平面向量的極化恒等式及其應用

1、平面向量的極化恒等式及其應用一. 極化恒等式的由來定理：平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.證法 1（向量法）設 ABa, ADb. 則 ACab, DBa b,AC22a b2a b2222 AB22DB2 abAD.2222即ACDB2 ABAD .證法 2（解析法）證法 3（余弦定理）22222222推論 1：由 ACDB2ABAD知， 2AO2OB2 ABAD ,2222即ABAD2 AOOB推論 2： a b1224a ba b-極化恒等式 .22即AB ADAOOB推論 3：在ABC 中， O是邊 BC 的中點，則22212ABACAOOBAOBC -極化恒等式的幾

2、何意義 .4亦即向量數(shù)量積的第二幾何意義.二. 平行四邊形的一個重要結論平行四邊形的對角線的平方和等于相鄰兩邊平方和的兩倍.2222ACDB2ABAD .2222三 . 三角形中線的一個性質 ：ABAC2AOOB .21222推論 1：AOABACOB .2212212推論 2：AOABACBC .242PB2P 是直角三角形PA【應用】已知點ABC 斜邊 AB 上中線 CD 的中點，則2.PC1四. 三角形“四心”的向量形態(tài)1.O 是平面上一定點，A, B,C 是平面上不同的三點，動點P 滿足OPOAABAC0，則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的 -，ABACA.外心B.內心C.重心D.垂

3、心2. O 是平面上一定點，A, B,C 是平面上不同的三點，動點P 滿足OPOAABAC，0， .AB sin B AC sin C則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的 -A.外心B.內心C.重心D.垂心3. O 是平面上一定點，A, B,C 是平面上不同的三點，動點P 滿足OPOAABAC0，AB cosB AC cosC則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的 -A.外心B.內心C.重心D.垂心4.P 是 ABC 所在平面上一點，若 PAPBPB PCPCPA ，P 是 ABC 的 -A. 外心B.內心C.重心D.垂心ABC5.O是 ABC 所在平面內的一點，滿足 AB2OC 2AC 2OB

4、 2BC 2OA2，則點 O是 ABC 的 - （）A.外心B.內心C.重心D.垂心五. 典型案例分析問題1 在ABC中， M 是 BC 的中點， AM3，BC10，則 AB?AC【變式】已知正方形ABCD 的邊長為1，點 E 是 AB 邊上的動點，則DE ?DA問題 2 已知正三角形ABC 內接于半徑為 2 的圓 O ，點 P 是圓 O 上的一個動點， 則 PA ? PB的取值范圍是 -【變式】（ 2010 福建文11 題）若點 O 和點 F 分別為橢圓x 2y 21的中心和左焦點，點 P43為橢圓上的任意一點，則OP ? FP 的最大值為（）A. 2B.3C.6D.82問題 3（ 2013

5、 浙江理7）在ABC 中， P0 是邊 AB 上一定點，滿足 P0 B1 AB ，且對于邊4AB 上任一點 P ，恒有 PB? PC P0 B ?P0C ，則A.ABC2B.BAC2C.ABACD.ACBC【變式】（ 2008浙江理 9題）已知 a,b 是平面內的兩個互相垂直的單位向量，若向量c 滿足a c ? b c0 ，則 c 的最大值是（）A. 1B.2C.22D.2問題 3已知直線 AB 與拋物線 y24x 交于點 A, B ，點 M 為 AB 的中點， C 為拋物線上一個動點，若 C 0 滿足 C0 A ? C0 B min CA ? CB ，則下列一定成立的是（）【 B】A.C 0

6、 MABB.C 0 Ml ，其中是拋物線過點的切線C.C 0 AC0 BD.C 0 MAB （ 2013 年浙江省高中數(shù)學競賽試題第5 題）問題 4在正三角形ABC 中， D 是 BC 上的點， AB 3，BD1,則 AB ? AD（ 2011 年上海第11 題）【 15 】2問題 5在ABC中，AB2，AC，是BC的中點，則 AD ? BC.3 D（ 2007 年天津文科第15題）【5】2問題 6正方體 ABCDA1 B1 C1D1 的棱長為2 ， MN 是它內切球的一條弦（把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦）， P 為正方體表面上的動點，當弦最長時，PM ? PN 的最大值為-. （ 2

7、013 年浙江省湖州市高三數(shù)學二模）【2】 .問題 7點 P 是棱長為1 的正方體 ABCDA1B1 C1 D1 的底面 A1B1C1 D1上一點，則 PA ? PC 的取值范圍是 -.（ 2013 年北京市朝陽區(qū)高三數(shù)學二模） 【1,1 】.2問題8如圖，在平行四邊形ABCD 中，已知AB8，AD5 ，CP3PD ，則 AP ? BP2 . AB ? AD 的值為 -. （ 2014 年高考江蘇卷第 12 題）【 22】3問題 9如圖，在半徑為 1的扇形 AOB 中，AOB600 , C 為弧上的動點，AB 與 OC 交于點 P ，則 OP ?BP2 最小值為 - 【1 】 .222問題 1

8、0已知 Mx0 , y0是雙曲線 C : x2y21上的一點， F1,F2 是Cab的兩個焦點，若MF1 ?MF20 ，則 y0 的取值范圍是（）A.33B.33C.22222323,36,3,D.3,3363【橢圓與雙曲線焦點三角形的幾個結論】：在橢圓 C : x 2y 21 ab0中，設F1MF 2，則a 2b2MF1 ? MF2b2，SABCb 2tan， yb2tan2 .ccos222在雙曲線 C : x2y 21 a0,b0 ，設 F1MF 2，則a 2b2MF1 ? MF2b 2，S ABCb2cot， yb 2 cot2 .sin 222c課外探究1. 已知點 P 是橢圓 x2y 21上任意一點，EF 是圓 M : x 2y2 21 的直168徑，則 PE ? PF 的最大值為