數(shù)學問題和數(shù)學問題解決

1、四川省涼山州教育科學研究所諶 業(yè) 鋒l 涼山州專家型教師 西昌學院副教授l 涼山州學術(shù)和技術(shù)帶頭人l 中小學教育研究室主任 中學高級教師歡迎訪問 業(yè)鋒教育在線 http:/http:/諶業(yè)鋒主頁 http:/http:/ 電話：0834小靈通 3687163 E-mail：四川省涼山州教育科學研究所 諶業(yè)鋒l一、數(shù)學問題l二、數(shù)學問題解決l三、數(shù)學問題解決的教學策略l（一）對（一）對“數(shù)學問題數(shù)學問題”的理解的理解l問題是數(shù)學的心臟。著名數(shù)學教育家波利亞在數(shù)學的發(fā)現(xiàn)一書中曾給出問題明確含義，并從數(shù)學角度對問題作了分類。l他指出，所謂“問題問題”就是意味著要去尋就是意味著要去尋找適當?shù)男袆?，以達

2、到一個可見而不立即找適當?shù)男袆?，以達到一個可見而不立即可及的目標?？杉暗哪繕?。l牛津大詞典對“問題”的解釋是：指指那些并非可以立即求解或較困難的問題，那些并非可以立即求解或較困難的問題，那種需要探索、思考和討論的問題，那種那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動的問題。需要積極思維活動的問題。l在第六屆國際數(shù)學教育大會上，“問題解決、模型化及應(yīng)用”課題組提交的課題報告中，對“問題”給出了更為明確而富有啟發(fā)意義的界定，指出l一個問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、一個問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問題情境。解問題情境。l

3、該課題組主席奈斯還進一步把“數(shù)學問題解決”中的“問題”具體分為兩類：一類是非常規(guī)的數(shù)學問題；另一類是數(shù)學應(yīng)用問題。這種界定現(xiàn)已經(jīng)逐漸為人們所接受。l我國的張奠宙、劉鴻坤教授在他們的數(shù)學教育學里的“數(shù)學教育中的問題解決”中，對什么是問題及問題與習題的區(qū)別作了很好的探討。l綜上，對“問題”可以有以下幾個方面的理解和認識：l這種狀態(tài)會與學生已有的認知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生內(nèi)部矛盾沖突，在當前狀態(tài)下還沒有易于理解的、沒有完全確定的解答方法或法則。l所謂有問題的狀態(tài)，有問題的狀態(tài)，即這個人面臨著他們不認識的東西，對于這種東西又不能僅僅應(yīng)用某種典范的解法去解答，因為一個問題一旦可以使使用以前的算法輕易地解答出來，那

4、么它就不是一個問題了。 l這里的常規(guī)數(shù)學問題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規(guī)則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數(shù)學問題。 l問題因人因時而宜，對于一個人可能是問題，而對于另一個人只不過是習題或練習，而對于第三個人，卻可能是所然無味了。l隨著人們的數(shù)學知識的增長、能力的提高，原先是問題的東西，現(xiàn)在卻可能變成常規(guī)的問題，或者說已經(jīng)構(gòu)不成問題了。 l（1）可接受性。）可接受性。指學生能夠接受這個問題，還可表現(xiàn)出學生對該問題的興趣。l（2）障礙性）障礙性。即學生當時很難看出問題的解法、程序和答案，表現(xiàn)出對問題的反應(yīng)和處理的習慣模式的失敗。l（3）探索性。）探索性。該問題又

5、能促使學生深入地研究和進一步的思考，展開各種探究活動，尋求新的解題途徑，探求新的處理方法。 l其重要區(qū)別在于:l（1）性質(zhì)不同。）性質(zhì)不同。l中學數(shù)學課本中的“習題”或者“練習”屬于“常規(guī)問題”，教師在課堂中已經(jīng)提供了典范解法，而學生只不過是這種典范解法的翻版應(yīng)用，一般不需要學生較高的思考。因此，實際上學生只不過是在學習一種算法，或一種技術(shù)，一種應(yīng)用于同一類“問題”的技術(shù)，一種只要避免了無意識的錯誤就能保證成功的技術(shù)。 l盡管有些困難的習題對大部份學生實際上也可能是真正的問題，但數(shù)學課本中的習題是為日常訓(xùn)練技巧等設(shè)計的，而真正的問題則適合于學習發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于進行數(shù)學原始發(fā)現(xiàn)以及學習如

