對坐標(biāo)的曲線積分(1)

1、第1章 集 合第2節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分設(shè)是曲線的兩個端點(diǎn)。曲線有兩個方向（始點(diǎn)終點(diǎn)）或。我們選定其中一個方向，這樣就是一個有向曲線。對坐標(biāo)的曲線積分都是在有向曲線上積分。而以前對弧長的曲線積分是無方向的積分曲線。2.1 對坐標(biāo)的曲線積分的概念和性質(zhì)背景實(shí)例?！纠?.1】設(shè)質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)處受變力作用從點(diǎn)沿光滑曲線移動到點(diǎn)，求力所作的功（如圖2.1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的路徑是有方向的曲線。我們?nèi)匀徊捎靡韵滤膫€步驟計(jì)算:(1) 分割：依次從始點(diǎn)到終點(diǎn)插入分點(diǎn)圖2.1將分為個小弧段，（）(2) 近似：記小弧段的弧長記為，力在上做的功為（是無法算得的）。在弧段上任取一點(diǎn)，把上的力近似視為常力，又用點(diǎn)處的切向位移（這里為

2、曲線上點(diǎn)處的與方向一致的單位切向量）近似代替實(shí)際位移曲線弧，則。(3) 求和：總功(4) 取極限：記（當(dāng)時每個）。變力沿所作的功應(yīng)為（誤差趨于0）上式右端正好是數(shù)量值函數(shù)在曲線上的第一類曲線積分，即 （*）其中是在點(diǎn)與方向一致的單位切向量。象這樣用積分（*）計(jì)算的例子還有千千萬萬。為了一次性講完千千萬萬個例子。我們給出下面的定義：定義2.1 設(shè)為一段有向曲線，為在上有定義的有界向量函數(shù)(即在上有界)，為在處與方向一致的單位切向量。其中，稱為被積向量函數(shù)，稱為積分變量，有向曲線稱為積分曲線，向量稱為向徑微分。又將對坐標(biāo)的曲線積分稱為第二類曲線積分。當(dāng)是作用力時，做功。當(dāng)具有千千萬萬實(shí)際意義時，也

3、相應(yīng)有千千萬萬實(shí)際意義。在實(shí)際問題中，是要求量微元，而是要求的量。比如說，是力與位移元素的數(shù)量積，它表示功微元而是力做的功。從定義可知，向量值函數(shù)在定向曲線上的第二類曲線積分就是數(shù)量值函數(shù)在曲線上的第一類曲線積分。若，（這里,是切向量的方向角，它們都是的函數(shù)），則，從而積分 (2.1)13由圖2.2可看出：，（由于可能正可能負(fù)，所以可能正可能負(fù)）。所以記為，記為。即。圖2.2則得第二類曲線積分的另一種表達(dá)式。右邊是兩個第二類曲線積分。對同一個函數(shù)，要注意區(qū)分積分，的含義前兩是對坐標(biāo)的曲線積分，而最后的是對弧長的曲線積分。當(dāng)在分段光滑曲線上連續(xù)時，存在第二類曲線積分也有與定積分類似的性質(zhì)：性質(zhì)1

4、（方向性），其中表示的相反方向（）性質(zhì)2（線性性）設(shè)為常數(shù)，則性質(zhì)3(積分區(qū)域可加性)設(shè)（與至多端點(diǎn)相交，方向一致），有（）在中的第二類曲線積分的概念和性質(zhì)都可以推廣到中。定義2.1' 設(shè)為空間中一段有向曲線，為在上有定義的有界向量函數(shù)(即在上有界)，為在處與方向一致的單位切向量。其中，稱為被積向量函數(shù)，稱為積分變量，有向曲線稱為積分曲線，向量稱為向徑微分。是力與位移元素的數(shù)量積，它表示功微元而是力做的功。如果 ，則，（由于可能正可能負(fù)，所以可能正可能負(fù)）。由此關(guān)系，可把第一類和第二類曲線積分互化。積分變量總在積分曲線上變化。當(dāng)與軸垂直時（因?yàn)椋?；?dāng)與軸垂直時；當(dāng)與軸垂直時。2.2 對

