金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)

1、第三章 金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)金屬在外力作用下由彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài), 研究金屬在塑性狀態(tài)下的力學(xué) 行為稱為塑性理論或塑性力學(xué), 它是連續(xù)介質(zhì)的一個力學(xué)分支。 為了簡化研究過 程,塑性理論通常采用以下假設(shè):1變形體是連續(xù)的,即整個變形體內(nèi)不存在任何空隙。這樣,應(yīng)力、應(yīng)變、 位移等物理量也都是連續(xù)的,并可用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。2變形體是均質(zhì)的和各向同性的。這樣,從變形體上切取的任一微元體都 能保持原變形體所具有的物理性質(zhì),且不隨坐標(biāo)的改變而變化。3在變形的任意瞬間,力的作用是平衡的。4在一般情況下,忽略體積力的影響。5在變形的任意瞬間,體積不變。在塑性理論中,分析問題需要從靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理

2、學(xué)等角度來考慮。靜 力學(xué)角度是從變形體中質(zhì)點的應(yīng)力分析出發(fā), 根據(jù)靜力學(xué)平衡條件導(dǎo)出該點附近 各應(yīng)力分量之間的關(guān)系式, 即平衡微分方程。 幾何學(xué)角度是根據(jù)變形體的連續(xù)性 和均勻性,用幾何的方法導(dǎo)出應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式,即幾何方程。 物理學(xué)角度是根據(jù)實驗與假設(shè)導(dǎo)出應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系式。 此外, 還 要建立變形體從彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)并使塑性變形繼續(xù)進(jìn)行時, 其應(yīng)力分量與 材料性能之間的關(guān)系,即屈服準(zhǔn)則或塑性條件。以上是塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ),也是本章的主要內(nèi)容。它為研究塑性成形力學(xué) 問題提供基礎(chǔ)理論。第一節(jié) 金屬塑性成形過程的受力分析塑性成形是利用金屬的塑性,在外力作用下使金屬成

3、形的一種加工方法。作 用于金屬的外力可以分為兩類:一類是作用在金屬表面上的力, 稱為面力或接觸 力, 它可以是集中力, 但更一般的是分布力; 第二類是作用在金屬每個質(zhì)點上的 力,稱為體積力。1. 面力面力可分為作用力、反作用力和摩擦力。作用力是由塑性加工設(shè)備提供的,用于使金屬坯料產(chǎn)生塑性變形。在不同的 塑性加工工序中, 作用力可以是壓力、 拉力或剪切力, 但在多數(shù)情況下是用壓力 來成形的,因此塑性加工又稱為壓力加工。反作用力是工具反作用于金屬坯料的力。一般情況下,反作用于金屬的力與 施加的作用力互相平行,并組成平衡力系,如圖 3-1a 中, F=F (F 作用力、 F 反作用力 。而在圖 2-

4、1b 、 c 中,反作用力 F 自相平衡。 a b c 圖 3-1 鐓粗時的受力分析a 在平模具間鐓粗 b 在凹模內(nèi)鐓粗 c 在凸模內(nèi)鐓粗金屬在外力作用下產(chǎn)生塑性變形時, 在金屬與工具的接觸面上產(chǎn)生阻止金屬 流動的摩擦力。 摩擦力的方向通常與金屬質(zhì)點移動的方向相反, 其最大值不應(yīng)超 過金屬材料的抗剪強(qiáng)度。在圖 3-1a 中的摩擦力 F 自相平衡,而圖 3-1b 中的摩 擦力 F 對金屬底部變形起阻礙作用,不利于底部金屬的充滿,此時, F =F +F 。 在圖 3-1c 中摩擦力 F 有利于底部金屬的充滿, 起到作用力的效果, 此時, F + F =F 。2. 體積力體積力是與變形體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)

5、量成正比的力,如重力、磁力和慣性力等。 對一般的塑性成形過程,由于體積力與面力相比要小得多,可忽略不計。因此, 一般都假定是在面力作用下的靜力平衡力系。但在高速成形時,如高速鍛造,爆炸成形等,慣性力不能忽略。在錘上模鍛 時,坯料受到由靜到動的慣性力作用,慣性力向上,有利于金屬填充上模,故錘 上模鍛通常將形狀復(fù)雜的部位設(shè)置在上模。在高速錘上擠壓時, 工件在出口部分的速度 1遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于工具運動速度 0(圖 3-2 。根據(jù)體積不變條件, 1=0A 0/A 1,當(dāng)擠壓比 A 0/A 1= 5(A 0、 A 1為擠壓前 和擠壓后坯料的橫截面積 , 1可達(dá)的 100m/s。當(dāng)擠壓結(jié)束時,在如此高的速 度下突

6、然停止,工件受到由動到靜的慣性力作用,且慣性力的方向向下。這時, 有可能使工件產(chǎn)生縮頸,甚至拉斷。 圖 3-2 高速錘上擠壓時的慣性力第二節(jié) 變形體內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)分析物體變形時的應(yīng)力狀態(tài)是表示物體內(nèi)所承受應(yīng)力的情況。 只有了解變形物體 內(nèi)任意一點的應(yīng)力狀態(tài), 才可能推斷出整個變形物體的應(yīng)力狀態(tài)。 點的應(yīng)力狀態(tài) 是指物體內(nèi)一點任意方位微小面積上所承受的應(yīng)力情況, 即應(yīng)力的大小、 方向和 個數(shù)。一、應(yīng)力分析的截面法在外力作用下,變形體內(nèi)各質(zhì)點之間就會產(chǎn)生相互作用的力,叫做內(nèi)力,單 位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。圖 3-3 表示物體受外力系 F 1, F 2, F 3,的作用而 處于平衡狀態(tài)。若要知道物

