淺談微積分發(fā)展史及極限若干計算法

1、山東財經(jīng)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文山東財經(jīng)大學(xué)本科畢業(yè)論文(設(shè)計) 題目： 淺談微積分發(fā)展史及極限的若干計算法 學(xué) 院 數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟學(xué)院 專 業(yè) 信息與計算科學(xué) 班 級 信科0901 學(xué) 號 2009050213 姓 名 李 健 指導(dǎo)教師 徐鵬曉 山東財經(jīng)大學(xué)教務(wù)處制二一三年五月山東財經(jīng)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。學(xué)位論文作者簽名： 201

2、3 年 5 月 日山東財經(jīng)大學(xué)關(guān)于論文使用授權(quán)的說明本人完全了解山東財經(jīng)大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)士學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留、送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱，學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印或其他復(fù)制手段保存論文。指導(dǎo)教師簽名： 論文作者簽名： 2013 年 月 日 2013 年 月 日淺談微積分發(fā)展史及極限的若干計算法摘 要本文簡單地介紹了微積分的發(fā)展史，微積分學(xué)產(chǎn)生的背景、建立過程以及其產(chǎn)生重大的歷史意義。此外，在文章中也對微積分學(xué)的理論知識、基本內(nèi)容進行了介紹和與說明。及利用兩個重要極限、無窮小量代換、洛比達法則、泰勒公式、定積分等求極限的方法，并結(jié)合具體的例子，指出了

3、在解題過程中常遇見的一些問題。在數(shù)學(xué)分析中，極限思想貫穿于始末，求極限的方法也顯得至關(guān)重要。本文主要探討、總結(jié)求極限的一般方法并補充利用級數(shù)收斂及利用積分求極限的特殊方法，而且把每一種方法的特點及注意事項作了詳細重點說明，并以實例加以例解，因此彌補了一般教材的不足。由于本文通過總結(jié)、研究對求極限的各種方法的很多細節(jié)作了具體注解，使方法更具針對性、技巧性，因此，克服了遇到問題無從下手的缺點,能夠做到游刃有余。關(guān)鍵詞：微積分的發(fā)展史；無窮小量代換；洛比達法則；泰勒公式；定積分Introduction to calculus and limit the development of a number

4、 of calculation methodABSTRACTCalculus is simply introduced in this paper, the history of two important limits, and the use of dimensionless substitution, than to rule such as definite integral, Taylor formula, limit of method, and connecting with the concrete examples, pointing out some problems me

5、t in the problem solving process. In mathematical analysis, the beginning and end of the optim ization and limit, limit of the method is also crucial. This paper mainly discusses and summarizes the limit the general methods of adding using series convergence and by using special integral limit metho

6、d, and the characteristics of each method and the matters needing attention focus in detail, and with examples the case solution, thus make up for the deficiency of the general teaching material. Because this article through summarizes, the research on the limit of many of the details of the various

7、 methods for the specific comments, make the method more targeted, tricky, therefore, overcomes the drawback of encounter problems do not know how to start, can do it. Key words: the history of calculus; Dimensionless substitution; More than of laws; Taylor formula; Definite integral 目 錄一、 引言1（一） 微積

8、分簡介1（二） 產(chǎn)生背景1（三） 醞釀時期2二、 發(fā)展歷程2（一） 牛頓的微積分2（二） 萊布尼茨的微積分3（三） 柯西與魏爾斯特拉斯的貢獻3（四） 外國其他人的貢獻4（五） 中國數(shù)學(xué)家的思想5三、 計算極限的若干方法5（一） 定義法5（二） 利用極限四則運算法則6（三） 利用夾逼性定理求極限6（四） 利用兩個重要極限求極限7（五） 利迫斂性來求極限7（六） 用洛必達法則求極限7（七） 利用定積分求極限8（八） 利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限9（九） 利用變量替換求極限9（十） 利用遞推公式計算或證明序列求極限10（十一） 利用等價無窮小量代換來求極限11（十二） 利用

