第六章時(shí)間序列模型1ppt課件

1、第六章、時(shí)間序列分析模型第六章、時(shí)間序列分析模型（1 1）E&M-IMU問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型問(wèn)題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型 1、常見的數(shù)據(jù)類型： 到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)time-series data)；截面數(shù)據(jù)(cross-sectional data)平行/面板數(shù)據(jù)panel data/time-series cross-section data) 時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)。E&M-IMU2 2、經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性、經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要的假設(shè)：經(jīng)典回歸分析暗含著

2、一個(gè)重要的假設(shè)： 數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的 1數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)“一致性一致性要求要求被破懷。被破懷。 經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變量是非隨機(jī)變量 放寬該假設(shè)：放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求： (1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) 不相關(guān)不相關(guān) Cov(X,)=0nXXi/)(22() / )PliminXXnQ依概率收斂：依概率收斂： (2)E&M-IMU 第2條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性特性：)(limnPnxnuxxuxiiiiii/22

3、QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2第1條是OLS估計(jì)的需要如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)如表現(xiàn)出向上的趨勢(shì)），那么2不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此：留意：在雙變量模型中：留意：在雙變量模型中：E&M-IMU 表現(xiàn)在表現(xiàn)在:兩個(gè)本來(lái)沒(méi)有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)兩個(gè)本來(lái)沒(méi)有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性有較高的性有較高的R2)： 例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)非平例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)非平穩(wěn)的），即使它們沒(méi)有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出穩(wěn)的），即使它們沒(méi)有任何有意義的關(guān)系

4、，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。較高的可決系數(shù)。 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中：在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中： 情況往往是實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變情況往往是實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過(guò)經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。通過(guò)經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。2 2、數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)、數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸問(wèn)題：虛假回歸問(wèn)題：E&M-IMU 時(shí)間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過(guò)揭示

5、時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來(lái)的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。 時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)當(dāng)中。一、數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)二、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性二、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)六、模型的檢驗(yàn)六、模型的檢驗(yàn)時(shí)間序列分析模型時(shí)間序列分析模型假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過(guò)程假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一隨機(jī)過(guò)程stochastic processstoch

6、astic process生成的，即假定時(shí)間序生成的，即假定時(shí)間序列列XtXt（t=1, 2, t=1, 2, ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件：概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件： 1 1均值均值E(Xt)=E(Xt)=是與時(shí)間是與時(shí)間t t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 2 2方差方差Var(Xt)=Var(Xt)=2 2是與時(shí)間是與時(shí)間t t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 3 3協(xié)方差協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=Cov(Xt,Xt+k)=k k 是只與時(shí)期間是只與時(shí)期間隔隔k k有關(guān)，與時(shí)間有關(guān)，與時(shí)間t t 無(wú)關(guān)的常數(shù)；無(wú)關(guān)的常數(shù)； 則

7、稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是平穩(wěn)的stationary)stationary)，而該隨機(jī)過(guò)程是一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程而該隨機(jī)過(guò)程是一平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程stationary stationary stochastic processstochastic process）。）。 一、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性一、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 例1一個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間序列是一具有零均值同方差的獨(dú)立分布序列： Xt=t ， tN(0,2) 例例2另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游走另一個(gè)簡(jiǎn)單的隨機(jī)時(shí)間列序被稱為隨機(jī)游走random walk），該序列由如下隨機(jī)過(guò)程生成：），該序列由如下隨機(jī)過(guò)程生成： Xt=Xt

8、-1+t這里，這里， t是一個(gè)白噪聲。是一個(gè)白噪聲。該序列常被稱為是一個(gè)白噪聲white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的。 為了檢驗(yàn)該序列是否具有相同的方差，可假設(shè)Xt的初值為X0，則易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+t 由于X0為常數(shù)，t是一個(gè)白噪聲，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差與時(shí)間t有關(guān)而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。 容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)n然而，對(duì)X取一階差分first difference）:n Xt=Xt-Xt-1=tn由于t是一個(gè)白噪聲，則序列

