例一項工程,甲隊單獨做完要天,乙隊單獨做完要天

1、一項工程，甲隊單獨做完要12天，乙隊單獨做完要10天，兩隊合做多少天就可以1完成？【分析1】把這項工程看作整體“1”，甲每天完成工程的，乙隊每天完成工程的1211111，甲乙合做每天完成工程的，工程“1”里包含幾個，就是兩隊合做完成這個工程的106060天數(shù).【解法1】兩隊合做1天完成的工程?1 111_+_=_121060兩隊合做多少天完成這項工程?綜合算式:12 10【分析2】 用最小公倍解法.因為12和10的最小公倍數(shù)是60,所以可假設這項工程為60.那么甲隊工作效率為60-12=5，乙隊工作效率為60-10=6，甲乙合做效率為5+6=11.用總工作 量60除以甲乙效率和11，即得兩隊合

2、做完成這個工程的天數(shù).【解法2】假設這項工程總工作量為60.（60-12+60-10）5（5+6）=60-11=5（天）.1+ 口=5仝60 11（天）=55（天）60 1111（天）完成.【分析3】由題意可知，甲隊每天的工作量，乙隊10512天就可完成，即62工作量由乙隊獨做需要1+天，即天.所以乙隊10天完成的這項工程，兩隊合做要用10-天.兩隊合做1天的10【解法3】10-（1+10-12）11（天）.【解法4】12-（1+12-10）=12-（1 + 5）5（天）答：兩隊合做天就可以完成【評注】解法1是工程應用題的一般解法，易于理解.是較好的解法。解法2是利用求公倍數(shù)法解工程應用題，

3、這種解法其實是假設解法，讀者可根據(jù)實際情況選擇恰當?shù)臄?shù)假設為總工程量.例2一列貨車與一列客車同時從甲、乙兩站相對開岀，經過9小時相遇，相遇后兩車【分析4】甲隊12天的工作量,乙隊10天即可完成，所以乙隊1天的工作量，甲隊要用天完時，即5天。那么甲乙兩隊合做1天的工作量，甲隊要用1+-（天）.所以乙隊10天完成的這項工程，兩隊合做要用12+（天）.10都繼續(xù)以原速前進。已知貨車又行了6小時到達乙站，問客車行完全程需要幾小時？（湖南省長沙市東區(qū)）【分析1】把甲乙兩站全程看作標準“1”.兩車同行1小時行完全程的，貨車1小時可行就是客車行全程需要多少小時【分析2】貨車行全程需9+6=15（小時），9和

4、15的最小公倍數(shù)是45,所以兩站全程可假 設為45,那么兩車同時行1小時可行45-9=5，貨車1小時可行45-15=3，所以客車每小時可 行5-3=2.甲乙兩站全程45內包含多少個2,就是客車行全程需要多少小時【解法2】假設甲乙兩站全程為45.45-45-9-45-（9+6）=45-45-9-45-15【分析3】兩車9小時行完的路程，貨車要用9+6=15（小時）行完.而客車9小時行完的路程，貨車只需6小時行完.那么貨車1小時行完的路程， 客車需要9+6=1.5（小時）.所以貨車1 5小時的行程，客車需要1.5 X 15=22.5（小時）.【解法3】9-6X（ 9+6）=9-6X 15=1.5

5、X 15=22.5（小時）.【分析4】兩車同時行全程需9小時，貨車行全程需要9+6=15（小時），那么客車行9小時215 .那么客車I-.全程“1”里包含著多少個119 -96=45-5-3=（小時）12恰好行完全程的nX 6=虧【解法4】1小時可行全程的（小所以客車每小時行全程的X 6-9)2 _2_-9=4 .由此可求客車行全程的時間2（小時）.【分析5】把客車行完全程需要的時間看作“1”.貨車行全程需9+6=15（小時），而貨車6小時的行程和客車9小時的行程恰好相同，由此可求岀客車9小時行全程的時的對應分率，由此可求客車行全程的時間【評注】比較以上五種解法，解法1是工程應用題的一般解法，

6、思路簡明清晰，易于理解和掌握；解法5是運用分數(shù)除法應用題的解法，更有益于理解工程應用題，且運算簡便，這兩種解法是本題的較好解法.例3一件工作，甲乙合做8天可以完成，甲獨做12天可以完成.現(xiàn)在甲乙合做若干天后，余下的由乙繼續(xù)做3天才完成.乙一共做了多少天？（河南省南陽地區(qū)）1215X 6=9-(115X 6)（小時）.答：客車行完全程需要小時.，即9小【解法5】9X 6)再加上余下3天即得乙共做多少天1_ 11【解法1】1-（X 3 +3=1-【分析2】根據(jù)“甲乙合做的工作量與乙獨做完成工作量的和等于總工作量”這一 等量關系列方程，先求乙先做了幾天，再加上3天即得乙共做了多少天.【解法2】設甲乙