9、函數(shù)的連續(xù)性求極限12（十三） 利用泰勒公式求極限12（十四） 利用兩個準則求極限13（十五） 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限14（十六） 利用單側(cè)極限求極限15四、 總結(jié)15參考文獻161、 引言（1） 微積分簡介數(shù)學(xué)的歷史最早可追述到與我們極其遙遠的社會發(fā)展初期。也許早于文字的形成，數(shù)的思想已在人們的生活中逐漸形成，雖然經(jīng)歷了長期的發(fā)展后，其體系分支的龐大與應(yīng)用的廣泛令世人驚嘆，但至今為止卻沒有一個人能夠為數(shù)學(xué)給出一個公認的定義。16、17世紀，資本主義社會崛起，生產(chǎn)力大大解放，機器化生產(chǎn)逐漸普及，促使科學(xué)急速發(fā)展。此時初等數(shù)學(xué)已不能滿足社會的需要，于是數(shù)學(xué)進入了變量數(shù)學(xué)時期。在這一時期中，

10、雖然出現(xiàn)了解析幾何，概率論和射影幾何等新的分支，但幾乎都被微積分過分強大的光輝掩蓋了。其發(fā)展之迅猛，內(nèi)容之豐富，應(yīng)用之廣泛，使人目不暇接。微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造，它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，無限細分就是微分，無限求和就是積分。微分是由聯(lián)系到對曲線作切線的問題和函數(shù)的極大值、極小值問題而產(chǎn)生的。古希臘學(xué)者曾進行過作曲線切線的嘗試，如阿基米德在論螺線中給出過確定螺線在給定點處的切線的方法；阿波羅尼奧斯在圓錐曲線論中討論過圓錐曲線的切線等

11、等。關(guān)于微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作起源于1629年費馬陳述的概念，他給定了如何確定極大值和極小值的方法。隨后英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進一步推動了微分學(xué)概念的產(chǎn)生。與微分學(xué)相比而言，積分學(xué)的起源則要早得多。積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在拋物線求積法中用窮竭法求出弓形拋物線的面積。他的數(shù)學(xué)思想中蘊含著微積分的思想，只是缺少極限的概念，但其思想實質(zhì)卻延伸到17世紀無限小分析領(lǐng)域中，預(yù)告了微積分的誕生。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。此后柯

12、西與魏爾斯特拉斯等人又對微積分進行了完善。微積分的發(fā)展同時推動了天文學(xué)和物理學(xué)前進的步伐，摧毀了籠罩在天體上的神秘主義、迷信和神學(xué)。不僅如此，微積分在數(shù)學(xué)這一學(xué)科中同時又貫穿了多個分支體系，如極限、微分學(xué)、積分學(xué)、以及導(dǎo)數(shù)等。（2） 產(chǎn)生背景16、17世紀，資本主義社會崛起，生產(chǎn)力大大解放，機器化生產(chǎn)逐漸普及，促使科學(xué)急速發(fā)展。此時初等數(shù)學(xué)已不能滿足社會的需要，于是數(shù)學(xué)進入了變量數(shù)學(xué)時期。在這一時期中，雖然出現(xiàn)了解析幾何，概率論和射影幾何等新的分支，但幾乎都被微積分過分強大的光輝掩蓋了。其發(fā)展之迅猛，內(nèi)容之豐富，應(yīng)用之廣泛，使人目不暇接。在這一階段中，許多科學(xué)問題急待解決，這些問題也就成了促使

13、微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心和引力計算。牛頓在研究經(jīng)典力學(xué)規(guī)律和萬有引力定律時,遇到了一些無法解決的數(shù)學(xué)問題,而這些數(shù)學(xué)問題用歐幾里德幾何學(xué)和16 世紀的代數(shù)學(xué)是無法解決的,因此牛頓著手研究新的為求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法流數(shù)法。（3） 醞釀時期近代微積分的醞釀，主要是在17世紀上半葉這半個世紀，為了理解這一醞釀的背景，我們首先來簡略的回顧一下這一時

