現(xiàn)代信號處理_同態(tài)處理

1、PART III 同態(tài)信號處理同態(tài)信號處理Homomorphic Signal Prosessing第五章第五章 同態(tài)信號處理同態(tài)信號處理n 5.2 乘法同態(tài)系統(tǒng)乘法同態(tài)系統(tǒng)n 5.4 復倒譜復倒譜n 5.5 復倒譜的計算復倒譜的計算n 5.1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)系統(tǒng)的基本概念n 5.3 卷積同態(tài)系統(tǒng)卷積同態(tài)系統(tǒng)n 5.0 引言引言5.0 引言引言n加性組合信號加性組合信號1(頻域可分離頻域可分離)r(n)x(n)信號信號1y(n)信號信號25.0 引言引言n加性組合信號加性組合信號(MMSE分離分離)r(n)x(n)信號信號y(n)噪聲噪聲5.0 引言引言n非線性組合信號非線性組合信號r

2、(n)x(n)信號信號1y(n)信號信號2r(n)x(n)信號信號 y(n)乘法乘法卷積卷積5.1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)系統(tǒng)的基本概念n1. 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)n疊加原理疊加原理 設設x1(n)和和x2(n)為系統(tǒng)的兩個輸入序列，為系統(tǒng)的兩個輸入序列，其輸出分別用其輸出分別用y1(n) 和和y2(n)表示，即表示，即 疊加原理要求：疊加原理要求：n滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。)(T)()(T)(2211nxnynxny )()()(T)(T)()(T212121nynynxnxnxnx )()(T)(T111naynxanax 5.1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)

3、系統(tǒng)的基本概念n2. 廣義疊加原理廣義疊加原理n將系統(tǒng)中的運算用符號抽象化將系統(tǒng)中的運算用符號抽象化 系統(tǒng)的輸入中：系統(tǒng)的輸入中： 信號間的運算用信號間的運算用* *表示表示 (加、乘、卷加、乘、卷積等積等) 常數(shù)與信號間的運算用常數(shù)與信號間的運算用表示表示(乘、乘、冪、開方等冪、開方等)5.1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)系統(tǒng)的基本概念 系統(tǒng)的輸出中：系統(tǒng)的輸出中： 信號間的運算用信號間的運算用表示表示 (加、乘、卷加、乘、卷積等積等) 常數(shù)與信號間的運算用常數(shù)與信號間的運算用表示表示(乘、乘、冪、開方等冪、開方等) 用用H表示系統(tǒng)變換，用表示系統(tǒng)變換，用C表示系統(tǒng)中的表示系統(tǒng)中的常數(shù)。常數(shù)。5.

4、1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)系統(tǒng)的基本概念n定義定義: 若在系統(tǒng)中下式成立若在系統(tǒng)中下式成立則稱該系統(tǒng)滿足廣義疊加原理，并稱該系則稱該系統(tǒng)滿足廣義疊加原理，并稱該系統(tǒng)為同態(tài)系統(tǒng)統(tǒng)為同態(tài)系統(tǒng)(Homomorphic System)。n說明：說明： 同態(tài)系統(tǒng)強調在某運算下同態(tài)。同態(tài)系統(tǒng)強調在某運算下同態(tài)。 )(H )(H)( )(H2121nxnxnxnx * *)(H )( HnxCnxC 5.1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)系統(tǒng)的基本概念n3. 同態(tài)系統(tǒng)的分類同態(tài)系統(tǒng)的分類n若若* *和和均為加法均為加法，和，和均為均為乘法，則乘法，則稱該系統(tǒng)為稱該系統(tǒng)為加法同態(tài)系統(tǒng)加法同態(tài)系統(tǒng)，或，或線性系統(tǒng)線性系

