初中數(shù)學學習速成

1、初中數(shù)學學習速成第一章 實數(shù)第1頁共17頁1第1頁共17頁#一、重要概念1數(shù)的分類及概念數(shù)系表：正整數(shù)（有限或無限循環(huán)性數(shù)）w 0-負整數(shù)-正分數(shù)-負分數(shù)第1頁共17頁#廠正無理數(shù)I無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）負無理數(shù)說明：“分類”的原則：1）相稱（不重、不漏）2）有標準第1頁共17頁#第1頁共17頁#a2(a為切實數(shù)）第1頁共17頁#第1頁共17頁# a (a> 0)性質：若干個非負數(shù)的和為 0，則每個非負擔數(shù)均為 0。3.倒數(shù):定義及表示法 性質：A.a 豐 1/a （土 1） ;B.1/a 中，O;C.O v av 1 時 1/a > 1;a> 1 時，1/a v 1;D.

2、積為 1。4. 相反數(shù)：定義及表示法性質：A.a豐0時，-a;B.a與-a在數(shù)軸上的位置；C.和為0,商 為-1。5. 數(shù)軸：定義（“三要素”）作用：A.直觀地比較實數(shù)的大小；B.明確體現(xiàn)絕對值意義；C.建立點與實數(shù) 的一一對應關系。6. 奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)（正整數(shù)一自然數(shù)）定義及表示：奇數(shù)：2n-1偶數(shù)：2n （ n為自然數(shù)）7絕對值：定義（兩種）：代數(shù)定義：a（a > 0）I a | =彳a（a<0）幾何定義：數(shù)a的絕對值頂?shù)膸缀我饬x是實數(shù)a在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離。Ia I > 0,符號“II”是“非負數(shù)”的標志 ；數(shù)a的絕對值只有一個 處理任何類型的題目，只

3、要其中有“II”出現(xiàn)，其關鍵一步是去掉“II” 符號。二、實數(shù)的運算1. 運算法則（加、減、乘、除、乘方、開方）2. 運算定律（五個一加法乘法交換律、結合律；乘法對加法的 分配律）3. 運算順序：A.高級運算到低級運算；B.（同級運算）從“左”1到“右”（如5十1 X 5） ；C.（有括號時）由“小”到“中”到“大”。5三、應用舉例（略） 附：典型例題1. 已知：a、b、x在數(shù)軸上的位置如下圖，求證：Ix-a I + I x-b I=b-a.分類:代數(shù)式無理式整式 有理式i分式單項式.多項式a xb 已知：a-b=-2且ab<0, （a* 0, b豐0）,判斷a、b的符號。第二章 代數(shù)式

4、 重點代數(shù)式的有關概念及性質，代數(shù)式的運算 內(nèi)容提要、重要概念第1頁共17頁3第1頁共17頁#代數(shù)式與有理式第1頁共17頁#用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的式子，叫做代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式。整式和分式統(tǒng)稱為有理式。1. 整式和分式含有加、減、乘、除、乘方運算的代數(shù)式叫做有理式。沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。_有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。_2. 單項式與多項式?jīng)]有加減運算的整式叫做單項式。（數(shù)字與字母的積一包括單獨的一個數(shù)或字母）幾個單項式的和，叫做多項式。說明：根據(jù)除式中有否字母，將整式和分式區(qū)別開；根據(jù)整式中有否加減運算，

5、把單項式、多項式區(qū)分開。進行代數(shù)式分類時，是以所給的代數(shù)式為對象，而非以變形后 的代數(shù)式為對象。劃分代數(shù)式類別時，是從外形來看。如，2=x, - X2 = I x I 等。X3. 系數(shù)與指數(shù)區(qū)別與聯(lián)系：從位置上看；從表示的意義上看4. 同類項及其合并條件：字母相同；相同字母的指數(shù)相同合并依據(jù)：乘法分配律5. 根式表示方根的代數(shù)式叫做根式。含有關于字母開方運算的代數(shù)式叫做無理_注意：從外形上判斷；區(qū)別：.37是根式，但不是無理式（是無理數(shù)） 。6. 算術平方根正數(shù)a的正的平方根（ a a >0 與“平方根”的區(qū)別）;算術平方根與絕對值 聯(lián)系：都是非負數(shù)， a2 = I a I 區(qū)別：|a|

