2018屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用教師用書理!

1、第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用。2016，全國卷，4,5分(用函數(shù)圖象刻畫變化過程)2015，北京卷，8,5分(用函數(shù)圖象刻畫變化過程)2014，湖南卷，8,5分(平均增長率問題)2014，四川卷，13,5分(指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用)1.利用函數(shù)圖象刻畫實際問題及建立函數(shù)模型解決實際問題是高考命題的熱點；2.常與函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值以及基本不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

2、用交匯命題，考查建模能力及分析問題和解決問題的能力。微知識小題練自|主|排|查1三種函數(shù)模型性質(zhì)比較yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的單調(diào)性單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)單調(diào)遞增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，a0且a1，b0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，

3、a0且a1，b0)與冪函數(shù)相關(guān)模型f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0)微點提醒1“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長速度緩慢。2充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。3易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性。小|題|快|練一 、走進教材1(必修1P59A組T6改編)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是a件，在今后m年內(nèi)，計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%，則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為()Aya(1p%)x(0xm)By

4、a(1p%)x(0xm，xN)Cya(1xp%)(0xg(x)h(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)h(x)g(x)【解析】由圖象知，當x(4，)時，增長速度由大到小依次為g(x)f(x)h(x)。故選B。【答案】B2一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，燃燒時剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的() A. B. C. D.【解析】由題意知h205t(0t4)，故選B?！敬鸢浮緽3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品x萬件時的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬元)。一萬件售價是20萬元，為獲取

5、最大利潤，該企業(yè)一個月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A36萬件 B18萬件C22萬件 D9萬件【解析】利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當x18萬件時，L(x)有最大值。故選B。【答案】B4某工廠采用高科技技術(shù)，在2年內(nèi)產(chǎn)值的月增長率都是a，則這2年內(nèi)第2年某月的產(chǎn)值比第1年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長率為()Aa121 B(1a)121Ca Da1【解析】不妨設(shè)第1年8月份的產(chǎn)值為b，則9月份的產(chǎn)值為b(1a)，10月份的產(chǎn)值為b(1a)2，以此類推，到第2年8月份是第1年8月份后的第12個月，即一個時間間隔是1個月，這里跨過了12個月，故第2年8月份產(chǎn)值是b(1a)12。又由增長率的概念知，這2年

6、內(nèi)的第2年某月的產(chǎn)值比第1年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長率為：(1a)121。【答案】B5一個容器裝有細砂a cm3，細砂從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細砂量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的砂子，則再經(jīng)過_min，容器中的砂子只有開始時的八分之一。【解析】當t0時，ya，當t8時，yae8ba，所以e8b，容器中的砂子只有開始時的八分之一時，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min容器中的砂子只有開始時的八分之一?！敬鸢浮?6微考點大課堂考點一 用函數(shù)圖象的變化刻畫變化過程【典例1】(2016全國卷)某旅游城市為向

7、游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖。圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15 ，B點表示四月的平均最低氣溫約為5 。下面敘述不正確的是()A各月的平均最低氣溫都在0 以上B七月的平均溫差比一月的平均溫差大C三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D平均最高氣溫高于20 的月份有5個【解析】由圖形可得各月的平均最低氣溫都在0 以上，A正確；七月的平均溫差約為10 ，而一月的平均溫差約為5 ，故B正確；三月和十一月的平均最高氣溫都在10 左右，基本相同，C正確；平均最高氣溫高于20 的月份只有2個，D錯誤。故選D?！敬鸢浮緿反思歸納當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根

8、據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案?！咀兪接?xùn)練】(2015北京高考)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況。下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米/小時。相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【解析】對于A選項：由題圖可知，當乙車速度大于40 km/h時，乙車每消耗1升汽油，行駛里程都超過

9、5 km，則A錯；對于B選項：由題意可知，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三輛車中甲車耗油最少，則B錯；對于C選項：甲車以80千米/小時的速度行駛時，燃油效率為10 km/L，則行駛1小時，消耗了汽油801108(升)，則C錯；對于D選項：當行駛速度小于80 km/h時，在相同條件下，丙車的燃油效率高于乙車，則在該市用丙車比用乙車更省油，則D對。故選D?！敬鸢浮緿考點二 已知函數(shù)模型的實際問題【典例2】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2。其中3x6，a為常數(shù)。已知銷售價格為5元/千克時，每日