5、統(tǒng)。n若若* *為乘法，為乘法，也為乘法，則稱該系統(tǒng)為也為乘法，則稱該系統(tǒng)為乘法運算同態(tài)系統(tǒng)或乘法運算同態(tài)系統(tǒng)或乘法同態(tài)系統(tǒng)乘法同態(tài)系統(tǒng)。n若若* *為卷積，為卷積，也為卷積，則稱該系統(tǒng)為也為卷積，則稱該系統(tǒng)為卷積運算同態(tài)系統(tǒng)或卷積運算同態(tài)系統(tǒng)或卷積同態(tài)系統(tǒng)卷積同態(tài)系統(tǒng)。n若若* *為乘法，為乘法，為卷積，則稱該系統(tǒng)為為卷積，則稱該系統(tǒng)為乘乘法和卷積運算同態(tài)系統(tǒng)法和卷積運算同態(tài)系統(tǒng)。 )(H )(H)( )(H2121nxnxnxnx * *)(H )( HnxCnxC 5.1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)系統(tǒng)的基本概念n3. 同態(tài)系統(tǒng)的分類同態(tài)系統(tǒng)的分類信號變換信號變換x2(n)能否構成乘法同態(tài)系

6、統(tǒng)能否構成乘法同態(tài)系統(tǒng)?信號變換信號變換3x (n)能否構成乘法同態(tài)系統(tǒng)能否構成乘法同態(tài)系統(tǒng)?5.1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)系統(tǒng)的基本概念n4. 同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式n任何同態(tài)系統(tǒng)都可以表示成由三個子系統(tǒng)任何同態(tài)系統(tǒng)都可以表示成由三個子系統(tǒng)級聯(lián)的形式：級聯(lián)的形式：+ +和和同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)* *和和+ +同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)+ +同態(tài)系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)D * *LD -1* *+)( nx)(nx)( ny)(ny5.1 同態(tài)系統(tǒng)的基本概念同態(tài)系統(tǒng)的基本概念n5. 同態(tài)系統(tǒng)的特征系統(tǒng)同態(tài)系統(tǒng)的特征系統(tǒng)n將信號之間的將信號之間的* *運算轉化成運算轉化成+運算的系統(tǒng)運算的系統(tǒng)稱為稱為* *

7、運算的特征系統(tǒng)。運算的特征系統(tǒng)。n將信號之間的將信號之間的+運算轉化成運算的系統(tǒng)運算轉化成運算的系統(tǒng)稱為運算的特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。稱為運算的特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)。D -1+D * * *+)(nx5.2 乘法同態(tài)系統(tǒng)乘法同態(tài)系統(tǒng)n1. 乘法同態(tài)系統(tǒng)的運算乘法同態(tài)系統(tǒng)的運算n信號之間的運算：信號之間的運算： * * 乘法運算乘法運算n常數(shù)與信號之間的運算：常數(shù)與信號之間的運算： 指數(shù)運算指數(shù)運算5.2 乘法同態(tài)系統(tǒng)乘法同態(tài)系統(tǒng)n2.乘法同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式乘法同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式n設輸入為設輸入為，其中，其中 為常為常數(shù)，則數(shù)，則DLD-1冪冪運算運算冪運算冪運算+)( nx)(nx)( ny)(ny ,

8、)()()(21nxnxnx )()()(D)(D)(D)( 2121nxnxnxnxnxnx )()()(L)(L)( L)( 2121nynynxnxnxny )(D)(D)(D)(D)( D)(211121111nynynynynyny 5.2 乘法同態(tài)系統(tǒng)乘法同態(tài)系統(tǒng)n3. 特征系統(tǒng)特征系統(tǒng)Dn將信號間的乘法運算轉換成加法運算；將信號間的乘法運算轉換成加法運算；n將常數(shù)與信號間的冪運算轉換成乘法運算。將常數(shù)與信號間的冪運算轉換成乘法運算。n D是對數(shù)運算：是對數(shù)運算：n D-1是指數(shù)運算：是指數(shù)運算：)()()(ln)(ln)()(ln212121nxnxnxnxnxnx )()()(

