多項式的有關內容

1、【多項式及其函數應用】學校姓名B.6個 C.9 個1. 函數f：2,3,5 t 0,6,7滿足2f(X)為整數，則這樣的函數的個數為()A.3 個xD.27 個【解析】要使 竺兇為整數，則f(x)必須為x的整數倍或x是2的約數，顯然,f:x2 > 0,2 >6,2 >7,2>0,2 >6,2 >7,3 > 0,3 >0,3 >0,3>6,3 >6,3 >6,答案:B5_ 050,5 0,5 0,5 0,5=02. 若一系列函數的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數為“孿生函數”，那么函數解析式為y= 2x2+

2、1,值域為5,19的“孿生函數”共有()A.4個B.6個 C.8個 D.9 個【解析】D.令2x2 + 1 = 5得x =± 2,令2x2+ 1 = 19得x =± 3,使得函數值為 5的有三種情況，即 x=- 2,2,± .2,使得函數值為19的也有三種情況，即 x= 3,- 3，土 3,廠'孿生函數”共有3X 3= 9個.答案：D13. 函數 f (x) = 2x, x2 R且Xj ： x2,若 a(x1 x2)，則恒成立的是()2A. | f(a) - f (xj| I f(X2)- f (a) I B. | f (a) - f (xj 卜：| f(

3、X2) - f (a) |2C. f(xJf(X2)f(a)d. |f(a)-f(X1)|=|f(X2)-f(a)|【解析】B4. (2011復旦大學)下列函數中，在其定義域上不是奇函數的是()1 2A. In(xX2 1) B. x( J 】)C.2X-1 21 + x3 + x3 ln |12 I D. In(secx tanx)1 -x3 x3【解析】A、C D可以根據f(-x) f(x)=0知為奇函數，B可以證明為偶函數，因此選 B.5.定義在R上的函數f (x)滿足f( x)=- f(x+ 4)，當x時，f(x)單調遞增，若X1+X2<4,且(xl 2)(x2 2) V 0,則

4、f(X1)+ f(X2)的值()A.恒小于0 B.恒大于0 C. 可能為0D.可正可負【解析】( X1 - 2)( X2- 2) < 0,若 X1 < X2，則有 X1< 2< X2, 即 卩 2< X2< 4 - X1，又當 x> 2 時，f (x)為增函數，且 f( x) =-f (x + 4)，二 f(X2)< f(4 - xj = - f(xj , f(xj + f(X2)< 0.若 X2< X1,同理有 f(xj + f(X2)< 0,故選 A.5方程(x2 -X -1)X 2 =1的整數解的個數是()A. 2 B.

5、3 C. 4 D. 5【解析】若x 2 = 0，即x - -2時，(x2 -x -1)x 2 = 5° = 1符合要求,若x2=0且方程整數解存在時，x 2為奇數時，x2-x-1=1，即x - -1, x 2為偶數時，x2-x-仁 1 ,即 x = 2 或 x = 0,綜上知，(x2 x -1)x 2 =1的整數解可以是：-2 , -1,0,2，共4個，故應選C.6已知 f (x +y2) = f(x) +2( f(y)2，且 f(1)式0，那么 f(2007)的值為【解析】令 x = y = 0 ,則 f (0) = f (0)2( f (0)2 解得 f (0) =0 ；2 1令

6、 x =0, y =1，則 f(1) =f (0)2( f (1)得 f(1)：211令 x =n,y =1，貝V f(n 1) = f (n) ，以 0,1 , 2,3，2007 依次代入，得到 f (1)=2 21 112007f(2) =f(1)-,f(3) = f(2)-,f(2007) = f(2006),以上各式相加得 f(2007)：2 22 27 若函數f (x)的定義域為 R,且對于x的任意值都有f(x 2005) = f (2004) f (2006)，則f(x)的最小正周期是以丄f（X）= f （x 一1） + f（X +1） F丄丄“【解析】丿''兩式相

