2016-2017學年高中數學第3章導數及其應用4導數在實際生活中的應用學案蘇教版

1、113.4導數在實際生活中的應用f1學習目標導航I1I-II1 .掌握利用導數解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題的方法.(重點)2 .提高學生綜合運用導數知識解題的能力，培養(yǎng)化歸轉化的思想意識.(難點)1/階段1.認知傾習質疑知識林,理要點初探基礎初探教材整理導數的實際應用閱讀教材P93P96練習以上部分，完成下列問題.1 .導數的實際應用導數在實際生活中有著廣泛的應用，如用料最省、利潤最大、效率最高等問題一般可以歸結為函數的最值問題,從而可用導數來解決2 .用導數解決實際生活問題的基本思路實際生活問題用函數學示的數學間翩實際生活問題的案-用導數解決數學問題o微體蕤o1 .判斷正誤：(1)應用導數

2、可以解決所有實際問題中的最值問題.()(2)應用導數解決實際應用問題，首先應建立函數模型，寫出函數關系式.()(3)應用導數解決實際問題需明確實際背景.()【解析】(1)x.如果實際問題中所涉及的函數不可導、就不能應用導數求解(2)，.求解實際問題一般要建立函數模型，然后利用函數的性質解決實際問題(3)V.要根據實際問題的意義確定自變量的取值.【答案】(1)X(2)V(3)V2.生產某種商品x單位的利潤L(x)=500+x0.001x2,生產單位這種商品時利潤最大，最大利潤是.【解析】L'(x)=10.002x,令L'(x)=0,得x=500,當x=500時,最大利潤為750.

3、【答案】500750質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：階段2合作探究通關.分組討論疑難細打小組合作型SS1面積容積的最值問題有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r,短半軸長為r,計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點在橢圓上.設CD=2x,梯形的面積為S（1）求面積S關于x的函數，并寫出其定義域;S關于x的函數（2）求面積S的最大值.【精彩點撥】（1）建立適當的坐標系，按照橢圓方程和對稱性求面積式；（2）根據S的函數的等價函數求最大值【自主解答】（1）依題意，以AB的中點O為原點建立直角坐標

4、系如圖所示，則點Cx < r).(2)記S=4(x+r)2(r2x2)(0vxvr)則S'=8(x+r)2(r2x),一I1,、人，令S=0,解得x=2或x=r（舍去）.1- x=2名師）當x變化時，S',S的變化情況如下表:x62)r2S'十0一S響22時，S取得最大值5史，即梯形面積S的最大值為當L1 .求面積、體積的最大值問題是生活、生產中的常見問題，解決這類問題的關鍵是根據題設確定出自變量及其取值范圍，利用幾何性質寫出面積或體積關于自變量的函數，利用導數的方法來求解.2 .選擇建立適當的坐標系，利用點的坐標建立函數關系或曲線方程，以利于解決問題.II再練一

5、題1.用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊長比另一邊長長0.5m,那么高為多少時，容器的容積最大？并求它的最大容積【解】設容器底面一邊長為xm,則另一邊長為（x+0.5）m,高為14.84x/x+"5=（3.22x）m由，3.2">0'解得0vx<1.6.4x>0,設容器的容積為ym3,則y=x（x+0.5）（3.22x）=2x3+2.2x2+1.6x,所以y'=-6x2+4.4x+1.6.令y'=0,則15x211x4=0,解得x1=1,x2=三（舍15去>在定義域（0,1.6）內只有x

6、=1處使v'=0，x=1是函數y=2x3+2.2x2+1.6x在（0,1.6）內的唯一的極大值點，也就是最大值點因此，當x=1時，y取得最大值，ymax=2+2.2+1.6=1.8,這時高為3.2-2X1=1.2（m）.故高為1.2m時，容器的容積最大，最大容積為1.8m3.用料最省、節(jié)能減耗問題例（2016杭州高二檢測）如圖3-4-1所示，有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海岸的同側，乙廠位于離海岸40km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50km.兩廠要在此岸邊合建一個供水站C,從供水站到甲廠和乙廠鋪設的水管費用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何

7、處才能使水管費用最省?【精彩點撥】先列出自變量，通過三角知識列出水管費用的函數，然后求導，根據單調性求出最小值.【自主解答】設C點距D點xkm,則BD=40km,AC=(50x)km,.BC=.BD+CD=1402+x2(km).又設總的水管費用為y元，依題意，得y=3a(50x)+5aJx2+402(0<x<50),則y'=3a+,5ax=2,令y'=0,解x.x2+402得x=30.當xC0,30)時，y'<0,當xC(30,50時，y'>0,當x=30時函數取得最小值，此時AC=50x=20(km),即供水站建在A,D之間距甲廠20