7、體內(nèi) Q 點的應(yīng)力,可以過 Q 點作一法線為 N 的平面 B ,將物體切成兩部分并移出上半部分,則 B 面上的內(nèi)力就變成外力,并與作用 在下半部分的外力相平衡。 圖 3-3 內(nèi)力和應(yīng)力圖 圖 3-4 單向拉伸時任意斜面上的應(yīng)力在 B 面上圍繞 Q 點取一無限小的面積 A ,設(shè)該面積上內(nèi)力的合力為 F ,則定義為 B 面上 Q 點的全應(yīng)力。全應(yīng)力 S 可以分解成兩個分量,一個垂直于 B 面的分 量,稱為正應(yīng)力或法向應(yīng)力,一般用 表示;另一個平行于 B 面的分量,稱為 切應(yīng)力,一般用 表示。 過 Q 點可以作無限多的切面,在不同方位的切面上, Q 點的應(yīng)力顯然是不 同的。 現(xiàn)以單向均勻拉伸為例進(jìn)行

8、分析。 如圖 3-4所示, 垂直于試棒拉伸軸線的 橫截面上的應(yīng)力為式中 F 軸向拉力;A 0試棒的橫截面面積?，F(xiàn)過 Q 點作切面 B ,其法線 N 與拉伸軸成 角,則 B 面上 Q 點的全應(yīng)力、正應(yīng) 力和切應(yīng)力分別為 式(3-2表明, Q 點任意切面上的應(yīng)力隨其法線的方向角 的變化而變化, 即是 角的函數(shù)。對于單向均勻拉伸,只要確定出 0,則 Q 點任意切面上的應(yīng) 力也就可以確定。因此,只用一個應(yīng)力 0就可以表示出單向拉伸時點的應(yīng)力狀 態(tài)。 00200cos cos cos cos 1sin sin 22F F S A A S S =(3-2(3-1 lim 0F dF S A A dA=00

9、F A =二、三維坐標(biāo)系的應(yīng)力分量和應(yīng)力張量塑性成形時, 變形體一般是多向受力, 顯然不能只用一點某一切面上的應(yīng)力 來求得該點其他方向切面的應(yīng)力。 也就是說, 僅僅用某一方向切面上的應(yīng)力還不 足以全面地表示出一點的受力狀況。設(shè)在直角坐標(biāo)系 Oxyz 中有一承受任意力系的物體,物體內(nèi)有任意點 Q , 圍繞 Q 切取一個平行于坐標(biāo)面的平行六面體作為單元體。如圖 3-5所示。由于 各微分面上的全應(yīng)力都可以按坐標(biāo)軸方向分解為一個正應(yīng)力分量和兩個切應(yīng)力 分量, 這樣, 三個互相垂直的微分面上共有九個應(yīng)力分量, 其中三個正應(yīng)力分量, 六個切應(yīng)力分量。 因此, 在一般情況下表示一點的應(yīng)力狀態(tài)需要用坐標(biāo)面上的

10、九 個應(yīng)力分量來描述。 圖 3-5 直角坐標(biāo)系中單元體上的應(yīng)力分量每個應(yīng)力分量的符號帶有兩個下角標(biāo):第一個角標(biāo)表示該應(yīng)力分量所在的坐 標(biāo)面(用該面的法線方向命名;第二個角標(biāo)則表示應(yīng)力所指的坐標(biāo)方向。正應(yīng) 力分量的兩個下角標(biāo)相同,一般只用一個下角標(biāo)表示,例如 xx 簡寫為 x 。為清 楚起見,可將九個應(yīng)力分量寫成下列矩陣形式:應(yīng)力分量的正、 負(fù)號規(guī)定如下:在單元體上, 外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分 面叫做正面, 反之稱為負(fù)面 (圖 3-5中只標(biāo)出了正面上的應(yīng)力, 負(fù)面上的應(yīng)力沒 有標(biāo)出 。在正面上,指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號,反之取負(fù)號:在負(fù)面 上, 指向坐標(biāo)軸負(fù)向的應(yīng)力分量為正, 反之為負(fù)。

11、 這個規(guī)定與習(xí)慣上拉應(yīng)力為正, 壓應(yīng)力為負(fù)相一致。 按此規(guī)定, 圖 3-5中所標(biāo)的切應(yīng)力分量都是正的, 這與材料 力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力正負(fù)號的規(guī)定是不同的。由于單元體處于靜力平衡狀態(tài), 不發(fā)生旋轉(zhuǎn), 故繞單元體各坐標(biāo)軸的合力矩 必須等于零,由此可以導(dǎo)出切應(yīng)力互等定理xy = yx ; yz = zy ; zx = xz (3-3 xy xz x yx yz y zx zy z 因此, 這九個應(yīng)力分量只有六個是獨立的。 這樣, 任意點的應(yīng)力只需用坐標(biāo)面上 六個應(yīng)力分量來表示。圖 3-5的坐標(biāo)系是任意選取的, 在一定外力條件下, 物體內(nèi)任意點的應(yīng)力狀 態(tài)已被確定, 如果取不同的坐標(biāo), 則表示該點應(yīng)力狀

12、態(tài)的九個分量將有不同的數(shù) 值, 而該點的應(yīng)力狀態(tài)并沒有變化。 某一坐標(biāo)系的九個分量組成的物理量, 能被 轉(zhuǎn)換到另一坐標(biāo)系,這種物理量在數(shù)學(xué)上叫做二階張量,簡稱為張量。因此,點 的應(yīng)力狀態(tài)是一個張量。稱為應(yīng)力張量,可用張量符號 ij 表示,即(3-4ij 是應(yīng)力張量的縮寫符號,角標(biāo) i 和 j 分別表示 x , y , z ,即 i =x , y , z ; j =x , y , z 。因此, ij 代表了九個應(yīng)力分量,其中角標(biāo)不重復(fù)的表示切應(yīng)力,寫成 xy , yx ,。 圖 3-6 圓柱坐標(biāo)系中單元體上的應(yīng)力分量由于切應(yīng)力互等,即 ij = ji ,式(3-4對稱于對角線,所以應(yīng)力張量是 對