6、何思考。l因此，練習技巧與解真正問題所要達到的學習目的不大相同，也正因為它們各自服務(wù)于一種目的，所以中學教學課本中的“習題”、“練習”不應(yīng)該從課本中被除去，而應(yīng)該被保留。l然而，解決了這些常規(guī)問題后，并不意味著已經(jīng)掌握了“問題解決”。 l以問題解決作為數(shù)學教育的中心事實上集中體現(xiàn)了數(shù)學觀和數(shù)學思想的重要變化，也即意味著數(shù)學教育的一個根本性的變革，正是在這樣的意義上，數(shù)學教育家倫伯格指出：解決非單純練習題式的問題正是數(shù)學教育改革的一個中心論題。l那么，從數(shù)學教育的角度看，究竟什么是一個“好”的問題，它的標準該是什么？l一般來說，一個好問題標準應(yīng)體現(xiàn)在以下三個方面：l好問題能啟迪思維，激發(fā)和調(diào)動探

7、究意好問題能啟迪思維，激發(fā)和調(diào)動探究意識，展現(xiàn)思維過程。識，展現(xiàn)思維過程。l如同波利亞所指出的“我們這里所指的問題，不僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創(chuàng)造精神”。l這里的“探究性（或創(chuàng)造精神）”的要求應(yīng)當是與學生實際水平相適應(yīng)的，既然我們的數(shù)學教育是面向大多數(shù)學生的。l因此，對于大多數(shù)學生而言，具有探索性或創(chuàng)造性的問題，正是數(shù)學上“普遍的高標準”，這又并非是“高不可及”的，而是可通過努力得到解決的。l從這個意義上來說，我們這里說的好問題并不是指問題應(yīng)有較高的難度，這一點與現(xiàn)在數(shù)學奧林匹克競賽中所選用的大部份試題是有區(qū)別的。l在競賽中，“問題解決”在很大程度上所

8、發(fā)揮的只是一種“篩子”的作用，這是與以“問題解決”作為數(shù)學教育的中心環(huán)節(jié)和根本目標有區(qū)分的。 l一個好問題的啟發(fā)性不僅指問題的解答中包含著重要的數(shù)學原理，對于這些問題或者能啟發(fā)學生尋找應(yīng)該能夠識別的模式，或者通過基本技巧的某種運用很快地得到解決。l同時，“問題解決”還能夠促進學生對于數(shù)學基本知識和技能的掌握，有利于學生掌握有關(guān)的數(shù)學知識和思想方法，這就與所謂的“偏題”、“怪題”劃清了界線。 l一個好問題的可發(fā)展空間是說問題并不一定在找到解答時就會結(jié)束，所尋求的解答可能暗示著對原問題的各部份作種種變化，由此可以引出新的問題和進一步的結(jié)論。l問題的發(fā)展性可以把問題延伸、拓廣、擴充到一般情形或其他特

9、殊情形，它將給學生一個充分自由思考、充分展現(xiàn)自己思維的空間。 l好問題的“開放性”，首先表現(xiàn)在問題來源的“開放”。問題應(yīng)具有一定的現(xiàn)實意義，與現(xiàn)實社會、生活實際有著直接關(guān)系，這種對社會、生活的“開放”，能夠使學生體現(xiàn)出數(shù)學的價值和開展“問題解決”的意義。l同時，問題的“開放性”，還包括問題具有多種不同的解法，或者多種可能的解答，打破“每一問題都有唯一的標準解答”和“問題中所給的信息都有用”的傳統(tǒng)觀念，這對于學生的思想解放和創(chuàng)新能力的發(fā)揮具有極為重要的意義。 l（一）對（一）對“問題解決問題解決”的理解的理解 l從國際上看，對“問題解決”長期以來有著不同的理解，因而賦予“問題解決”以多種含義，總