8、km處，可使水管費用最省名師)1 .像本例節(jié)能減耗問題，背景新穎，信息較多，應準確把握信息，正確理清關系，才能恰當建立函數模型.2 .實際生活中用料最省、費用最低、損耗最小、最節(jié)省時間等都需要利用導數求解相應函數的最小值，此時根據f'(x)=0求出極值點(注意根據實際意義舍棄不合適的極值點)后，函數滿足左減右增，此時惟一的極小值就是所求函數的最小值II再練一題3 .某工廠需要建一個面積為512m2的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用的材料最省，則堆料場的長為,寬為.512V n【導學號：24830090】【解析】如圖所示，設場地一邊長為xm,則另一邊長為512因此新墻總

9、長度L=2x+51Z(x>0),L'=2512.令Lxx=-16.x>0,x=16.L在(0,+8)上只有一個極值點，它必是最小值點.x=16,512=32.故當堆料場的寬為16m,長為32m時，可使砌墻所用的材料最x省.【答案】16m32m探究共研型利潤最大問題探究1在有關利潤最大問題中，經常涉及“成本、單價、銷售量”等詞語，你能解釋它們的含義嗎?【提示】成本是指企業(yè)進行生產經營所耗費的貨幣計量，一般包括固定成本(如建設廠房、購買機器等一次性投入)和可變成本(如生產過程中購買原料、燃料和工人工資等費用)，單價是指單位商品的價格，銷售量是指所銷售商品的數量探究2什么是銷售額

10、(銷售收入)？什么是利潤？【提示】銷售額=單價X銷售量，利潤=銷售額成本.探究3根據我們以前所掌握的解決實際應用問題的思路，你認為解決利潤最大問題的基本思路是什么？【提示】在解決利潤最大問題時，其基本思路如圖所示圖(2016濱州高二檢測)某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式V=a+10(*6)2.其中3X3<x<6,a為常數.已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售商品所獲得的利潤最大.【精彩點撥】利用待定系數法先求

11、得參數a的值，由題意列出利潤關于價格的函數關系式，轉化為求函數在(3,6)上的最大值問題.一.一,a.一【自王解答】(1)因為x=5時，y=11,所以2+10=11,解得a=2.(2)由(1)可知，該商品每日銷售量y=-2T+10(x-6)2,x3所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)=(x-3)x-3+1°x62-2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.從而f'(x)=10Kx6)2+2(x3)(x6)=30(x-4)(x-6).當x變化時，f'(x),f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f'(x)十0一f(x)極大值由上表

12、可得，x=4是函數f(x)在區(qū)間(3,6)內的極大值點，也是最大值點所以，當x=4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.解決最優(yōu)化問題的一般步驟：(1)根據各個量之間的關系列出數學模型；(2)對函數求導，并求出導函數的零點，確定函數極值；(3)比較區(qū)間端點處函數值和極值之間的大小，得到最優(yōu)解II再練一題3.某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本為20元，并且每公斤蘑菇的加工費為t元(t為常數，且2Wtw5),設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為x元(25WxW40),根據市場調查，日銷售量q與ex成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為

13、30元時，日銷售量為100公斤.(1)求該工廠的每日利潤y元與每公斤蘑菇的出廠價x元的函數關系式;(2)若t=5,當每公斤蘑菇的出廠價為多少元時，該工廠的每日利潤最大？并求最大值【解】(1)設日銷量q=£則4=100,，k=100e3°,ee30100ex?e100e30x-20-ty=xe(25<x<40).(2)當t=5時，y=100e30x-25xeV100e3026-xxe導數在 實際生 活中的 應用階段3體驍落實評價（課堂回饋即時達標由y'>0,得25WXV26,由y'<0,得26<XW40,.y在25,26）上單調遞

14、增，在（26,40上單調遞減，當x=26時,ymax=100e4.故當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的每日利潤最大，最大值為100e4元.構建體系|面積、容積最大問題|一用料最省、節(jié)能降耗|_|m問題l1一I方法利潤最大問題1.一個圓錐形漏斗的母線長為20,高為h,則體積V的表達式為.【解析】設圓錐的高為h,則圓錐的底面半徑為r=400h2,則V=；兀（400h2）h.3【答案】1兀（400h2）h32 .某產品的銷售收入yi（萬元）是產品x（千臺）的函數，yi=17x2；生產總成本y4萬元）也是x的函數，y2=2x3-x2（x>0）,為使利潤最大，應生產千臺.【解析】構造利潤函數