7、合做了x天.1 1/ + 目=11 18X=i-8x=77+3=10【分析1】乙每天完成這件工作的- 卜，那么乙3天完成了這件工作的，再求岀甲乙合做的工作量1 771=88里包含多少3個，就是甲乙合做了幾天,+3=10（天）即乙先做了幾天=1-二！X 3 -+3【分析3】假設總工作量為24,那么甲乙效率和是248=3,甲的效率是2412=2, 所以乙的效率是3-2=1，它3天完成了1 X 3=3.因此，甲乙合做(24-3)3=7(天)， 即乙先做了7天，再加上3天即得乙共做的天數(shù).【解法3】假設工作總量為24.24-( 24 8-24 12)X 3 ( 24 8) +3=24-(3-2 )X

8、3) 3+3=24-33+3 =213+3=10（天）【分析4】假設甲乙合做了【解法4】假設甲乙合做了5天.i1=4 -8 +5+3=10（天）.答：乙一共做了10天.【評注】解法1和解法2是較好的解法.解法1是工程應用題的一般解法，雖思路 較繁，但容易想到.例4如圖是表示甲、乙、丙三個工程隊單獨完成某項工程所需天數(shù)的條形圖.請計算：甲、乙兩隊合做4天后，剩下的工程由丙隊做，丙隊還要做幾天才能完成任務？（廣東省深圳市）【分析1】先求岀甲、乙兩隊合做4天完成了工程的幾分之幾，再求剩下的工程，1再除以丙隊每天的工作量15，即得丙隊還要做的天數(shù).【解法1】甲、乙合做4天完成的工程?118甲乙繼續(xù)合做

9、還要用=2（天）.所以乙共做了5+2+3=10天.5天，那么比實際少完成=1-+5+3天數(shù)剩下的工程有多少?1_L=L丙隊還要幾天完成?41.1515（天）（一+一）X4 綜合算式：1-1012 -1511 =1-竹0+4丄15【分析2】先求岀甲、乙合做4天的工作量由丙隊獨做需要幾天，再用丙獨做全工 程用的15天減去這個天數(shù)，即得丙隊還要做的天數(shù)【解法2】甲、乙合做4天完成多少？1 111（i0+L甲、乙合做的工程由丙獨做需幾天?n j_15 -15 =11（天）剩下的工程丙隊還要幾天完成?15-1仁4（天）n =15-話-13=15-11=4（天）.【分析3】把丙隊獨做全工程需用天數(shù)看作“1

10、”.先求岀甲、乙合做后剩下的工程,即丙隊還要做天數(shù)的對應分率，最后求岀剩下工程丙隊還需幾天完【解法3】甲、乙合做了工程的幾分之幾？還剩下全工程的幾分之幾?丙隊完成剩下的工程還需幾天？15 X =4（天）綜合算式：15X1-11=15 X 115=15 X 15 =4（天）【分析4】根據(jù)“剩下工程=總工程-甲乙合做的工程”這一等量關系，列方程解【解法4】設丙隊還要x天完成.丄;r ( * ) X 415 =J10 !2?x=4答：丙隊還要做4天才能完成任務.【評注】比較以上四種解法，解法1和解法3是較好的解法.解法1是解工程應用 題的一般方法，容易理解.解法3是運用分數(shù)乘法應用題的解法，比解法1

11、的思路更直 接.另外，本題還可用最小公倍法和正比例來解，讀者可試解一下例5一項工程，甲、乙兩隊合做20天完成.已知甲、乙兩隊工作效率的比是4:5.甲乙兩隊單獨完成這項工程各需要多少天？(福建省福州市)丄【分析1】甲乙兩隊的工作效率和是20，又知甲乙工作效率的比是4:5,由此運用按比例分配的方法，分別求岀甲、乙兩隊的工作效率.再用總工作量“1”分別除以甲乙的獨做效率，即得甲乙獨做全工程的天數(shù)【解法1】甲隊每天完成多少工程?1157=1-1115丄X丄丄204 +515乙隊每天完成多少工程?x 5_ 12047?_36甲隊獨做全工程需幾天?丄1寧站=45（天）乙隊獨做全工程需幾天?21 -36 =

12、36（天）丄X J_丄1-（ ）=1 - =45（天）【分析2】因為“工作量-工作效率=工作時間”，工作時間一定，所以工作量和工4作效率成正比例.即甲乙兩隊工作量的比是4：5,所以甲20天完成了全工程的 學,乙隊520天完成了全工程的 夕.由此可分別求岀甲、乙獨做全工程各需多少天【解法2】甲隊獨做全工程需要多少天？4920-斗十=20X =45（天）乙隊:51204+5）=1-36綜合算式：甲隊:=36（天）（1-20 +弓-=20 X乙隊獨做全工程需要多少天?20 +弓-=20 X9=36（天）【分析3】由分析2可知，甲乙完成工作量的比是4:5.因為他們的工作效率一定，所以他們各自完成的工作