10、括起來有以下六種： l例如美國的貝格教授認為：“教授數(shù)學教授數(shù)學的真正理由是因為數(shù)學有著廣泛的應(yīng)用，的真正理由是因為數(shù)學有著廣泛的應(yīng)用，教授數(shù)學要有利于解決各種問題教授數(shù)學要有利于解決各種問題”，“學習怎樣解決問題是學習數(shù)學的目學習怎樣解決問題是學習數(shù)學的目的的”。lE.A.Silver教授也認為本世紀80年代以來，世界上幾乎所有的國家都把提高學生的問題解決的能力作為數(shù)學教學的主要目的之一。l當“問題解決”被認為是數(shù)學教學的一個目的時，它就獨立于特殊的問題，獨立于一般過程和方法以及數(shù)學的具體內(nèi)容，此時，這種觀點將影響到數(shù)學課程的設(shè)計和確定，并對課堂教學實踐有重要的指導(dǎo)作用。 l例如美國教育咨詢

11、委員會認為“問題解問題解決決”是一種數(shù)學基本技能，他們對如何是一種數(shù)學基本技能，他們對如何定義和評價這項技能進行了許多探索和定義和評價這項技能進行了許多探索和研究。研究。l當“問題解決”被視為一個基本技能時，它遠非一個單一的技巧，而是若干個技巧的一個整體，需要人們從具體內(nèi)容、問題的形式、構(gòu)造數(shù)學模型、設(shè)計求解模型的方法等等綜合考慮。 l例如英國的柯可勞夫特等人認為，應(yīng)當在教學形式中增加討論、研究問題解決和探索等形式，他還指出在英國，教師們還遠遠沒有把“問題解決”的活動形式作為教學的類型。 l例如21世紀的數(shù)學綱要中提出“問題解決”是學生應(yīng)用以前獲得的知識投入到新或不熟悉的情境中的一個過程。l美

12、國的雷布朗斯認為：“個體已經(jīng)形成的有關(guān)過程的認識結(jié)構(gòu)被用來處理個體所面臨的問題”？此種解釋，可以使一個人使用原先所掌握的知識、技巧以及對問題的理解來適應(yīng)一種不熟悉狀況所需要的這樣一種手段，它著重考慮學生用以解決問題的方法、策略和猜想。 l例如在國際教育辭典中指出，“問題解決”的特性是用新穎的方法組合兩個或更多的法則去解決一個問題。 l例如1982年英國的Cockcroft report認為那種把數(shù)學用之于各種情況的能力，稱之為“問題解決”。l綜合以上各種觀點，雖然對“問題解決”的描述不同，形式不一，但是，它們所強調(diào)的有著共同的東西，即“問題解決”不應(yīng)該僅僅理解為一種具體教學形式或技能，它應(yīng)貫穿

13、在整個教學教育之中。l“問題解決”的教學目的是很明確的，那就是要幫助學生提高解決實際問題能力，而且“問題解決”的過程是一個創(chuàng)造性的活動，因而是數(shù)學教學中最重要的一種活動？l以下是從文獻中對“問題解決”的六個不同的概念： l（1） 解決教科書中標題文字題，有也叫做練習題； l（2） 解決非常規(guī)的問題； l（3） 邏輯問題和“游戲”； l（4） 構(gòu)造性問題； l（5） 計算機模擬題； l（6） “現(xiàn)實生活”情境題。l在“問題解決”中，相當一部份是實際生活中例子。從構(gòu)造數(shù)學模型、設(shè)計求解模型的方法，再到檢驗與回顧等整個過程要由學生去發(fā)現(xiàn)、去設(shè)計、去創(chuàng)新、去完成，這是“問題解決”與創(chuàng)造性思維密切聯(lián)系之