14、期自然科學(xué)的一般形勢和天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的重大事件。 首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠鏡對準星空，得到了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推動了光學(xué)的研究。1638年，伽利略的關(guān)于兩門新科學(xué)的對話出版。伽利略建立了自由落體定律、動量定律等，為動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他認識到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45度時達到，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學(xué)概念與定律作精確的數(shù)學(xué)表述的巨大熱情。開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積、卡瓦列里的不可分量原理、笛卡兒“圓法”、費

15、馬求極大值與極小值的方法、巴羅“微分三角形”、沃利斯“無窮算數(shù)”等均是在微積分醞釀階段最具有代表性的工作。2、 發(fā)展歷程（1） 牛頓的微積分牛頓是那個時代的科學(xué)巨人。在他之前，已有了許多積累：哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸，哥白尼創(chuàng)立日心說，伽利略出版力學(xué)對話，開普勒發(fā)現(xiàn)行星運動規(guī)律-航海的需要，礦山的開發(fā)，火松制造提出了一系列的力學(xué)和數(shù)學(xué)的問題，微積分在這樣的條件下誕生是必然的。然而當時牛頓在數(shù)學(xué)方面很大程度是依靠自學(xué)的。他學(xué)習(xí)了歐幾里得的幾何原本、笛卡兒的幾何學(xué)、沃利斯的無窮算術(shù)、巴羅的數(shù)學(xué)講義及韋達等許多數(shù)學(xué)家的著作。其中，對牛頓具有決定性影響的要數(shù)笛卡兒的幾何學(xué)和沃利斯的無窮算術(shù)，它們將牛頓迅速引導(dǎo)

16、到當時數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最前沿-解析幾何與微積分。牛頓對微積分問題的研究始于1664年秋，當時他反復(fù)閱讀笛卡兒的幾何學(xué)，對笛卡兒求切線的“圓法”產(chǎn)生興趣并試圖尋找更好的方法。就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號用來表示x的無限小且最終趨于零的增量。牛頓的第一個微積分短評是于1669年在運用無限多項方程的分析學(xué)里給出的。在這部專著里他運用了幾何和分析的無窮小量，并通過二項式定理擴展了其適用性。在這篇論文中，牛頓運用了一個無窮小矩形或者面積“瞬”的概念，并且發(fā)現(xiàn)了曲線的面積。奧里斯姆、伽利略、笛卡爾以及其他人均通過小單元之和求出總面積，而牛頓則是從單個點的變化率求出了面積。很難確切的指出牛頓是以何種方式看待這個瞬

17、時變化率的。對于一個徹底的經(jīng)驗主義者，數(shù)學(xué)是一種方法，而不是一種闡釋。牛頓顯然認為任何質(zhì)疑運動瞬時性的企圖都與形而上學(xué)有聯(lián)系，因此就避免為它下定義。不過他仍然接受了這個概念，并以之作為其第二個以及更多微積分闡釋的基礎(chǔ)，這從流數(shù)法與無窮級數(shù)中可以看出來。在這本書里，牛頓介紹了他特有的符號和概念。其中，他認為他的變量產(chǎn)生于點、直線和平面的連續(xù)運動，而不是無窮小元素的集合，這種觀點也出現(xiàn)在論分析里。牛頓把變化率稱為流數(shù)，用字母上加點的“標記字母”表示；他稱變化的量為流量。牛頓將自古希臘以來求解無限小問題的各種特殊技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，并證明了二者的互逆關(guān)系進而將這兩類運