7、加的f（X1） + f（x + 2） =0,f （x +1） = f（x） + f（x+2） f（x） 一 f（x 3）, f（x 3） 一 f（x 6），所以 f （x）的周期為 6.8. 若方程lg kx =2 lg（x十1）僅有一個實根，那么實數 k的取值范圍是 kx >0【解析】由x+1>0分類討論，當kcO時，有一個解“ =（x +1）2329. （2008年南開）方程x px qx 0有3個實根，且 p 0, q 0 ,求證：pq _ 9?！窘馕觥恳驗閜,q0 ,所以方程不可能有正根，0也不是它的根，所以三個實根均小于0,設為: /,由韋達定理知（-） +（ J）+（）

8、=p,（七）（）+（）（）+（）（p）=q ,（七）（邛）（_¥）= 1 ,由 均 值 不 等 式 知 p = （->） * （-J * （-）_33 （二j（二）（二）=3 q =（-： ）（一 J （）（）（一）（一：）一33 宀 2 2 =3，因此 pq9。10. （2009交大）求方程XX 2 x . x 2 3x （n重根）的解?！窘馕觥肯茸C明3x =x，用反證法若 3x x，則、x 2 3x 、x 2x =、3x x，故 x 2 x 2、3x x 2x = 3x,.,，這與 x= x 2 x .2 x 3x 矛盾，同理 .3x : x也會產生矛盾，故 3x二x，解得

9、x = 0或x = 3，經檢驗這兩個根均符合要求。11.(2003年交大)三次多項式f(x)滿足f(3)=2f(1)，且有兩個相等的實數根2，則第三個根為 。【解析】令f(x) =a(x-2)2(x b),(a =0)，因為f(3)=2f(1)，所以b=1，因此第三個根為-1.14. 實數 x, y 滿足 x2= 2xsin(xy) 1,則 x1998 + 6sin5y=.【解析】如果x、y不是某些特殊值，則本題無法(快速)求解，注意到其形式類似于一元二次方程，可以采用配方法2 2 *(x sin(xy) + cos(xy)= 0，二 x= sin(xy) 且 cos(xy) = 0，二 x=

10、 sin(xy)=±1 / siny= 1 xsin(xy)= 1,原式=712 .已知x= 719+799是方程x4 + bx2 + c= 0的根，b，c為整數，則b + c=.【解析】(逆向思考：什么樣的方程有這樣的根？)由已知變形得x J9 -.99， x2 2 19x+ 19= 99即 x2 80 = 2 19 x，再平方得 x4 160x2 + 6400= 76x2， x4 236x2 + 6400= 0， b= 236，c= 6400b+ c= 6164213設n = N*，一元二次方程x -4x + n=0有整數根的充要條件是 n= .4 - J6 -4n【解析】2=2

11、 一 4-n，因為x是整數，即2_-、4-n為整數，所以4 - n為整數，且n，4,又因為n N ，取n二1，2,3,4，驗證可知n = 3,4符合題意；反之n = 3,4時，可推出一元二次方程x2 _4x n = 0有整 數根因此應填3或414、 (2009清華大學)試求出一個整系數多項式f(x)=anxn - anJxnJ . - a0，使f(x)=0有一個根為2 3 3。【解析】 設. 2 3 3 ，貝U (x 2)2d3 ， 即x3 6x-3=2(3x2 2)， 兩邊平方得x612x4-6x336x2-36x 9 =18x424x28，即x6- 6x4 -6x312x2- 36x 1

12、= 0，令 f (x)二 x6 -6x4 -6x3 12x2 -36x 1 即可。115. 求(x 1)7的展開式中的常數項.x11【解析】由二項式定理得 (X 1)7二1 - (x )7xx= c7) C；(x 丄)C；(x 32C；(x 丄)C；(x 丄)7 xxxxr1 r1 r其中第r+1(0Er蘭7)項為Tf=C；(x+),在(x+ )的展開式中，設第k+1項為常數項，記為Tk十xx則Tk十，=Crkxr(丄？ =C：xrJk,(0蘭k蘭r)，由得r 2k=0,即r=2k，r為偶數，再根據、知所求常x數項為 C70 C；C； C；C； C6C； =393.16求(1 2x -3x2)

