初等幾何研究第一章習(xí)題的答案(1)

1、初等幾何研究試題答案一、線段與角的相等 P4911.O1、O2相交于A、B,O1的弦BC交O2于E,O2的弦BD交O1于F, 求證: （1）若DBA=CBA,則DF=CE; (2) 若DF=CE,則DBA=CBA. 證明:(1)連接AC、AE、AF、AD 在O1中,由CBA=DBA得AC=AF 在O2中,由CBA=DBA得AE=AD 由A、C、B、E四點(diǎn)共圓得1=2 由A、D、B、E四點(diǎn)共圓得3=4 所以ACEAF DF=CE (2)由（1）得1=2,3=4 DF=CE ACEAFD AD=AE 在O2中,由AD=AE可得DBA=CBA2. 在ABC中,AC=BC,ACB=90O ,D是AC上

2、的一點(diǎn),AEBD的延長線于E,又AE=BD,求證:BD平分ABC. 證明:延長AE,BC交于點(diǎn)F3. 已知在凸五邊形ABCDE中,BAE=3,BC=CD=DE,且BCD=CDE=180º2,求證:BAC=CAD=DAE.證明:連接BD,得CBD是等腰三角形 且底角是CDB=180º(180º2)÷2=. BDE=(180°2)-=180º3 A、B、D、E共圓同理A、C、D、E共圓 BAC=CAD=DAE4.設(shè)H為銳角ABC的垂心,若AH等于外接圓的半徑.求證:BAC=60º證明:過點(diǎn)B作BDBC,交圓周于點(diǎn)D,連結(jié)CD、A

3、D DBC=90º, CD是直徑,則CAD=90º 由題,可得AHBC, BHAC BDAH, ADBH 四邊形ADBH是 AH=BD 又AH等于外接圓的半徑(R) BD=R,而CD=2R 在RtBCD中,CD=2BD,即BCD=30º BDC=60º 又BAC=BDC BAC=BDC=60º5. 在ABC中,C=90o,BE是B的平分線,CD是斜邊上的高,過BE、CD之交 點(diǎn)0且平行于AB的直線分別交AC、BC于F、G,求證AF=CE.證明:如圖13,1=2. 2=3, GB = GO, 5=4=6,CO =CE, FGAB, AFCF=BG

4、CG=GOCG, 又FCOCOG, COCF=GOCG=AFCF, CO=AF, CO=CE, AF=CE. 6. 在ABC中,先作角A、B的平分線,再從點(diǎn)C作上二角的平分線值平行線,并連結(jié)它們的交點(diǎn)D、E,若DEBA,求證:ABC等腰.證明:如圖所示 設(shè)AC、ED的交點(diǎn)為F AD是A的平分線1=2 DEAB 1=3 CEAD3=5, 4=2 1=2=3=4=5 則FAD和FCE是等腰三角形 AF=DF,EF=CF AC=DE 同理可證BC=DE AC=BC ABC是等腰三角形 7.三條中線把ABC分成6個(gè)三角形,若這六個(gè)三角形的內(nèi)切圓中有4個(gè)相等. 求證:ABC是正三角形證明:AOF、AOE

5、、COD、COE、BOF、BOD面積都相等SOFB=SOEC即:BF×r+FO×r+BO×r=CE×r+OE×r+OC×r (BF+FO+BO)×r= (CE+OE+OC)×r BF+FO+BO=CCE+OE+OC CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ 2DH+2BH=2FK+2CK 2BF=2CE 又F、E分別為AB、AC之中點(diǎn) AB=AC 同理:AB=BC 故ABC是正三角形.8.平行四邊形被對(duì)角線分成四個(gè)三角形中,若有三個(gè)的內(nèi)切圓相等證明:該四邊形為菱形.證明:又AOB、BOC 、COD

6、、DOA四個(gè)三角形的面積相等 四邊形為菱形9. 凸四邊形被對(duì)角線分成4個(gè)三角形,皆有相等的內(nèi)切圓,求證:該四邊形是菱形 .證明:連結(jié)O1 、O2,分別作O1 、O2到AC的垂線,垂足分別為P 、MABDCPNO1O2OO3O4MQ在ABC中,BO是O1 、O2的公切線BOO1 O2 又O1 、O2半徑相同,且都與AC相切O1 O2AC BOAC BDAC 兩個(gè)相等的內(nèi)切圓O1 、O3在對(duì)頂三角形AOB與COD中 周長CAOB=CCOD AO+BO+AB=CO+DO+CD 又OP=OQ=OM=ON （AO+BO+AB)-(OP+OQ)=(CO+DO+CD)-(OM+ON)2AB=2CD AB=C