9、exp)(exp)()(exp212121nynynynynyny 5.2 乘法同態(tài)系統(tǒng)乘法同態(tài)系統(tǒng)n4. 規(guī)范形式的實現(xiàn)框圖規(guī)范形式的實現(xiàn)框圖n5. 應用應用n可表示成多個分量乘積的信號有：可表示成多個分量乘積的信號有： 衰落信道的輸出信號衰落信道的輸出信號 調幅波調幅波復對數(shù)復對數(shù)線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)復指數(shù)復指數(shù)+)( nx)(nx)( ny)(ny5.2 乘法同態(tài)系統(tǒng)乘法同態(tài)系統(tǒng)n同態(tài)濾波的作用：同態(tài)濾波的作用： 若要處理乘性混合信號，先對其進行分若要處理乘性混合信號，先對其進行分離，增強其中某個信號分量，同時壓縮離，增強其中某個信號分量，同時壓縮或削弱另一個信號分量?；蛳魅趿硪粋€信號分量。

10、5.3 卷積同態(tài)系統(tǒng)卷積同態(tài)系統(tǒng)n1. 規(guī)范形式規(guī)范形式nD*將信號間的卷積運算轉換成加法運算將信號間的卷積運算轉換成加法運算:nD*-1將加法運算轉換成卷積運算將加法運算轉換成卷積運算:D*LD*-1* * *+)( nx)(nx)( ny)(ny)(D)(D)()(D2*1*21*nxnxnxnx )( D)( D)()( D21*11*211*nynynyny 5.3 卷積同態(tài)系統(tǒng)卷積同態(tài)系統(tǒng)n2. 特征系統(tǒng)特征系統(tǒng)D* *的實現(xiàn)的實現(xiàn)n先用先用Z變換將卷積組合信號變成乘法組合變換將卷積組合信號變成乘法組合信號：信號：n再用復對數(shù)將乘法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算：再用復對數(shù)將乘法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算：

11、)()()()()()()()(1212121zUzXzXnxZnxZnxnxZnxZ ZlnZ-1+* *+)( nx)(nx)(1zU)(2zU)(ln)(ln)(ln)(2112zXzXzUzU 5.3 卷積同態(tài)系統(tǒng)卷積同態(tài)系統(tǒng)n最后用逆最后用逆Z變換將信號由變換將信號由Z域變換到時域：域變換到時域：n3. D* *-1的實現(xiàn)的實現(xiàn)ni) 對信號進行對信號進行Z變換，將信號由時域變換變換，將信號由時域變換到到Z域：域：)(ln)(ln)()( 21121zXzXZzUZnx ZexpZ-1*+)( ny)(ny)(1zV)(2zV+)()()( )( )()( )( )(2121211z

12、YzYnyZnyZnynyZnyZzV 5.3 卷積同態(tài)系統(tǒng)卷積同態(tài)系統(tǒng)nii) 用復指數(shù)運算將加法運算變?yōu)槌朔ㄟ\算：用復指數(shù)運算將加法運算變?yōu)槌朔ㄟ\算：niii) 用逆用逆Z變換將信號由變換將信號由Z域變換到時域，域變換到時域，且乘法變?yōu)榫矸e：且乘法變?yōu)榫矸e：)()()(exp)(exp)()(exp)(2121212zYzYzYzYzYzYzV )()()()()()()()(21211121121nynyzYZzYZzYzYZzVZnY 5.4 復倒譜復倒譜n1. 定義定義n稱稱 為信號為信號x(n) 的復倒譜的復倒譜(Cepstrum)。n卷積同態(tài)系統(tǒng)的卷積同態(tài)系統(tǒng)的D*將卷積運算組合

