第1章(1.1)通信信號(hào)和系統(tǒng)的特性與分析方法

1、第1章 通信信號(hào)和系統(tǒng)的特性與分析方法1.1 信號(hào)的正交表示 引言：1. 研究噪聲中數(shù)字信號(hào)的最佳接收利用信號(hào)正交性分析最佳接收機(jī)信道 M元 n(t) y 或 （書寫形式），聯(lián)合PDF 根據(jù)最佳接收準(zhǔn)則，導(dǎo)出最佳接收機(jī)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)處理中，須將分解為N個(gè)獨(dú)立的一維概率密度函數(shù)（PDF，Probability Density Function）的乘積，即亦即，須將N個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量.方法：用適當(dāng)?shù)恼缓瘮?shù)集表示接收信號(hào)，從而將接收信號(hào)分解成相互正交又相互獨(dú)立的N個(gè)分量。2 正交調(diào)制、多址技術(shù)和信道復(fù)用也是建立在信號(hào)正交性基礎(chǔ)上。 如：QAM，QPSK 正交調(diào)制 OFDM，TDMA，CDMA 利用正交

2、性實(shí)現(xiàn)信道的復(fù)用和多址。Quadrature 正交（主要指相位正交） Orthogonal 正交（廣義）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：N維信號(hào)向量空間下面，分三小節(jié)進(jìn)行討論信號(hào)的正交表示：1.1.1 N維空間（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）1.1.2 白噪聲中信號(hào)正交表示1.1.3 非白噪聲中信號(hào)正交表示1.1.1 N維空間一、 N維向量空間1、實(shí)數(shù)域N維向量空間 歐氏空間 內(nèi)積定義：x,y 為實(shí)向量 為基底上的投影分量以內(nèi)積可以表示三個(gè)向量性質(zhì)：l 正交性： l 向量長度（范數(shù)）： （表示信號(hào)的能量）l 兩向量的距離：（兩向量差的長度），歐氏距離（Euclidean distance）若在中，以標(biāo)準(zhǔn)正交基 為基底向量 則，該空間的

3、任一實(shí)向量可以表示為正交形式 式中，,2、復(fù)數(shù)域N維向量空間 酉空間 內(nèi)積定義：x,y 為復(fù)向量 （復(fù)數(shù)）為基底上的投影分量以內(nèi)積可以表示三個(gè)向量性質(zhì)：l 正交性： l 向量長度（范數(shù)）： （表示信號(hào)的能量）l 兩向量的距離：酉空間也可用標(biāo)準(zhǔn)正交基作為為基底向量 則酉空間的任一復(fù)向量也可以表示為正交形式，其形式同實(shí)數(shù)域。二、 N維信號(hào)空間設(shè)：復(fù)信號(hào) 復(fù)向量 x,y 信號(hào)空間 酉空間定義內(nèi)積： 若以標(biāo)準(zhǔn)正交基，為信號(hào)空間基底，則 式中， Kronecker delta函數(shù)則，內(nèi)積可以表示為 其中，,為在標(biāo)準(zhǔn)正交基上的投影分量。 以內(nèi)積可以表示信號(hào)的如下性質(zhì)：l 信號(hào)的正交性： l 信號(hào)向量的長度

4、： （能量）l 兩信號(hào)向量的距離（誤差向量）： 均方誤差1.1.2 白噪聲中的信號(hào)正交表示引言： 1、分析方法：先分解信號(hào)，再分解噪聲2、信號(hào)正交表示方法：波形抽樣正交法施密特正交法一、波形抽樣正交法1、對(duì)信號(hào)波形抽樣根據(jù)抽樣定理對(duì)頻譜受限的時(shí)間函數(shù)，在有限時(shí)間內(nèi)，按抽樣定理進(jìn)行抽樣時(shí)，可以用有限項(xiàng)正交函數(shù)和的近似式表示：式中， 為正交基，滿足正交條件：信號(hào)能量（向量長度）：式中，為正交基上投影分量。 2、對(duì)白噪聲波形抽樣 （白噪聲）白噪聲波形時(shí)間、頻率無限的平穩(wěn)高斯過程，抽樣在任意兩個(gè)不同時(shí)刻的樣值都是不相關(guān)的，同時(shí)也是獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，其均值為0，方差為，即 Rn()= () 0 在（0

