新高二數(shù)學聯(lián)賽班暑假第1講平幾變換(一)

1、第 1 講平幾變換（一）幾何變換事實上已經(jīng)屬于高等幾何的范疇，涉及到現(xiàn)代的數(shù)學工具和思想用變換的思想來考察平幾問題，可以讓以前顯得神秘莫測的“添加輔助線”變得理所當然，而且會得到很多更深刻的結(jié)論， 這當然對我們證明問題幫助極大本講和下一講我們將一起來研究一些常用的幾何變換，除了上述的三種變換，還有位似變換，反演變換（* *），配極變換（*）以及上述常用變換復合而成的復合變換，例如位似旋轉(zhuǎn)變換等等 后面兩種變換中，反演變換只會在冬令營及其以上賽事中用到，而配極變換一般來說只有國家隊級別才會涉及到 所以，暑期班中我們不會涉及到后兩者 有興趣的同學可以自行閱讀相關參考書 學習幾何變換之后，我們會從一

2、個嶄新的角度來分析問題，例如兩個同向相似三角形，在變換的 角度下我們認為是其中一個三角形繞平面某點作位似旋轉(zhuǎn)變換而得到另一三角形 同時，某種特定的幾何變換可能還會有不少優(yōu)良的性質(zhì)，例如保角性，特定線保持平行等等 這些性質(zhì)對我們證題的幫助很大. .對于添加輔助線，大家學完后會發(fā)現(xiàn)，基本上絕大部分輔助線的添加從本質(zhì)而言就是構(gòu)造某種特 定的幾何變換，從而實現(xiàn)條件的聚集 高中數(shù)學聯(lián)賽課程學理科到學而思暑假班第 1 講學生版【例【例 1 1】 設P是平行四邊形ABCD內(nèi)部一點，且APB CPD 180，求證:【例【例 2 2】 設P是平行四邊形ABCD的內(nèi)部一點，若ABP 2 ADP, 求證：ABBP

3、CP.1.1平移【例例3 3】設D、E是 三角形.ABC的邊BC上兩點，且BD EC,BAD【例【例 4 4】在ABC中,B內(nèi)的旁切圓與CA相切于D,EAC，求證：ABC是一個等腰C內(nèi)的旁切圓與AB相切于E,M和N分別CBP PDC.DCP 2 DAP,A的平分線平行.為BC和DE的中點，求證：直線MN平分ABC的周長，且與www.speiyoii.cowww.speiyoii.cornrn學理科到學而思高中數(shù)學聯(lián)賽課程1.2對稱暑假班第 i 講學生版I I【例【例 7 7】 設四邊形ABCD內(nèi)接于圓，另一圓的圓心在 求證：AD BC AB.證明蝴蝶定理：設一圓的圓心0在已知直線I上的射影為M

4、CD交圓于A、B、C、D，再設直線AD、C分別與直線【例例5 5】經(jīng)典精講ANP求證：APO 90，點 Q Q 在線段NP上，過點 Q Q 任作一直線分別交AB、AC于點E、F, OQEOQE 9090 當且僅當 QEQE QFQF .設N為BAC的平分線上的一點，點P和點0分別在直線AB和AN上，其中【例例6 6】在ABC中，AD為A的平分線,CE為AB邊上的高，已知CDA 45，求BED的度數(shù).CP【例例，過M任作圓的兩條割線AB、I交于P、Q Q，則 PMPM MQMQ .AB上，且與四邊形的其余三邊相切.( (選講) )在ABC中，AB AC,A 20，點D、E分別在腰AB、AC上，且

5、DCB 50，求DEB.【例9 9】(IM042-1IM042-1 )ABC為銳角三角形， 外心為 O,O, P P 在 BCBC 上, APAP 是高， 若BCA證明：CABCOP 90.ABC 30,高中數(shù)學聯(lián)賽課程【例CBE 60,1.3旋轉(zhuǎn)【例【例 121121 設E、F分別為正方形ABCD的邊BC、CD上的點，AE、AF分別與對角線BD交于P、Q Q兩點，且BE DF EF,求證：五邊形 PECFQPECFQ 內(nèi)接于圓.（第2 29 9屆IMO加拿大國家隊培 訓）【例【例 111111ABC是一個正三角形，與BC平行的一條直線分別交邊的中點，0是ADE的外心，求CMO的各角.AB、AC于D和E,M是線段BE【例 1313】 在ABC中，AB AC,P是ABC的內(nèi)部一點， 求證:PB PC.www.speiyau.conwww.speiyau.conrtrt學理科到學而思【演練 1 1】在梯形ABCD中，AD II BC,E、 求證：AB CD.F是底邊BC上兩點，且BE FC,BAE FDC,C C高中數(shù)學聯(lián)賽課程APB CPA的充分必要條件是【演練 2 2】 設線段AB與CD相等，且其交角為60，求證:ACBDAB【演練 3 3】 在ABC中，C 2 B,D是