13、的信將卷積運算組合的信號轉換成它們的復倒譜之和。號轉換成它們的復倒譜之和。)(ln)( 1zXZnx 5.4 復倒譜復倒譜n 2. 序列的復倒譜序列的復倒譜n設設x(n)的的Z變換為變換為n其中：其中： 為零點，為零點， 為極點；為極點； 的模均小于的模均小于1； 為單位圓內、外零點的數(shù)目；為單位圓內、外零點的數(shù)目； 為單位圓內、外極點的數(shù)目。為單位圓內、外極點的數(shù)目。 ioiopkpkkkmkmkkkrzdzczbzaAzzX111111)1 ()1 ()1 ()1 ()(1, kkba1, kkdckkkkdcba,oimm ,oipp ,5.4 復倒譜復倒譜n n 計算計算 oimkkm

14、kkrzbzazAzXzX111)1ln()1ln(lnln)(ln)( oipkkpkkzdzc111)1ln()1ln( )1ln(11 zaZk 1)1ln(nnnxx ioiopkpkkkmkmkkkrzdzczbzaAzzX111111)1 ()1 ()1 ()1 ()(0,)1ln(11 nnazaZnkk 11)1ln(nnnkkznaza)(1ZXZ 5.4 復倒譜復倒譜 同理可得：同理可得： 計算計算 同理可得：同理可得： 0,)1ln(11 nnczcZnkk )1ln(1zbZk 11)1ln(nnnknnnnnkkznbznbzb0,)1ln(1 nnbzbZnkk0,

15、)1ln(1 nndzdZnkk 1)1ln(nnnxx oioipkkpkkmkkmkkrzdzczbzazAzXzX111111)1ln()1ln()1ln()1ln(lnln)(ln)(5.4 復倒譜復倒譜 項項:先不考慮。先不考慮。 lnA項項:n綜上可得：綜上可得：rzln 000) 1(ln1nnnrzZnr)(|ln|ln1nAAZ 00|)ln(|0)()( 11111nndnbnAnncnazXZnxooiimkpknknkmkpknknk0,)1ln(11 nnazaZnkk0,)1ln(11 nnczcZnkk0,)1ln(1 nnbzbZnkk0,)1ln(1 nndz

16、dZnkk 00|)ln(|0)( 1111nndnbnAnncnanxooiimkpknknkmkpknknk5.4 復倒譜復倒譜n3. 序列復倒譜的性質序列復倒譜的性質ni) 為無限長序列，幅度按為無限長序列，幅度按 的速度的速度衰減，能量主要集中在低時段。衰減，能量主要集中在低時段。nii) 若若x(n) 為最小相位序列，即零極點均在為最小相位序列，即零極點均在單位圓內，單位圓內， ，則其復倒譜為因，則其復倒譜為因果序列。果序列。)( nx| / 1 n0, 0 oopm 00|)ln(|0)( 1111nndnbnAnncnanxooiimkpknknkmkpknknk5.4 復倒譜復

17、倒譜niii) 若若x(n)為最大相位序列，即零極點均在為最大相位序列，即零極點均在單位圓外，單位圓外， ，則其復倒譜為反因，則其復倒譜為反因果序列。果序列。niv) 間隔間隔Np的沖激序列的復倒譜仍為一個的沖激序列的復倒譜仍為一個間隔為間隔為Np的沖激序列。的沖激序列。nv) 實序列的復倒譜也是實序列。實序列的復倒譜也是實序列。0, 0 iipm性質性質iv證明證明: MkpkkNnanx0)()( MkkNkpzazX0)(1 0010ppMNMNzaazaaa MkNkpzaa110)(1 MkNkpzaazX110)(1lnln)(ln|,)(ln110kNMkiiNikazziaap