7、D 同理AD=BC 四邊形ABCD是平行四邊形又ACBD 四邊形ABCD是菱形10. 在銳角ABC中,BD,CE是兩高,并自B作BFDE于F,自C 作CGDE于G,證明:EF=DG.MGOFEDCBA證明:設(shè)O,M分別是BC,FG的中點(diǎn), 所以O(shè)MBF, 因?yàn)锽FFG, 所以O(shè)MFG, 又因?yàn)锽EC=BDC= 所以BCDE四點(diǎn)在以BC為直徑的圓上, 因?yàn)镺MDE,所以O(shè)M平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.11.ABC中,M是BC的中點(diǎn),I是內(nèi)心,BC與內(nèi)切圓相切與K. 求證:直線IM平分線段AK.證明:作出A的旁切圓O,設(shè)它與BC邊和AB,BC的延長線分別切于D,E,F,

8、連接AD交內(nèi)接圓于L,則因內(nèi)接圓和旁切圓以A為中點(diǎn)成位似,則: ILBC,即K,I,L共線 于是原題借中位線可如下轉(zhuǎn)化MI平分AK,M平分DK BD=KC 后者利用圓I與圓O兩條外公切線相等EG=FH BD+BK=CD+CK 則反推過去,得到IM平分線段AK.12在ABC中,M是BC的中點(diǎn),I是內(nèi)心,AHBC于H,AH交MI于E,求證:AE與內(nèi)切圓半徑相等. 證明:如圖所示 作ABC的內(nèi)切圓, 切點(diǎn)分別交于BC于點(diǎn)K、AB于點(diǎn)F、AC于點(diǎn)G,連接KL與AC KL是直徑, 又M為BC的中點(diǎn),I為內(nèi)心,則AL 又AHBC AHLK 又點(diǎn)E點(diǎn)I分別都在AH、LK上 AELI 四邊形AEIL為平行四邊

9、形 AELI 命題得證.13.在矩形ABCD中,M是AD的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),在CD的延長線取P點(diǎn),記Q為PM與AC的交點(diǎn),求證:QNMMNP證明:利用矩形的中心 設(shè)O是矩形ABCD的中心,則O也是MN的中點(diǎn), 延長QN交OC的延長線于R,如圖,則O 又是PR的 中點(diǎn),故NC平分PNR.,而NMNG. NM平分PNQ14.給定以O(shè)為頂點(diǎn)的角,以及與此角兩邊相切于A、B的圓周,過A作OB的平行線交圓于C,連結(jié)OC交圓于E,直線AE交OB于K,求證:OK=KB.證明:如圖所示,過C作圓的切線交OB延長線于D. OD,OA,CD都是圓的切線,且ACCD四邊形ACDO是等腰梯形,DOA=D BOC=

10、ACO,ACO=OAK BOC=OAK DOA=D AOKODC OA=OB OB=OA=2KO,即OK=KB15.在等腰直角ABC的兩直角邊CA,CB上取點(diǎn)D、E使CD=CE,從C、D引AE得垂線,并延長它們分別交AB于K、L,求證:KL=KB.證明:延長AC至E'使CE'=CE,再連BE'交AE的延長線于H. ABC是等腰直角三角形 AC=BC ,ACB=BCE'=90° 又CE=CE' BCE'ACE CAE=CBE' AEC=BEH BHEACE BHE=ACB=90° DLCKE'B及DC=CE

11、9; KL=LB.16. 點(diǎn)M在四邊形ABCD內(nèi),使得ABMD為平行四邊形,試證:若CBM= CDM,則ACD=BCM.證明:作ANBC且AN=BC,連接DN、NCABMD為平行四邊形,ANBC且AN=BCABCN、DMCN為平行四邊形,AD=BM DN=CM、AN=BCADNBMC 1=3,2=4,6=7 1=2 3=4 A、C、N、D共圓（視角相等）5=7（同弧AD） 5=6即ACD=BCM17. 已知ABC=ACD=60°,且ADB=90°-BDC,求證:ABC是等腰的證明:延長CD使得BDDE,并連結(jié)AE ADB90°BDC 2ADBBDC180°