5、坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法我們用表示參數(shù)對應(yīng)曲線的始點(diǎn)，參數(shù)對應(yīng)曲線的終對點(diǎn)。坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算也可歸結(jié)為定積分的計(jì)算：（測）定理2.1設(shè)平面有向曲線的參數(shù)方程為：，,連續(xù)且與在上連續(xù)，則 (2.2)證 向量當(dāng)時指向增加的方向，當(dāng)時指向增加的反向。所以曲線割線向量的方向與增加的方向始終一致。讓，它的極限向量即切向量的方向與增加的方向始終一致（希望很好理解與記住這一屬性，以后常用它）。所以其中記。，所以當(dāng)時我們有當(dāng)時我們有。 方法總結(jié)：把代入，下限是始點(diǎn)參數(shù)，上限是終點(diǎn)參數(shù)（不管哪個大哪個?。?。小技巧：如果，則用作參數(shù)。（如果呢？）類似地，對空間曲線：有當(dāng)時我們有當(dāng)時我們有當(dāng)時我們有方法總結(jié)：把代入

6、，下限是始點(diǎn)參數(shù)，上限是終點(diǎn)參數(shù)（不管哪個大哪個?。Ｐ〖记桑喝绻瑒t用作參數(shù)。（如果呢？等）注意：我們只用曲線的參數(shù)方程計(jì)算曲線積分。圖2.3【例2.2】計(jì)算，如圖2.3：(1) 直線；(2) 圓弧；(3) 折線解 (1) 為：,即,，有(2) 為：，有(3) ； ，注意：此例中三條路徑起點(diǎn)與終點(diǎn)相同，路徑不一樣，曲線積分值不相等一般地，曲線積分的結(jié)果與路徑有關(guān)。【例2.3】計(jì)算，與上例相同解 各曲線的參數(shù)方程見上例。(1) 為：,，有(2) 為：，有(3) ； ，注意：由例2.3可見，盡管沿不同的積分路徑，曲線積分值卻相等在特殊條件下，對坐標(biāo)的曲線積分只與始終點(diǎn)有關(guān)，與路徑無關(guān)。【例2.4

7、】求，從到解，從而有思考題：1什么條件下當(dāng)，時有（與軸方向一致。）2的弧長是否正確?為什么? （不對。因?yàn)椴皇腔￠L微分。）3積分，取逆時針方向，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，關(guān)于軸對稱，所以是否正確？為什么？（不對。不只是帶符號，也帶符號。）習(xí)題112A類1設(shè)為面內(nèi)軸上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線，證明：2計(jì)算下列對坐標(biāo)的曲線積分：(1)，其中為圓周（取逆時針方向）；*(2)，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線；*(3)，其中為螺旋線段:，；(4)，其中為有向閉折線，這里的依次為點(diǎn),；(5)，其中是拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段??；(6)，其中為正向圓周3計(jì)算下列線積分：(1) ,為球面在第一卦限部分的邊界曲線，方向與球面在第一卦限的外

8、法線方向構(gòu)成右手系；(2) ，其中是以，為頂點(diǎn)的正方形閉路取逆時針方向解 （2），4計(jì)算，其中是：(1) 拋物線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段??；*(2) 從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段；(3) 先沿直線從點(diǎn)到點(diǎn)，然后再沿直線到點(diǎn)的折線；(4) 曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段弧5計(jì)算曲線積分,其中是曲線,從軸正向看是順時針方向6在過點(diǎn)和的曲線族中，求一條曲線，使沿該曲線從到的積分的值最小*7設(shè)力，今有一質(zhì)點(diǎn)沿曲線從點(diǎn)移動到點(diǎn)，求所作的功解 。8設(shè)軸與重力的方向一致，求質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)從位置沿直線移到時重力所作的功9把對坐標(biāo)的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中為：(1) 在面內(nèi)沿直線從點(diǎn)到點(diǎn)；(2) 沿拋物線從點(diǎn)到點(diǎn)；(3) 沿上半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)解 ，。所以*10設(shè)為曲線上相應(yīng)于從0