18、算逐步統(tǒng)一成一個整體。在曲線求積法里，牛頓曾嘗試消除無窮小量的所有痕跡。他沒有將數(shù)學(xué)量視為由瞬或者很小的部分組成，而是把它們描述為連續(xù)的運動，采用最初比和最后比的方法。最初比和最后比的物理原型是初速度與末速度的數(shù)學(xué)抽象,在物體作位置移動的過程中，每一瞬間具有的速度是自明的,牛頓就是從這個客觀事實出發(fā)提出了最初比和最后比的直觀概念。1687 年牛頓發(fā)表了他的劃時代的科學(xué)名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理,流數(shù)術(shù)(即微積分) 是其三大發(fā)現(xiàn)之一。牛頓繼承了培根的經(jīng)驗主義傳統(tǒng),特別重視實驗和歸納推理的作用,他曾斷言,自然科學(xué)只能從經(jīng)驗事實出發(fā)解釋世界。這在當時對打擊經(jīng)院哲學(xué)的崇尚空談、妄稱神意來歪曲自然界是起過積

19、極作用的。（2） 萊布尼茨的微積分萊布尼茨是17、18世紀之交德國最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個舉世罕見的科學(xué)天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。1672年萊布尼茨赴巴黎,在那里接觸到惠更斯等一些數(shù)學(xué)名流,引其進入了數(shù)學(xué)領(lǐng)域,開始微積分的創(chuàng)造性工作。1675 - 1676 年間,他從求曲邊形面積出發(fā)得到積分的概念。1684年萊布尼茨發(fā)表了數(shù)學(xué)史上第一篇正式的微積分文獻一種求極限值和切線的新方法。這篇文獻是他自1673年以來對微積分研究的概括與成果,其中敘述了微分學(xué)的基本原理, 認為函數(shù)的無限小增量是自變量無限小變化的結(jié)果,且把這個函數(shù)的增量叫做微分

20、,用字母d表示，并得到廣泛使用。還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則。同時包括了微分法在求切線、極大值、極小值及拐點方面的應(yīng)用。兩年后,又發(fā)表了一篇積分學(xué)論文深奧的幾何與不變量及其無限的分析,其中首次使用積分符號“”,初步論述了積分(或求積) 問題與微分求切線問題的互逆問題。即今天大家熟知的牛頓- 萊布尼茨公式,為我們勾畫了微積分學(xué)的基本雛形和發(fā)展藍圖。 牛頓建立微積分是從運動學(xué)的觀點出發(fā),而萊布尼茲則從幾何學(xué)的角度去考慮,所創(chuàng)設(shè)的微積分符號遠遠優(yōu)于牛頓的符號,并有效地促進了微積分學(xué)的發(fā)展，特別是和巴羅的“微分三角形”有密切關(guān)系,萊布尼茨稱它為“特征三角形”。 巴羅的微分三角形對萊布尼茲有著

21、重要啟發(fā),對微分三角形的研究,使他意識到求切線和求積問題是一對互逆的問題。萊布尼茲第一個表達出微分和積分之間的互逆關(guān)系。 將微分和積分統(tǒng)一起來,是微積分理論得以建立的一個重要標志。（3） 柯西與魏爾斯特拉斯的貢獻微積分學(xué)創(chuàng)立以后，由于運算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，使微積分學(xué)成為了研究自然科學(xué)的有力工具。但微積分學(xué)中的許多概念都沒有精確嚴密的定義，特別是對微積分的基礎(chǔ)無窮小概念的解釋不明確，在運算中時而為零，時而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。多方面的批評和攻擊沒有使數(shù)學(xué)家們放棄微積分，相反卻激起了數(shù)學(xué)家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴格而努力。從而也掀起了微積分乃至整個分析的嚴格化運動。微積分的嚴格化工作經(jīng)過近一個