10、可售出該商品11千克。(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。【解析】(1)因為x5時，y11，所以1011，a2。(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6。從而，f(x)30(x4)(x6)。于是，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)極大值42由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點。所以，當x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42。

11、即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大?！敬鸢浮?1)2(2)4元/千克反思歸納求解已給函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點：1認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)。2根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)。3利用該模型求解實際問題?！咀兪接?xùn)練】(2015四川高考)某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))。若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是_小時?！窘馕觥恳李}意有192eb,48e22kbe22keb，所以e22k，所以e11k

12、或(舍去)，于是該食品在33 的保鮮時間是e33kb(e11k)3eb319224(小時)?！敬鸢浮?4考點三 構(gòu)建函數(shù)模型的實際問題多維探究角度一：構(gòu)建二次函數(shù)模型【典例3】某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是()A10.5萬元B11萬元C43萬元 D43.025萬元【解析】設(shè)公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1

13、x22.1x320.1(x)20.132。因為x0,16，且xN，所以當x10或11時，總利潤取得最大值43萬元。故選C?！敬鸢浮緾角度二：構(gòu)建分段函數(shù)模型【典例4】(2017錦州模擬)“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點。研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)。當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4x20時，v是x的一次函數(shù)，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年。(1)當0x20時，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式。(2)當養(yǎng)殖密度x為多大時，魚的年生長量(

14、單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值?！窘馕觥?1)由題意得當0x4時，v2；當4x20時，設(shè)vaxb，顯然vaxb在(4,20內(nèi)是減函數(shù)，由已知得解得所以vx，故函數(shù)v(2)設(shè)年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)當0x4時，f(x)為增函數(shù)，故f(x)maxf(4)428；當4x20時，f(x)x2x(x220x)(x10)2，f(x)maxf(10)12.5。所以當0x20時，f(x)的最大值為12.5。即當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米?！敬鸢浮?1)v(2)10尾/立方米12.5千克/立方米角度三：構(gòu)

15、建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型【典例5】(1)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率約是(參考數(shù)據(jù)lg 20.301 0,100.007 51.017)()A1.5% B1.6%C1.7% D1.8%(2)某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A略有盈利 B略有虧損C沒有盈利也沒有虧損 D無法判斷盈虧情況【解析】(1)設(shè)每年人口平均增長率為x，則(1x)402，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40lg(1x)lg2，所以lg(1x)0.007 5，所以10

16、0.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%。故選C。(2)設(shè)該股民購進這支股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(110%)na1.1n元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故該股民這支股票略有虧損。故選B?！敬鸢浮?1)C(2)B反思歸納解函數(shù)模型的實際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進行相關(guān)求解，最后結(jié)合實際意義作答。以上過程可簡潔表述為：微考場新提升1小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛。與以上事件吻合得最好

17、的圖象是()解析出發(fā)時距學(xué)校最遠，先排除A，中途堵塞停留，距離沒變，再排除D，堵塞停留后比原來騎得快，因此排除B。故選C。答案C2(2015北京高考)某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況。加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程。在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為()A6升 B8升C10升 D12升解析因為每次都把油箱加滿，第二次加入48升油，說明這段時間總耗油量為48升，而行駛的路程為35 60035 000600(千米)，故每100千米

18、平均耗油量為4868(升)。故選B。答案B3.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入客運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y(萬元)與營運年數(shù)x的關(guān)系如圖所示(拋物線的一段)，則為使其營運年平均利潤最大，每輛客車營運年數(shù)為()A3B4C5D6解析由題圖，易求得y與x的關(guān)系式為y(x6)211，則1212102，有最大值2，此時x，即x5。故選C。答案C4(2016遼寧五校聯(lián)考)一個人以6米/秒的速度去追趕停在交通燈前的汽車，當他離汽車25米時交通燈由紅變綠，汽車開始變速直線行駛(汽車與人前進方向相同)，汽車在時間t內(nèi)的路程為st2米，那么，此人()A可在7秒內(nèi)追上汽車B可在9秒內(nèi)追上汽車C不能追上汽車，但期間最近距離為14米D不能追上汽車，但期間最近距離為7米解析已知st2，車與人的間距d(s25)6tt26t25(t6)27。當t6時，d取得最小值7。故選D。答案D5某商家一月份至五月份累計銷售額達3 860萬元，預(yù)測六月份銷