14、所在。l數(shù)學教師應(yīng)創(chuàng)造更有利于問題解決的條件，在為所有年級編制出好的問題并傳授解決問題的技能、技巧的同時，盡力為學生的創(chuàng)造性思維提供良好的課堂環(huán)境與機會、乃至服務(wù)。 l1、從學習心理學看、從學習心理學看“問題解問題解決決” l從學習心理學角度來看，問題解決一般理解為一種認知操作過程或心理活動過程。l所謂“問題解決”指的是一系列有目的指向認知操作過程，是以思考為內(nèi)涵、以問題為目標定向的心理活動過程。具體來說，問題解決是指人們面臨新的問題情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己缺少現(xiàn)成對策時，所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動過程。l問題解決是一種帶有創(chuàng)造性的高級心理活動，其核心是思考與探

15、索。l認知心理學家認為，問題解決有兩種基本類型：l一是需要產(chǎn)生新的程序的問題解決，屬于創(chuàng)造性問題解決；l一是運用已知或現(xiàn)成程序的問題解決，是常規(guī)性問題解決。l數(shù)學中的問題解決一般屬于創(chuàng)造性問題解決，不僅需要構(gòu)建適當?shù)某绦蜻_到問題的目標，而且更側(cè)重于探索達到目標的過程。 l問題解決有兩種形式的探索途徑：試誤式和頓悟式。l試誤式試誤式是對頭腦中出現(xiàn)的解決問題的各種途徑進行嘗試篩選，直至發(fā)現(xiàn)問題解決的合理途徑。l頓悟式頓悟式是在長期不懈地思考而又不得其解時，受某種情境或因素的啟發(fā)，突然發(fā)現(xiàn)解決的方法和途徑或方式。對中學生而言，這兩種探索形式都是問題解決不可缺少策略。 l現(xiàn)代學習心理學探究表明，問題分

16、為三種狀態(tài)，即初始狀態(tài)、中間狀態(tài)和目的狀態(tài)。l問題解決就是從問題的初始狀態(tài)開始，尋求適當?shù)耐緩胶头椒ㄟ_到目的狀態(tài)的過程。l因此，問題解決實質(zhì)上是運用已有的知識經(jīng)驗，通過思考探索新情境中問題結(jié)果和達到問題的目的狀態(tài)的過程。 l以數(shù)學對象和數(shù)學課題為研究客體的問題解決叫做數(shù)學問題解決。l一般來說，數(shù)學問題解決是在一定的問題情境中開始。l所謂問題情境，是指問題的刺激模式，即問題是以什么樣的形態(tài)、方式組成和出現(xiàn)的。l其內(nèi)涵包括三個方面：其內(nèi)涵包括三個方面：l第一、個體試圖達到某一目標；l第二、個體與目標之間存在一定的距離，它將引起學生內(nèi)部的認知矛盾沖突；l第三、能激起個體積極心理狀態(tài)，即產(chǎn)生思考、探索

17、和達到目標的心向，從而刺激學生積極主動的思維活動。l因此，數(shù)學問題解決是從問題情境開始，運用已有的知識經(jīng)驗，克服認知矛盾沖突，積極主動地尋求和達到問題結(jié)果的過程。l數(shù)學教育家波利亞在怎樣解題怎樣解題一書中指出：l數(shù)學問題解決過程必須經(jīng)過下列四個步驟，l即理解問題、明確任務(wù)；l擬定求解計劃；實現(xiàn)求解計劃；l檢驗和回顧。l關(guān)于問題解決的過程討論，數(shù)學問題解決在一定的問題情境中開始，要求教師根據(jù)問題的性質(zhì)、學生的認識規(guī)律和學生所學知識的內(nèi)部聯(lián)系，創(chuàng)造一種教學中問題情境，以引起學生內(nèi)部的認知矛盾沖突，激發(fā)起學生積極、主動的思維活動，再經(jīng)過教師啟發(fā)和幫助，通過學生主動地分析、探索并提出解決問題方法、檢驗