13、量與所需的時間成正比例.由此可分別列比例式，求岀兩隊的獨做時間.【解法3】設甲隊獨做需x天完.20:4=x：(4+5)4x=20 X 9x=20 X 9- 4x=45設乙隊獨做全工程需要y天.20:5=y：(4+5)5y=20 X 9y=20 X 9- 5y=36答：略.【評注】解法1是解工程應用題的一般方法，易于理解，但思路較曲折.解法2是運用分數(shù)除法應用題的方法來解的，思路簡單明白，運算也較簡便，是本題的較好解法.解法3雖與解法2的思路、方法都不同，但兩者的數(shù)量關系是相同的例6修一段公路，甲隊單獨修需要16小時完工.甲乙兩隊合修4小時后，剩下4的由乙隊又用 小時修完.這段公路全部由乙隊修筑

14、需要幾小時完工？20 +弓-=20 X(黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū))再求乙隊的工作效率，最后看這段公路“1”里包含幾個乙隊的工作效率，即乙隊獨修需幾小時.【分析1】乙隊先后共修了116- 10-2=2小時.先求乙隊共修了這段路的幾分之幾,3小時，修了全長的，根據(jù)分數(shù)除法的意義求岀乙隊獨修全長需要幾小時【解法1】乙隊共修了全長的幾分之幾?131-16 x 4=4乙隊先后共修了幾小時?4+2 =2（小時）乙隊每小時修全長的幾分之幾?2.101=丄4214乙隊獨修全長需幾小時？21+1耳=14（小時）綜合算式：1-(1-1；x 4)-(4+)1110-3小時，修了全長的，根據(jù)分數(shù)除法的意義求岀乙隊獨修全

15、長需要幾小時=1-(1-1卻2【分析2】把乙隊獨修全長需要的時間看作“1”.由分析1可知，乙隊先后共修了【分析3】根據(jù)“甲隊修路+乙隊修路=全路長”這一等量關系列方程解【解法3】設乙隊獨修需x小時完.11110-AX2=1-4x=14答：這段公路由乙隊獨修需14小時完工.【評注】比較以上三種解法，解法2的思路最簡捷，運算最簡便，是本題的最佳解法.例7一項工程甲隊單獨做要15天才能完成，乙隊單獨做12天才能完成，如果甲隊先做3天后，剩余的工作兩隊同時去做，還要多少天可以完成？（四川省成都市）【分析1】先求岀甲隊先完成了工程的幾分之幾，那么即可求岀剩下的工程，再用剩下的工程除以甲、乙隊的工作效率和

16、，即得甲、乙隊合做還要多少天完【解法1】甲隊先做了多少？1616(4+2(1-【解法2】X 4)111616X 4+疋X(4+2)=14=14(小時)剩余的工作有多少?1 41 = 5兩隊合做還要多少天完?1丄綜合算式：(1-15X 3) + (1512)【分析2】把兩隊合做全工程的時間看作“1”.先求岀兩隊做全工程需要多少天,再求剩余的工程是全工程的幾分之幾，最后求岀兩隊還要多少天完成【解法2】甲乙合做全工程需要幾天？兩隊要合做全工程的幾分之幾?丄11-15 x 3=-兩隊還要多少天可以完成?1 1+ 201+(15讓）=3(天)（1512）=該（天）1 1-*-11 +(1512)x(1-

17、15綜合算式:X 3)(天)=1+x=x=【分析4】剩余的工作由甲獨做要用所需的時間和工作效率成反比例.由此列方程解.【解法4】設兩隊合做還要x天完.11 1+-15X( 15-3)=(15 12)x3_ X413X5=(天)【分析3】根據(jù)“甲隊先做的工作量+兩隊合做的工作量=工作總量”列方程解【解法3】設兩隊還要x天完成.1151 1_+ )x=14520 x=(1-)32015-3=12（天）.把剩余的工作看作定量，那么=1+x=3_X 12= L x35 205答：剩余的工作兩隊還要孑天可以完成.【評注】以上四種解法各有特點.解法1是一般解法，最容易想到，運算較簡便，是較好的解法.解法2