15、y=yiy2=18x22x3（x>0）,y'=36x6x2,由y'=0是x=6（x=0舍去），x=6是函數y在（0,十8）上唯一的極大值點，也是最大值點.即生產6千臺時，利潤最大.【答案】63 .（2016鹽城高二檢測）某箱子的容積與底面邊長x的關系為.x）=x2，02x!（0<x<60）,則當箱子的容積最大時，箱子底面邊長為.【導學號：24830091】【解析】V'（x）=2x，i+x2.（2i=-|x2+60x=-|x（x-40）.令V'（x）=0,得x=40或x=0（舍）.不難確定x=40時，Mx）有最大值.即當底面邊長為40時，箱子容積

16、最大.【答案】404 .做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其容積是27兀，且用料最省，則圓柱的底面半徑為.【解析】設圓柱的底面半徑為R,母線長為L,則V=兀R2L=27兀，.L=21.要使用料最省，只需使圓柱形表面積最小,S表=兀R+2兀RL=兀R+2兀-R,.令S'=0,解得R=3.RC(0,3)時，S表單調遞減，RC(3,+8)時，s表單調遞增，當R=3時，S表最小.5 .某廠生產某種產品x件的總成本c(x)=1200+3x3(萬元)，已知產品單價的平方與產75品件數x成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，則產量定為多少件時，總利潤最大？并求出最大總利潤【解】由題意,可設p2=

17、-,其中k為比例系數.因為當x=100時，p=50,所以k=x250000,所以2 250000p =x500一p=x>0.設總利潤為 y萬兀,500 x23-23x-1200-75x=500Vx-7rx-1200.求導數得，y=250-25x2.令V,=0得x=25.故當x<25時，y'>0;當x>25時,y'<0.因此當x=25時，函數y取得極大值，也是最大值，即最大利潤為2650萬元.3勵志我還有這些不足：(2)我的課下提升方案：(2)學業(yè)分層測評(二十)導數在實際生活中的應用(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、填空題1 .一質點沿直線運動，如

18、果由始點起經過t秒后的距離為s=4t32t2,那么速度為243的時刻是秒末.【解析】由題意可得t>0,且s'=4t24t,令s'=24,解得t=3(t=2舍去).【答案】32 .已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為y1a=%3+81x234,則使該生產廠家獲得最大年利潤的年產量為萬件.3【解析】令y'=x2+81=0,解得x=9或x=9(舍去).f(x)在區(qū)間(0,9)內是增函數，在區(qū)間(9,+8)上是減函數，/.f(x)在x=9處取最大值.【答案】9米.【解析】設廣場的長為x米，則寬為嬰03 .已知某矩形廣場面積為4萬平方

19、米，則其周長至少'米，于是其周長為y=2JX+40000x>0),所以y' =21 40000令 y' = 0,解得x=200（x=200舍去），這時y=800.當0vxv200時，y'v0;當x>200時，y'>0.所以當x=200時，y取得最小值，故其周長至少為800米.【答案】8004 .要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為20cm.要使其體積最大，則高為.【解析】設圓錐的高為hcm(0vh<20),則圓錐的底面半徑r=1202-h2=1400-h2(cm),V=V(h)=3兀rh=,兀(400h)h=W兀(400hh),V=3

20、兀(4003h)3333令V'=1兀(400-3h2)=0,3解得h=20.3由題意知V一定有最大值，而函數只有一個極值點，所以此極值點就是最大值點.【答案】20rcm35.要做一個底面為長方形的帶蓋的盒子，其體積為72cnf,其底面兩鄰邊邊長之比為1：2,則它的長為、寬為、高為時，可使表面積最小.【解析】設底面的長為2x cm,寬為x cm,36則局為針cm ,表面積S= 2X2 x . x+2X x . 31+2X2 x -36 = 4x2 + 216(x>0), xxS' < 0, xC (3 , +8)時,S' > 0,216.,一S=8x彳，

21、由S=0,彳導x=3,xC(0,3)時,，x=3時，S最小.此時，長為6cm,寬為3cm,高為4cm.【答案】6cm3cm4cmInx,0Vx<1,6.(2016四川高考改編)設直線li,I2分別是函數f(x)=圖象上Inx,x>1點R,P2處的切線，11與12垂直相交于點P,且Il,12分別與y軸相交于點A,B則PAB的面積的取值范圍是.【導學號：24830092】由圖象易知R, P2位于f(x)圖象的兩段上，不妨設R(x1, In x1)(0< x1<1) , P2(x2, Inx2)( x2>1),則函數f(x)的圖象在R處的切線I1的方程為y + In1x