6、中，a為一切實數(shù)；a中，a為非負數(shù)。7. 同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化化為最簡二次根式以后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。滿足條件：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含有開得盡方的因數(shù)或因式。把分母中的根號劃去叫做分母有理化。8. 指數(shù) ay a=an （ an 幕，乘方運算）n個a>0時，an >0;av0時，an > 0 （n是偶數(shù)），an v 0 （n是奇數(shù)）零指數(shù)：a0 =1 （0）負整指數(shù)：a _p=1/ ap （0,p 是正整數(shù)）二、運算定律、性質、法則1 分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則2. 分式的性質基本性質： b = bm

7、 （0）a am符號法則：一 P二二b = 2a a-a繁分式：定義；化簡方法（兩種）3 整式運算法則（去括號、添括號法則）4 .幕的運算性質：am an =am n ;am十a(chǎn)n=am；（am）n = amn；nn n na n a（ab） =a b ；（一） 孑 b bn技巧：（b）申=（a）pa b5. 乘法法則：單X單；單X多；多X多。6. 乘法公式：（正、逆用）（a 二 b）2 = a2 二 2ab b2（a+b） （ a-b） =a2 -b2（a± b） （a2 - ab b2） =a3 二 b37. 除法法則：單十單；多十單。&因式分解：定義；方法：A.提公因式

8、法；B.公式法；C.十字相乘法；D.分組分解法;E.求根公式法。9 .算術根的性質：Pa2 = a ；（需）2 = a（a 色 0） ； JOb = 7a Jb （a > 0,b >'a4a0）；（a > 0,b > 0）（正用、逆用）'、 b b;乘、除法法則；分母有理化：A.1 ；B、a；根式運算法則：加法法則（合并同類二次根式）第1頁共17頁7第1頁共17頁#11科學記數(shù)法：a 10n （1< av 10,n是整數(shù)=三、應用舉例（略）四、數(shù)式綜合運算（略）第三章 統(tǒng)計初步重點內(nèi)容提要一、重要概念1. 總體：考察對象的全體。2. 個體：總體中每

9、一個考察對象。3. 樣本：從總體中抽出的一部分個體。4. 樣本容量：樣本中個體的數(shù)目。5. 眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。6. 中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處在最中間位置的一個數(shù)（或最中間位置的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）二、計算方法1.樣本平均數(shù)：_ 1 ' 'X（X1 X2 亠 亠 Xn）；若 X1 =X1 - a , x2 = x2 - a，,nxn = xn -a，則x = x - a （a 常數(shù)，x1 , x2，xn接近較整的常數(shù)a）;加權平均數(shù):-x1 f1x2 f2x =n十fk平均數(shù)是刻劃數(shù)據(jù)的集中趨勢（集中位置）的特征數(shù)。通常用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)，

10、樣本容量越大，估計越準確。2 .樣本方差： S2 二丄（論 - X）2 （x2 - X）2 ，（Xn - X）2；若 n2 1 ' 2 '2'2' 2禺=禺a(chǎn), x2= x2a,，xn=xna,則 s =（x1+x2+xn）nx （ an接近X1、X2、Xn的平均數(shù)的較“整”的常數(shù)）；若X1、X2、Xn較“小”較“整”，第1頁共17頁92 1 2 2 2 2則s2（XiX2 - Xn ） - nx ；樣本方差是刻劃數(shù)據(jù)的離散程度（波動大?。﹏的特征數(shù)，當樣本容量較大時，樣本方差非常接近總體方差，通常用樣本方差去估計總體3 .樣本標準差：S = S2三、應用舉例（

