負(fù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)特征及在流行病學(xué)研究中的應(yīng)用

1、負(fù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)特征及在流行病學(xué)研究中的應(yīng)用         09-08-27 15:21:00     作者：韓新煥    編輯：studa20【摘要】  給出了負(fù)二項(xiàng)分布的分解定理，進(jìn)一步研究了負(fù)二項(xiàng)分布的有關(guān)性質(zhì)及參數(shù) 的無偏一致估計(jì)，以及在流行病學(xué)該分布的生物學(xué)意義。 【關(guān)鍵詞】  負(fù)二項(xiàng)分布； 無偏一致估計(jì)； 應(yīng)用負(fù)二項(xiàng)分布是概率論中常用的重要的離散型隨機(jī)分布，它在醫(yī)學(xué)中主要用于聚集性疾病及生物、微生物、寄

2、生蟲分布模型等的研究。具體地說，當(dāng)個(gè)體間發(fā)病概率不相等可以擬合負(fù)二項(xiàng)分布，如單位人數(shù)內(nèi)某傳染病的發(fā)病人數(shù)，某地方病、遺傳病的發(fā)病人數(shù)等，這些均可通過負(fù)二項(xiàng)分布進(jìn)行處理。本文從概率論的角度闡述負(fù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)及參數(shù) 的最小方差無偏估計(jì)，并且以該分布在流行病學(xué)中應(yīng)用為例證討論了其生物學(xué)意義。    1  負(fù)二項(xiàng)分布的概率模型    負(fù)二項(xiàng)分布又稱帕斯卡分布（Pascal）,它有兩種基本模型1：    模型：假定每次試驗(yàn)可能的結(jié)果只有兩個(gè)：可歸結(jié)為成功或失敗，每次試驗(yàn)之間是獨(dú)立，每次成功的概率均為 ，

3、直到恰好出現(xiàn)r（指定的一個(gè)自然數(shù)）次成功所需試驗(yàn)次數(shù)X,則X的概率分布為：    p(X=K)=Cr-1k-1k-1(1-)k-r=Cr-1k-1-(1-)k-r    k=r,r+1(1)    模型：假定每次試驗(yàn)可能的結(jié)果只有兩個(gè)：可歸結(jié)為成功或失敗，每次試驗(yàn)之間是獨(dú)立，每次成功的概率均為 ，試驗(yàn)進(jìn)行到r次成功為止，記X為試驗(yàn)共進(jìn)行的次數(shù),則X的概率分布為3：    p(X=k)=Cr-1k+r-1k(1-)k    k=0,1,2,(2)&

4、#160;   此分布的概率是r(1-(1-)-r  的冪級(jí)數(shù)展開式的項(xiàng)，負(fù)二項(xiàng)分布由此而得名    記作 Xf(k,r,) ， 或 XNB(r,)    一個(gè)重要的特例是   r=1。   這時(shí)（2）成為    p(X=k)=(1-)k    k=0,1,2,(3)    稱為幾何分布。    2  性質(zhì)特征  &#

5、160; 為研究負(fù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)，我們先給出一個(gè)重要的結(jié)論：    引理： 設(shè)XNB(r,)，則其特征函數(shù)為x(t)=r(1-(1-)eit)-r    證明： x(t)=E（eitx)=i=0Cr-1i+r-1r(1-)i eitr    =i=0Cr-1i+r-1r(1-) e)rti    =ri=0Cr-1i+r-1(1-) ert)i    =r(1-(1-)eit)-r    定理1  設(shè): X

6、1,X2,Xr（3）的iid樣本，如果    X=ri=1Xi, 則X=ri=1XiNB(r,)    證明：因?yàn)閄1，X2，Xr獨(dú)立同分布，又有引理知 X=ri=1Xi的特征函數(shù)為：    (t)=r(1-(1-) eit)-r    =rk=0(-r)(-r01)(-r-k+1)k! (1-) eit)k(-1)keitr    =rk=0(r+k-1)!(r-1)!k! (1-)k eit(k+1)    =k

7、=0r(1-)k eit(k+r) Cr-1r+k-1    這正是 p(X=k)=Cr-1r+k-1(1-)k 的概率分布    則 X=ri=1XiNB(r,)    定理2     設(shè)：X=X1,X2,Xn)是（1）的iid樣本，則T（X）=ni=0XiNB(nr,),則有    p(T=k)=Cnr-1k-1nr(1-)k-nr    k=nr,nr+1,(4)   

8、證明：   設(shè) 的特征函數(shù)為f(t) ，那么    f(t)=x=reitxCr-1N-1N(1-)N-r =eit1-(1-)eitr    因?yàn)閤是 的iid樣本，所以Xi 的特征函數(shù)fi(t)=f(t),i=1,2,n    有特征函數(shù)的性質(zhì)得T的特征函數(shù)為:    ni=1fi(t)eit1-(1-)eitr    由于特征函數(shù)與概率分布唯一對(duì)應(yīng)，所以Tf(k,nr,) ，其概率分布便是（4）。  

9、  定理3  設(shè)：X=(X1，X2，Xn)是（1）的iid樣本，則    T（X）=nr-1ni=1Xi-1， 則它是 的最小方差無偏估計(jì)。    證明： 由定理2可知    E(T(X)=k=nrnr-1k-1Cnr-1k-1nr(1-)k-nr    =k-1=nr-1 C(nr-1)-1(K-1)-1 nr-1×(1-)(k-1)-(nr-1)    =    所以T(X)是 的無