22、世紀的嘗試，到19世紀初已開始顯現(xiàn)成效。對分析的嚴密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國數(shù)學(xué)家柯西。柯西在數(shù)學(xué)上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念,并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的精華,也是柯西對人類科學(xué)發(fā)展所做的巨大貢獻。與此同時，柯西還在此基礎(chǔ)上創(chuàng)建了復(fù)變函數(shù)的微積分理論?？挛鲗Χǚe分作了最系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作,他把定積分定義為和的“極限”。在定積分運算之前,強調(diào)必須確立積分的存在性。他利用中值定理首先嚴格證明了微積分基本定理?？挛麝P(guān)于分析基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的分析教程(1821)、無窮小計算教程(1823)以及微分計算教程(1829)，它們以分析的嚴格化為目標

23、，對微積分的一系列基本概念給出了明確的定義，在此基礎(chǔ)上，柯西嚴格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定義了級數(shù)的收斂性，研究了級數(shù)收斂的條件等，他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶嗽谖⒎e分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴格化邁出了關(guān)鍵的一步。 另一位為微積分的嚴密性做出卓越貢獻的是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯。魏爾斯特拉斯是一個有條理而又苦干的人，在中學(xué)教書的同時，他以驚人的毅力進行數(shù)學(xué)研究。魏爾斯特拉斯定量地給出了極限概念的定義，這就是今天極限論中的“-”方法。魏爾斯特拉斯用他創(chuàng)造的這一套語言重新定義了微積分中的一系列重要概念，

24、特別地，他引進的一致收斂性概念消除了以往微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂。另外，魏爾斯特拉斯認為實數(shù)是全部分析的本源，要使分析嚴格化，就首先要使實數(shù)系本身嚴格化。而實數(shù)又可按照嚴密的推理歸結(jié)為整數(shù)（有理數(shù)）。因此，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出。這就是魏爾斯特拉斯所倡導(dǎo)的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)?；谖籂査固乩乖诜治鰢栏窕矫娴呢暙I，在數(shù)學(xué)史上，他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號。通過柯西以及后來魏爾斯特拉斯的艱苦工作,數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴格的論述.從而結(jié)束微積分二百年來思想上的混亂局面,把微積分及其推廣從對幾何概念,運動和直觀了解的完全依賴中解放出來,并使微積分發(fā)展成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)最龐大的數(shù)學(xué)學(xué)

25、科。（4） 外國其他人的貢獻在十八世紀，微積分得到進一步深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交織在一起，刺激和推動了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，從而形成了“分析”這樣一個在觀念和方法上都具有鮮明特點的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)史上，18世紀可以說是分析的時代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過渡的重要時期。無限小算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進行的。英國的數(shù)學(xué)家們在劍橋、牛津、倫敦、愛丁堡等著名的大學(xué)里教授和研究牛頓的流數(shù)術(shù)，他們中的優(yōu)秀代表有泰勒、麥克勞林、棣莫弗、斯特林等。推廣萊布尼茨學(xué)說的任務(wù)，在從17世紀到18世紀的過渡時期，主要是由雅各布·伯努利和約翰·伯努利擔(dān)當?shù)?，他們的工作?gòu)成

26、了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求未定式極限的一個定理，這個定理后由約翰的學(xué)生洛必達編入其微積分著作無窮小分析，現(xiàn)在通稱為洛必達法則。此外法國數(shù)學(xué)家羅爾在其論文任意次方程一個解法的證明中給出了微分學(xué)的一個重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說的羅爾微分中值定理。18世紀微積分最重大的進步是由歐拉作出的。他所發(fā)表的無限小分析引論、微分學(xué)、積分學(xué)稱得上是微積分史上里程碑式的著作，在很長時間里被當作分析課本的典范而普遍使用著。除了伯努利兄弟和歐拉，在18世紀推進微積分及其應(yīng)用貢獻卓著的歐陸數(shù)學(xué)家中，首先應(yīng)該提到法國學(xué)派，其代表人物有克萊洛、達朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒讓德等。在這一時期