18、這種方法等思維活動，從而達到掌握知識、發(fā)展能力的教學目的。 l（一）問題解決教學的策略分析（一）問題解決教學的策略分析l“問題解決教學”是以數(shù)學問題為中心，在教師的引導(dǎo)下，通過學生獨立思考和交流討論等形式，對數(shù)學問題進行求解、發(fā)展與延伸、遷移與變形等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生處理信息、獲取新知、應(yīng)用新知的能力、積極探索的科學精神、團結(jié)協(xié)作的能力。l在課堂教學中設(shè)計“好”的問題是極其重要的。在每節(jié)課中，問題要努力做到：l包含明顯的數(shù)學概念或技巧；l能推廣或擴充到數(shù)學各單元知識和各種情形；l有著多種解決方法。l給學生提供一種輕松愉快的氣氛和生動活潑的環(huán)境；l從學生的已有經(jīng)驗出發(fā)提出問題，引起學生對結(jié)論的迫切追

19、求的愿望，將學生置于一種主動參與的位置；l大膽鼓勵學生運用直覺去尋求解題策略，必要時給一些提示；l討論各種成功的解決，歸納出問題解決的核心。如果可能的話和以前的問題聯(lián)系起來，對問題進行推廣，概括出一般原理。l在從已知狀態(tài)到目標狀態(tài)的問題過程中，要進行一系列心理操作，課堂教學中要努力地解決：l領(lǐng)會與同化。領(lǐng)會與同化。學生要用自己的語言轉(zhuǎn)換命題，并整體地將問題吸入已有的認知結(jié)構(gòu)中去；l尋求策略與驗證。尋求策略與驗證。思維有躍向結(jié)論的傾向，分析解題的過程有助于學生尋求策略技能的提高，各種解題策略的比較與驗證更可以增強學生的創(chuàng)造性與批判精神。l理解是第一位的，沒有理解的訓(xùn)練是毫無價值和意義的。l當然對

20、概念的理解也是動態(tài)的，當學生對二次函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像、最值有了初步的正確的理解以后，在具體的應(yīng)用中，不但鞏固了原有的理解，并且還會達到新的高度，深度的理解。l5、能否在數(shù)學知識的應(yīng)用中，迸發(fā)、能否在數(shù)學知識的應(yīng)用中，迸發(fā)出燦爛的思維火花，學生的智力基礎(chǔ)，出燦爛的思維火花，學生的智力基礎(chǔ)，認知方式是及其重要的，原有數(shù)學知認知方式是及其重要的，原有數(shù)學知識基礎(chǔ)也很重要。識基礎(chǔ)也很重要。l但是教學設(shè)計也是至關(guān)重要的：精選“好的”問題，鋪設(shè)合適的坡度，營造良好的氛圍。l這需要教師的精心的教學設(shè)計，在“好的”問題合適的坡度和良好的氛圍創(chuàng)設(shè)過程中，把握“量”的度、“強”、“難”的度。 l6、理解和技能

21、如何進行定量把握：、理解和技能如何進行定量把握：要考察學生的智力基礎(chǔ)，能力基礎(chǔ)要考察學生的智力基礎(chǔ)，能力基礎(chǔ)和認知方式等。和認知方式等。l依據(jù)學生的基礎(chǔ)和認知特點，對中學的階段的數(shù)學知識點作定量分析，是完全可行的。l同時對學生理解和技能的要求也有一個梯度，不能不同的學生，卻要達到同一的標準。l7、運算能力，邏輯思維能力，空間、運算能力，邏輯思維能力，空間想象能力，分析問題解決問題能力，想象能力，分析問題解決問題能力，以及學生的智力和認知特點等構(gòu)成以及學生的智力和認知特點等構(gòu)成了學生的數(shù)學素質(zhì)。了學生的數(shù)學素質(zhì)。l把數(shù)學的概念教學、問題解決教學的立足點放在提高學生素質(zhì)上，這是今天數(shù)學教學的方向，