18、p 110110)()(ln)()(ln)( iMkpikMkipikiNnianaiNniananx 性質性質iv證明證明(續(xù)續(xù)): 0)()( 則ipiiNnbnx Mkikiiiab10,令令00lnab 110110)()(ln)()(ln)( iMkpikMkipikiNnianaiNniananx 性質性質v證明證明n若若x(n)為實序列，則為實序列，則其中其中 為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)。為奇函數(shù)。于是在于是在 中實部為偶對稱，虛部為奇中實部為偶對稱，虛部為奇對稱，即對稱，即為共軛偶對稱。因此為共軛偶對稱。因此 也也為實序列。為實序列。)(arg| )(|)(ZXjezXzX

19、 | )(|zX)(argZX)(lnzX)(ZX)( nx5.4 復倒譜復倒譜n4.復對數(shù)的定義復對數(shù)的定義n復對數(shù)的多值性復對數(shù)的多值性可見可見 與與 之間的變換不唯一，因而之間的變換不唯一，因而導致導致x(n)與與之間不是一一對應的。之間不是一一對應的。)(zX)(zX, 2, 1, 0,2)(argexp)(argexp kkzXjzXj )(argexp| )(|)(zXjzXzX )2)(arg| )(|ln)(ln)(kzXjzXzXzX )( nx5.4 復倒譜復倒譜n復對數(shù)多值性的解決復對數(shù)多值性的解決 設定相位的主值區(qū)間為設定相位的主值區(qū)間為，定義，定義取主值運算取主值運算

20、ARG ：其中其中為為“模?！边\算，它使運算，它使顯然，顯然，ARGX(z)與與X(z)是一一對應的。是一一對應的。 22)(arg)(ARG kzXzX )(ARGzX 2 2,( 5.4 復倒譜復倒譜 若令若令則可解決復對數(shù)的多值性問題。則可解決復對數(shù)的多值性問題。)(ARG| )(|ln)(zXjzXzX 的的關關系系：與與)(ARG)(argkxkx5.4 復倒譜復倒譜n復對數(shù)的解析性復對數(shù)的解析性 i) 如果如果 是穩(wěn)定和因果的，是穩(wěn)定和因果的， 那么那么要求要求 在單位圓上收斂。在單位圓上收斂。 ii) 要求要求 在收斂域內是解析的，則要在收斂域內是解析的，則要求求 在單位圓上連續(xù)

21、、可微分，變換在單位圓上連續(xù)、可微分，變換唯一。唯一。)(ln)(),(zXzXzX )( ),(nxnx)(zX)(zX5.4 復倒譜復倒譜 iii) ARGX(z)不能保證在單位圓上連續(xù)。不能保證在單位圓上連續(xù)。因此需對復對數(shù)的定義做進一步修改因此需對復對數(shù)的定義做進一步修改:其中其中即通過加入修正項即通過加入修正項消除消除ARGX(z)的不連續(xù)性。的不連續(xù)性。)(| )(|ln)(zXjAnglezXzX )()(ARG)(kCORzXzXAngle )(kCOR5.5 復倒譜的計算復倒譜的計算n 5.5.1 按定義計算按定義計算n 5.5.2 最小相位序列復倒譜的計算最小相位序列復倒譜

22、的計算n 5.5.3 復對數(shù)求導數(shù)法計算復倒譜復對數(shù)求導數(shù)法計算復倒譜(自學自學)n 5.5.4 遞推計算方法遞推計算方法(自學自學) 5.5.1 按定義計算按定義計算n1. 引入引入n如果輸入序列如果輸入序列x(n)的的Z變換變換X(z)的收斂域包的收斂域包含單位圓，則含單位圓，則x(n)的付氏變換的付氏變換 存在。存在。n可以在單位圓上計算復倒譜，即用序列付可以在單位圓上計算復倒譜，即用序列付氏變換氏變換(SFT)代替代替Z變換計算復倒譜。變換計算復倒譜。n在數(shù)字實現(xiàn)時，用在數(shù)字實現(xiàn)時，用DFT實現(xiàn)序列付氏變換。實現(xiàn)序列付氏變換。)( jeX 5.5.1 按定義計算按定義計算n按定義計算流

