圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)教學(xué)提綱

1、圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明及應(yīng)用初探一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)1. 1橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見圖1.1）橢圓的這種光學(xué)特性，常被用來(lái)設(shè)計(jì)一些照明設(shè)備或聚熱裝置例如在F1處放置一個(gè)熱源，那么紅外線也能聚焦于 F2處，對(duì)F2處的物體加熱。電影放映機(jī)的反光鏡也是這個(gè)原理。證明：由導(dǎo)數(shù)可得 切線I的斜率k y xxJ x x0b2Xo2a yo，而PF1的斜率k1,PF?的斜率k2Xo CXoC - I到PF1所成的角滿足tan2y。b x。& k X。c a2 y。1 kkj 1bXy。1 2Xo cay。2 2 2 2 2 a

2、y。 b Xob ex。-2 722a b x°y。 a cy。Q P x）,y。在橢圓上， tan,同理，PF2到I所成的角滿足taney。k k21 kk2b2ey。 tan tan ，而，。,一,21. 2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；（見圖1.2）.雙曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠(yuǎn)鏡的設(shè)計(jì)等方面，也能找到實(shí)際應(yīng)用.1. 3拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖1.3 ）拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇.例如探照燈、

3、汽車大燈等反射 鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點(diǎn)處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大， 并可通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)拋物線的對(duì)稱軸方向，控制照射方向.衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以 拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星 發(fā)射的微弱電磁波訊號(hào)射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在 焦點(diǎn)，把對(duì)稱軸跟蹤對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號(hào)射線能平行地到達(dá)衛(wèi)星的接收裝置，同樣 保證接收效果.最常見的太陽(yáng)能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽(yáng)光，以加熱焦點(diǎn)處的貯水器的.圖1.1圖1.2圖1.3要探究圓錐曲線的光學(xué)

4、性質(zhì)，首先必須將這樣一個(gè)光學(xué)實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行解釋論證。二、問(wèn)題轉(zhuǎn)化及證明2. 1圓錐曲線的切線與法線的定義設(shè)直線I與曲線C交于P , Q兩點(diǎn)，當(dāng)直線I連續(xù)變動(dòng)時(shí)，P , Q兩點(diǎn)沿著曲線漸漸靠近，一直到P , Q重合為一點(diǎn)M ,此時(shí)直線I稱為曲線c在點(diǎn)M處的切線，過(guò)M與直線I垂直的直線稱為曲線c在點(diǎn)M處的法線。此時(shí)，我們可以借助圓錐曲線的切線和法線，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化:2.2圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明預(yù)備定理1.若2X點(diǎn)P(x),yo)是橢圓飛a2吉1上任一點(diǎn)，則橢圓過(guò)該點(diǎn)的切線方程為：XoX2ay°y1。證明:2b2(1 篤)a,1°當(dāng)a時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的切線斜率b2k

5、 一定存在，且k y' |x xo，對(duì)式求導(dǎo)：2yy' x ,a點(diǎn)而當(dāng)y'|xxob2xo2a yo,切線方程為y。-(x Xo),a yoP(Xo, yo)在橢圓2Xoa2卑 1 ，代入得bXoX2a里1,bX a 時(shí)，yo切線方程為a，也滿足式，故智ayoyb21是橢圓過(guò)點(diǎn)P(xo,yo)的切線方程.預(yù)備定理 2.若點(diǎn)P(Xo, yo)是雙曲線2x2a2y21上任一點(diǎn)，則雙曲線過(guò)該點(diǎn)的切線方程為:b2X°X2aVoV 1眉1證明:1),2x2a1°當(dāng)a時(shí),過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k 一定存在，且k y' |x xo,對(duì)式求導(dǎo)：2yy'y&

6、#39;lxxo警，切線方程為ya yoyo字(x Xo),a yo點(diǎn)P(xo,y°)在雙曲線2y21上，故b2XoX°XYoY而當(dāng)x a時(shí)，y o切線方程為a，也滿足式，故XoX-a翠1是雙曲線過(guò)點(diǎn)P(xo,yo)的切線方程.預(yù)備定理3.若點(diǎn)P(Xo, Yo)是拋物線2 px上任一點(diǎn)，則拋物線過(guò)該點(diǎn)的切線方程是YoYP(xX。)證明:由y22 px，對(duì)x求導(dǎo)得：2yy'2pk Y'|x x0_p_ Yo，當(dāng)YoO時(shí),切線方程為YY (x Xo), Yo2即 YoYYopxPXo，而yO2pxoYoY p(xXo)，而當(dāng)Yo O,Xoo時(shí),切線方程為Xo O