13、稱張量,也可以簡寫為(3-4a張量有許多特性,例如張量可以合并,也可以分解,存在主方向,有主值及 不變量等, 這些對于進(jìn)一步分析應(yīng)力狀態(tài)是分有用的。 在后面的分析中將要引用 這些特性,而不加以證明,也不涉及張量的運算。當(dāng)變形體是旋轉(zhuǎn)體時,用圓柱體系更為方便,三個坐標(biāo)軸分別為 (或 r 徑向、 周向、 z 軸向。用圓柱坐標(biāo)表示的單元體及應(yīng)力狀態(tài)如圖 3-6所示,應(yīng)力張量為(3-5 xy xz x ij yx yz y zx zy z = xy xz x ij yz y z = z ij z z z z = 三、任意斜面上的應(yīng)力如果變形體中一點的九個應(yīng)力分量已知, 便可以求得過該點任意斜面上的應(yīng)

14、力, 這就表明該點的應(yīng)力狀態(tài)完全被確定。 下面通過靜力平衡來求任意斜面上的 應(yīng)力。 圖 3-7 任意斜面上的應(yīng)力如圖 3-7所示,已知 Q 點三個互相垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力分量為 ij ,任意斜 面 ABC 與三個坐標(biāo)軸相交于 A 、 B 、 C 。設(shè)斜面 ABC 的外法線方向為 N ,它與 x 、 y 、 z 三個坐標(biāo)軸的方向余弦為l = cos(N , x ; m =cos(N , y ; n = cos(N , z 若斜面 ABC 面積為 dA ,則 dA 在三個坐標(biāo)面上的投影面積分別為現(xiàn)設(shè)斜面 ABC 上的全應(yīng)力為 S ,它在三個坐標(biāo)軸方向的分量為 S x 、 S y 、 S z , 由于

15、四面體 QABC 處于平衡狀態(tài),由靜力平衡條件 F x = 0,有整理得同理于是可求得全應(yīng)力為(3-7全應(yīng)力 S 在法線 N 上的投影就是斜面上的正應(yīng)力 ,它等于 Sx 、 Sy 、 Sz 在 N 上的投影之和,即(3-8斜面上的切應(yīng)力為(3-9 如果質(zhì)點處于受力物體的邊界上,則斜面 ABC 即為物體的外表面,作用在d d ; d d ; d d x y z A l A A m A A n A=d d d d 0x x x yx y zx z S A A A A -+-=x x yx zx S l m n=+y xy y zy S l m n =+z xz yz z S l m n =+(3-

16、6 2222x y z S S S S =+x y z S l S m S n =+(2222x y z xy yz zx l m n lm mn nl =+222S =-其上的表面力(外力 F 沿坐標(biāo)軸的分量為 Fx 、 Fy 、 Fz ,式(2-6仍成立,根 據(jù)式(3-6即可得到(3-10式(3-10稱為應(yīng)力邊界條件。四、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量 1. 主應(yīng)力 由式(3-8 、式(3-9可知,任意斜面上正應(yīng)力 和切應(yīng)力 ,是隨著該面 法線 N 的方向余弦 l 、 m 、 n 的變化而變化。過一點可以作無數(shù)個斜面,總能得 到這樣一組斜面, 其上只有正應(yīng)力沒有切應(yīng)力, 也就是說斜面上的全應(yīng)力 S 和

17、正 應(yīng)力 重合,而切應(yīng)力 =0。這種切應(yīng)力為零的平面,叫做主平面。主平面上的 正應(yīng)力,叫做主應(yīng)力。主平面的法線方向,就是主應(yīng)力方向,叫做應(yīng)力主方向或 應(yīng)力主軸?，F(xiàn)設(shè)圖 3-7中的斜面 ABC 是待求的主平面, 面上的切應(yīng)力 =0, 因而正應(yīng)力 就是全應(yīng)力,即 =S。于是全應(yīng)力 S 在三個坐標(biāo)軸上的投影為Sx = Sl = l Sy = Sm = m Sx = Sn =n將 S x、 S y、 S z的值代入式(3-6,整理后得(3-11上式是以 l 、 m 、 n 為未知數(shù)的齊次方程組,常數(shù)項為零,其解就是應(yīng)力主軸的方 向。由解析幾何知,方向余弦之間存在以下關(guān)系即 l 、 m 、 n 不可能同

18、時為零。根據(jù)線性方程組理論,只有在方程組的系數(shù)組成的 行列式等于零的條件下,該方程組才有非零解。所以必有展開行列式,整理后得3 - (x +y +z 2 +x y +y z +z x -(2xy +2yz +2zx - x y z +2xy yz z x -(x 2yz +y 2zx +z 2xy = 0設(shè)(3-13x x yx zx y xy y zy z xz yz z F l m n F l m nF l m n=+=+=+(00x yx zx xy y zy xz yz z l m n l m n l m n -+=+-+=+-=2221l m n +=0x xy xz yx y yz

19、 zx zy z -=-(22232x y z xy yz xz x yz y zx z xy J =+-+(2222z x y y z x xy yz zx J =-+-+1zx y J =+于是有 3 - J12 J2 J3 = 0 (3-14 上式稱為應(yīng)力特征方程。 可以證明, 該方程必然有一組唯一的三個實根, 它 的三個實根就是主應(yīng)力 1、 2、 3。將所得的主應(yīng)力代入式(3-11中的任意兩 式,并與式(3-12聯(lián)解,便可求出三個互相垂直的主方向。2. 應(yīng)力張量不變量對于一個確定的應(yīng)力狀態(tài),只能有一組主應(yīng)力。因此,方程式(3-14的系 數(shù) J 1、 J 2和 J 3應(yīng)該是單值的,不隨坐