11、略）第四章 直線形重點相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、性質。內(nèi)容提要一、直線、相交線、平行線1 線段、射線、直線三者的區(qū)別與聯(lián)系從“圖形”、“表示法”、“界限”、“端點個數(shù)”、“基本性質”等方面加以分析。2 .線段的中點及表示3 .直線、線段的基本性質（用“線段的基本性質”論證“三角形兩邊之和大于第三 邊”）4 .兩點間的距離（三個距離：點 -點；點-線；線-線）5. 角（平角、周角、直角、銳角、鈍角）6. 互為余角、互為補角及表示方法7. 角的平分線及其表示&垂線及基本性質（利用它證明“直角三角形中斜邊大于直角邊”）9. 對頂角及性質10. 平行線及判定與性質（互逆）

12、（二者的區(qū)別與聯(lián)系）11. 常用定理：同平行于一條直線的兩條直線平行（傳遞性）；同垂直于一條直 線的兩條直線平行。12. 定義、命題、命題的組成13. 公理、定理14. 逆命題二、三角形分類：按邊分；按角分1. 定義（包括內(nèi)、外角）2 .三角形的邊角關系：角與角：內(nèi)角和及推論；外角和；n邊形內(nèi)角和；n邊形外角和。邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。角與邊： 在同一三角形中，等邊/等角大邊Ja大角小邊=第6頁共17>頁小角63 三角形的主要線段討論：定義xx線的交點一三角形的x心性質 高線中線角平分線中垂線中位線一般三角形特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形4

13、特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形）的判定 與性質5 全等三角形一般三角形全等的判定（SAS ASA AAS SSS特殊三角形全等的判定：一般方法專用方法6 三角形的面積一般計算公式性質：等底等高的三角形面積相等。7. 重要輔助線中點配中點構成中位線；加倍中線；添加輔助平行線&證明方法直接證法：綜合法、分析法間接證法一反證法：反設歸謬結論證線段相等、角相等常通過證三角形全等證線段倍分關系：加倍法、折半法證線段和差關系：延結法、截余法證面積關系：將面積表示出來三、四邊形分類表：1. 一般性質（角）內(nèi)角和：360°順次連結各邊中點得平行四邊形。推論1:

14、順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。推論2:順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。外角和：360°2 特殊四邊形研究它們的一般方法：對角線第I面積対稱性軸對稱中心對稱平行四邊形、矩形、菱形、正方形 ；梯形、等腰梯形的定義、性質和判定 判定步驟：四邊形T平行四邊形T矩形T正方形I菱形一一f對角線的紐帶作用：四邊形相等且互相平分互相平分4平行四邊形垂直相等且互相垂直垂直相等菱形互相垂直平分互相垂直平分且相等3. 對稱圖形軸對稱（定義及性質）；中心對稱（定義及性質）4 有關定理：平行線等分線段定理及其推論1、2 三角形、梯形的中位線定理 平行線間的距離處處相等。（如，找下圖中

15、面積相等的三角形）5 .重要輔助線：常連結四邊形的對角線 ；梯形中常“平移一腰”、“平移對角線”、“作高”、“連結頂點和對腰 ，""：.一' 中點并延長與底邊相交”轉化為三角形。6 作圖：任意等分線段。四、應用舉例（略）第五章 方程（組）重點一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法；方程的有關應用題（特別是行程、工程問題）內(nèi)容提要、基本概念1. 方程、方程的解（根）、方程組的解、解方程（組）2. 分類：有理方程Y 方程-廣整式方程V 第8頁共一次方程二次方程J高次方程無理方程第11頁共17頁#二、解方程的依據(jù)一等式性質1. a=b -> a+c=b+c2.