12、; 又BDCADBADE180° ADBADE 又BDDE,ADAD ADBADE ABDAED60°,ABAE 又ACD60° ACE為正三角形 ACAE ABAC ABC為等腰三角形18. O1、O2半徑皆為r,O1平行四邊形過的二頂A、B,O 2過頂點(diǎn)B、C,M 是O1、O2的另一交點(diǎn),求證AMD的外接圓半徑也是r.證明:設(shè)O為MB的終點(diǎn) 連接CO并延長O1于E 則由對(duì)稱知O為CE的中點(diǎn) O平分MB O平分CE MEBC是平行四邊形 MEBCADMEAD亦是平行四邊形 MAEAMD AMD的外接圓半徑也為rDCBEAF 19.在凸五邊形ABCDE中,有ABC

13、=ADE,AEC=ADB, 求證:BAC=DAE.證明:連接BD,CE,設(shè)它們相交于F,如圖, AEC=ADB. A,E,D,F四點(diǎn)共圓. DAE=DFE. 又ABC=ADE=AFE. A,B,C,F四點(diǎn)共圓 BAC=BFC. 又DFE=BFC. BAC=DAE.20. 在銳角ABC中,過各頂點(diǎn)作其外接圓的切線,A、C處的兩切線分別交B處的切線于M、N,設(shè)BD是ABC的高（D為垂足）,求證:BD平分MDN. 證明:如上圖,m、n分別表示過M、N的切線長,再自M作MMAC于M, 作NNAC于N,則有 NBNCN MAMNCN AM/CN=AM/CN=m/n 又MMBDNN MD/DN=MB/BN

14、=m/n 由等比性質(zhì)知m/n=(MDAM)/(DN-CN)=AD/DC ADMCDN DM/DN=m/n即DM/m=DN/n BD平分MDN21.已知:AD、BE、CF是ABC的三條高.求證:DA、EB、FC是DEF的三條角平分線.證明:連結(jié)DF、FE、DE CFAB ADBC B、D、H、F共圓13 ADBC BEAC B、D、E、A共圓 2=3 2=1 AD平分EDF 同理,CF平分EFD BE平分FED即證:DA、EB、FC是DEF的三條角平分線22. 已知AD是ABC的高,P是AD上任意一點(diǎn),連結(jié)BP-CP,延長交AC、AB于E、F,證DA平分EDF.證明:過E、F兩點(diǎn)分別作EH、FG

15、,使EHBC,FGBC,且交CF、BE于I、JEHBC,ADBC,FGBCEHADFG = 又 EIPJFP EHDFGDDFJ=DEI FDB=EDC 即ADF=AD 即DA平分EDF23.圓內(nèi)三條弦PP1、QQ1、RR1、兩兩相交,PP1與QQ1交于B,QQ1與RR1交于C,RR1與PP1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR1=BP1=CQ1,求證:ABC是正三角形.解:設(shè)AP=BQ=CR=m,AR1=BP1=CQ1, 則由相交弦定理得m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m) 即ma=nc mb=na mc=n 三式相加得m=n所以a=b=c即AB

16、C是正三角形BCHDEFRSTQKCAB24. H為ABC的垂心,D、E、F分別為BC、CA、AB的中點(diǎn),一個(gè)以H為心的圓交DE于P、Q,交EF于R、S,交FD于T、V.求證:CP=CQ=AR=AS=BT=BU證明:連結(jié)AS、AR、RH 由相交弦定理知:AH·HA=BH·HB=CH·HC AS2=AR2=AK2+KR2 設(shè)H的半徑為r, 在KR中,KR2=r2-HK2 AS2=r2+（AK+KH）·（AK-HK）=r2+AH·(AK-HK) 在ABC中,F、E為AB、AC的中點(diǎn),且AABC AK=KA AS2=AR2=r2+AH·HA 同理:BT2=BU2=r2+BH·HB CP2=CQ2=r2+CH·HC25、 在銳角三角形ABC中,AD、BE、CF是各邊上