9、Xt是平穩(wěn)的。 后面將會(huì)看到后面將會(huì)看到: :如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如果一個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^(guò)取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。它常?？赏ㄟ^(guò)取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。 事實(shí)上，隨機(jī)游走過(guò)程是下面我們稱之為事實(shí)上，隨機(jī)游走過(guò)程是下面我們稱之為1 1階自回階自回歸歸AR(1)AR(1)過(guò)程的特例過(guò)程的特例 Xt= Xt=Xt-1+Xt-1+t t 不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證:1)|:1)|1|1時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程生成的時(shí)間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升( (1)1)或持續(xù)下降或持續(xù)下降( (-1)-1)，因此是非平穩(wěn)的；，因此是非平穩(wěn)的；可以證明

10、可以證明:只有當(dāng)只有當(dāng)-10k0，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以，樣本自相關(guān)系數(shù)近似地服從以0 0為均值，為均值，1/n 1/n 為方差的正態(tài)分布，其中為方差的正態(tài)分布，其中n n為樣本數(shù)。為樣本數(shù)。 也可檢驗(yàn)對(duì)所有也可檢驗(yàn)對(duì)所有k0k0，自相關(guān)系數(shù)都為，自相關(guān)系數(shù)都為0 0的聯(lián)合假設(shè)，這的聯(lián)合假設(shè)，這可通過(guò)如下可通過(guò)如下QLBQLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行：統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行： 該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為m的2分布m為滯后長(zhǎng)度）。 因此:如果計(jì)算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k0)同時(shí)為0的假設(shè)。mkkLBknrnnQ12)2( 在討論了平穩(wěn)時(shí)間序列的重要性之后，接下來(lái)的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是：

11、1、如何建立一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的模型， 2、如何用所建的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)?；卮穑?可以通過(guò)建立隨機(jī)時(shí)間序列分析模型來(lái)進(jìn)行 與經(jīng)典回歸分析不同的是： 1、這里所建立的時(shí)間序列模型主要不是以不同變量間的因果關(guān)系為基礎(chǔ)，而是尋找時(shí)間序列自身的變化規(guī)律； 2、同樣地，在預(yù)測(cè)一個(gè)時(shí)間序列未來(lái)的變化時(shí)，不再使用一組與之有因果關(guān)系的其他變量，而只是用該序列的過(guò)去行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。二、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性二、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性 1、時(shí)間序列模型的基本概念、時(shí)間序列模型的基本概念 時(shí)間序列模型時(shí)間序列模型time series modeling是指僅用它的是指僅用它的過(guò)去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起

12、來(lái)的模型，其一般形式為過(guò)去值及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)所建立起來(lái)的模型，其一般形式為 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)問(wèn)題：建立具體的時(shí)間序列模型，需解決如下三個(gè)問(wèn)題： (1)模型的具體形式模型的具體形式 (2)時(shí)序變量的滯后期時(shí)序變量的滯后期 (3)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的結(jié)構(gòu) 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（ t =t ） ， 模 型 將 是 一 個(gè)） ， 模 型 將 是 一 個(gè) 1 階 自 回 歸 過(guò) 程階 自 回 歸 過(guò) 程AR(1)(Autoregressive process)：

13、Xt=Xt-1+ t這里，這里， t特指一白噪聲。特指一白噪聲。 一般的p階自回歸過(guò)程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)如果隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純AR(p)過(guò)程pure AR(p) process），記為 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)假設(shè)t不是一個(gè)白噪聲，通常認(rèn)為它是一個(gè)q階的移動(dòng)平均moving average過(guò)程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式給出了一個(gè)純MA(q)過(guò)程pure MA(p) process）。 將純AR(p)與純MA

14、(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的自回歸移動(dòng)平均autoregressive moving average過(guò)程ARMAp,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式表明：（1一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過(guò)一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程生成，即該序列可以由其自身的滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)解釋。（2如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會(huì)隨著時(shí)間的推移而變化，那么我們就可以通過(guò)該序列過(guò)去的行為來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。n 經(jīng)典回歸模型的問(wèn)題：經(jīng)典回歸模型的問(wèn)題：n 迄今為止，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列迄今為止，對(duì)一個(gè)時(shí)間序列Xt的變動(dòng)

15、進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過(guò)某個(gè)單方程的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過(guò)某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型structural model）。）。n 然而，如果然而，如果Xt波動(dòng)的主要原因可能是我們無(wú)法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)波動(dòng)的主要原因可能是我們無(wú)法解釋的因素，如氣候、消費(fèi)者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來(lái)解釋者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來(lái)解釋Xt的變動(dòng)就比較困難或不可能，的變動(dòng)就比較困難或不可能，因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量