20、標(biāo)而變,分別稱為應(yīng)力張量的第一、第二、 第三不變量。 于是可以得出如下的重要結(jié)論:盡管應(yīng)力張量的各分量隨坐標(biāo)而變, 但按式(3-13的形式組成的函數(shù)值是不變的。所以,應(yīng)力張量的三個不變量表 示了一個確定的應(yīng)力狀態(tài)其應(yīng)力分量之間的確定關(guān)系。存在主值、主方向和不變量,這些也正是張量的重要特性。如果以主軸作為坐標(biāo)系,則一點的應(yīng)力狀態(tài)只有三個主應(yīng)力,應(yīng)力張量為 (3-4b 在主軸坐標(biāo)系中斜面上應(yīng)力分量的公式可以簡化為下列表達(dá)式S 1 =1l ; S 2 =2 m ; S 3 =3 n (3-6a S 2=12l 2 +2 2m 2 +32 n 2 (3-7a = 1l 2 +2 m 2 +3n 2 (

21、3-8a 及 2 = S2-2 =12l 2 +2 2m 2 +32 n 2 - (1l 2 +2 m 2 +3n 2 2 (3-9a 應(yīng)力張量的三個不變量為(3-13a 由此可見,用主應(yīng)力表示應(yīng)力狀態(tài),可使運算大為簡化,在后面的工序分 析中,一般都近似認(rèn)為變形過程處于主應(yīng)力狀態(tài)。另外,利用應(yīng)力張量不變量, 可以判別應(yīng)力狀態(tài)的異同。如有以下兩個應(yīng)力張量上述兩個應(yīng)力張量是否表示同一應(yīng)力狀態(tài), 可以通過求得的應(yīng)力張量不變量是否 相同來判斷。按式(3-13計算,上述兩個應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量不變量相等,均 為J 1 = a + b , J 2 = -ab , J 3 = 0 所以,上述兩個應(yīng)力狀態(tài)相同。

22、3. 應(yīng)力橢球面應(yīng)力橢球面是在主軸坐標(biāo)系中點的應(yīng)力狀態(tài)的幾何表達(dá)式。1123J =+(2122331J =-+3123J =123000000ij = 10000000ij a b = 2022022000ij a b a b a b a b +- -+ = 由式(3-6a 可得由于于是得 (3-15這是橢球面方程,其主半軸的長度分別等于 1、 2、 3。這個橢球面稱為應(yīng)力橢 球面, 如圖 3-8所示。 對于一個確定的應(yīng)力狀態(tài), 任意斜面上全應(yīng)力矢量 S 的端 點必然在橢球面上。 圖 3-8 應(yīng)力橢球面圖在三個主應(yīng)力中, 如果有兩個主應(yīng)力為零, 叫單向應(yīng)力狀態(tài)。 屬圓柱應(yīng)力狀 態(tài)。如果一個主應(yīng)

23、力為零,則是兩向應(yīng)力狀態(tài)(或平面應(yīng)力狀態(tài) ,此時應(yīng)力橢 球面變?yōu)樵谀硞€平面上的橢圓軌跡。如果有兩個主應(yīng)力相等,例如 2=3,應(yīng)力 橢球面變成為旋轉(zhuǎn)橢球面,該點的應(yīng)力狀態(tài)對稱主軸 O 1,也屬圓柱體應(yīng)力狀態(tài)。 如果三個主應(yīng)力都相等, 則應(yīng)力橢球面變成了球面, 稱為球應(yīng)力狀態(tài)。 由式 (3-9a 可知, =0,此時所有方向都是主方向,且應(yīng)力都相等。例 2-1 設(shè)某點應(yīng)力狀態(tài)如圖 3-9所示,試求其主應(yīng)力及主方向(應(yīng)力單位:MPa 。 圖 3-9 某點的應(yīng)力狀態(tài)解 圖 3-9所示的應(yīng)力張量為312123; ; S S S l m n =2221l m n +=2223122221231S S S +

24、=423261315ij =將各分量代入式(3-13 ,得 J 1 = 15; J 2 = -60; J 3 = 54 再將不變量代入式(3-14 ,得 3 - 152 + 60 - 54 = 0 分解因式 ( 9 (2 -6 + 6 = 0 解得 將應(yīng)力分量代入式(3-11 ,并與式(3-12一起寫成方程組為求主方向, 可分別將主應(yīng)力的數(shù)值代入上式, 并聯(lián)解方程組。 由于前三式 是不定方程組, 只需用其中兩式與第四式聯(lián)解, 或者求出不定方程組的通解再代 入第四式求解。例如,求 1的方向時,將 1=9代入前兩式得 l 1=m 1和 m 1= n 1, 由第四式解得對于 1 =0.577 對于

25、2 對于 3 l 3 = 0.789; m 3 = - 0.211; n 3 = 0.577 4. 主應(yīng)力圖受力物體內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)可用作用在應(yīng)力單元體上的主應(yīng)力來描述, 只用 主應(yīng)力的個數(shù)及符號來描述一點應(yīng)力狀態(tài)的簡圖稱為主應(yīng)力圖。 一般主應(yīng)力圖只 表示出主應(yīng)力的個數(shù)及正、負(fù)號,并不表明所作用應(yīng)力的大小。主應(yīng)力圖共有九種, 其中三向應(yīng)力狀態(tài)有四種, 二向應(yīng)力狀態(tài)有三種, 單向 應(yīng)力狀態(tài)有兩種,如圖 3-10所示。在兩向和三向主應(yīng)力圖中,各向主應(yīng)力符號 相同時,稱為同號主應(yīng)力圖,符號不同時,稱為異號應(yīng)力圖。根據(jù)主應(yīng)力圖,可 定性比較某一種材料采用不同的塑性成形加工工藝時,塑性和變形抗力的差異。