27、中，微積分主要在以下幾個方面深入發(fā)展：積分技術(shù)與橢圓積分、微積分向多元函數(shù)的推廣、無窮級數(shù)理論、函數(shù)概念的深化以及微積分嚴格化的嘗試。這些數(shù)學(xué)家雖然不像牛頓、萊布尼茨那樣創(chuàng)立了微積分，但他們在微積分發(fā)展史上同樣功不可沒，假如沒有他們的奮力開發(fā)與仔細耕耘，牛頓和萊布尼茨草創(chuàng)的微積分領(lǐng)地就不可能那樣春色滿園，相反，也許會變得荒蕪凋零。（5） 中國數(shù)學(xué)家的思想如果將微積分的發(fā)展分為三個階段：極限概念，求積的無限小方法，積分與微分及其互逆關(guān)系。那么最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追朔到古希臘的阿基米德等都作出了各自的貢獻。然而對于這方面的工作，古代中國是毫不遜色于

28、西方的。極限思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)都不能比擬的。比如早在公元前7世紀，在我國莊周所著的莊子一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。 公元前4世紀墨經(jīng)中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274年撰寫了劃時代巨著數(shù)書九章十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”增乘開方法解任意次數(shù)字（高次）方程近似解，比西方早500多年。北宋大科學(xué)家沈括的夢溪筆談獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”

29、、“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。特別是13世紀40年代到14世紀初，各主要（數(shù)學(xué)）領(lǐng)域都達到了中國古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負開方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”（一次同余式組解法）、“垛積術(shù)”（高階等差級數(shù)求和）、“招差術(shù)”（高次差內(nèi)差法）、“天元術(shù)”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術(shù)”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學(xué)有著微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。 中國已具備了17世紀發(fā)明微積分前夕

30、的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門?？上е袊院?，八股取士制度造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)水平日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。3、 計算極限的若干方法（1） 定義法利用數(shù)列極限的定義求出數(shù)列的極限.設(shè)是一個數(shù)列,是實數(shù),如果對任意給定的,總存在一個正整數(shù)，當時,都有,我們就稱是數(shù)列的極限.記為.例1: 按定義證明.解: 令,則讓即可,存在,當時,不等式: 成立,所以（2） 利用極限四則運算法則應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運算法則,其前提條件是參加運算的數(shù)列或函數(shù)首先是收斂數(shù)列或函數(shù),其次在做除法運算時,要求必先使分母的極限不為0,因此,

31、為了利用四則運算定理計算數(shù)列或函數(shù)極限成為收斂數(shù)列或函數(shù),需以原分子、原分母中隨n或x增大最快的項除分子、分母,使恒等變形后的分子、分母為滿足數(shù)列或函數(shù)極限四則運算定理條件的收斂數(shù)列或函數(shù),值得我們注意的是在應(yīng)用數(shù)列或函數(shù)極限的四則運算前,先把所給的商式消去分子分母的公共零因子。例2: 求,其中.解: 分子分母均為無窮多項的和,應(yīng)分別求和,再用四則運算法則求極限,原式 （3） 利用夾逼性定理求極限當極限不易直接求出時, 可考慮將求極限的變量作適當?shù)姆糯蠛涂s小, 使放大與縮小所得的新變量易于求極限, 且二者的極限值相同, 則原極限存在,且等于公共值。特別是當在連加或連乘的極限里,可通過各項或各因

32、子的放大與縮小來獲得所需的不等式。例3:求的極限。解: 對任意正整數(shù)n,顯然有 , 而,由夾逼性定理得 （4） 利用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。利用這兩個重要極限來求函數(shù)的極限時要仔細觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。例4：求極限【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分。解：（5） 利迫斂性來求極限設(shè),且在某內(nèi)有,則例5：求的極限解：. 且由迫斂性知 做此類型題目的關(guān)鍵在于找出大于已知函數(shù)的函數(shù)和小于已知函數(shù)的函數(shù)，并

