高一數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)系列-正弦定理與余弦定理

1、正弦定理與余弦定理一、三角形中的各種關(guān)系設(shè)的三邊分別是，與之對(duì)應(yīng)的三個(gè)角分別是.則有如下關(guān)系：1、三內(nèi)角關(guān)系三角形中三內(nèi)角之和為（三角形內(nèi)角和定理），即，；2、邊與邊的關(guān)系三角形中任意兩條邊的和都大于第三邊，任意兩條邊的差都小于第三邊,即；3、邊與角的關(guān)系（1）正弦定理三角形中任意一條邊與它所對(duì)應(yīng)的角的正弦之比都相等，即（這里，為外接圓的半徑）.注1：（I）正弦定理的證明：在中，設(shè),證明：（這里，為外接圓的半徑）證：法一（平面幾何法）：在中 ，作，垂足為則在中，；在中， 即同理可證： 于是有作的外接圓O，設(shè)其半徑為連接并延長(zhǎng)，則可得到O的直徑，連接因?yàn)樵趫A中，直徑所對(duì)的圓周角是直角所以于是在中

2、，又因?yàn)樵谕粓A中，同弧所對(duì)的圓周角相等所以故（這里，為外接圓的半徑） 法二（平面向量法）（）正弦定理的意義：正弦定理指出了任意三角形中三邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式，也就是任意三角形的邊角關(guān)系. （）正弦定理適用的范圍：（i）已知三角形的兩角及一邊，解三角形； （ii）已知三角形的兩邊及其中一邊所對(duì)應(yīng)的角，解三角形； （iii）運(yùn)用解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系. 注2：正弦定理的一些變式：（i）；（ii）；（iii）.注3：已知三角形是確定的，則在運(yùn)用正弦定理解該三角形時(shí)，其解是唯一的；已知三角形的兩條邊和其中一條邊的對(duì)角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其解是不確定的，此時(shí)可結(jié)合平面幾何作圖

3、的方法、“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”定理及三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題.例1. 中，分別為角的對(duì)邊，若，則=.例2. 中，角的對(duì)邊分別為，則.例3.在中，求和例4. 在中，已知,則.例5.已知中，角所對(duì)的邊分別是，若,則一定是（）A. 等腰三角形 B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形（2）余弦定理三角形中任意一條邊的平方等于其他兩條邊平方的和減去這兩條邊與它們夾角的余弦的乘積的2倍，即，.注1：（I）余弦定理的證明：法一（平面幾何法）在中 ，作，垂足為則在中，； 在中，由勾股定理有 于是有同理可證：，.法二（平面向量法）（）余弦定理的意義：余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，

4、直接運(yùn)用它可解決一類(lèi)已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問(wèn)題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)結(jié)合其它知識(shí)，則使用起來(lái)更為方便、靈活。（）余弦定理適用的范圍：（）已知三角形的三條邊，可求出其三個(gè)內(nèi)角；（）已知三角形的兩條邊及它們之間的夾角，可求出其第三條邊； （）已知三角形的兩條邊及其中一條邊所對(duì)應(yīng)的角，可求出其另兩個(gè)角及第三條邊.注2：余弦定理的變式：；;注3：常選用余弦定理判定三角形的形狀；注4：求解三角形中含有邊角混合關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常運(yùn)用正弦定理、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化.例1. 在中，三邊長(zhǎng)為連續(xù)的正整數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長(zhǎng).例2.如下圖所示，在四邊形ABC

5、D中，已知,，,求的長(zhǎng).例3. 在中，已知，則()A. B. C. D. （3）面積公式： （i）常規(guī)方法：；（ii）三角函數(shù)法：；（iii）海倫公式：.這里，為邊的高線；為周長(zhǎng)的一半，即；為內(nèi)切圓的半徑.例1. 在中，若已知三邊為連續(xù)的正整數(shù)，且最大角為鈍角.（1）求該最大角；（2）求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積.（參考數(shù)據(jù)：）例2. 在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別是，已知.(1)若，且為鈍角，求內(nèi)角A與C的大??；（2）若，求面積的最大值.二、關(guān)于三角形內(nèi)角的常用三角恒等式由三角形內(nèi)角和定理：，有由此可得到：,；又，于是得到：，.三、三角形的度量問(wèn)題：即所謂的求邊、角、

6、周長(zhǎng)、面積、圓半徑等問(wèn)題（1）求角角邊的適用定理是正弦定理；（2）求邊邊角的適用定理是正弦定理或余弦定理；（3）求邊邊邊、邊角邊的適用定理是余弦定理.注：在解決“邊邊角” 類(lèi)型的題目時(shí)，若利用正弦定理求角，則應(yīng)判定三角形的個(gè)數(shù)：假定：，若，則有一解；若，則當(dāng)時(shí)，有兩解；當(dāng)時(shí)，有一解；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；假定：，若，則有一解；，則無(wú)解.四、三角形形狀的判定方法（1）角的判定；（2）邊的判定；（3）綜合判定；（4）余弦定理判定.注：余弦定理判定法：若是的最大邊，則：是銳角三角形；是鈍角三角形；是直角三角形.注：關(guān)于銳角三角形有以下等價(jià)結(jié)論：三角形是銳角三角形三內(nèi)角都是銳角任意兩角和都是鈍角三內(nèi)角的余弦值均

7、為正值任意兩條邊的平方和都大于第三邊的平方.五、高考真題整理1.設(shè)的三內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A. B. C. D. 2.如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值是（）A. B. C. D. 3.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則_.4、在中，邊上的高等于，則_.5、的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，. 若，則_. 6、已知的三邊長(zhǎng)分別為，則該三角形的外接圓半徑等于_.7、在ABC中，已知B=45°,D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的長(zhǎng).8、在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知.（1）若的面積等于，求；（2）若，求的面積.9、設(shè)函數(shù)（）.（1）求函數(shù)的單調(diào)

8、區(qū)間；（2）在銳角中，角，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，. 若，求面積的最大值. 10、已知向量，函數(shù).（1）試求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，內(nèi)角滿足，且，試求面積的最大值.11、在中，角，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且，.（1）求；（2）求的周長(zhǎng).12、設(shè)三個(gè)內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，. 已知，.（1） 求角的大??；NPDCBAM（2） 如圖所示，在的外角內(nèi)取一點(diǎn)，使得. 過(guò)點(diǎn)分別作直線、的垂線，垂足分別是、. 設(shè)，求的最大值及此時(shí)的取值.13、的內(nèi)角的對(duì)邊分別為. 已知.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng). 14、在中，.（1）求的大??；（2）求的最大值.15、的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，. 已知向量與平行.（1）求；（2）若，求的面積.16、如圖，已知扇形的圓心角，半徑為，若點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）（1）若弦，求的長(zhǎng)；（2）求四邊形面積的最大值【解析】（1）在中，由余弦定理，有于是的