26、1239; 33=(4230260350l m n l m n l m n -+=+-+=+-=2221l m n +=111l m n =1111/l m n =2220.211; 0.789; 0.577l m n =-= 圖 3-10 主應(yīng)力圖種類五、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力與分析斜面上的正應(yīng)力一樣, 切應(yīng)力也隨斜面的方位而改變, 當(dāng)斜面上的切 應(yīng)力為極大值時, 該切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。 主切應(yīng)力作用的平面稱為主切應(yīng)力平 面。為方便起見,取應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸,任意斜面的法線方向余弦為 l 、 m 、 n , 則斜面上的切應(yīng)力可由式(3-9a 求得,即2 = 12l 2 +2 2m 2 +32 n

27、 2 - (1l 2 +2 m 2 +3n 2 2 (a 以 n 2 = 1 l2 m 2 代入式(a ,可得2 = (12 -32 l 2+(2 2 -32 m 2+32 (1 -3 l 2+(2 -3 m 2+32 為求切應(yīng)力的極值,將式(a 分別對 l 、 m 求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零,若 1>2 >3, 經(jīng)化簡后得l (1 -3 - 2(2 - 3 l 2 +(2 - 3 m 2 = 0m (2 -3 - 2(1 - 3 l 2 +(2 - 3 m 2 = 0 (b 將上述兩式與 l 2 + m2 + n 2= 1聯(lián)立求解,可得三組方向余弦。按同樣的方法,從 式(3-9a 中消去

28、 l 或 m ,還可解出另外三組方向余弦值,見表 3-1。將各組的 方向余弦值分別代入式(3-8a 和(3-9a 中,可解出這些平面上的正應(yīng)力和切 應(yīng)力值。表 3-1 切應(yīng)力為極值 6組方向余弦 平面上的切應(yīng)力有極大值,為主切應(yīng)力平面。主切應(yīng)力平面共有 12個,它們分 別與一個主平面垂直, 與另外兩個主平面交成 450角, 如圖 3-11所示。 主切應(yīng)力 值為12=±( 1 - 2/2 23= ±( 2 - 3/2 31= ±( 3 - 1/2三個主切應(yīng)力中絕對值最大的一個叫做最大切應(yīng)力,用表示 max 表示。其值為max = 13=( 1 - 3/2 (3-17

29、主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力為 12 =( 1+ 2/2 23 =( 2+ 3/2 31 =( 3+ 1/2從式(3-16可以看出:1 若 1= 2= 3=± ,即變形物體處于三向等拉或三向等壓的應(yīng)力狀 (3-16 (3-18態(tài)(即球應(yīng)力狀態(tài)時,主切應(yīng)力為零,即12=23=31=02 若三個主應(yīng)力同時增加或減少一個相同的值時,主切應(yīng)力值將保持 不變。主切應(yīng)力的這些性質(zhì)對于研究金屬塑性變形有重要意義。 a b c 圖 3-11 主切應(yīng)力平面六、應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量 1. 應(yīng)力張量的分解按照應(yīng)力的疊加原理,表示受力物體內(nèi)任一點應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量可以分 解為應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量兩部分?，F(xiàn)設(shè)

30、m 為三個正應(yīng)力分量的平均值,稱為平均應(yīng)力,即(3-19由式(3-19可知, m 是不變量,與所取的坐標(biāo)無關(guān),即對于一個確定的應(yīng)力 狀態(tài),它為單值。于是可將三個正應(yīng)力分量寫成 x =( x - m + m = x + m y =( y - m + m = y + m z =(z - m + m = z + m將上式代入應(yīng)力張量表達(dá)式(3-4中,即可將應(yīng)力張量分解成兩個張量,有或簡記為 (3-20a 式中為 ij 克氏符號,也稱單位張量,當(dāng) i=j時, ij =1;當(dāng) i j 時, ij =0。使用克 氏符號可以將角標(biāo)不同的元素去掉。若取主軸坐標(biāo)系,則式(3-20為(3-20b (1123113

31、33m x y z J =+=+=x xy xz ij yx y yz zx zy z =000000x m x y xz m y x y m y z m z xz y z m m -+-ij ij ij m '=+(3-20 123000000ij =123000000000000m m m m m m -+-(222222222216x y y z z x xy yz zx x y y z z x xy yz zx J '''''''=-+-+=-+-+-+應(yīng)力張量的分解也可以用圖 2-12表示。式(3-20右邊的后一項表示球

32、應(yīng)力的狀態(tài),故稱應(yīng)力球張量。其任何方向 都是主方向,而且主應(yīng)力相同,均為平均應(yīng)力 m ,因此,也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)。 由于球應(yīng)力狀態(tài)在任何斜面上都沒有切應(yīng)力, 所以它不能使物體產(chǎn)生生形狀變化 (塑性變形 ,只能產(chǎn)生體積變化。式(3-20右邊的前一項 ij 稱為應(yīng)力偏張量,它是由原來的應(yīng)力張量分解 出球張量后得到的,即由于被分解出的應(yīng)力球張量沒有切應(yīng)力, 任意方向都是主方向且主應(yīng)力相等。 因 此,應(yīng)力偏張量 ij 的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、 最大切應(yīng)力以及應(yīng)力主軸等等都 與原應(yīng)力張量相同。 因而應(yīng)力偏張量使物體產(chǎn)生形狀變化, 而不能產(chǎn)生體積變化, 材料的塑性變形就是由應(yīng)力偏張量引起的。 應(yīng)力張量 應(yīng)力