5、，T）內(nèi)抽樣N次，得到一組相互獨(dú)立的高斯變量則，接收信號(hào)的抽樣值：是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯變量，即 二、 施密特正交法（Gram-Schmidt） 引言 1、 信號(hào)波形正交化發(fā)送信號(hào)為M元：設(shè)其中N個(gè)波形（）是線性無關(guān)的，作為信號(hào)空間基底向量（注：非正交基向量）。Schmidt正交化法：在一個(gè)N維歐氏空間中，從一個(gè)給定的基底出發(fā)，求出標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)集的過程。具體包括兩個(gè)過程：，其中由可將正交化：第k個(gè)信號(hào)：M元信號(hào)施密特正交化過程：求及正交展開求及正交展開 若，則求及正交展開 上述過程一直進(jìn)行到第M個(gè)波形。在求正交基過程中，有的正交基向量可能為零。因此，。即 2、 白噪聲的正交化過程以信號(hào)波形正交化

6、為基礎(chǔ)N維空間 基底與正交 n0(t)的各分量與j(t)正交 其余其中，可以通過相關(guān)的方法消除正交于N維空間的分量。（插圖）在N維空間中，的N個(gè)分量相互正交，即，且均值，方差為（見*證明）；又為高斯變量，所以相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。即， 且獨(dú)立 所以， 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立高斯變量由下一節(jié)分析可知，白噪聲以任意正交基展開，它們的分量都是相互獨(dú)立的高斯變量，即，。*證明：方差為，即證明：因?yàn)椋?所以，1.1.3 非白噪聲中的信號(hào)正交表示引言：1、 上面，白噪聲中信號(hào)正交表示（抽樣法，施密特正交法）：白噪聲N個(gè)樣值（或分量）相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立接收信號(hào)N個(gè)樣值（或分量）相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立2、 非白噪聲中的信號(hào)正交表示（低通型）l 若

7、用抽樣法，必須嚴(yán)格按奈氏速率抽樣，其樣值才是不相關(guān)和獨(dú)立的。 Rn() 零交點(diǎn)： 0 l 用施密特正交法，一般也不能得到相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立隨機(jī)變量。采用新的正交化方法：Karhunen-Loeve(K-L)展開式，使展開式的各項(xiàng)系數(shù)互不相關(guān)。一 Karhunen-Loeve(K-L)展開式（證略）隨機(jī)過程（平穩(wěn)或非平穩(wěn)）以標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)集在區(qū)間上展開成級(jí)數(shù)式中，滿足正交條件（標(biāo)準(zhǔn)正交基）：要使系數(shù)是不相關(guān)的集合，必須滿足以下條件：滿足積分方程的正交條件其中，為特征函數(shù)，為特征值。 的方差：，則 均值為0。那么，的正交性等價(jià)于不相關(guān)性。若是高斯過程，即為高斯變量，則的不相關(guān)等價(jià)于獨(dú)立。特例：是白噪聲過程

8、，功率譜為N0，均值為0。則，代入積分方程，得可見，在這種情況下，(即，白噪聲各個(gè)正交分量的方差相同）。而且，可選任意的標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)集，都能滿足K-L展開式的系數(shù)不相關(guān)的要求（以上三個(gè)條件）。結(jié)論：高斯白噪聲過程可以用任意標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)集來分解，而且不管正交函數(shù)集如何選擇，展開式的系數(shù)都是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。（因?yàn)榫禐?，不相關(guān)等價(jià)于獨(dú)立。）二、非白噪聲與信號(hào)波形的正交表示（先分解噪聲，后信號(hào)）等效低通模型M元 r(t) z(t)為信道衰減因子，為附加相移1、的K-L展開式為零均值低通復(fù)高斯過程。在N為信號(hào)空間中，用K-L展開式將在（0,T）區(qū)間上展開成級(jí)數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)正交基是滿足積分方程 的特征函數(shù)且，則系數(shù)是正交的，即且等價(jià)于互不相關(guān)的，也是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯變量。故有：2、的級(jí)數(shù)表示在N維信