16、化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。因?yàn)橐〉孟鄳?yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。n 有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對(duì)某些解有時(shí)，即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對(duì)某些解釋變量未來(lái)值的預(yù)測(cè)本身就非常困難，甚至比預(yù)測(cè)被解釋變量的未來(lái)值更困釋變量未來(lái)值的預(yù)測(cè)本身就非常困難，甚至比預(yù)測(cè)被解釋變量的未來(lái)值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測(cè)技術(shù)就不適用了。 2、時(shí)間序列分析模型的適用性、時(shí)間序列分析模型的適用性 例如，時(shí)間序列過(guò)去是否有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，如果增長(zhǎng)趨勢(shì)在過(guò)去的行為中占主導(dǎo)

17、地位，能否認(rèn)為它也會(huì)在未來(lái)的行為里占主導(dǎo)地位呢？ 或者時(shí)間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過(guò)去的這種行為來(lái)外推它的未來(lái)走向？ 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過(guò)序列過(guò)去的變化特征來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的變化趨勢(shì)。 使用時(shí)間序列分析模型的另一個(gè)原因在于： 如果經(jīng)濟(jì)理論正確地闡釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這一結(jié)構(gòu)可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時(shí)間序列分析模型的形式。 在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑：通過(guò)時(shí)間在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測(cè)途徑：通過(guò)時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過(guò)去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過(guò)去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對(duì)時(shí)間序列未來(lái)行為進(jìn)行推斷。對(duì)時(shí)間序列未來(lái)行為進(jìn)行推

18、斷。 例如，對(duì)于如下最簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：例如，對(duì)于如下最簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型： 這里，Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)、投資與國(guó)民收入。 Ct與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t的變化決定的。tttCYC12110tttICY上述模型可作變形如下：n 兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其特征依賴于投資項(xiàng)It的行為。n 如果It是一個(gè)白噪聲，則消費(fèi)序列Ct就成為一個(gè)1階自回歸過(guò)程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(gè)(1,1)階的自回歸移動(dòng)平均過(guò)程ARMA(1,1)。ttttICC1111011211111tttttIIYY11

19、121101121111111 自回歸移動(dòng)平均模型ARMA是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型AR和移動(dòng)平均模型MA是它的特殊情況。 關(guān)于這幾類模型的研究，是時(shí)間序列分析的重點(diǎn)內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識(shí)別和模型的估計(jì)。 三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件 1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可通過(guò)它所生成的隨機(jī)時(shí)間隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性，可通過(guò)它所生成的隨機(jī)時(shí)間序列的平穩(wěn)性來(lái)判斷。序列的平穩(wěn)性來(lái)判斷。 如果一個(gè)如果一個(gè)p階自回歸模型階自回歸模型AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，就

20、說(shuō)該就說(shuō)該AR(p)模型是平穩(wěn)的，模型是平穩(wěn)的， 否則，就說(shuō)該否則，就說(shuō)該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。模型是非平穩(wěn)的?？紤]p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*)n引入滯后算子lag operator ）L：n LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-pn(*)式變換為n (1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 記(L)= (1-1L- 2L2-pLp),則稱多項(xiàng)式方程 (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0為AR(p)的特征方程(characteristic equation)。 可以證明，如果該特征方程的所有根在單

21、位圓外根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的。 例、AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。對(duì)1階自回歸模型AR(1)tttXX1方程兩邊平方再求數(shù)學(xué)期望，得到Xt的方差)(2)()()(122122tttttXEEXEXE由于Xt僅與t相關(guān)，因此，E(Xt-1t)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：22201X在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有 |1。 而AR(1)的特征方程01)(zz的根為 z=1/ AR(1)穩(wěn)定，即 | 1，意味著特征根大于1。AR(2)AR(2)模型的平穩(wěn)性。模型的平穩(wěn)性。 對(duì)對(duì)AR(2)AR(2)模型模型 ttttXXX221

22、1方程兩邊同乘以Xt，再取期望得： )(22110ttXE又由于222211)()()()(tttttttEXEXEXE于是 222110同樣地，由原式還可得到0211212011于是方差為 )1)(1)(1 ()1 (21212220由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 1+21, 2-11, |2|1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點(diǎn)分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1的三角形。 2 (0,1) 1 (-2, -1) (2, -1) 圖圖 9.2.1 AR(2)模模型型的的平平穩(wěn)穩(wěn)域域 對(duì)應(yīng)的特征方程1-1z-2z2=0 的兩個(gè)根z1、z2滿足： z