22、是完全可以做到的。 l1、重視通性通法教學，引導(dǎo)學生概括、重視通性通法教學，引導(dǎo)學生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學思想與方法領(lǐng)悟常見的數(shù)學思想與方法l數(shù)學思想較之數(shù)學基礎(chǔ)知識，有更高的層次和地位。它蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它是一種數(shù)學意識，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決。數(shù)學方法是數(shù)學思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有對數(shù)學思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學思想與方法，書本的、別人的知識技巧才會變成自己的能力。l每一種數(shù)學思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，l如分類討論思想可以分成：l（1

23、）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對公比的分類和直線方程中對斜率的分類等；l（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。l又如數(shù)學方法的選擇，二次函數(shù)問題常用配方法，含參問題常用待定系數(shù)法等。l因此，在數(shù)學課堂教學中應(yīng)重視通性通法，淡化特殊技巧，使學生認識一種“思想”或“方法”的個性，即認識一種數(shù)學思想或方法對于解決什么樣的問題有效。從而培養(yǎng)和提高學生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學思想與方法分析和解決問題的能力。l高考是注重能力的考試，特別是學生運用數(shù)學知識和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力。l數(shù)學是充

24、滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對其數(shù)學模式的識別是解決它的前提。l由于高考考查的都不是原始的實際問題，命題者對生產(chǎn)、生活中的原始問題的設(shè)計加工使每個應(yīng)用題都有其數(shù)學模型。l在高中數(shù)學教學中，不但要重視應(yīng)用題的教學，同時要對應(yīng)用題進行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學模型，這樣學生才能有的放矢，合理運用數(shù)學思想和方法分析和解決實際問題。l要分析和解決問題，必先理解題意，才能進一步運用數(shù)學思想和方法解決問題。l近年來，隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學教育培養(yǎng)出更高數(shù)學素質(zhì)、具有更強的創(chuàng)造能力的人才，這一點體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重了能力的考查。l由于開放題的特征是

25、題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，而新背景題的背景新，這樣給學生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導(dǎo)致失分率較高。l因此，在高中數(shù)學教學中適當進行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學生的知識面是提高學生分析和解決問題能力的必要的補充。l在數(shù)學解題過程中，解決問題以后，再回過頭來對自己的解題活動加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個重要環(huán)節(jié)。l這是數(shù)學解題過程的最后階段，也是對提高學生分析和解決問題能力最有意義的階段。l解題教學的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，真正的目的是為了提高學生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造精神，而這一教學目的恰恰主要通過回顧解題的教學來實現(xiàn)。l所以，

26、在數(shù)學教學中要十分重視解題的回顧，與學生一起對解題的結(jié)果和解法進行細致的分析，對解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進行概括，可以幫助學生從解題中總結(jié)出數(shù)學的基本思想和方法加以掌握，并將它們用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的有力武器。l課堂教學中，教師必須要向?qū)W生提供一個好問題。一個“好問題”應(yīng)當具有以下三個特征：l第一，從學習者的角度來看，第一，從學習者的角度來看，“好好問題問題”必須具有可接受性、障礙性必須具有可接受性、障礙性和探究性。和探究性。l可接受性可接受性是指問題要容易為學生所理解問的是什么，要有一定的意義容易引起學生對問題的關(guān)注；l障礙性障礙性則是要求問題要符合維

27、果斯基的最近發(fā)展區(qū)原理，也就是問題的解決辦法不是顯而易見的，是沒有現(xiàn)成的方法可供使用的但又確實與已學內(nèi)容有一定聯(lián)系的問題；l探究性探究性是指學生能進行探究，而探究的過程又有明確的價值取向，如中學數(shù)學教學內(nèi)容的價值、思維的價值或是人文的價值等。l第二，從教師角度來看，第二，從教師角度來看，“好問好問題題”應(yīng)當有可控性。應(yīng)當有可控性。l可控性可控性是指教師對所選問題在嘗試引導(dǎo)環(huán)節(jié)中要能對學生的活動圍繞著教學中心加以適當?shù)目刂婆c誘導(dǎo)。目前中學數(shù)學教學任務(wù)繁重，如果要將問題解決教學應(yīng)用于日常教學，那么大綱、教材的教學任務(wù)根本完不成，因此很多教師對“問題解決教學”采取敬而遠之的態(tài)度。 l第三，從數(shù)學內(nèi)部