16、 a=b -> ac=bc （c 豐 0）三、解法1.一元一次方程的解法：去分母t去括號t移項t合并同類項t 系數(shù)化成1t解。2 .元一次方程組的解法：基本思想：“消元”方法：代入法加減法四、一元二次方程1 .定義及一般形式：ax2 bx c = 0（a = 0）2 .解法：直接開平方法（注意特征）配方法（注意步驟一推倒求根公式）/ 2公式法： 捲2 = b 八 b4ac （b2 - 4ac啟0）2a因式分解法（特征：左邊 =0）3 .根的判別式：厶-b2 -4acbc4 .根與系數(shù)頂?shù)年P系：捲* X2 = - 一，為，X2 =aa次方程是：逆定理：若x1 xm, x1x2二n ,貝y以

17、為根的一元x2 -mx n = 0。5 常用等式：x-|2 xf = （x1 x2） 2x1x2（X<|X2）2 = （x1 X2）24恥2五、可化為一元二次方程的方程1.分式方程定義亠八廠基本思想：分式方程.整式方程36 9y + 2基本解法：去分母法換元法（如，仝 2 = 7 ）x+1x 2驗根及方法2 無理方程定義基本思想：乘方無理方程有理方程基本解法：乘方法（注意技巧?。Q元法（例，2jx2 -9+17=x2）驗根及方法3. 簡單的二元二次方程組由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。六、列方程（組）解應用題概述列方程（組）解應用題是中學數(shù)學聯(lián)系實

18、際的一個重要方面。其具體步驟是：審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相 等關系是什么。設元（未知數(shù)）。直接未知數(shù)間接未知數(shù)（往往二者兼用）。一般來說，未知數(shù)越多，方程越易列，但越難解。用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關的量。尋找相等關系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出），列方程。一般地，未知數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)是相同的。解方程及檢驗。答案。綜上所述，列方程（組）解應用題實質是先把實際問題轉化為數(shù)學問題（設元、列方 程），在由數(shù)學問題的解決而導致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中, 列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。常用

19、的相等關系1. 行程問題（勻速運動）C發(fā)）：相遇處BJ乙A 甲tC乙TB（相遇處）（甲） A乙tB（相遇處）第10頁共17頁基本關系：s=vt相遇問題（同時出 A甲Ts甲 +s乙 = Sab ； t 甲=t乙而后在B處10追及問題（同時出發(fā)）：追上甲，則水中航行：V順二船速水速逆二船速-水速2. 配料問題：溶質=溶液X濃度溶液=溶質+溶劑3 增長率問題：an =?。? _r）n4 工程問題：基本關系：工作量=工作效率x工作時間（常把工作量看著單位“1”。5 幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。注意語言與解析式的互化如,“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到

20、） ”、“同時”、“擴大為（到） ”、“擴大了”、 又如，一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,個位數(shù)字為c,則這個三位數(shù)為：100a+10b+c，而不是 abc。注意從語言敘述中寫出相等關系。女口，x比y大3,貝U x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3,貝U x-y=3。 注意單位換算女口，“小時” “分鐘”的換算;s、v、t單位的一致等。七、應用舉例（略）第六章一元一次不等式（組）重點一元一次不等式的性質、解法內(nèi)容提要1 定義：a> b、av b、a> b、a< b、a* b。2 一元一次不等式：ax > b、ax v b、ax > b、

21、ax< b、ax* b（a 豐 0）。3 一元一次不等式組：4 不等式的性質： a>b-> a+c>b+c a>b -> ac>bc（c>0） a>b -> ac<bc（c<0） （傳遞性）a>b,b>c t a>c a>b,c>d ta+c>b+d.5 一元一次不等式的解、解一元一次不等式6 一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組（在數(shù)軸上表示解集）7 應用舉例（略）第七章 相似形重點相似三角形的判定和性質內(nèi)容提要一、本章的兩套定理第一套（比例的有關性質）：第11頁共17頁17=ad

