《銳角三角函數(shù)》全章復(fù)習(xí)及鞏固-- 鞏固練習(xí)(提高帶答案)

1、銳角三角函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標】1.了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確使用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30、45、60的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會由一個特殊角的三角函數(shù)值求出這個角的度數(shù)；2能夠正確地使用計算器，由已知銳角的度數(shù)求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角的度數(shù)；3理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題；4通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進一步認識函數(shù)，體會函數(shù)的變化與對應(yīng)的思想，通過

2、解直角三角的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用，并結(jié)合實際問題對微積分的思想有所感受.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、銳角三角函數(shù)1.正弦、余弦、正切的定義如右圖、在RtABC中，C=90，如果銳角A確定： (1)sinA=，這個比叫做A的正弦. (2)cosA=，這個比叫做A的余弦.(3)tanA=，這個比叫做A的正切.要點詮釋：(1)正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).(2)sinA、cosA、tanA是一個整體符號，即表示A三個三角函數(shù)值，書寫時習(xí)慣上省略符號“”， 但不能寫成sin

3、A，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“”不能省略，應(yīng)寫成sinBAC，而不能寫出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.(4)三角函數(shù)有時還可以表示成等.2.銳角三角函數(shù)的定義銳角A的正弦、余弦、正切都叫做A的銳角三角函數(shù).要點詮釋：1. 函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是A的函數(shù)，其中A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量A的取值范圍是0A90，函數(shù)值的取值范圍是0sinA1，0cosA1，tanA0.2銳角三角函數(shù)之間的

4、關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式” 如A+B=90， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； 同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2Acos2A=1；tanA=3.30、45、60角的三角函數(shù)值A(chǔ)304560sinAcosAtanA130、45、60角的三角函數(shù)值和解30、60直角三角形和解45直角三角形為本章重中之重，是幾何計算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.要點二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：角角關(guān)系：兩銳角互余，即A+B=90；邊邊關(guān)系：勾股定理，即；邊角關(guān)系

5、：銳角三角函數(shù)，即要點詮釋：解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)這兩種情形的共同之處：有一條邊因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊要點三、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖

6、形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.2.常見應(yīng)用問題(1)坡度：； 坡角:.(2)方位角：(3)仰角與俯角：要點詮釋：1解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟RtABC兩邊兩直角邊(a，b)由求A，B=90A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求A，B=90A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如A，b)B=90A，銳角、對邊(如A，a)B=90A，斜邊、銳角(如c，A)B=90A，2用解直角三角形的

7、知識解決實際問題的基本方法是：把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題當需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求?銳角三角函數(shù)的應(yīng)用用相似三角形邊的比的計算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進行代換很簡單：【

8、典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1在RtABC中，C90，若將各邊長度都擴大為原來的2倍，則A的正弦值是( ) A擴大2倍 B縮小2倍 C擴大4倍 D不變【答案】 D；【解析】根據(jù)知sinA的值與A的大小有關(guān)，與的比值有關(guān)當各邊長度都擴大為原來的2倍時，其的比值不變故選D.【總結(jié)升華】 銳角三角函數(shù)正弦、余弦和正切反映了直角三角形中邊與邊的關(guān)系舉一反三：【變式1】已知，如圖，中，求cosA及tanA【答案】易證點B、C、D、E四點共圓，ADEABC，cosA= tanA=變式2】如圖所示，已知ABC是O的內(nèi)接三角形，ABc，ACb，BCa，請你證明 1 2 【答案】 證明：O是ABC的外接圓，設(shè)

9、圓的半徑為R，連結(jié)AO并延長交O于點D，連結(jié)CD，則BDAD是O的直徑，ACD90即ADC為直角三角形，同理可證：，類型二、 特殊角三角函數(shù)值的計算2已知a3，且，則以a、b、c為邊長的三角形面積等于( ) A6 B7 C8 D9【答案】A；【解析】根據(jù)題意知 解得 所以a3，b4，c5，即，其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且C90，所以【總結(jié)升華】利用非負數(shù)之和等于0的性質(zhì)，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，注意tan45的值不要記錯舉一反三：【變式】計算：60【答案】原式= =類型三、 解直角三角形3如圖所示，在等腰RtABC中，C90，AC6，D是AC上一點，若，