7、也滿足式,故拋物線在該點(diǎn)的切線方程是YoY p(x Xo).定理1.橢圓上一個(gè)點(diǎn)P的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點(diǎn)P處的法線平分2 2已知：如圖，橢圓C的方程為 篤每 1 , F1,F2分別是其左、右焦點(diǎn)，a bl且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的法線，交 x軸于D ,(圖 2.1)l是過(guò)橢圓上一點(diǎn) P(Xo, Yo)的切線，l'為垂直于 求證：F2PD,F1PD,2X證法一：在C : -ya2Yb21上,P(Xo, Yo)則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為:XoXaYoY 1 b21，P且與切線I垂直的法線，xo Yo (書bc 2D( )2xoa則 l':(x (駕a法線I'與X軸交于,O)，2c“

8、| F1D |2X0 c,| F2D | c2 Xo , aa|FQ| |PF1| | PF11 a exo,| PF21 a exo，一|F2D| |PF2|，故可得|FiD|2a2acxoCXo，又由焦半徑公式得:, PD是 F1PF2的平分線,9O證法二：由證法一得切線I的斜率ky'|x x2b x0y00，而PF1的斜率k1 , PF2的斜率Xo c2a Yok2Xoyo , I到PFi所成的角 '滿足：tan ckii kki.2yo b Xo2Xo c a yo _b Xoyo (Xoc)a2yo2 2 , 2 2 , 2a y0b x0 b cx0(a2 b2)X

9、oyo a2cyo2x P(Xo, yo)在橢圓 C : Ta同理，PF?到I所成的角'滿足tan i kk2cyo，k2bLcyotantan而，（），證法三：如圖，作點(diǎn)F3，使點(diǎn)F3與F?關(guān)于切線I對(duì)稱，連結(jié)Fi , F3交橢圓C于點(diǎn)P'F面只需證明點(diǎn) P與P'重合即可。方面，點(diǎn)P是切線I與橢圓C的唯一交點(diǎn)，則|PF! | IPF2I 2a，是I上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和的最小值（這是因?yàn)镮上的其它點(diǎn)均在橢圓外）。另一方面，在直線I上任取另一點(diǎn) P'', / | P' Fi | P'F2| |P'Fi | | P'F3|

10、IF1F3I|P''Fi |P''F?|即P他是直線 AB上到兩焦點(diǎn)的距離這和最小的唯一點(diǎn)，從而P與P'重合，即定理2 雙曲線上一個(gè)點(diǎn) P的兩條焦半徑的夾角被雙曲線在點(diǎn)P處的切線平分（圖2C的方程為篤a已知：如圖，雙曲線而得證2.2 ）;F2分別是其左、右焦點(diǎn)，I是過(guò)雙曲線C上的一c|PFi| | xoaca|,|PF2| | xoaa |，雙曲線的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F(c,O), F (c,0)，故 |DFi Iacac111 Xoa1,1 DF2 1 111 XoXoaXoa1 c 1 |Xo a| a|-Xo a| a|DFi|IDF2I，切線I為 F

11、PF之角分線。圖 3.1.1例2.已知橢圓方程為2x252y16反射回到A點(diǎn)，設(shè)二次反射點(diǎn)為1，若有光束自焦點(diǎn) A(3 , 0)射出，經(jīng)二次B,C，如圖3.1.2所示，則 ABC的周長(zhǎng)為。2 2解：橢圓方程為1中，c22516 A (3 , 0)為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，自射光線AC定過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn) A (-3 , 0)故厶ABC的周長(zhǎng)為：AB BA' A'C25 16 9 ,A(3 , 0)射出的光線 AB反射后，反CA 4a 4 5 20。圖 3.1.2定理3 拋物線上一個(gè)點(diǎn) P的焦半徑與過(guò)點(diǎn) P且平行于軸的直線的夾角被拋物線在點(diǎn)P處法線平分(圖 2.3 )。已知：如圖，拋物線 C

12、的方程為為y 4cx，直線I是過(guò)拋物線上一 點(diǎn)P(Xo,y°)的切線，交x軸于D， DPF , PDF ， 反射線PQ與I所成角記為，求證：證明：如圖，拋物線C的方程為C : y2 4cx，點(diǎn)P(x0, y0)在該拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P的切線為 y°y p(x Xo)，切線|與x軸交于D( x°,0)，焦點(diǎn)為F(c ,0)，(同位角)，v |PF | ,(xo c)2 y0； |x。c|,|DF|x。c|,a |pf | |DF |,通過(guò)以上問(wèn)題轉(zhuǎn)化可知，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)是可以用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)證明的。那么它在解題和生產(chǎn) 生活中有何應(yīng)用呢？三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用

