應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程 綜述

1、Harbin Institute of Technology課程設(shè)計(jì)（論文）課程名稱： 應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程 設(shè)計(jì)題目： 綜述 院 系：電子與信息工程學(xué)院 班 級(jí)： 09碩通信一班 設(shè) 計(jì) 者： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 田波平 設(shè)計(jì)時(shí)間： 2009-11至2009-12 哈爾濱工業(yè)大學(xué)哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計(jì)任務(wù)書(shū) 姓 名： 院 （系）： 電子與信息工程學(xué)院 專 業(yè)： 信息與通信工程 班 號(hào)： 09碩通信一班 任務(wù)起至日期： 2009 年 11 月 12 日至 2009 年 12 月 20 日 課程設(shè)計(jì)題目： 綜述特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程研究中的作用與意義 已知技術(shù)參數(shù)和設(shè)計(jì)要求：1 已知特征函數(shù)的基本定義。2

2、 總結(jié)特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程研究中的作用和意義。 工作量：1. 查找相關(guān)的資料，對(duì)特征函數(shù)的基本定義進(jìn)行一定的了解。2. 查閱相關(guān)的文獻(xiàn)，理解特征函數(shù)的應(yīng)用。3. 對(duì)相關(guān)的文獻(xiàn)進(jìn)行總結(jié)，歸納出特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程研究中的作用和意義。 工作計(jì)劃安排：1. 2009-11-122009-11-31：查找相關(guān)的資料，對(duì)特征函數(shù)的基本定義進(jìn)行一定的了解2. 2009-12-12009-12-20：對(duì)相關(guān)的文獻(xiàn)進(jìn)行總結(jié)，歸納出特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程研究中的作用和意義。 同組設(shè)計(jì)者及分工：無(wú) 指導(dǎo)教師簽字_ 年 月 日 教研室主任意見(jiàn)： 教研室主任簽字_ 年 月 日特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程研究中的作用與意義1.特征函數(shù)的

3、定義在介紹特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程研究中的作用和意義之前，首先介紹一下特征函數(shù)的定義。特征函數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值，它是由隨機(jī)變量組成的新的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，記為：（1） 當(dāng)為連續(xù)隨機(jī)變量時(shí)，則的特征函數(shù)可表示成（2）其中為的概率密度函數(shù)。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的特征函數(shù)的定義與隨機(jī)變量的特征函數(shù)的定義一致。對(duì)任意時(shí)刻t,隨機(jī)過(guò)程的一維特征函數(shù)為：（3）2.特征函數(shù)的性質(zhì)以下本文不加證明的給出特征函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)：(1) ；(2) 共軛對(duì)稱性；(3) 特征函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)；(4) 設(shè)隨機(jī)變量，其中是常數(shù)，則；其中分別表示隨機(jī)變量的特征函數(shù)。上式對(duì)于隨機(jī)過(guò)程同樣適用。(5) 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，又，則；此式表示

4、兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各自特征函數(shù)的乘積。3.特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程研究中的作用與意義由于特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程中和隨機(jī)變量中的定義是一致的，僅是將X變?yōu)閄(t),將概率密度函數(shù)也做相應(yīng)的變化即可。故本文為方便起見(jiàn)，將隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)變量的特征函數(shù)的作用與意義做統(tǒng)一的討論。3.1 利用特征函數(shù)求隨機(jī)過(guò)程的概率密度根據(jù)特征函數(shù)的定義，特征函數(shù)與概率密度有類似傅里葉變換的關(guān)系，即（4）（5）這里需要注意的是，特征函數(shù)與概率密度的之間的關(guān)系與傅里葉變換略有不同，指數(shù)項(xiàng)差一負(fù)號(hào)。在隨機(jī)過(guò)程的研究過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)利用已知的隨機(jī)過(guò)程的概率密度函數(shù)，求解它們某種特定組合的概率密度函數(shù)。通常我們的做法是由

