘積的符號；看下面積的符號寫出不等式

6、的解集.練習：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. x|-1<x<0或2<x<3.思考：由函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，能否作出函數(shù)圖像求解直接寫出解集：x|-2<x<1或x>3. x|-1<x<0或2<x<3在沒有技術(shù)的情況下：可大致畫出函數(shù)圖形求解，稱之為根軸法（零點分段法）將不等式化為(x-x1)(x-x2)(x-xn)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)求根，并在數(shù)軸上表示出來；由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點（為什么？）；若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>

7、0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.注意：奇過偶不過例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.解：檢查各因式中x的符號均正；求得相應(yīng)方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；在數(shù)軸上表示各根并穿線，每個根穿一次（自右上方開始奇過偶不過），如下圖：原不等式的解集為：x|-1<x<2或2<x<3.說明：3是三重根，在C處過三次，2是二重根，在B處過兩次，結(jié)果相當于沒過.由此看出，當左側(cè)f(x)有相同因式(x-x1)n時，n為奇數(shù)時，曲線在x1點處穿過數(shù)軸；n為偶數(shù)時，曲線在x1點處不穿過

8、數(shù)軸，不妨歸納為“奇過偶不過”.練習：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解：將原不等式化為：(x-3)(x+1)(x+2)20；求得相應(yīng)方程的根為：-2（二重），-1，3；在數(shù)軸上表示各根并穿線，如圖：原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.說明：注意不等式若帶“=”號，點畫為實心，解集邊界處應(yīng)有等號；另外，線雖不穿過-2點，但x=-2滿足“=”的條件，不能漏掉. 2分式不等式的解法例4 解不等式：.錯解：去分母得 原不等式的解集是.解法1：化為兩個不等式組來解：x或，原不等式的解集是.解法2：化為二次不等式來解： ，原不等式的解集是說明：若本題帶“=”，即(x-3)(x+7

9、)0，則不等式解集中應(yīng)注意x-7的條件，解集應(yīng)是x| -7<x3.小結(jié)：由不等式的性質(zhì)易知：不等式兩邊同乘以正數(shù)，不等號方向不變；不等式兩邊同乘以負數(shù)，不等號方向要變；分母中有未知數(shù)x，不等式兩邊同乘以一個含x的式子，它的正負不知，不等號方向無法確定，無從解起，若討論分母的正負，再解也可以，但太復雜.因此，解分式不等式，切忌去分母.解法是：移項，通分，右邊化為0，左邊化為的形式.例5 解不等式：.解法1：化為不等式組來解較繁.解法2：，原不等式的解集為x| -1<x1或2x<3.也可以直接用根軸法（零點分段法）求解：練習：1.課本P21練習：3.答案：1.x|-5<x&

10、lt;8；x|x<-4,或x>-1/2；2.x|-13<x<-5.2解不等式：.（答：x|x0或1<x<2）三、小結(jié)：1特殊的高次不等式即右邊化為0，左邊可分解為一次或二次式的因式的形式不等式，一般用區(qū)間法解，注意：左邊各因式中x的系數(shù)化為“+”，若有因式為二次的（不能再分解了）二次項系數(shù)也化為“+”，再按我們總結(jié)的規(guī)律作；注意邊界點（數(shù)軸上表示時是“0”還是“.”）.2分式不等式，切忌去分母，一律移項通分化為>0(或<0)的形式，轉(zhuǎn)化為：，即轉(zhuǎn)化為一次、二次或特殊高次不等式形式 .也可以直接用根軸法（零點分段法）求解3一次不等式，二次不等式，特

11、殊的高次不等式及分式不等式，我們稱之為有理不等式.4注意必要的討論.5一次、二次不等式組成的不等式組仍要借助于數(shù)軸.四、布置作業(yè)五、思考題：1 解關(guān)于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.解：將二次項系數(shù)化“+”為：(x2-x-12)(x+a)>0，相應(yīng)方程的根為：-3，4，-a，現(xiàn)a的位置不定，應(yīng)如何解？討論：當-a>4，即a<-4時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<4或x>-a.當-3<-a<4，即-4<a<3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<-a或x>4.當-a<-3，即a>3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -a<x&