13、Q的展開式里x5的系數【解析】因為(1 2x 3x2)6 =(13x)6(1 x)6=1+C63x4C； (3x)2+C；，(3x)3+C；(3x)61C6x+Cx2C；x3+C；x4C：x5+C6x6.所以(1 + 2x_3x2)6的展開式里 x5的系數為 1(_C；)+3C6 c64 +32C：(上；)+33C； Q：+34C； ”(_C；)+35C； 1 = -168.43217設 f (x) = x 2x 3x 5, g(x x2x 1，求 f (x)除以 g (x)的余式和商式18已知函數f(x) = 3x2 6x+22xx2 +4的最大值為 ，最小值為 。【解析】設 t = 2x

14、-x2 -、-(x -1)21，則 f (x) - -3t2 2t 4 - -3(t -1)213，3 313因為0乞t乞1所以3空y空13 。319 .已知(3x + y) 2001 + x2001 + 4x + y = 0，求 4x + y 的值.【解析】構造函數 f(x) = x2001 + x，貝U f(3x + y) + f(x) = 0,逐一到f(x)的奇函數且為 R上的增函數，所以 3x+ y = x, 4x + y= 020.已知函數 f (x) -|x 1| |x 2| . |x 2007| |x -1| |x -2| |x-2007 |,且 f(a2 _3a 2) = f

15、(a -1)，則a的值有()A. 2個 B. 3 個 C. 4 個 D. 無數個【解析】因為f (x)為偶函數，當-1乞x叮 時，恒有f(X)=2 (1 2.2007) = 2008 2007，所以當一1空a2 -3a，2豈1，且一1空a1空1時，恒有f(a2 3a 2) = f(a1),由上述兩個不等式解得a空2時,2恒有 f (a2 -3a 2) = f (a -1)，故選 D.21. 設m n為正整數，且 m2, 二次函數y= x2+ (3 mt) x 3mt的圖象與x軸的兩個交點間的距離為d1，二 2 . .次函數y = x + (21 n)x+ 2nt的圖象與x軸的兩個交點間的距離為

16、d2.如果d1> d2對一切實數t恒成立，求 m n的值.【解析】設二次函數 y = x2 + (3 mt) x 3mt的圖象與x軸的兩個交點分別為(X1,0) ,(X2,0)二次函數y= x + (2t n)x+ 2nt的圖象與x軸的兩個交點分別為(X3,0), (X4,0)貝U d1= | X1 X2| = ,(X1 + X2)2 4x1X2=、；( mt 3)2 + 12mt; d2= | X3 X4| = , (x3 + X4)2 4x3X4=.(n 2t)2+ 8nt. v d1>d2對一切實數 t 恒成立,l j22搭.一徉；m> 4,( mn- 6)切，又口 n

17、 為正整數，二 m= 3, n= 2 或 m= 6, n ='(mt- 3)2+ 12mt( n-2t)2+ 8nt 對一切實數 t 恒成立，即P： ( rm-4)t2+ (6 m- 4n )t + 9 n2>0 對一切實數 t 恒成立; m 4> 0= (6 m- 4n)2- 4( m 4)(9 n2) O 1.22. 設f (x)是定義在 R上的偶函數，其圖像關于直線x=1對稱.對任意xi, X2 0 ,丄，都有f (xi + X2)=f (xi) f2(X2),且 f (1) = a > 0.f 1 ; (2)證明f (x)是周期函數41【解析】(1)令Xi=X

18、2=，依題意得f ( 1)2又當再令x 0 , 1時,x 0 ,21，則有 f (x) = f21 -故 f () =a2X1=X2=，則 f (1) = f ( 1 + 1)=4244=f (1 x),即 f (x) = f (2 x), x R. (2 x) . f (x) = f (x + 2),故 T=2.(2)v函數f (x)的圖像關于直線 x=1對稱， f (1 + x) 又T f ( x)是偶函數， f ( X) = f ( x) . f ( x) = f f (x)是以2為周期的周期函數.23.已知f (x)是定義在 R上的不恒為零的函數，且對于任意的a, b R都滿足f (a