28、來看，問題要第三，從數(shù)學內(nèi)部來看，問題要具有可生性、開放性。具有可生性、開放性。l可生性可生性是指所選取的問題要有新問題或新知識的生長點，能夠在部份更改條件下能產(chǎn)生新的問題，或是問題能夠遷移、變形，或變換思維角度有不同的解法。l選擇了一個好問題，教師必須創(chuàng)造性地加工和處理教材，對教學內(nèi)容做到舍取有度，創(chuàng)設(shè)一定情境導(dǎo)入。教師在創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入設(shè)計時，應(yīng)考慮以下原則：l針對性：針對性：具有針對性的導(dǎo)入，才能滿足學生的聽課需要；l啟發(fā)性：啟發(fā)性：具有啟發(fā)性的導(dǎo)入，可以發(fā)展學生的思維能力；l新穎性：新穎性：具有新穎性的導(dǎo)入，能夠吸引學生的注意指向；l趣味性：趣味性：具有趣味性的導(dǎo)入，可以激發(fā)學生的學習興趣

29、；l互動性：互動性：具有互動性的導(dǎo)入，才有學生的一直參與，而不是等待問題的出現(xiàn)；l簡潔性：簡潔性：具有簡潔性的導(dǎo)入，能夠節(jié)約學生的聽課時間。l只有將課本研究活了，在教學設(shè)計中才能有一個好的導(dǎo)入，這樣問題解決教學中呈示出來的問題才會有份量、有質(zhì)量。l問題解決的教學活動過程是在教師組織、引導(dǎo)下，學生一直參與活動的過程，因此在教學活動過程中教師的地位、作用、學生的學習方式等都是不同于傳統(tǒng)教學的。l在教學中，教師要注意：l問題解決教學過程中，教師是學生學習的組織者、合作者、參與者，教師的作用在于引導(dǎo)。l師生之間的對話，不再將重點放在是什么的知識上，而是著重于為什么的知識上，科學地應(yīng)用主體發(fā)展策略、動機

30、激發(fā)策略和層次設(shè)計策略以及探究創(chuàng)新策略。l對學生的有效的嘗試指導(dǎo)，在教學設(shè)計時對學生的起點技能、先決技能做認真的分析，對目標技能做恰當?shù)脑O(shè)定是十分必要的。l教師可根據(jù)學生的學習能力等情況成立學生學習合作小組，在教學進程中，大膽把學習主動權(quán)交給學生，讓學生主動探究，共同討論，互相交流，充分發(fā)揮學生的學習主體性。l在課堂教學中，教師的對話與指導(dǎo)要有一顯一隱兩條主線：外顯的主線是學生的活動，內(nèi)隱的主線則是學生的思維。l問題解決教學設(shè)計中，根據(jù)學生的外顯的活動對學生的思維進行分析并適時進行指導(dǎo)；在啟發(fā)指導(dǎo)時使用的語言要具有發(fā)散性，不能禁錮學生的思維；不論學生得出的結(jié)論怎樣，要在與學生的對話中鼓勵學生大膽說出自己是怎么想的；教師指導(dǎo)學生的重點應(yīng)是啟發(fā)學生怎么去想，怎么做則是想好以后順理成章的事。l教師的對話和指導(dǎo)應(yīng)突破認知領(lǐng)域而延伸到情感等其他領(lǐng)域。l在課堂教學中，要動態(tài)地對學生進行指導(dǎo)和評價。l要善于發(fā)現(xiàn)學生的閃光點，及時地給予鼓勵和肯定；l當學生思維受阻時，教師應(yīng)用一些充分肯定、具有明確指導(dǎo)意義的過渡語給予學生評價和引導(dǎo)，這樣既指出了思考、討論的方向，又教給學生學習的方法，增強學生戰(zhàn)勝困難的信心，形成良好的學習態(tài)度；l面對學生的“失敗”過程，教師也應(yīng)肯定“失敗”