10、則AD的長為( )A2 B C D1【思路點撥】 如何用好是解題關(guān)解，因此要設(shè)法構(gòu)造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中，則應(yīng)將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，轉(zhuǎn)化的途徑及方法很多，如可作輔助線構(gòu)造直角三角形，或找已知直角三角形中的邊或角替代所要求的元素等【答案】 A；【解析】 作DEAB于點E因為ABC為等腰直角三角形，所以A45，所以AEDE又設(shè)DEx，則AEx，由知BE5x，所以AB6x，由勾股定理知AC2+BC2AB2，所以62+62(6x)2，ADAE【總結(jié)升華】在直角三角形中，若已知兩邊，宜先用勾股定理求出第三邊，再求銳角三角函數(shù)值；若已知一邊和角，應(yīng)先求另一角，再通過銳角三角函數(shù)列出

11、含有未知元素和已知元素的等式求解 類型四 、銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識的綜合4如圖所示，直角ABC中，C90，AB，sin B，點P為邊BC上一動點，PDAB，PD交AC于點D，連接AP， (1)求AC，BC的長；(2)設(shè)PC的長為x，ADP的面積為y，當x為何值時，y最大，并求出最大值【思路點撥】 (1)在RtABC中，由AB，sin B，易得AC2，再由勾股定理求BC(2)，只要把AD用x表示即可求出ADP的面積y，由PDAB可得，從而求出，則【答案與解析】 (1)在RtABC中，由，AC2，由勾股定理得BC4(2)PDAB，ABCDPC，PCx，則，當x2時，y有最大值，最大值是1【總結(jié)升華

12、】 近幾年，銳角三角函數(shù)與圓、函數(shù)、相似三角形以及方程相結(jié)合的題目在各地中考試題中出現(xiàn)的頻率越來越大如圓中的垂徑定理，直徑所對的圓周角都出現(xiàn)了直角或直角三角形在函數(shù)中，在直角坐標系中求點的坐標，離不開求直角三角形兩直角邊的問題，相似三角形中可將有些元素進行轉(zhuǎn)換或替代舉一反三：【變式】如圖，設(shè)P是矩形ABCD的AD邊上一動點，于點E，于F，求的值 【答案】如圖，sin1= sin2= 由矩形ABCD知1=2，則 PE=PAsin1，PF=PDsin2,sin1=，所以PE+PF= PAsin1+ PDsin2=（PA+PD）sin1= 類型五、三角函數(shù)與實際問題5某鄉(xiāng)鎮(zhèn)中學(xué)教學(xué)樓對面是一座小山，

13、去年“聯(lián)通”公司在山頂上建了座通訊鐵塔甲、乙兩位同學(xué)想測出鐵塔的高度，他們用測角器作了如下操作：甲在教學(xué)樓頂A處測得塔尖M的仰角為，塔座N的仰角為；乙在一樓B處只能望到塔尖M，測得仰角為(望不到底座)，他們知道樓高AB20 m，通過查表得：0.572 3，0.2191，0.7489，請你根據(jù)這幾個數(shù)據(jù)，結(jié)合圖形推算出鐵塔高度MN的值【答案與解析】 如圖所示，設(shè)地平線BD、水平線AE分別交直線MN于D、E，顯然AEBD，不妨設(shè)為m，則在RtAEM中，MEmtan，在RtAEN中，NEmtanMNm(tantan)在RtBDM中，MDmtan，而ABDEMDMEm(tantan)，將AB20(m)

14、，0.5723，0.2191，0.7489代入得MN40(m)可測得鐵塔的高度MN40m.【總結(jié)升華】構(gòu)造直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.6如圖所示，帆船A和帆船B在太湖湖面上訓(xùn)練，O為湖面上的一個定點，教練船靜候于O點訓(xùn)練時要求A，B兩船始終關(guān)于O點對稱以O(shè)為原點，建立如圖所示的坐標系，x軸，y軸的正方向分別表示正東、正北方向設(shè)A，B兩船可近似看成在雙曲線上運動湖面風平浪靜，雙帆遠影優(yōu)美訓(xùn)練中當教練船與A，B兩船恰好在直線yx上時，三船同時發(fā)現(xiàn)湖面上有一遇險的C船，此時教練船測得C船在東南45方向上，A船測得AC與AB的夾角為60，B船也同時測得C船的位置(假設(shè)C船位置不再改變