33、偏張量 應(yīng)力球張量圖 3-12 應(yīng)力張量的分解a 任意坐標(biāo)系 b主坐標(biāo)系2. 應(yīng)力偏張量不變量應(yīng)力偏張量是由原應(yīng)力張量減去球張量后得到的,它仍然是一個張量,而 且是二階對稱張量。因此,應(yīng)力偏張量同樣存在三個不變量,分別用 J 1、 J 2和 J 3表示。將應(yīng)力偏張量的分量代入式(3-13 ,可得J 1 = x + y + z =(x - m + (y m +(z m 對于主軸坐標(biāo)系,有 J 1 = 0J 2 = 16(1 2 2+(2 -3 2+(1 -3 2 J 3 = 1 2 3應(yīng)力偏張量的第一不變量 J 1 = 0,表明應(yīng)力分量中已經(jīng)沒有靜水應(yīng)力成分。ijij ij m '=-3

34、x xy xz yx y yz zx zy z J '''='(3-21 (3-21a 第二不變量 J 2與屈服準(zhǔn)則有關(guān)(見本章每四節(jié) 。第三不變量 J 3決定了應(yīng)變的 類型; J 3 > 0屬伸長類應(yīng)變; J 3 = 0屬平面應(yīng)變; J 3 < 0屬壓縮類應(yīng)變。例 3-2 已知簡單拉伸、拉拔及擠壓變形區(qū)的應(yīng)力張量分別為、 、 (應(yīng)力單位:10MPa ,試分解為球張量和偏張量,并畫出分解的主應(yīng)力圖。 解 對于簡單拉伸,因為 1 = 6, 2 = 3 = 0,則 所以 1 = 1 m = 4, 2 = 3 = 0 - m = -2則對于拉拔,因為 1

35、= 3, 2 = 3 = -3,則 m =(1 +2 +3 /3 = -1所以 1 = 1 m , 2 = 3 = -3 - m = -2則對于擠壓,因為 1 = -2, 2 = 3 = -8,則12363m +=-所以 1 = 1 m = 4, 2 = 3 = - 8 - m = -2則上述應(yīng)力張量分解見圖 3-13。經(jīng)比較可以看出,三種加工方式的應(yīng)力狀態(tài) 雖然不同, 但它們的應(yīng)力偏張量卻相同, 所產(chǎn)生的變形都是軸向伸長, 橫向收縮, 同屬于伸長類應(yīng)變。因此,根據(jù)應(yīng)力偏量,可以判斷變形的類型。600000000300030003-200080008-1236233m +=6002004000

36、00020020000002002=+-300100400030010020003001002-=-+-200600400080060020008006002-=-+- 圖 3-13 應(yīng)力張量分解a 簡單拉伸 b拉拔 c擠壓七、八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力 1. 八面體應(yīng)力以受力物體內(nèi)任意點的應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸, 在無限靠近該點處作等傾斜的微 分面, 其法線與三個主軸的夾角都相等。 在主軸坐標(biāo)系空間八個象限的等傾斜面 構(gòu)成一個正八面體,如圖 3-14所示,正八面體的每個平面稱為八面體平面,其 面上的應(yīng)力稱為八面體應(yīng)力。 圖 3-14 八面體應(yīng)力八面體平面的方向余弦為代入式(3-8a 和(3-9a8和八面

37、體切應(yīng)力 8:l m n = (3-22(3-23 由上面兩式可以看出, 8就是平均應(yīng)力,即球張量,是不變量。 8則是與應(yīng) 力球張量無關(guān)的不變量, 反映了三個主切應(yīng)力的綜合效應(yīng), 與應(yīng)力偏量第二不變 量 J 2有關(guān)。若式(3-22中的 J 1和式(3-23中的 J 2若分別用式(3-13和 (3-21代入,可得到用任意坐標(biāo)系應(yīng)力分量表示的八面體應(yīng)力(3-22a (3-23a 主應(yīng)力平面、 主切應(yīng)力平面和八面體平面都是一點應(yīng)力狀態(tài)的特殊平面, 總 共有 26個,這些平面上的應(yīng)力值,對研究一點的應(yīng)力狀態(tài)有重要作用。2. 等效應(yīng)力 將八面體切應(yīng)力 8乘以 3/稱為 等效應(yīng)力,也稱廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度,

38、用 表示。對主軸坐標(biāo)系 (3-24 對任意坐標(biāo)系 (3-24a 等效應(yīng)力有以下特點:1 等效應(yīng)力是一個不變量。2 等效應(yīng)力在數(shù)值上等于單向均勻拉伸(或壓縮時的拉伸(或壓縮應(yīng) 力 1,即 = 1。3 等效應(yīng)力并不代表某一實際表面上的應(yīng)力,因而不能在某一特定平面上 表示出來;4 等效應(yīng)力可以理解為代表一點應(yīng)力狀態(tài)中應(yīng)力偏張量的綜合作用。 等效應(yīng)力是研究塑性變形的一個重要概念, 它是與材料的塑性變形密切關(guān)系 的參數(shù)。八、應(yīng)力平衡微分方程在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形物體, 其內(nèi)部點與點之間的應(yīng)力大小是連 續(xù)變化著的,也就是說,應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。在直角坐標(biāo)系中,設(shè)物體內(nèi)一點 Q 的坐標(biāo)為 x 、

39、y 、 z ,應(yīng)力狀態(tài)為 ij ,在 Q 點無限鄰近處有另一點 Q ,坐標(biāo)為 x +dx 、 y +dy 、 z +dz ,則形成一個邊長為 d x 、 d y 、 d z 并與三個坐標(biāo)面平行的平行六面體,由于坐標(biāo)的微量變化,因此 Q 點的 應(yīng)力比 Q 點的應(yīng)力要增加一個微小的增量。 如 Q 點面上的正應(yīng)力分量為 x , 則 Q 點面上的正應(yīng)力分量應(yīng)為 xx dx x+。 依此類推, 故 Q 點的應(yīng)力狀態(tài) (圖 3-15為(18123133J =+=8=18=8=d d d d d d d d d d d d d d d 0yx x zx x yx zx x yx zx x y z y z x