23、程：按定義計算流程： 其中其中k為歸一化數(shù)字頻率。為歸一化數(shù)字頻率。DFTlnIDFT)( nxp)(nx)(kX)(kX 5.5.1 按定義計算按定義計算n2. 說明說明n設設x(n)是是N點的時間序列，點的時間序列，X(k)為其為其N點點DFT，則，則X(k)的復對數(shù)仍是的復對數(shù)仍是N點序列。點序列。n 由于由于 是是在一個周期在一個周期內的內的N個等間隔頻率點上的樣值，個等間隔頻率點上的樣值， 不是真正不是真正的復倒譜，而是復倒譜的復倒譜，而是復倒譜 經(jīng)過以經(jīng)過以N為周為周期進行延拓的結果。期進行延拓的結果。)( nxp)( nx)( jeX),( )(kX 5.5.1 按定義計算按定義

24、計算n一般是無限長序列，因此各周期延拓一般是無限長序列，因此各周期延拓之間一定存在混疊。之間一定存在混疊。n由于由于的主要能量集中在低時段，當?shù)闹饕芰考性诘蜁r段，當N足夠大時，混疊的影響可忽略。足夠大時，混疊的影響可忽略。)( nx)( nx 5.5.1 按定義計算按定義計算n3. 復對數(shù)多值性問題的解決復對數(shù)多值性問題的解決n要求：要求：既唯一又連續(xù)。既唯一又連續(xù)。n解決方法：相位展開解決方法：相位展開在不連續(xù)的主值相位上疊加一個校正相位在不連續(xù)的主值相位上疊加一個校正相位來得到連續(xù)的瞬時相位，即來得到連續(xù)的瞬時相位，即)()()(kjXkXkXir 設設 )()()(kXjkXkXir

25、 )()(ln21| )(|ln)(22kXkXkXkXirr )()(kXAnglekXi )(kXi)()()(kCORkXARGkXAngle 5.5.1 按定義計算按定義計算 主值相位的計算主值相位的計算 校正相位的確定校正相位的確定 當當k=0， 當當k=1,2,.00)()()(arctg)()()(arctg)(ARGkXkXkXkXkXkXkXrrirri |)1()(| if) 1()1()( if2) 1()1()( if2) 1()(kXARGkXARGkCORkXARGkXARGkCORkXARGkXARGkCORkCOR0)0( COR 5.5.1 按定義計算按定義計

26、算n示例：示例：連續(xù)相位連續(xù)相位/相位主值相位主值/相位校正相位校正/0102030405060-20240102030405060-1010102030405060-202 5.5.2 最小相位序列復倒譜的計算最小相位序列復倒譜的計算n1. 幾個有用的結論幾個有用的結論設設x(n)為最小相位序列，則為最小相位序列，則ni) 可由它的偶序列完全恢復出，可由它的偶序列完全恢復出， 在在 處的值可由它的奇序列恢復出。處的值可由它的奇序列恢復出。 說明：設說明：設與與分別表示分別表示的的共軛偶部與共軛奇部，則共軛偶部與共軛奇部，則)( nx)( nx0 n22)()( )()()( )(*nxnxn

27、xnxnxnxoe)( nxe)( nxo)()()( nxnxnxoe )( nx5.5.2 最小相位序列復倒譜的計算最小相位序列復倒譜的計算由于由于x(n)為最小相位序列，為最小相位序列，為因果序為因果序列。因此列。因此 當當n0時，時， 當當n=0時，時， 當當n0時，時，)( nx22)( )()( )(nxnxnxnxoe0)( nx00)()( )(nxxnxoe5.5.2 最小相位序列復倒譜的計算最小相位序列復倒譜的計算綜上得綜上得其中其中)()(000)(0)(2)( nUnxnnnxnnxnxeee )()0( )()(000)0( 0)(2)( nxnUnxnnxnnxnxoo 000102)(nnnnU5.5.2