5、已知的概率密度函數(shù)，通過(guò)函數(shù)變換的形式求解，求解的過(guò)程很復(fù)雜。但是，如果利用特征函數(shù)的性質(zhì)以及它與概率密度之間的關(guān)系就很容易求解上述問(wèn)題了。以下用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)過(guò)程。已知隨機(jī)過(guò)程為相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)過(guò)程，數(shù)學(xué)期望為0，方差為1，求的概率密度。已知數(shù)學(xué)期望為0，方差為1的高斯過(guò)程的概率密度為（6）利用特征函數(shù)與概率密度之間類傅里葉變換的關(guān)系，可以很容易的求得的特征函數(shù)，（7）利用特征函數(shù)的性質(zhì)（5）再次利用特征函數(shù)與概率密度之間類傅里葉變換的關(guān)系，可得的概率密度（8）由上面的求解過(guò)程可見(jiàn)，利用特征函數(shù)求解比起直接求兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之和的概率密度要簡(jiǎn)單的多。以上就簡(jiǎn)要介紹了特征函數(shù)在求解隨機(jī)過(guò)程的

6、概率密度時(shí)的作用。利用特征函數(shù)可以很方便的對(duì)某些隨機(jī)過(guò)程的特定組合的概率進(jìn)行求解。3.2 離散狀況下的特征函數(shù)在求解分布函數(shù)中的應(yīng)用受傅立葉變換物理意義的啟發(fā),得到基于坐標(biāo)分解的特征函數(shù)的新解釋。離散情況下,特征函數(shù)的新解釋:可以看作是以()為基的可列無(wú)窮維空間下的坐標(biāo)分解,第k維的坐標(biāo)值為。則（9）（10）其中可以看作是以()為基的實(shí)數(shù)勢(shì)無(wú)窮維空間下的坐標(biāo)分解，是在基下的坐標(biāo)值。上述新解釋在求解離散隨機(jī)過(guò)程的概率分布時(shí)有非常重要的應(yīng)用。下面以一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明：例如求下列各隨機(jī)變量的概率分布,已知其特征函數(shù)分別為:(1) (2)由反演公式可解決此問(wèn)題,即利用公式，但計(jì)算過(guò)程比較繁雜。如果利用本文

7、提出的新解釋去求這個(gè)問(wèn)題就非常簡(jiǎn)單，現(xiàn)用此法求解。分析:只要將特征函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)分解即可,可以看作是以()為基的可列無(wú)窮維空間下的坐標(biāo)分解, 第k 維的坐標(biāo)值為 ,惟一性定理可知即為概率分布。解：(1)由惟一性定理可知, 它的概率分布惟一,P( = 1) =0.5 , P(= - 1) =0.5,即所求的概率分布。(2)由惟一性定理可知, 它的概率分布惟一，P(= 0)=0.5,P(= 2)=0.125,P(= -2) =0.25，即為所求的概率分布?？梢?jiàn)，基于坐標(biāo)分解的特征函數(shù)的新解釋能加深我們對(duì)特征函數(shù)的理解, 而且能使特征函數(shù)相關(guān)的求解問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。3.3 利用特征函數(shù)求解隨機(jī)過(guò)程的矩函數(shù)

8、特征函數(shù)與矩函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，因此特征函數(shù)也稱為矩生成函數(shù)。設(shè)隨機(jī)變量的階原點(diǎn)矩存在，則它的特征函數(shù)可以微分次，且有（11）這是因?yàn)?，?dāng)對(duì)特征函數(shù)求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)可得（12）在隨機(jī)過(guò)程的研究過(guò)程中，更多的時(shí)候我們需要研究的是隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，如隨機(jī)過(guò)程的各階矩。如果利用矩函數(shù)的定義直接求解，則需要進(jìn)行大量的積分過(guò)程，求解過(guò)程將相當(dāng)復(fù)雜，。但是如果利用上述特征函數(shù)與矩函數(shù)之間的關(guān)系來(lái)求解，問(wèn)題就可以得到很大的簡(jiǎn)化。以下通過(guò)一個(gè)例子來(lái)簡(jiǎn)要說(shuō)明這種求解過(guò)程。例如，求解數(shù)學(xué)期望為0的高斯隨機(jī)過(guò)程的各階矩。易得數(shù)學(xué)期望為0，方差為的高斯過(guò)程的概率密度函數(shù)為由的概率密度求特征函數(shù)再利用上面介紹的特征函數(shù)與矩函數(shù)的關(guān)系可得繼續(xù)可求出各階矩由上述的例子可以看出，利用特征函數(shù)求解隨機(jī)過(guò)程的矩函數(shù)的確比較方便，它省去了大量的積分過(guò)程。4. 結(jié)論上面簡(jiǎn)要介紹了特征函數(shù)在隨機(jī)過(guò)程研究