13、3. 1解決入射與反射問(wèn)題例1.設(shè)拋物線C :y2x，一光線從點(diǎn) A (5 , 2)射出，平行C的對(duì)稱軸，射在C上的P點(diǎn)，經(jīng)過(guò)反射后，又射到 C上的Q點(diǎn)，貝U P點(diǎn)的坐標(biāo)為 , Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。解：如圖，直線 AP平行于對(duì)稱軸且 A(5 , 2) ,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4, 2),1 2反射線PQ過(guò)點(diǎn)F(丄,0)，設(shè)Q(t2,t),4則一5，解得：t 1 , Q(丄t214 11586444圖 3.1.32 2例3.雙曲線C : L 1,又a C，已知A（4 , 2 2）,8 8F （4，0），若由F射至A的光線被雙曲線C反射，反射光通過(guò) P（8,k），則 k=。解：入射線FA反射后得到的光線 AP

14、的反向延長(zhǎng)線定過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn) F'（4,0） , A 乙？ k 3三12 83. 2解決一類“距離之和”的最值問(wèn)題張奠宙教授說(shuō)“在一般情況下，光線在傳播過(guò)程中，總是選擇最 近的路線從一點(diǎn)傳播到另一點(diǎn)。這雖然還只是一種停留“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)” 層面上的結(jié)論，但卻為我們研究一類“距離之和”取值范圍問(wèn)題時(shí)指明了思考的方向，從而解決了一個(gè)從“想不至到“想得到”的關(guān)鍵問(wèn)題。如果再輔以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證 明，這種“經(jīng)驗(yàn)、感覺(jué)”依然是很有價(jià)值的、不可替代的。”我讀了他的文章，深受啟發(fā)，并用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)解決了我們經(jīng)常見到而又覺(jué)得復(fù)雜的一類最值問(wèn)題。2 2例4.已知橢圓C：L 1 , Fi、F2為分別是

15、其左右焦點(diǎn)，點(diǎn) Q（21） , P是C上的動(dòng)點(diǎn)，求 259MF! MQ的取值范圍。（一）分析猜想：（1） 經(jīng)計(jì)算，Q（2,2）點(diǎn)在橢圓內(nèi)，由于橢圓是封閉圖形，因此MF1MQ應(yīng)該有一個(gè)封閉的取值范圍，既有最小值也有最大值。（2） 同樣根據(jù)光線的“最近傳播法則”，結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)，可得：從F1射出被橢圓反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的。這種情況又分為兩類，一是被上半橢圓反射（如圖3.2.1 ,光線從F1R Q ）,二是被下半橢圓反射（如圖 3.2.2，光線從F1F2F2Q ）,究竟哪種 情況距離之和更小呢？顯然，根據(jù)橢圓定義，圖 3.2.1中的RR RQ 2a （ 2a為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)）

16、,而圖3.2.2中的P2F1F2Q2a，可見圖3.2.1所示的情況距離之和更小。PQ | PF1是定值P2F1可能就是最大值。由橢圓定義知：但是，最大值又是多少呢？圖 3.2.2所示的光線又有什么特點(diǎn)呢？ 將圖3.2.1.和圖3.2.2中的光線反射路線合并圖3.2.3，由于P.Q4a （ a為橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)），而|PQPF1由前面知最小，由此猜測(cè)| PQ（二）證明PF1PQ是最小值。如圖3.2.2，連接Q F2，延長(zhǎng)交橢圓于 P.，在橢圓上另取一點(diǎn)P.,BQQF2PF1非|(*)，因?yàn)?|時(shí)2 | |PQPQQF2|旺| |旺pq|QF2|，所以，PQ| |BFQF2 |,代入（*）式得：| |

17、 P>fJ I PQ |。猜想得證。（三）計(jì)算:綜上所述，只需求出I F2Q I (4為 2a I F2QI 10 2.10.2）2 42 2.10，可得最小值為2a | F2Q| 10 2 10，最大值例5.已知雙曲線C： x291 , F1、F2為分別是其左右焦點(diǎn)， 點(diǎn)Q（4, ） , M是C上的動(dòng)點(diǎn),2求 MF2 MQ分析猜想：經(jīng)計(jì)算，Q點(diǎn)在雙曲線右支開口內(nèi)部。 由于雙曲線是不封閉曲線， 顯然MF2 MQ可 的最小值。根據(jù)光線的“最近的取值范圍。|MQ的取值范圍，關(guān)鍵是求出 傳播”特點(diǎn)，我們猜想：從 F1射出經(jīng)雙曲線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) 合雙曲線的光學(xué)性質(zhì)（從一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓周反射