33、且所找出的兩個函數(shù)必須要收斂于同一個極限。（6） 用洛必達法則求極限 洛必達法則為：假設(shè)當自變量趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)和滿足：和的極限都是或都是無窮大；和都可導(dǎo)，且的導(dǎo)數(shù)不為；存在（或是無窮大），則極限也一定存在，且等于，即= 。利用洛必達法則求極限，由于分類明確，規(guī)律性強，且可連續(xù)進行運算，可以簡化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過程，但運用時需注意條件。例6:求解: 是待定型 注：運用洛比達法則應(yīng)注意以下幾點1、要注意條件，也即是說，在沒有化為時不可求導(dǎo)。2、應(yīng)用洛必達法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定

34、式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達法則，否則會引起錯誤。（7） 利用定積分求極限設(shè)函數(shù) 在區(qū)間上連續(xù)，將區(qū)間分成個子區(qū)間在每個子區(qū)任取一點，作和式（見右下圖），當時，(屬于最大的區(qū)間長度)該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間的定積分。要求深刻理解與熟練掌握的重點內(nèi)容有：1、定積分的概念及性質(zhì)。2、定積分的換元法和分部積分法，3、變上限的定積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）公式。要求一般理解與掌握的內(nèi)容有：4、廣義積分的概念與計算。例7:求解: 設(shè),則在內(nèi)連續(xù),所以, 所以原式難點：定積分的概念，上限函數(shù)，定積分的換元法

35、。（8） 利用無窮小量的性質(zhì)和無窮小量和無窮大量之間的關(guān)系求極限首先, 利用無窮小量乘有界變量仍然是無窮小量,這一方法在求極限時常常用到;再者利用等價無窮量。在求函數(shù)極限過程中,如果此函數(shù)是某個無窮小量與所有其他量相乘或相除時, 這個無窮小量可以用它的等價無窮小量來代替,從而使計算簡化。例8：求的值解：因為是無窮小量，而是有界變量，所以 還是無窮小量，即 （9） 利用變量替換求極限為了將未知的極限化簡，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來的極限過程，轉(zhuǎn)化為新的極限過程。最常用的方法就是等價無窮小的代換。例9： 已知試證證明：令則時，于是 易知當時第二

36、、三項趨于零，現(xiàn)證第四項極限亦為零。事實上，因（當時），故有界，即，使得。故（10） 利用遞推公式計算或證明序列求極限借助遞推公式計算或證明序列的極限，也是一種常見的方法，在這里我們需要首先驗證極限的存在性。在極限存在的前提下，根據(jù)極限的唯一性，來解出我們所需要的結(jié)果，但往往驗證極限的存在形式比較困難的，需要利用有關(guān)的不等式或?qū)崝?shù)的一些性質(zhì)。例10（1）設(shè)，對，定義。證明 且時，（2）若c為任意的正數(shù)。置于（1）的遞推公式中，給出，假設(shè)，則當時，解：（1）對任意的n, ，而且，因為 推得，因此，序列是單調(diào)遞增且有界，它的極限存在，設(shè)為x，從遞推公式中得到 解得，即。（2）因為且對任意的，可以在

37、上作歸納證明，對任意的，。由知，所以序列是單調(diào)遞增的，因而極限存在，借助遞推公式可求的其極限為。（11） 利用等價無窮小量代換來求極限所謂等價無窮小量即稱與是時的等價無窮小量，記作定理：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，且有1.若則2.若則證明： 可類似證明，在此就不在詳細證明了！ 由該定理就可利用等價無窮小量代換來求某些函數(shù)的極限例11：求的極限解：由 而；故有注：由上例可以看出，欲利用此方法求函數(shù)的極限必須熟練掌握一些常用的等價無窮小量，如：由于，故有又由于故有，。另注：在利用等價無窮小代換求極限時，應(yīng)該注意：只有對所求極限中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來代換，而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意代換。如上式中若因有，；，而推出的則得到的結(jié)果是錯誤的。小結(jié):在求解極限的時候要特別注意無窮小等價替換,無窮小等價替換可以很好的簡化解題。（12）