重慶大學高數(shù)(工學下)期末試題七(含答案)

1、重慶大學高等數(shù)學課程試卷第 1 頁共 1 頁重慶大學2015 版試卷標準格式重慶大學高等數(shù)學課程試卷dz= fx(X0,y0)dx+ fy(x0,y0)dy室教試考2020 2020 學年第 學期3232而fx(X, y) -3x3, fy(x, y) =3y3，xX3+ y3所以fxHA3, fy(1,1)=2.故選(D).命題人.開課學院: :數(shù)統(tǒng)學院課程號: :考試日期：2.設(shè)nm叫 7 則un().組題人.名姓題號-一一 -二二四五、六七八九十總分得分考試方式：開卷席閉卷廣其他考試時間: :120120分(A)收斂(B)發(fā)散知識點：級數(shù)收斂判定；難度等級:(C)不一定2。答案：C(D)

2、絕對收斂號學級年弊作絕拒、紀考肅嚴、信守實誠、爭競平審題人.3.考試提示1. .嚴禁隨身攜帶通訊工具等電子設(shè)備參加考試2.考試作弊，留校察看, ,畢業(yè)當年不授學位；請人代考、替他人考試、兩次及以上作弊等，屬嚴重作弊，開除學籍. .、選擇題(每小題3分，共18分)1.函數(shù)z=ln(x3+ y3)在點(1，1)處的全微分dz=().設(shè)f(xT：0：x：0;則它的Fourier展開式中的系數(shù)an 等于).(A)21_(_1)n(B)0(C)丄(D)二n兀n江n兀知識點：傅里葉系數(shù)；難度等級:1。n；!答案：B命題時間.班、業(yè)專(A)dx+dy(B)2(dx + dy)(C)3(dx+dy)(D)知識

3、點：多元函數(shù)在一點處的微分公式；難度等級:3?(dx + dy)1。答:(D)分析二元函數(shù)z = f(x,y)在點(xoy。)處的微分為4.微分方程 廠-3y*2y = 3x-2ex的特解y*的形式為y* =(A)(ax+ b)xeX(B)(ax+ b)ex(C)(ax + b) + Cex(D)(ax+ b) + Cxex知識點：微分方程特解形式；難度等級：2。答案:D).教務(wù)處制5.直線x = t + 1,y = 2t-1,z = t和直線x = t+2, y = 2t-1,z=t + 1的距離是).(A)丘(B)(C) I33知識點:空間解析幾何；難度等級：3。答案:B(D)2重慶大學高

4、等數(shù)學課程試卷第 1 頁共 1 頁重慶大學2015 版試卷標準格式分析:該兩條直線平行，其方向向量(1,2,1)，兩條直線上分別取知識點:齊次微分方程；難度等級：1。答案:sin丿=Cx.x點A(1-1,0)和點B(2,-1,1) AB =(1,0,1).兩直線的距離dABI其中iSp,8.平面x+ y + z + 12 = 0與一動點的距離等于動點與原點間的距離動點的軌跡表達式為6.若送是空間區(qū)域O的外表面，下述計算中運用高斯公式正確的答案：(x+ y+z + 12)2= 3(X2+ y2+ z2).分析：設(shè)動點的坐標為(x,y,z).根據(jù)題).(A)nx2dydz+(z + 2y)dxdy

5、= JJJ(2x+2)dxdydz宏卜側(cè)(x+y +z + 12)2= 3(X2+y z2).(B)可(X3-yz)dydz-2x2ydzdx +zdxdy=川(3x2-2x2+1)dxdydz文卜側(cè)Q(C)JJ x2dydz+(z+2y)dxdy = JJJ(2x+1)dxdydz蒼側(cè)(D)口x2dydz+(z + 2y)dxdy = - JJJ(2x + 2)dxdydz i內(nèi)側(cè)Q知識點:對坐標曲面積分計算，高斯公式；難度等級：1。答案:B22x、 、 9.設(shè)l=JodxJx f(x,y)dy,交換積分次序后，1 =知識點:交換積分順序；難度等級：2。.宀2 y42答案：J0dyJy/2f

6、(x,y)dx + dy f(x,y)dx嚴7廠710.設(shè)2sin( x+2y-3z) = x+2y 3z,貝J+ex cy?xAB=121 =(2,0, 2).因此d=書鄂.知識點:空間解析幾何；難度等級：2。.知識點:一階偏微分計算；難度等級：1。答案:1.分析:A中右邊被積函數(shù)錯誤,B正確,C符號錯誤 Q 被積函數(shù)錯11.設(shè)L為取正向的圓周X2+ y2= 4,貝J曲JLy(ye +1)dx+(2ye -x)dy =二、填空題(每小題3分，共18分)7.微分方程 業(yè)+tan的通解為dx x x知識點:曲線對坐標的積分計算，格林公式；難度等級：1答案：-期.12.設(shè)L是從點A(J2 1)沿曲

7、線2y=x2到點B(2, 4啲弧段，貝卩第一j12+12+12方化簡重慶大學高等數(shù)學課程試卷第 1 頁共 1 頁重慶大學2015 版試卷標準格式類曲線積分I = r丿ds的值為_.讓x知識點：曲線對弧長的積分計算；難度等級:1.解：對應(yīng)的齊次方程的特征方程為：汀-1 = 0.故可得特征根為心=1.答案：1 = ：（9-73）.分析:以X為參數(shù)，r舛了1xEdxT9.三、計算題（每小題6分，共24分）13.計算7 (x2y cosx + 2cy sirx-y2exdx+ x(2srn- yexdy)其中L為正原方程右端的函數(shù)f（x） = s in21 c：s2x = fx）+ f2（x）,其中