15、，A，B，C三船可分別用A，B，C三點表示) (1)發(fā)現(xiàn)C船時，A，B，C三船所在位置的坐標分別為A(_，_)，B(_，_)和C(_，_)； (2)發(fā)現(xiàn)C船，三船立即停止訓(xùn)練，并分別從A，O，B三點出發(fā)沿最短路線同時前往救援，設(shè)A，B兩船的速度相等，教練船與A船的速度之比為3:4，問教練船是否最先趕到?請說明理由【思路點撥】 作ADx軸，在等腰直角三角形ADO中 結(jié)合點A在上，不難求出A點坐標，而B與A關(guān)于原點對稱注意到ABC為等邊三角形，連OC，作CHx軸解直角三角形，求出CH、OH的長，即可求出點C坐標在求點A、B、C坐標過程中，可求出AC、OC的長再根據(jù)兩船速度比，分別用含字母的式子表示

16、所用的時間，再比較大小【答案與解析】(1)A(2，2)；B(-2，-2)；C(，)(2)作ADx軸于D，連接AC，BC和OC如圖所示 A的坐標為(2，2)，AOD45，AO C在O的東南45方向上， AOC45+4590 AOBO， ACBC又 BAC60 ABC為正三角形， ACBCAB2AO OCBCcos30 由條件設(shè)：教練船的速度為3m，A、B兩船的速度均為4m則教練船所用的時間為：，A、B兩船所用的時間均為 教練船不是最先趕到【總結(jié)升華】（1）一是通過問題提供的信息，知道變量之間有什么函數(shù)關(guān)系，在這種情況下，可先設(shè)出函數(shù)的表達式，再由已知條件確定表達式中的字母系數(shù)即可；（2）從問題本

17、身的條件中不知道變量之間是什么函數(shù)關(guān)系，在這種情況下和列方程解實際問題一樣找出等量關(guān)系，把變量聯(lián)系起來就得到函數(shù)的表達式.銳角三角函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固-鞏固練習(xí)（提高）一、選擇題1. 計算tan 60+2sin 452cos 30的結(jié)果是( ) A2 B C D12如圖所示，ABC中，AC5，則ABC的面積是( )A B12 C14 D213如圖所示，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將ACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則tan的值為( )A B C D 第2題圖 第3題圖 第4題圖4如圖所示，小明要測量河內(nèi)小島B到河邊公路的距離，在A點測得BAD30，在C點測得BCD60，又測得AC50米，

18、那么小島B到公路的距離為( ) A25米 B米 C米 D米5如圖所示，將圓桶中的水倒入一個直徑為40 cm，高為55 cm的圓口容器中，圓桶放置的角度與水平線的夾角為45要使容器中的水面與圓桶相接觸，則容器中水的深度至少應(yīng)為( ) A10 cm B20 cm C30 cm D35 cm6如圖所示，已知坡面的坡度，則坡角為( ) A15 B20 C30 D45 第5題圖 第6題圖 第7題圖7如圖所示，在高為2 m，坡角為30的樓梯上鋪地毯，則地毯的長度至少應(yīng)為( )A4 m B6 m Cm D8因為，所以；因為，所以，由此猜想，推理知：一般地，當為銳角時有sin(180+)-sin，由此可知：s

19、in240( ) A B C D二、填空題9如圖，若AC、BD的延長線交于點E，則= ；= 10如圖，ADCD，AB=10，BC=20，A=C=30，則AD的長為 ；CD的長為 . 第9題圖 第10題圖 第11題圖11如圖所示，已知直線，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則_12如果方程的兩個根分別是RtABC的兩條邊，ABC最小的角為A，那么tanA的值為_ _13. 已知，則銳角的取值范圍是_ _14. 在ABC中，AB8，ABC30，AC5，則BC_ _15. 如圖，直徑為10的A經(jīng)過點C(0,5)和點O (0,0)，B是y軸右側(cè)A優(yōu)弧上一點,

20、則OBC 的余弦值為 . 16. 如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，DBC=45，翻折梯形ABCD，使點B重合于點D，折痕分別交邊AB、BC于點F、E，若AD=2，BC=8.則(1)BE的長為 . (2)CDE的正切值為 . 第15題圖 第16題圖三、解答題17如圖所示，以線段AB為直徑的O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，BOE60，cos C，BC (1)求A的度數(shù)；(2)求證：BC是O的切線；(3)求MD的長度 18. 如圖所示，要在木里縣某林場東西方向的兩地之間修一條公路MN，已知C點周圍200米范圍內(nèi)為原始森林保護區(qū)，在MN上的點A處測得C在A的北偏東45方向上，從