10、偏估計(jì)。     09-08-27 15:21:00     作者：韓新煥    編輯：studa20    又由于E(T(X)= ,有切貝曉夫不等式，對(duì)>0, 有    p(|T(X)-|)V(T(X)2      而    V(T(X)=k=nrnr-1k-12Cnr-1k-1nr(1-)k-nr  

11、0; =2 k=nrnr-1k-1×k-2nr-2-1×C(nr-2)-1(k-2)-1nr-2(1-)k-nr    =2 k=nr1(k-1) (k-nr)(nr-2)×C(nr-2)-1(k-2)-1nr-2(1-)k-nr < 2nr-2  k=nr C(nr-2)-1(k-2)-1nr-2(1-)(k-2)-(nr-2)    =2nr-2    所以，對(duì)>0, 都有l(wèi)innp(|T(X)-|)=0 ，可見T(X)是 的一致估計(jì)。 &

12、#160;  又因?yàn)镋(T(X)= ,根據(jù) Lehmannscheff定理， 的最小方差無偏估計(jì)必存在，而T(X)=nr-1 ni=1Xi-1,只依賴T（X）= ni=1Xi , 即 T(X)=nr-1 ni=1Xi-1 是 的一致最小方差無偏估計(jì)。    3  負(fù)二項(xiàng)分布的最可能數(shù)和概率的最大值    如果Xk=p(X=k)=Cr-1k-1rqk-r  k=r+1,r+2,其中q=1-,則  當(dāng)r-q1-q不為整數(shù)時(shí)，k0=r-q1-q時(shí)為負(fù)二項(xiàng)分布的唯一最可能的數(shù)，即 k=k0時(shí)，p(X=k

13、0)達(dá)到最大值。    證明：  pkpk-1=Cr-1k-1rqk-rCr-1k-2rqk-1-r=q(k-1)k-r    =>1時(shí)，kpk-1,隨k增大，概率增大    <1時(shí)，k>r-q1-q, pk<PK-1,隨K增大，概率減少< p>     =1時(shí)，k=r-q1-q, pk=pk-1      當(dāng)r-q1-q不為整數(shù)時(shí)，則存在唯一k0=r-q1-q  滿足 

14、 r-q1-q-1< k0 <R-Q1-Q< p>     使  pk0-1< pk0>pk0+1，從而k0=r-q1-q是唯一最可能的數(shù)，即 k=k0時(shí)，p(X=k0)達(dá)到最大值。    4  流行病中實(shí)例分析    假設(shè)血吸蟲成蟲隨機(jī)地分布于人群中，即所有的個(gè)體均有同等的機(jī)會(huì)獲得新感染，將致成蟲在人群中呈Poisson分布。然而，由于暴露的危險(xiǎn)性不等、易感性不一致及可能存在的獲得性免疫等將導(dǎo)致感染的機(jī)會(huì)不等，而出現(xiàn)成蟲集中在某一部分的人群中。一些

15、可以直接通過驅(qū)蟲獲得人群蟲負(fù)荷分布的資料及某些尸檢資料均提示蠕蟲的成蟲(如蛔蟲、鉤蟲、曼氏血吸蟲、鞭蟲)在人群中的分布具有聚集塊。聚集塊內(nèi)病例個(gè)體的平均數(shù)又服從 分布。即：病例的數(shù)目H服從均數(shù)為 的poisson分布,由于 是變化的，假定其概率分布可用分布表示。于是對(duì)于給定的 ，條件概率為：    p(H=h|)=he-h!,   h=0,1,2,>0    此時(shí) 的概率密度函數(shù)為：    f()=() -1e-,>0,其中>0,>0 都是參數(shù)。當(dāng)和 變化時(shí)，可

16、產(chǎn)生一族分布曲線?？梢宰C明，Poisson 分布就是負(fù)二項(xiàng)分布。    因?yàn)?#160; ，ex= k=0 xkk!    H是離散型隨機(jī)變量， 是連續(xù)型隨機(jī)變量，H的邊際概率函數(shù)是：    p(H=h)=JF(Z0e-hh! ()-1ed JF)    =h!() JF(Z0+h-1e(1+)d JF)    =h!(k-1)! (+h-1)!(+1)h+    =Chh+-1 (+1) (1-+1)h 

17、   =Chh+k-1 k (1-)h, (j=0,1,2)    其中，0<<+1<1, k=,   此即為負(fù)二項(xiàng)分布。    5  討論    負(fù)二項(xiàng)分布是當(dāng)poisson中參數(shù)服從 分布時(shí)所得的復(fù)合分布，分布中的參數(shù) 是不定的變化的，且其變化是有規(guī)律的。呈現(xiàn)的特點(diǎn)是病例聚集群內(nèi)病例個(gè)體的密度服從 分布，病例個(gè)體間的流行病學(xué)聯(lián)系與 分布有關(guān)，由于 分布的概率密度函數(shù)及圖形為：    f(x)=() x-1e-x,  x>0    0,        x0    因此，負(fù)二項(xiàng)分布來源于poisson分布，它改進(jìn)了poisson的等概條