8、.、1 /、cos2xf1（x）=-, f2（x） = .2 2方程 八y=f1（x）J的一個特解為y-;2 2方程 八y=f2（x）空空的一個特解為y2=空空2 10利用疊加原理，得原方程的特解2 2 2向星形線X3+y3=a3(a 0).知識點:格林公式；難度等級1。知識點:對坐標曲面積分計算，高斯公式；難度等級:2.分析:先求出對應(yīng)的齊次線性方程的通解，再定出相應(yīng)的特解形分析：積分路徑已為閉，格林公式./y-T-tcP2xCQ解:=x2cosx+2xsi nx-2ye =dyex(x2y cosx + 2xy sin x - y2ex)d(x2s in x - 2yex) dyc x“一

9、1亠cos2xy = C1e +C2e 中.2 1015.計算曲面積分1= JJxzdyd才2zydzd才3xydxdy;其中工為曲面Iz = 1-x2-1y2(0z0), y = 1, L圍成，0 按y軸對稱D : y = X3(y 0), x = -1, L圍成D按x軸對稱.分析:可用斯托克斯公式化為對坐標的曲面積分，也可化為平面又因為f (x,y) = 2y(x + 1)f (X)+ (-x-1) f (x) = - f (x,y),所以曲線積分用格林公式計算，后者更簡單.顯然f(X, y) = 2y(x + 1) f(X)+(X 1) f (x) = f (x,y),所以解:取工為平面

10、z=0被r所圍成的部分：x2+ y2蘭9的上側(cè)，于是JJ f(x, y)db =0.D21=J3zdzdxdy(先二后一一)1=J6;i：z(1-z)dz0=兀.I2= JJxzdydz+2zydzdx+3xydxdy=JJ3x y d X d(分片投影)=3 J Jxydxdy(對稱性)X2勺2/4 H2ydx + 3xdy-z2dz=dydz dzdx dxdy, ccccxcycz2y3x-z2一1,(3-2)dxdy,=ff dxdy=9.X2刊2空四、解答題(每小題6分,共12分)17.設(shè)平面區(qū)域D = (x,y)3x蘭y J衛(wèi)X f1X),是定義在-a, a (a 3 1)上的任意

11、連續(xù)函數(shù) 試求:等級：1.令f (X, y) =2y(x + 1)f (x) + (x1)f(X)重慶大學高等數(shù)學課程試卷第 1 頁共 1 頁重慶大學2015 版試卷標準格式知識點:無窮級數(shù)的和，定積分；難度等級：3。D =(x, y)|1x1,-1 y 0, f(-1,0) =- 1一一c 0.22e2由連續(xù)函數(shù)的介值定理知f(x, y)在D上至少有一個零點，即方JJ f (x, y)db=0.D1I = JJ2y(x+1)f(X)+(x-1)f (x)dxdy = JJ f(x,y)db + JJ f(x,y)db=0.D218.設(shè)an =西cZ nxn丄比X(1-X)2DiJx|sin

12、xdx, n =1,2川I,求2務(wù)的值.0nAZnAnx =2(1X)21 + xn丄3CP 2 nJZ n X n丄(1-X)3cZ Z2n八、1 x/I#n X =-3, X V 1(1-X)30 x(1 +x)處a處n22nV2nA五、證明題(每小題6分,共12分)19試證關(guān)于xy的二元方程產(chǎn)+x+y尋在正方形域= J (n兀t)sintdtnjlnJ!4L x sinx|dx+n Ln開sinxdx分析：由零點存在定理，只要說明函數(shù)f(x,y) = e+x+y-在兩個點處的值異號就可以了.知識點:有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)之零點存在定理難度等級：2。STEP2.心1-x重慶大學高等數(shù)學

13、課程試卷第 1 頁共 1 頁重慶大學2015 版試卷標準格式程exf+ y=|在D上至少有一組解.分析:過點(2,3,8)的平面的截距式方程為 片 異=1.平面與三個abcu = _abc.即求函數(shù)u = _abc在約束6 6六、應(yīng)用題(每小題8分，共16分)21.求均勻擺線x=a(t-sint),y =a(1-cost) (0蘭t蘭巧的弧的質(zhì)心.上+ -= 1 (aA0,bA0,CA 0).該平面過點a b c(2,3,8),所以2+3+8= 1.四面體的體積為abc.需要求出u=xyz在約束a b c6238- +- +- =1 (x 0,y 0,z 0)下的最小值.x y z解：弧長的微

14、分為ds = Ja2(1-cost)2+ a2sin2tdt = 2asin- dt.2.2ZLx= yz-px,3z.20.設(shè)曲面H: x + y=1,證明：川x+ y )dS=上3.-3于是質(zhì)心坐標為知識點:對面積的曲面積分，對稱性，輪換性；難度等級:3。分析：據(jù)題目的特點，注意對稱性的使用證明:工關(guān)于yoz面對稱,x為連續(xù)的奇函數(shù)，故JJxdS = O.I由輪換性對稱性知Jj|x|dS=Jj|z|dS.于是II1 . Jj|y|dS JJdx I31I1z)ds=-Jjds.3I1”兀 rta Eta兀t4ax0= f P0a(t-s in t) ”2asi n dt = f tsi n dt f si nt si n dt =0Mo022022023y0=丄rP0a(1-cost)asin dt = fsin丄dt- /(sin-3t sin-t)dt =4aM022024022322.求過點(2,3,8)的平面，使此平面在三個坐標軸上的截距都是正數(shù),且平面與三個坐標面所圍成四面體的體積為最小，并求最小四面體的體積.知識點:拉格朗日乘數(shù)法；難度等級3知識點:對弧長的曲線積分，質(zhì)心；難度等級2。由拉格朗日乘數(shù)法，令遼t質(zhì)量為M = 2ap0 sin - dt = 4