北京師范大學(xué)初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料(幾何)與答案”(教材組組織編寫)

1、第七章多邊形知識梳理1知識結(jié)構(gòu)及要點(diǎn)歸納基本概念及有關(guān)件質(zhì)H芬邊形的概盃1彳務(wù)邊底的外角和卜宜角梯形-閤序的金等與相似 圖形的平移、旋轉(zhuǎn) 軸對稱*屮心對稱 及陛標(biāo)變換EKW-平面團(tuán)形的密研一（1）怎樣認(rèn)識多邊形的有關(guān)概念 一般地，有幾條不在同一條直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形稱為n邊形,又稱為多邊形（我們現(xiàn)在研究的多邊形僅限于凸多邊形） 如果多邊形的名邊都相等，各內(nèi)角也都相等，那么就稱它為正多邊形. 從n邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，一共可引n n-3條對角線，這些對角線的每一條都重1復(fù)一次，故n邊形的對角線有 一n n-3條.2多邊形的內(nèi)角和為 n- 2 180 如圖一在n邊形內(nèi)任取一點(diǎn) 0與

2、各頂點(diǎn)連接，共得到 n個三角形，這n個三角形的內(nèi)角和為 n 180 ,再減去以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的一個周角，就得到n邊形的內(nèi)角和為 n-2 180 .圖7-1如圖2,過n邊形某一個頂點(diǎn)引對角線，可將n邊形分成 n-2個三角形，所以這些三角形的內(nèi)角和為n-2 180，也就是多邊形的內(nèi)角和.'f圖 7 - 2n邊形的外角和為360 ° .n邊形有n個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處內(nèi)、外角之和為180°,共n 180 ',減去n-2 180 , 得外角和為360 °.(2)怎樣理解平面圖形的密鋪？當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角和加在一起恰好組成一個周角時，就能拼成一個既

3、不留下空隙，又不相互重疊的平面圖形.用相同的正多邊形密鋪.若有k個正多邊形密鋪，有 k (n 一2)180 = 360 ,n或4,解得n° k -2=1; k =6;或u4：一2"或“洱k_2 = 4; k_2 = 2;即n -2 k -2 =4，由n -2和k -2都是正整數(shù)，得因此用一種正多邊形能做成地面鋪設(shè)的有正三角形、正方形和正六邊形，如圖所示用多種邊長相等的正多邊形進(jìn)行密鋪.如用邊長相等的正三角形與正方形進(jìn)行密鋪,設(shè)在一個頂點(diǎn)周圍有 m個正三角形的角,n個正方形的角，則有m 60 ： n 9360 , 化簡得：2m，3n -12 , m、n只能取正整數(shù)解如圖所示有

4、兩種拼法.解得：m 3,如圖所示有兩種拼法.小=2.(1)R(2)圖7-4可以仿照以上研究方法，去研究其它多邊形進(jìn)行密鋪的規(guī)律.平行四邊形是我們常見的一種四邊形，它具有十分和諧的對稱美，比如內(nèi)角和等于360，外交和也等于360，還有很多特別有趣的性質(zhì). 平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形相鄰的兩個角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分；平行四邊形市中心對稱圖形；夾在兩條平行線間的平行線段長度相等. 平行四邊形的識別：根據(jù)定義兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

5、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.在應(yīng)用平行四邊形的知識時， 有時需要直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)求角的度數(shù)，線段長度及判斷它們相等關(guān)系或平行關(guān)系， 有時需要先判定一個四邊形是平行四邊形， 然后再用平 行四邊形的性質(zhì)解決其它問題.（4）怎樣認(rèn)識和把握幾種特殊平行四邊形及它們之間的關(guān)系？矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì)，當(dāng)然 也有一般平行四邊形所不具備的特性它們的關(guān)系如下：矩形的性質(zhì)及其識別.有一個角是直角的平行四邊形叫矩形.矩形的特殊性質(zhì)：矩形的四個角都是直角；矩形的對角線相等；矩形是軸對稱圖形（當(dāng)然也市中心對稱圖形）推論

6、一一直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半.矩形的識別方法是：用矩形定義一個角是直角的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形，對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；對于矩形，常用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，如勾股定理解決有關(guān)線段或角的計算問題. 菱形的性質(zhì)及其識別.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的特殊性質(zhì)有：菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形（當(dāng)然也是中心對稱圖形）在菱形中有時也利用對角線構(gòu)造出直 角三角形，解決一些問題，如：設(shè)菱形邊長為x,兩條對角線分別為a、b則S菱形二2 ab 正方形的性質(zhì)及其識別.

7、有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.正方形除了具備平行四邊形的性質(zhì)外，還既具有矩形的性質(zhì)、又具有菱形的性質(zhì)，此 外還具有下面的特性：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等;正方形的對角線相等，并且相互垂直平分；每條對角線平分一組對角；正方形是軸對稱圖形，（當(dāng)然邊也是中心對稱圖形）矩形、菱形、正方形對角線交點(diǎn) 分別是它們各自的對稱中心.正方形的識別方法：用正方形定義；有一組鄰邊相等的矩形是正方形（先必須判斷矩形）有一個角是直角的菱形是正方形（必先判定是菱形）（5）梯形及等腰梯形有哪些性質(zhì)？怎樣識別梯形及等腰梯形？ 關(guān)于梯形一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，平行的兩條邊

8、叫做梯形的底，不平行的兩條邊叫做梯形的腰， 兩底的距離叫做梯形的高， 另外，連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做 梯形中位線.它平行于兩底并且等于兩底和的一半.一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.兩腰相等的梯形叫做等腰梯形. 等腰梯形的性質(zhì)及識別：性質(zhì)有：等腰梯形在同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等；等腰梯形是軸對稱圖形，過兩底中點(diǎn)的直線是它的對稱軸.識別方法：用等腰梯形的定義；在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形.（6）梯形常做的輔助線有哪些？在解決梯形問題時，常常要視已知條件來添加某些輔助線，將梯形轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形（或矩形），從而使分散的條件相對集中.圖

9、47 _ 5（8）當(dāng)已知條件中含梯形兩腰時可以延長兩腰，把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決； 或平移一腰或過上底兩端點(diǎn)作高， 把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形來解， 如圖（1）和圖（2）、 圖（3）.當(dāng)已知條件中含梯形對角線時，可平移一條對角線，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或三角 形來解如圖（4）.可將頂點(diǎn)與這中點(diǎn)連接與另一底相交于一點(diǎn),5）.可把一頂點(diǎn)與中點(diǎn)連接并延長與另一底相交,把梯形問題轉(zhuǎn)化或過這腰中點(diǎn)作 當(dāng)已知對角線中點(diǎn)時， 為三角形問題來解決，如圖（ 當(dāng)已知一腰上中點(diǎn)時，梯形另一腰的平行線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形或三角形問題來解；或取梯形另一腰的中點(diǎn)，構(gòu)成梯形中位線問題如圖（6）、圖（7）、圖（8）.（7）怎樣理解多邊形的全等與相似特征？在幾何學(xué)中，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形，在相似形的概念中， 重要的是形狀相同，而大小則不一定相同.（周長之比等于對應(yīng)邊的如果兩個多邊形相似，則它們的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.比，面