22、 = bc= b d（比例基本定理）廠反比性質:更比性質:I合比性質:m（b d川汕n =0） = n等比性質a - c：；'川 mb d：；川n涉及概念：第四比例項比例中項比的前項、后項，比的內(nèi)項、外項黃金 分割等。角 形相 似相似基本定理Rt 定理3定理2定理1第二套：注意：定理中“對應”二字的含義；平行t相似（比例線段）7平行。二、相似三角形性質1. 對應線段；2 .對應周長；3 .對應面積。三、相關作圖作第四比例項；作比例中項。四、證（解）題規(guī)律、輔助線1. “等積”變“比例”，“比例”找“相似”。2 .找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。/、am cm，

23、n = nbn dn-=m，- =m-(m=m,n b n d n3 添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。4 對比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k；對于等比問題，常用處理辦法是設“公比”為 k。5 對于復雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“抽”出來的辦法處理。五、應用舉例（略）第八章函數(shù)及其圖象重點正、反比例函數(shù)，一次、二次函數(shù)的圖象和性質。內(nèi)容提要一、平面直角坐標系1. 各象限內(nèi)點的坐標的特點2 .坐標軸上點的坐標的特點3 .關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特點4 .坐標平面內(nèi)點與有序實數(shù)對的對應關系二、函數(shù)1. 表示方法：解析法；列表法；圖象法。2 .

24、確定自變量取值范圍的原則：使代數(shù)式有意義；使實際問題有意義。3 .畫函數(shù)圖象：列表；描點；連線。三、幾種特殊函數(shù)（定義t圖象t性質）1 .正比例函數(shù)定義：y=kx（k豐0） 或y/x=k。圖象：直線（過原點）性質：k>0,k<0,2. 一次函數(shù)定義：y=kx+b（k豐0）圖象：直線過點（0,b ）與y軸的交點和（-b/k,0 ）與x軸的交點。圖象的四種情況：3. 二次函數(shù)定義：y =ax2 bx c（a = 0）（般式）y =a(xh)2k(a = 0)(頂點式)特殊地，y =ax2（a =0）, y = ax2 k（a 0）都是二次函數(shù)。圖象：拋物線（用描點法畫出：先確定頂點、對

25、稱軸、開口方向，再對稱地描點）2 2y 二 ax bx c( 0)用配方法變?yōu)?y 二 a(x - h) - k(a = 0)，則頂點為(h,k)對稱軸為直線 x=h;a>0時，開口向上;a<0時，開口向下。性質：a>0時，在對稱軸左側，右側 ;a<0時，在對稱軸左側，右側。4. 反比例函數(shù)k 1定義：ykx 或xy=k（k豐0）。x圖象：雙曲線（兩支）一用描點法畫出。性質：k>0時，圖象位于，y隨x;k<0時，圖象位于，y隨x;兩支 曲線無限接近于坐標軸但永遠不能到達坐標軸。四、重要解題方法1. 用待定系數(shù)法求解析式 （列方程組求解）。對求二次函數(shù)的解析式

26、， 要合理選用一般式或頂點式，并應充分運用拋物線關于對稱軸對稱的 特點，尋找新的點的坐標。如下圖：2禾U用圖象一次（正比例）函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)中的 k、b;a、b、c 的符號。第九章重點解直角三角形解直角三角形六、應用舉例（略）內(nèi)容提要一、三角函數(shù)1 .定義：在 Rt ABC中，/ C=Rt/，貝U sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA=.2. 特殊角的三角函數(shù)值：0 °30°45°60°90°sinacosa性質：k>0,k<0,第13頁共17頁19tg a/ctga/3. 互余兩角的三角函數(shù)關系： sin（90 ° - a ）=COS a ;4. 三角函數(shù)值隨角度變化的關系5. 查三角函數(shù)表二、解直角三角形1. 定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）t所有未知的邊和角。2.依據(jù)：邊的關系：a2 b2 = c2角的關系：A+B=90 邊角關系：三角函數(shù)的定義。注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法。三、對實際問題的處理34 .在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列方程的辦法解決。四、應用舉例（略） 第十章 圓重點圓的重要性質；直線與圓、圓與圓的位置關系；與圓有關的角的定理 與圓有關的比例線段定