40、 z x y x y z y z z x x y + -=000yx x zxxy y zyyz xz zx y zx y zx y z +=+=+=1021010z z z z zz z z z -+=+=+=由于六面體處于靜力平衡狀態(tài), 因此作用在六面體上所有力沿坐標(biāo)軸的投影 之和應(yīng)等于零。如沿 x 軸有同理沿 y 和 z 軸還可以寫出與上式類似的兩個等式?；喺砗?可得直角坐標(biāo) 系中質(zhì)點的應(yīng)力平衡微分方程式為簡記為 (3-25a 當(dāng)變形體是旋轉(zhuǎn)體時, 用圓柱坐標(biāo)更為方便。 按同樣方法, 得圓柱坐標(biāo)的應(yīng) 力平衡微分方程式(3-25 (3-26 x xy xz xy xz xyx y yz

41、 ij yx yz y zx zy z zx zy z dx dx dx x x x dy dy dy y y ydz dz dz z z z + =+ + 0ij ix =00yxx xy y x yx y+=+=圖 3-15 直角坐標(biāo)中一點鄰區(qū)的應(yīng)力平衡九、平面應(yīng)力狀態(tài)和軸對稱應(yīng)力狀態(tài)求解一般的三維問題是很困難的, 在處理實際問題時, 通常要把復(fù)雜的三維 問題簡化為平面的或軸對稱的狀態(tài)。 因此, 研究平面問題的應(yīng)力狀態(tài)和軸對稱應(yīng) 力狀態(tài)有重要的實際意義。平面問題的應(yīng)力狀態(tài)有兩類:一類是平面應(yīng)力狀態(tài); 另一類是平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài),下面分別加以討論。1. 平面應(yīng)力狀態(tài)如圖 3-16a 所

42、示, 在變形體為板料或薄壁件時, 常?？梢哉J(rèn)為某個平面 (如 板面 上沒有應(yīng)力的作用, 這就是平面應(yīng)力狀態(tài)。 平面應(yīng)力狀態(tài)的特點是:1 變 形體內(nèi)各質(zhì)點在與某一方向 (如 z 向 垂直的平面上沒有應(yīng)力作用, 即 z =zx =zy =0, z 軸為主方向,只有 x 、 y 、 xy 三個應(yīng)力分量; 2 x 、 y 、 xy 沿 z 軸方向均勻分布,即應(yīng)力分量與 z 軸無關(guān),對 z 軸的偏導(dǎo)數(shù)為零。 a b圖 3-16 平面應(yīng)力狀態(tài)a 單元體上的應(yīng)力 b任意方向斜面上的應(yīng)力在工程實際中, 薄壁管扭轉(zhuǎn)、 薄壁容器承受內(nèi)壓、 板料成形中的一些工序等, 由于厚度方向的應(yīng)力相對很小而可以忽略,一般均作為

43、平面應(yīng)力狀態(tài)來處理。平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為 (3-27在直角坐標(biāo)系中,由于 z =zx =zy =0,由式(3-25可得平面應(yīng)力狀 態(tài)下的應(yīng)力平衡微分方程為平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜面上的應(yīng)力、 主應(yīng)力和主切應(yīng)力可分別由三向應(yīng)力狀 態(tài)的公式導(dǎo)出。如圖 3-16b 所示,設(shè)斜面 AB 的法線 N 與 x 軸的交角為 ,則該12000000000000x xy ij yx y ij = 或 (3-282123; ; 0x y x y xy J J J =+=-+=(220x y x y xy -+-=斜面的三個方向余弦為由式(3-6 ,得(3-29則斜面上的正應(yīng)力由式(3-8 ,得(3-30斜面上的切

44、應(yīng)力由圖 3-16b 可直接得(3-31應(yīng)力張量的三個不變量為則應(yīng)力狀態(tài)的特征方程為于是,可求得主應(yīng)力 (3-32由于 3=0,平面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力為 (3-33需要特別指出,平面應(yīng)力狀態(tài)中 z 方向雖然沒有應(yīng)力,但是有應(yīng)變。只有在 純剪切時, 沒有應(yīng)力的方向上才沒有應(yīng)變, 純切應(yīng)力狀態(tài)屬平面應(yīng)力狀態(tài)的特殊 情況。2. 平面應(yīng)變狀態(tài)時的平面應(yīng)力 變形物體在某一方向不發(fā)生變形, 稱為平面變形, 其應(yīng)力狀態(tài)稱為平面應(yīng)變 狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài), 發(fā)生變形的平面稱塑性流平面。 平面應(yīng)變的應(yīng)力狀態(tài)特點是:1 不產(chǎn)生變形的方向(設(shè)如圖 3-17所示的 z 向為主方向,與該方向垂直的平 面上沒有切應(yīng)力,即

45、zx=zy =0,因而 z 為主應(yīng)力; 2在 z 方向有阻止變 形的正應(yīng)力,其值為:對于彈性變形 z=(x+y,式中 為泊松比, 對于塑性變形, z=(x+y /2=m(見本章第五節(jié); 3 所有應(yīng)力 分量沿 z 軸均勻分布,即與 z 軸無關(guān),對 z 的偏導(dǎo)數(shù)為零。cos ; cos sin ; 02l m n =-= cos sin cos sin x x xy x xy y yx y yx y S l m S l m =+=+=+=+(22211cos 2sin 222x y xy x y x y xy l m lm=+=+-+(1sin 2cos 22x y x y xy S m S l