22、1 = (xx1),xi即 y = "x+ 1 In x1. x1則函數f(x)的圖象在P2處的切線I 2的方程為y Inx2=(x-x2), IP y = - 1 + In x2. x2x2由L",得一卜!一1,xx2=1.由切線方程可求得A(0,1-Inx0,B(0,Inx21),由知I 1與I 2交點的橫坐標xp=2In x1In x21 1x1 x22 x1+ x2Spab=x(1一Inx1-Inxz+1)x2X+x216xi+X21.X1十一Xi又. xi e（0,1）,Xi + >2,Xi '-0<2y<i,Xi+Xi即0<Skp

23、aB<1.【答案】(0,i)7.內接于半徑為R的球且體積最大的圓柱體的高為.【解析】設圓柱的高為2h,則底面圓的半徑為后下，則圓柱的體積為V=兀(Rh?),2h=2兀Rh27th3,.V'=2?？谝?兀h?.令V=0,解得h=3RheJo,喙rM,V單調遞增，he母r,rM,V單調遞減,8 .某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q則銷售量Q單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q=8300i70pp2.則最大毛利潤(毛利潤=銷售收入一進貨支出)為.【解析】設毛利潤為L(p),由題意知L(p)=pQ-20Q=Qp20)=(8300i70p

24、-p2)(p-20)=-p3i50p2+ii700p-i66000,所以L'(p)=3p2300p+ii700.令L'(p)=0,解得p=30或p=i30(舍去).因為在p=30附近的左側L'(p)>0,右側L'(p)<0,所以L(30)是極大值，根據實際問題的意義知，L(30)是最大值，此時，L(30)=23000.即零售價定為每件30元時，最大毛利潤為23000元.【答案】23000元二、解答題9 .設有一個容積V一定的鋁合金蓋的圓柱形鐵桶，已知單位面積鋁合金的價格是鐵的3倍，則如何設計可使總造價最少？【解】設圓柱體的高為h,底面半徑為r,設單位

25、面積鐵的造價為m桶的總造價為y,則y=3mjtr2+m(兀r2+2兀rh).由V=兀r2h,得h=，y=4斤)兀r2+2m(r>0),兀rr,2mV人，/口V1VV1-y=8m兀y7y=0，佝r=”,3.此時h=77=4J73該函數在(0,+8)內連續(xù)可導，且只有一個使函數的導數為零的點，問題中總造價的最小值顯然存在.，當r=(V3時，y有最小值，即h：r=4：1時，總造價最少.10 .(2016南京高二檢測)某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀念品，每件產品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件.通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含金量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高

26、的百分率為x(0vx<1),那么月平均銷售量減少的百分率為x2.記改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤是y(元).(1)寫出y與x的函數關系式；(2)改進工藝后，確定該紀念品的售價，使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.【解】(1)改進工藝后，每件產品的銷售價為20(1+x),月平均銷售量為a(1x2)件，則月平均利潤y=a(1x2)20(1+x)15元，所以y與x的函數關系式為y=5a(1+4xx24x3)(0<x<1).y' >0;(2)由y，=5a(42x12x2)=0得玄=；或x2=2(舍)，當0vxv1時,232,1.，31.,一當2vx&l

27、t;1時，y<0,所以函數y=5a(1+4xx4x)(0<x<1)在x=2處取得取大值.故改進工藝后，產品的銷售價為20j+2；=30(元)時，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.能力提升1 .用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，所做的鐵盒容積最大時，在四角截去的正方形的邊長為.【解析】設四角截去的正方形邊長為x.鐵盒容積V=4(24x)2x,所以V=4(24x)28(24x)x=4(24x)(243x),令V'=0,得x=8,即為極大值點也是最大值點，所以在四角截去的正方形的邊長為

28、8cm.【答案】8cm2 .某銀行準備新設一種定期存款業(yè)務，經預算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數為k(k>0).已知貸款的利率為0.0486,且假設銀行吸收的存款能全部放貸出去.設存款利率為x,x(0,0.0486),若使銀行獲得最大收益，則x的取值為.【解析】依題意，存款量是kx：銀行支付的利息是kx3,獲得的貸款利息是0.0486kx：其中xC(0,0.0486).所以銀行的收益是y=0.0486kx2kx3(0vxv0.0486),則y'=0.0972kx3kx2.令y'=0,得x=0.0324或x=0(舍去).當0VXV0.0324時，v'>0；當0.0324vxv0.0486