19、 b) =a f (b) + b f (a)(1)求f ( 0), f ( 1)的值；(2)判斷f (x)的奇偶性，并證明你的結論.【解析】(1) f (0)=f(0 0)=0 f ( 0) +0 f (0) =0,由 f ( 1)=f (1 1) =1 f (1)+ 1 f(1),得 f (1)=0.(2) f(x)曰吞 是奇函數.證明：因為f (1)=f(1)2=f ( 1) f ( 1) =0,所以f ( 1),f ( X) = f ( 1 X) = f (X) + xf ( 1) = f (X).因此，f (X )為奇函數24.已知過原點O的一條直線與函數ylogsX的圖象交于A、B兩

20、點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數 y = log 2 x的圖象交于 C D兩點設點A的橫坐標為x1 ,點B的橫坐標為x2()若X1 =2,x2 =4，且點A的縱坐標為y1，點B的縱坐標為 y , 求y1 72的值.(2) 試判斷x2 log 2 x1和x1 log 2 x2的大小關系；并證明你的結論.(3) 當BC平行于x軸時，求點A的坐標.25設f (X)是定義在(：，：)上以2為周期的函數，對于 Z ,用2Ik表示區(qū)間(2 k -1,2k 1，已知當I。時，f(x)=x , (I )求f (x)在Ik上的解析式；(II )對自然數k，求集合Mk二a|使方程f(x)二ax在I k上有兩

21、個不同的實根.【解析】(1)設 x lk 時，2k -1 ： x 乞 2k 1,從而 -1 ： x-2k 遼 1，即 x -2k I0 ,由 f (x)二 f (x - 2k) = (x- 2k)2。(2)設 g(x) =(x -2k)2 -ax(x (2k -1,2k1),即 g(x) = x2 -(4k a)x 4k2 (x (2k -1,2k 1),依題意，g(x)=0有兩個不相等的實數根，所以g(2k -1)>0g(2k 1)一0.: =(4k a)2 -16k20,即 0 a4k+a2k -12k 1、 212k 1(可以作圖說明結論)26.設函數f(x) =lg(1 2x 3

22、x . (n _1)x nxa,其中a是實數，n是任意給定的自然數，且n _ 2 ,如果f (x)當x(_：,1時有意義，求實數 a的取值范圍?！窘馕觥恳乖接幸饬x，必須1 2x 3x - . - (n -1)x nxa . 0 ,1 x /2xn-1X即 a-()()(),n nn因為y =ax(0 : a < 1)在定義域內為減函數，故當(-二,1時，有1.2n .2n q n(n 1)(_) x + (_)X + () x 蘭_+_+上n nn n n1故a (n -1)為所求。2弓(n)27解方程 3x 4x 5x = 6x ?！窘馕觥吭匠炭苫癁?3)x (4)x (5)x

23、=1 ,6 6 63 x4 x 5 xf (x) =( )x ( )x ( )x -1為減函數，因此原方程只有一個根。66 6其函數-,(-)x)(5)x均為減函數，故原函數3621 若函數 f(x) =x4 - px3 qx2 - x對一切的 X R均有 f (x) _x，且 f (1) =1，求 p,q 的值?！窘馕觥坑蒮 (x) _ x得x2 (x2 px q 0對x R都成立，故p2 -4q _ 0 ,因為f (1) = 1，所以p q = 2，即 q = -p -1，代入 p2 -4q 一0得(p 2)2 一 0 ,因此 p = -2, q = 1。28考察所有可能的這樣拋物線y =

24、x2 ax - b2，它們與坐標軸各有三個不同的交點，對于每一條這樣的拋物線，過其與坐標軸的三個交點作圓.證明：所有這些圓周經過一定點.2 2 2【證明】設拋物線y=x +axb與x軸的交點為(X1, 0)、( X2 , 0).由韋達定理知X1 x =b v 0 (因為b =0,則y =x2 +ax與坐標軸只有兩個不同的交點),故點(x1,0)、(x2 , 0)在坐標原點的兩側.又因為|x1|-|x2|=| -b2 | 1 ,2由相交弦定理的逆定理知，點(X1, 0)、( X2, 0)、( 0, -b ), (0, 1 )在同一個圓周上，即過拋物線與坐標軸的三個交點(x1, 0)、( x2 ,