23、1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2 ttttXXX2211AR(2)模型解出1，22121zz21211zzzz 由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/|z1|z2|1，有1)11)(11 (112121212121zzzzzzzz0)11)(11 (21zz于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同樣的結(jié)果。 對(duì)高階自回模型AR(p)來(lái)說(shuō)，多數(shù)情況下沒(méi)有必要直接計(jì)算其特征方程的特征根，但有一些有用的規(guī)則可用來(lái)檢驗(yàn)高階自回歸模型的穩(wěn)定性： (1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是：模型穩(wěn)定的必要條件是： 1+2+p1 (2)由于由于i(i=1,2,p)可正可負(fù)，可正可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)

24、定的充分條件是：模型穩(wěn)定的充分條件是： |1|+|2|+|p|1 對(duì)于移動(dòng)平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一個(gè)白噪聲，于是 2、MA(q)模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 0)()()()(11qqtttEEEXE22111121322111122210),cov()(),cov()(),cov()1 (varqqttqqqqttqqqttqtXXXXXXX 當(dāng)滯后期大于q時(shí)，Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。因此:有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的。 由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合：Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pX

25、t-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性模型的平穩(wěn)性 而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。 最后最后 （1 1一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程或模型；一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程或模型； （2 2一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通?？梢酝ㄟ^(guò)差分的方法將它變換為平一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通常可以通過(guò)差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對(duì)差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

26、或模型。穩(wěn)的，對(duì)差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程或模型。 因此，如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò)因此，如果我們將一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列通過(guò)d d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個(gè)平穩(wěn)的然后用一個(gè)平穩(wěn)的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說(shuō)該原始時(shí)模型作為它的生成模型，則我們就說(shuō)該原始時(shí)間序列是一個(gè)自回歸單整移動(dòng)平均間序列是一個(gè)自回歸單整移動(dòng)平均autoregressive integrated moving autoregressive integrated moving averageaverage時(shí)間序列，記為時(shí)間序列，記為A

27、RIMA(p,d,q)ARIMA(p,d,q)。 例如，一個(gè)例如，一個(gè)ARMA(2,1,2)ARMA(2,1,2)時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個(gè)然后用一個(gè)ARMA(2,2)ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。模型作為它的生成模型的。 當(dāng)然，一個(gè)當(dāng)然，一個(gè)ARMA(p,0,0)ARMA(p,0,0)過(guò)程表示了一個(gè)純過(guò)程表示了一個(gè)純AR(p)AR(p)平穩(wěn)過(guò)程；一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程；一個(gè)ARMA(0,0,q)ARMA(0,0,q)表示一個(gè)純表示一個(gè)純MA(q)MA(q)平穩(wěn)過(guò)程。平穩(wěn)過(guò)程。 所謂隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對(duì)于一個(gè)所謂隨

28、機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別，就是對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的合適的隨機(jī)過(guò)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列，找出生成它的合適的隨機(jī)過(guò)程或模型，即判斷該時(shí)間序列是遵循一純程或模型，即判斷該時(shí)間序列是遵循一純AR過(guò)程、過(guò)程、還是遵循一純還是遵循一純MA過(guò)程或過(guò)程或ARMA過(guò)程。過(guò)程。 所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)所使用的工具主要是時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)autocorrelation function，ACF及偏自相關(guān)函及偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)partial autocorrelation function， PACF ）。）。 四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別1 1、AR(p)AR(p)

29、過(guò)程過(guò)程 (1)自相關(guān)函數(shù)ACF） 1階自回歸模型AR(1) Xt=Xt-1+ t 的k階滯后自協(xié)方差為：011)(kkttktkXXE=1,2,因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)為 kkk0=1,2, 由AR(1)的穩(wěn)定性知|1，因此，k時(shí)，自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無(wú)窮記憶infinite memory）。 留意， 0時(shí)，呈振蕩衰減狀。 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方差1, 2分別為階自回歸模型階自回歸模型AR(2) AR(2) 2221100211212011類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差： 221

