傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式

1、第9節(jié)* 傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級數(shù)還可以用復(fù)數(shù)形式表示，討論傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式將為學(xué)習(xí)傅里葉積分和傅里葉變換等作必要的準(zhǔn)備，而傅里葉積分和傅里葉變換則是電子技術(shù)的基本數(shù)學(xué)工具設(shè)周期為的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)為 (9.1)其中系數(shù)為 (9.2)利用歐拉公式，(9.1)式化為 (9.3)記 (9.4)則(9.3)式就表示為于是，的傅里葉級數(shù)可以更簡潔地表示為 (9.5)這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式為得出系數(shù)的表達(dá)式，將(9.2)式代入(9.4)式，得將已得的結(jié)果合并寫為 (9.6)(9.5)式與(9.6)式就是傅里葉系數(shù)的復(fù)數(shù)形式【例9.1】 已知周期為2的電壓信號函數(shù)將它展開成復(fù)數(shù)形式的傅立

2、葉級數(shù)解 此時由公式(9.6)得系數(shù) ()將求得的代入級數(shù)(9.5)，得時，的傅立葉級數(shù)收斂于習(xí)題13-91.將下列函數(shù)展開成復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù)(1)鋸齒波 ，周期為(2)全波整流波 ，周期為2.設(shè)周期函數(shù)周期為將其展開成復(fù)數(shù)形式的傅立葉級數(shù)，并求其和函數(shù)3. 設(shè)是周期為的周期函數(shù)，已知其傅立葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式為試寫出的其傅立葉級數(shù)的實數(shù)形式（三角形式）總 習(xí) 題 十 三1選擇題(1) 設(shè)常數(shù),則級數(shù) ( ).A.發(fā)散 B.絕對收斂 C.條件收斂 D.收斂性與的值有關(guān)*(2) 下列命題中正確的是 ( )A.若則.B.若且收斂,則收斂.C.若且收斂,則收斂.D.若且與均收斂, 則收斂(3) 設(shè)為

3、正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是A.若=0，則級數(shù)收斂.B.若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.C.若級數(shù)收斂，則.D.若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得(4) 設(shè)，則下列命題正確的是A.若條件收斂，則與都收斂B.若絕對收斂，則與都收斂C.若條件收斂，則與斂散性都不定D.若絕對收斂，則與斂散性都不定(5)設(shè),其中,，則等于A. B. C. D.2判別下列級數(shù)的斂散性:(1) ； (2) *(3) ；(4) 3討論下列級數(shù)是否收斂?如果收斂,是條件收斂還是絕對收斂?(1) ；(2) ；*(3) (為常數(shù))(4) ；*4設(shè),證明：(1) 存在；(2) 級數(shù)收斂5設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少,且發(fā)散，試討論級數(shù)的斂散性6設(shè),試證:對任意的常數(shù),級數(shù)收斂.7設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證明：級數(shù)絕對收斂8將函數(shù)展成的冪級數(shù)9求級數(shù)的和解 的和是冪級數(shù)在處的值。，記。，記。令得。10求級數(shù)的和11將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和.*12求冪級數(shù)（）的和函數(shù)及其極值*13設(shè)有冪級數(shù)。(1) 證明此冪級數(shù)的收斂區(qū)間是；(2) 設(shè)此冪級數(shù)的和函數(shù)是，求；(3)用初等函數(shù)表示解 （1）設(shè)的前項和是。則所以的收斂區(qū)間是。故的收斂區(qū)間是