25、 0)、(0, -b )的圓一定過定點(0, 1).于是所有的這些圓周均經過一定點(0, 1). 229.設二次函數 f(x)= ax+bx+c(a>0)，方程 f(x)-x=0 的兩個根 X1, X2滿足 0vX1VX2V 1/a。(1)當x (0, Xi)時，證明XVf(x) VXi ； (2)設函數f(x)的圖象關于直線 x=Xo對稱，證明：XoVX1/2。證明：欲證：X V f(X) V X只須證：0V f(X)-X V Xi-X2因為方程 f(X)-X=0的兩根為 xi,x 2,f(x)=ax+bx+c(a > 0)，二 f(x)-x=a(x-x i)(x-x 2) 式即

26、：0 V a(x-x i)(x-x 2) V xi-x/ a> 0, x (0,x i),x i-x >0, a(x i-x) > 0 式兩邊同除以 a(x i-x) >0，得：0VX2-x V i/a，即：xVX2 V i/a+x這由已知條件：0v xv xiV X2V i/a，即得：xv X2V (i/a) v i/a+x ,故命題得證。(2)欲證 X0V xi/2，因為 X0=-b/2a，故只須證：X0-x i/2=-b/2a-x i/2 V 0有(-(b/2a)-(x i/2)=(x 2/2)-(I/(2a)V 0 , 即:由韋達定理，xi+x2=(-b-i)/

27、a , (xi+X2) /2=-(b-I)/2a，代入式,X2V i/a由已知:0v xiV X2V i/a，命題得證。評注證(I)用到了二次函數的零點式f(x)-x=a(x-x i )(x-x2)證(2)用到了 X0=-(b/(2a),(xi+X2)/2)=-(b-I)/2a)，都是二次函數二次方程的基礎知識。3 230.設函數 f (X = x 2ax bx a , g* )2X -3X 2，其中 XR , a、b為常數，已知曲線y二f(X)與y = g(x)在點(2,0 )處有相同的切線I。(I)求a、b的值，并寫出切線1的方程;(II)若方程f(x) g(x)二mx有三個互不相同的實根

28、0、xx ,其中Xi X2 ,且對任意的x 'Xi,X2' ,fX)g()x ""(xT)恒成立，求實數m的取值范圍。/ 2 /【解析】(I) f (x) =3X "ax b,g (x)=2x-3，由于曲線曲線y二f(X)與y = g(x)在點(2,0 )處有相同的切線,故有f (2) =g(2) =0, f/(2) =g/(2) =i，由此解得：a = 2,b =5 ；切線I的方程：x - y -2 =0 3 2 2(II)由(I)得f(x) g(x) =X -3x 2x ,依題意得：方程x(x -3x 2-m) =0有三個互不相等的根°

29、;,Xl,X2，故X1,X2是方程X2 -3x 2 - m =0的兩個相異實根，所以1= 9 -4(2 -m) 0二 m 4 ；又對任意的X，XX 1,楓) g(X ： m(x-1)恒成立，特別地，取X = Xi時,f(Xi) +g(Xi) mxi c m 成立，即。龍 _m=)m c 0，由韋達定理知：Xi + x? = 3 > 0, x/? = 2 m>0，故 °cxi ex?對任意的XE Xi,X2 ，有XX2 蘭0,xXi Z0,x >0 貝y：f (x) g(x)mx 二 x(xxj(xx2)豈 0 .又 f (xj g(xjm = 0所以函數在x岡公2上的最大值為0，于是當m . 0時對任意的X，以公2 1, fX)g(X :：: m(i)恒成立；綜上:im的取值范圍是(一4,0)3i 設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x= i對稱，i對任意 xi, x2 0，-，都有 f(xi + x 2) = f(x i) f(x 2)，且 f(i) = a> 0.i i(i)求阪)及f(?；證明f(x)是周期函數；i記an 二f(2n+ 2n)，求 nlim (In a.) i22 (i)解：因為對 xi，x2 0，?,都有 f(xi + x2) = f(xi) f(x2)，