21、A向東走600米到達B處，測得C在點B的北偏西60方向上 (1)MN是否穿過原始森林保護區(qū)?為什么?(參考數(shù)據(jù)：1.732) (2)若修路工程順利進行，要使修路工程比原計劃提前5天完成，需將原定的工作效率提高25，則原計劃完成這項工程需要多少天? 19如圖所示，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P，已知BC:CA4:3，點P在半圓弧AB上運動(不與A、B重合)，過C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點 (1)求證：ACCDPCBC； (2)當點P運動到AB弧中點時，求CD的長；(3)當點P運動到什么位置時，PCD的面積最大？并求這個最大面積S 20. 如圖所示，在RtAB

22、C中，A90，AB6，AC8，D，E分別是邊AB，AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQBC于Q，過點Q作QRBA交AC于R，當點Q與點C重合時，點P停止運動設(shè)BQx，QRy (1)求點D到BC的距離DH的長； (2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)； (3)是否存在點P，使PQR為等腰三角形?若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由 【答案與解析】一、選擇題1.【答案】C；【解析】tan 60+2sin 452cos 30 2.【答案】A；【解析】過A作ADBC于D，因為，所以B45，所以ADBD，因為，所以， BDAD3，所以，所以BCB

23、D+DC7，. 3.【答案】B；【解析】旋轉(zhuǎn)后的三角形與原三角形全等，得BB，然后將B放在以BC為斜邊，直角邊在網(wǎng)格線上的直角三角形中，B的對邊為1，鄰邊為3，tan BtanB4.【答案】B；【解析】依題意知BCAC50米，小島B到公路的距離，就是過B作的垂線，即是BE的長，在RtBCE中，BEBCsin 6050(米)，因此選B5.【答案】D；【解析】如圖，ABD是等腰直角三角形，過A點作ACBD于C，則ABC45，ACBC，則所求深度為552035(cm)6.【答案】C；【解析】， 7【答案】D；【解析】地毯長度等于兩直角邊長之和，高為2 m，寬為(m)，則地毯的總長至少為m8【答案】C

24、；【解析】sin 240sin(180+60)-sin 60二、填空題9【答案】cosCEB=；tanCEB=【解析】如圖，連結(jié)BC，則ACB=90，易證ECDEBA， cosCEB= tanCEB= 第9題答案圖 第10題答案圖10【答案】5+10；10+5.【解析】過B點分別作BEAD，BFCD，垂足分別為E、F，則得BF=ED，BE=DF. 在RtAEB中，A=30，AB=10， AE=ABcos30=10=5， BE=ABsin30=10=5. 又在RtBFC中，C=30，BC=20， BF=BC=20=10， CF=BCcos30=20=10. AD=AE+ED=5+10， CD=C

25、F+FD=10+5.11【答案】；【解析】設(shè)AB邊與直線的交點為E， ，且相鄰兩條平行直線間的距離都是1，則E為AB的中點，在RtAED中，ADE，AD2AE設(shè)AEk，則AD2k， 12【答案】或； 【解析】由得x11，x23當1，3為直角邊時，則tan A；當3為斜邊時，則另一直角邊為 13【答案】030； 【解析】由題意知，故，即sinsin 30，由正弦函數(shù)是增函數(shù)知03014【答案】或；【解析】因ABC的形狀不是唯一的，當ABC是銳角三角形時，如圖所示，作AHBC于H，在RtABH中AHABsinABC8sin304，BH，在RtAHC中，HC BC當ABC是鈍角三角形時，如圖所示，同上可求得BC15【答案】； 【解析】連接CA并延長到圓上一點D，CD為直徑，COD=yOx=90，直徑為10的A經(jīng)過點C（0，5）和點O（0，0），CD=10，CO=5，DO=，B=CDO，OBC的余弦值為CDO的余弦值，cosOBC=cosCDO= 16【答案】（1）BE=5；（2）tanCDE=【解析】（1）由題意得BFEDFE，DE=BE. 又在BDE