46、=-=-122x y +=1221122331; 222-=±=±=± 圖 3-17 平面應(yīng)變的應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量可寫成 在主軸坐標(biāo)系時,為式 中 , m =12(x +y =12(1+2 。 由 于 式 (3-34a 中 的 偏 應(yīng) 力122' ' 2x -=-, 3=0,即為純切應(yīng)力狀態(tài),所以,平面變形時的應(yīng)力狀態(tài)就是純切應(yīng)力狀態(tài)疊加一個應(yīng)力球張量。平面應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)力平衡微分方程、 變形平面中斜面上的應(yīng)力和主應(yīng)力均與 式(3-28 、 (3-30 、 (3-31和(3-32相同。平面應(yīng)變狀態(tài)的主切應(yīng)力和最大 切應(yīng)力為(3-35由式

47、 (3-35 可知, 平面應(yīng)變狀態(tài)下最大切應(yīng)力所在的平面與變形平面上的兩個 主平面交成 450角,這是建立平面應(yīng)變滑移線理論的重要依據(jù)。0000x xyij yx y z =0202000x y x y x y y x -000000m m m +12120000002ij =+1212002002000-000000mm m +(3-34 (3-34a 1212max 12233124-=±=-=±00z z z z z z -+=+=3. 軸對稱應(yīng)力狀態(tài)當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力對稱于旋轉(zhuǎn)軸分布時, 則物體內(nèi)質(zhì)點所處的應(yīng)力狀態(tài)稱 為軸對稱應(yīng)力狀態(tài)。 由于變形體是旋轉(zhuǎn)體, 所以采

48、用圓柱坐標(biāo)系更為方便, 如圖 3-18所示。 圖 3-18 軸對稱應(yīng)力狀態(tài)軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的特點是:1由于子午面(指通過旋轉(zhuǎn)體軸線的平面,即 面在變形過程中始終不會扭曲,所以在 面上沒有應(yīng)力,即 = z =0, 只有 、 、 z 、 z 等應(yīng)力分量,而且 是主應(yīng)力; 2各應(yīng)力分量與 坐標(biāo) 無關(guān),對 的偏導(dǎo)數(shù)都為零。因此,軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為(3-36根據(jù)軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的特點, 由式 (3-36 可得出軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力狀 態(tài)的應(yīng)力平衡微分方程式有些軸對稱問題, 例如圓柱體的平砧鐓粗、 圓柱體坯料的均勻擠壓和拉拔等, 其徑向和周向的正應(yīng)力分量相等,即 = 。此時,只有三個獨立的應(yīng)力分量,

49、方程式(3-37還可以進(jìn)一步簡化。十、應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓也是表示點的應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法。 已知某點的一組應(yīng)力分量或 主應(yīng)力,就可以利用應(yīng)力莫爾圓通過圖解法來確定該點任意方向上的應(yīng)力。需要指出的是, 在作應(yīng)力莫爾圓時, 切應(yīng)力的正、 負(fù)應(yīng)按照材料力學(xué)中的規(guī) 定確定:即順時針作用于所研究的單元體上的切應(yīng)力為正;反之為負(fù)。1. 平面應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓 0000z ij z z =(3-37222222x y x y xy +-+=+ 1arctan 2xy x y -=-平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量為 x 、 y 、 xy ,如果已知這三個應(yīng)力分量,就可 以利用應(yīng)力莫爾圓求任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)

50、力等。設(shè)平面應(yīng)力狀態(tài)如圖 3-19a 所示,在 -坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出點 A (x , xy 和 點 B (y , xy ,連接 A 、 B 兩點,以 AB 線與 軸的交點 C 為圓心, AC 為半徑作 圓,即得應(yīng)力莫爾圓。其根據(jù)是將式(3-30和式(3-31聯(lián)立求解,消去 得到,即 (3-38 a b圖 3-19 平面應(yīng)力狀態(tài)莫爾圓a 應(yīng)力平面 b應(yīng)力莫爾圓式(3-38就是平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力莫爾圓方程,其圓心和半徑為圓心: (,0 2x y C + 半徑: R =其結(jié)果如圖 3-19b 所示,圓與 軸的兩個交點便是主應(yīng)力 1和 2。由圖中的幾 何關(guān)系很方便地得出求主應(yīng)力和主切應(yīng)力的公式(3-32和

51、(3-33。反之,若 已知 1和 2,也可以寫出求 x 、 y 和 xy 的公式。(3-39 主應(yīng)力 1的方向與軸的夾角為在與 x 軸成逆時針角 的斜切面, 即圖中法線為 N 的平面上的應(yīng)力 和 , 就是莫爾圓中將 CA 逆時針轉(zhuǎn) 2后所得的 N 點坐標(biāo)。由圖中的幾何關(guān)系,也可 以很方便地得到計算 和 的公式(3-30和(3-31 。前已述及,平面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力 12(圖 3-19b 中莫爾圓半徑并不 是最大切應(yīng)力,最大切應(yīng)力應(yīng)該是由 1和 3(3 =0即坐標(biāo)原點 O ,組成的莫 1212121212cos 222cos 222sin 22x y xy +-=+-=-=爾圓的半徑,即max =13 =±1/2只有在 1和 2的大小相等方向相反(即一拉一壓,且 1= -2的情況下, 12才是最大切應(yīng)力,如圖 3-20所示,這時,主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力等于零,主 切應(yīng)力在數(shù)值上等于主應(yīng)力。 這種應(yīng)力狀態(tài)就是純切應(yīng)力狀態(tài), 它是平面應(yīng)力狀 態(tài)的特例。 圖 3-20 純切應(yīng)力狀態(tài)莫爾圓 2. 三向應(yīng)力莫爾圓對于三向應(yīng)力狀態(tài), 也可以作應(yīng)力莫爾圓, 圓上的任何一點的橫坐標(biāo)與縱坐 標(biāo)值代表某一微分面上的正應(yīng)力及切應(yīng)力的大小。設(shè)變形體中某點的三個主應(yīng)力為 1、 2、 3,且 1 2 3。以應(yīng)力主軸為 坐標(biāo)軸,作一斜面,其