18、， 可作出從F1射出被雙曲線反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn) Q的光線：連接 最小的點(diǎn)，設(shè)為 P點(diǎn)，光線從F2P Q。（見圖2）（二）證明：如圖2:按猜想作出點(diǎn) P，由于所求點(diǎn) 由雙曲線定義知:以無(wú)限大，故要求 MF2之和不會(huì)最小），故在右支上另取一點(diǎn) P ,mf2| |mqQ的光線所經(jīng)過(guò)的路程往往是最短的，再結(jié) 反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)） ， F1Q，與雙曲線的交點(diǎn)即為使得|MF2 MQPF1 IPF2I |PF1 IPF2I，因?yàn)?|PF1 |PQ IPQ 所以 PF1|PQ PF2 IPQIPQ| |PR IPF2I,故 PQ| |PF2| IPQ| IPF2I，猜想得證。(三)計(jì)算：由題意知9-

19、 F1( 2,0),Q(4,2),IFPI IF1PI IPF2I11 IPF2I2IF1QI 2A = -C： y2 4x , F 是其焦點(diǎn)，點(diǎn) Q(2,1),MQ的取值范圍。- IPQI IPF2I= |FiQ| (IRPIPFiPF2IP顯然不在雙曲線的左支上（此時(shí)顯然距離:|PFi| |PF2 IPF1 |PF2|，即PF1 |，兩邊同加|PF2得：圖 3.2.5例6.已知拋物線M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求MF分析：由于拋物線不是封閉曲線，顯然沒(méi)有最大值，因此關(guān)鍵是求最小值。根據(jù)拋物線光學(xué)性質(zhì)（從焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射，反射光線與對(duì)稱軸平行， 反之也成立），結(jié)合光線的“最近傳播”特點(diǎn),我們猜

20、想：最小的點(diǎn)，且PF|反射光線與對(duì)稱軸平行，過(guò)Q與對(duì)稱軸平行的直線與拋物線的交點(diǎn)可能就是使距離之和 設(shè)為P點(diǎn)（見圖3.2.6 ）?？捎蓲佄锞€的定義證明猜想是正確的。PQ 33. 3.光線反射總是滿足反射定律不例外，此時(shí)的法線就是過(guò)反射點(diǎn)的曲線的切線的垂線?？梢?，曲線的切:線和與曲線有關(guān)的反射問(wèn)題有著密切聯(lián)系。：以橢圓為例：如圖3.3.1 ,1是過(guò)橢圓周上一點(diǎn) P的橢圓的切線，m是P點(diǎn)處的法線，光線從F（F2）射出被橢圓反射經(jīng)過(guò) 卩2（斤）,滿足/仁/ 2，且/ 3= / 4。圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)在解決與“切線”相關(guān)問(wèn)題時(shí)起簡(jiǎn)捷作用。（入射角等于反射角），光線被曲線反射也例7已知I是過(guò)橢圓C： 工

21、1上一動(dòng)點(diǎn)P的橢圓C的動(dòng)切線，過(guò)C的左焦點(diǎn)卩!作I的垂線，16 12求垂足Q的軌跡方程。分析：如圖3.3.2，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)繁瑣。由于I是橢圓的切線，切點(diǎn)為 P，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：I是F,PF2的外角平分線，F(xiàn),關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)F2在F2P的延長(zhǎng)線上。這樣，由于PF, |PF2 |，故 |F,F2|PF,|PF2| 2a 8，而 Q、O分別是F,F,、F2F2 的中點(diǎn)，所以QO 4。從而Q點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心、以4為半徑的圓。即點(diǎn) Q的方程為x2 y2 163. 4在生產(chǎn)生活中的作用例&某種碟形太陽(yáng)能熱水器的外形示意圖如圖3.4.1 ,其中F為加熱點(diǎn)；碟形反射壁是拋物線繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面；拋物F應(yīng)距碟底多少?線以cm為單位的設(shè)計(jì)尺寸如圖3.4.2 為了達(dá)到最佳加熱效解：以碟形內(nèi)壁底為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為 X軸，開x口方向?yàn)閄軸的正向，建立坐標(biāo)系如圖3.4.2 ,則內(nèi)壁拋物線方程為y2 2px .據(jù)所示尺寸，拋物線過(guò)坐標(biāo)為（40,85）的點(diǎn)，所以852 p 4080 p , p 90.3 加熱點(diǎn)F應(yīng)置于拋物線的焦點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p,0）（45.2,0） 所以F應(yīng)距碟底約245.2cm 。四圓錐曲