18、是分數(shù)應用題的解法，思路更直接.解法3和解法4都是方程解法， 但等量關系不同.讀者可靈活選用.例8倉庫有45噸化肥，甲汽車單獨運10小時完成，乙汽車單獨運15小時完成.用甲乙兩輛汽車同時運，多少小時可以運完？（江蘇省江都縣）【分析1】先求兩車每小時各運多少噸，再求兩車每小時共運多少噸，最后用總噸 數(shù)除以兩車每小時運的，即得兩車同運所需時間【解法1】甲車每小時運多少噸？45-10=4.5（噸）乙車每小時運多少噸？45-15=3（噸）兩車每小時運多少噸？4.5+3=7.5（噸）兩車同時運需幾小時運完？45-7.5=6（小時）綜合算式：45+（45-10+45-15）=45-（4.5+3）=45-7

19、.5=6（小時）。【分析2】先求岀兩車每小時共運總噸數(shù)的幾分之.幾？再求兩車每小時共運多少噸，再看總噸數(shù)里包含幾個這樣的噸數(shù)，就是兩隊合運需幾小時【解法2】兩車每小時運貨的幾分之幾?1 1-=1015=6兩車每小時運貨多少噸?兩車合運幾小時完成?45-7.5=6（小時）根據(jù)“甲車運肥+乙車運肥=化肥總量”這一等量關系列方程解11【分析3】甲車每小時運化肥的10，乙車每小時運化肥的15=45-7.5=6（小時）.，兩車每小時運化肥【解法設兩車同運x小時完.110 x+45 X1_右=7.5（噸）綜合算式：45-45 X（1 11510的（ 時完成.1 1_+_【解法_6.把化肥總噸數(shù)看作“1”，

20、“1”里包含幾個1*（ io+B）=1+=6（小時）.，就是兩車同運幾小【分析1 1-=十-1015）x=1x=i6x=61 1-+ 或（10-15）x=ix=6答：兩車同時運6小時可以完成.【評注】比較以上四種解法，解法3的思路最簡捷，運算最簡便，是本題的最佳解法.例9甲乙兩地相距630千米，客車和貨車同時從兩地岀發(fā)，相向而行.客車行完全程需14小時，貨車行完全程需21小時.兩車相遇時各行了多少千米？（上海市徐匯區(qū)）【分析1】先求客車和貨車的速度各多少，再求兩車的相遇時間，最后用兩車的速 度分別乘以相遇時間，即得每車各行多少千米【解法1】客車每小時行多少千米？630-14=45（千米）貨車每

21、小時行多少千米？630-21=30（千米）兩車幾小時相遇？A2630-（45+30） = （小時）x=i6相遇時客車行多少千米?A245X =378（千米）相遇時貨車行多少千米?A230X=252（千米）綜合算式：客車：630-14X 630-（630-14+630-21）=45 X 630 -（ 45+30）貨車：630-378=252（千米）【分析2】先求岀甲車的速度，再運用工程應用題的解法求兩車的相遇時間，然后 用甲車速度乘以相遇時間即得甲車行多少千米.最后再求貨車的行程.【解法2】客車每小時行多少千米？630-14=45（千米）兩車幾小時相遇？（小時）客車行了多少千米?A245 X =

22、378（千米）=45 X=378（千米）貨車行多少千米？630-378=252（千米）綜合算式:1 1- -客車：（630-14）X 1+（W 21）542=45 X 1 +42 =45 X 5 =378（千米）貨車：630-378=252（千米）【分析3】 因為“路程+速度=時間”，時間一定，所以客車和貨車的路程比等于速度比即14：21 =3:2.由此可運用按比例分配的方法分別求岀兩車各行了多少千米.【解法3】客車與貨車所行路程的比？ 丄百：百=3：2客車行了多少千米？3630 X?十2=378（千米）貨車行了多少千米？2630 X?十2=252（千米）綜合算式：客車：630 XI =378

23、（千米）14貨車：630 X I、一 厶=252（千米）.答：略.【評注】比較以上三種解法，解法1最繁，但其思維難度小，也最容易想到.解法3的思路簡單明白，運算最簡便，是本題最佳解法.如果由分析3繼續(xù)分析，運用分數(shù)應用題解法也可求岀兩車各行多少千米.例10一項工程，甲單獨做40天完成，乙單獨做30天完成，二人合做若干天后，甲臨時調走，乙繼續(xù)完成這項工程，一共用27天.求乙單獨工作了多少天？（黑龍江省哈爾濱市）【分析1】把全工程看作“1”.先求岀乙共完成的工程，再求岀甲完成的工程，然后再除以甲的工作效率即得甲做了幾天，即甲乙合做的天數(shù).最后用27天減去甲乙合做的天數(shù)，即得乙單獨做了多少天.【解法1】乙共完成工程的幾分之幾？1930 X 27=W甲完成了工程的幾分之幾?甲乙合做了多少天?10由0 =4（天）乙單獨做了多少天?27-4=23（天）=27-4=23（天）綜合算式:27-1（1-艾x 27）1 1-+ 【分析