30、12211)(kktttktkrXXXE(K=2,3,)于是,AR(2)的k 階自相關(guān)函數(shù)為： 2211kkk(K=2,3,)其中 :1=1/(1-2), 0=1如果如果AR(2)AR(2)穩(wěn)定，則由穩(wěn)定，則由1+1+2121知知| |k|k|衰減趨于零，呈拖衰減趨于零，呈拖尾狀。尾狀。至于衰減的形式，要看至于衰減的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的實(shí)虛性，若為實(shí)根，特征根的實(shí)虛性，若為實(shí)根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。 一般地，p階自回歸模型AR(p) k期滯后協(xié)方差為期滯后協(xié)方差為: pkpkktptpttKtkX

31、XXXE22112211)(從而有自相關(guān)函數(shù) :pkpkkk2211 可見，無(wú)論k有多大，k的計(jì)算均與其到p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀。 如果AR(p)是穩(wěn)定的，那么|k|遞減且趨于零。 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + t 其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|p，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)系數(shù)為零。 AR(p)的一個(gè)主要特征是:kp時(shí)，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則：一隨機(jī)時(shí)間序列的識(shí)別原則： 若若XtXt的偏自相關(guān)函數(shù)在的偏自相關(guān)函數(shù)在p p以后截尾，即以

32、后截尾，即kpkp時(shí)，時(shí)，k k* *=0=0，而它的自相關(guān)函數(shù)，而它的自相關(guān)函數(shù)k k是拖尾的，則此序是拖尾的，則此序列是自回歸列是自回歸AR(p)AR(p)序列。序列。 在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kp時(shí)，rk*不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明，當(dāng)kp時(shí)，rk*服從如下漸近正態(tài)分布: rk*N(0,1/n)式中n表示樣本容量。 因此，如果計(jì)算的rk*滿足 需指出的是，需指出的是，我們就有95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在p之后截尾。nrk2|* 對(duì)MA(1)過(guò)程 2、MA(q)過(guò)程 1tttX可容易地寫出它的自協(xié)方差

33、系數(shù)： 0)1 (3221220于是，MA(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為：0)1(3221可見，當(dāng)可見，當(dāng)k1k1時(shí)，時(shí)，k=0k=0，即，即XtXt與與Xt-kXt-k不相關(guān)，不相關(guān)，MA(1)MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 MA(1)過(guò)程可以等價(jià)地寫成過(guò)程可以等價(jià)地寫成t關(guān)于無(wú)窮序列關(guān)于無(wú)窮序列Xt，Xt-1，的線的線性組合的形式：性組合的形式：221ttttXXX或或ttttXXX221（*） (*)是一個(gè)AR()過(guò)程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。 留意: (*)式只有當(dāng)|1時(shí)才有意義，否則意味著距Xt越遠(yuǎn)的X值，對(duì)X

34、t的影響越大，顯然不符合常理。 因此，我們把|q時(shí)， Xt與Xt-k不相關(guān)，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當(dāng)kq時(shí)， k=0是MA(q)的一個(gè)特征。 于是：可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始一直為0來(lái)判斷MA(q)模型的階。 與MA(1)相仿，可以驗(yàn)證MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)是非截尾但趨于零的。 MA(q)模型的識(shí)別規(guī)則：若隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)截尾，即自q以后，k=0（ kq）；而它的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動(dòng)平均MA(q)序列。 同樣需要注意的是：在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù)rk是總體自相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kq時(shí)，rk不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。但可以證明

35、，當(dāng)kq時(shí)，rk服從如下漸近正態(tài)分布: rkN(0,1/n)式中n表示樣本容量。nrk2|我們就有我們就有95.5%95.5%的把握判斷原時(shí)間序列在的把握判斷原時(shí)間序列在q q之后截尾。之后截尾。因此，如果計(jì)算的rk滿足： ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 當(dāng)p=0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)； 當(dāng)q=0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)； 當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì) 從識(shí)別上看，通常： ARMA(p，q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)PACF可能在p階滯后前有幾項(xiàng)明顯的尖柱spikes），但從p階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零； 而它的自相關(guān)函數(shù)ACF則是在q階滯后

36、前有幾項(xiàng)明顯的尖柱，從q階滯后項(xiàng)開始逐漸趨向于零。 3、ARMA(p, q)過(guò)程過(guò)程 表表 9.2.1 ARMA(p,q)模模型型的的 ACF與與 PACF理理論論模模式式 模型 ACF PACF 白噪聲 0k 0*k AR(p) 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） P階后截尾：0*k，kp MA(q) q階后截尾： ，0k，kq 衰減趨于零（幾何型或振蕩型） ARMA(p,q) q階后衰減趨于零（幾何型或振蕩型） p階后衰減趨于零 （幾何型或振蕩型） 圖圖 9.2.2 ARMA(p,q)模型的模型的 ACF與與 PACF理論模式理論模式 ACF PACF 模型模型 1： tttXX17 . 00.

37、00.20.40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1 模型 2： tttXX17 .0 模型 3： 17 .0tttX-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.612345678ACF2-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF2-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678ACF3-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10.012345678PACF3 模型 4：ttttXXX2149.07 .0 模型 5：117 .07 .0ttttXX-0.4-0.20.00.20.40.6123456

38、78ACF4-0.4-0.20.00.20.40.612345678PACF4-1.2-0.8-0.40.00.40.812345678ACF5-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.012345678PACF5 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多，大體上分為3類： （1最小二乘估計(jì)； （2矩估計(jì)； （3利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。 下面有選擇地加以介紹。構(gòu)造構(gòu)造階數(shù)階數(shù)模型模型識(shí)別識(shí)別確定確定估計(jì)估計(jì)參數(shù)參數(shù)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì) AR(p)模型的模型的Yule Walker方程估計(jì)方程估計(jì) 在AR(p)模型的識(shí)別中，曾得到 pkpk

39、kk2211利用k=-k，得到如下方程組： kppppppppp12112211211211 此方程組被稱為Yule Walker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,p與自相關(guān)函數(shù)1,2,p的關(guān)系， 利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 然后利用然后利用Yule Walker方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值, 12p, 12p12011102120112pppppp由于 ptptttXXX11于是 pjiijjitE1,022從而可得2的估計(jì)值 pjiijji1,02在具體計(jì)算時(shí)，

40、k可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk替代。 MA(q)模型的矩估計(jì) 將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個(gè)量用估計(jì)量代替，得到： qkqkkqkqkkqk當(dāng)當(dāng)當(dāng)01)(0)1 (112222212 首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值，(*)是一個(gè)包含(q+1)個(gè)待估參數(shù) (*)221,q的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。 常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。 （1MA(1)模型的直接算法 對(duì)于MA(1)模型，（*）式相應(yīng)地寫成1212120)1(于是 211021204或0212410有于是有解 )411 (22102)411 (2211211 由于參數(shù)估計(jì)有兩組解，可根據(jù)可

41、逆性條件|1|1的MA(q)模型，一般用迭代算法估計(jì)參數(shù)： 由（*）式得 qkqkkkkq12211222102第一步，給出第一步，給出的一組初值，比如k,21202)0(0)0()0()0(21k代入（*）式，計(jì)算出第一次迭代值 02) 1 (0) 1 (kk（*） 第二步，將第一次迭代值代入（*）式，計(jì)算出第二次迭代值 )1 () 1 () 1 () 1 ()2()1 () 1 (1/()2(11022102qkqkkkq 按此反復(fù)迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時(shí)滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結(jié)果作為（*）的近似解。 ARMA(p,q)模型的矩估計(jì)

42、模型的矩估計(jì) 在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個(gè)待估參數(shù)1,2,p與1,2,q以及2，其估計(jì)量計(jì)算步驟及公式如下： 第一步，估計(jì)1,2,p 1211112112pqqqpqqqpqpqpqqqqp k 是總體自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，可用樣本自相關(guān)函數(shù)rk代替。 第二步，改寫模型，求1,2,q以及2的估計(jì)值 將模型 tptptttXXXX2211qtqtt2211 改寫為： tptptttXXXX2211qtqtt2211令 ptpttttXXXXX2211于是(*)可以寫成： (*)qtqttttX2211 構(gòu)成一個(gè)MA模型。按照估計(jì)MA模型參數(shù)的方法，可以得到1,2,q以及2的估計(jì)值。

43、AR(p)的最小二乘估計(jì)假設(shè)模型AR(p)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，即有 tptptttXXXX2211 殘差的平方和為： 21221112)() (nptptptttnpttXXXXS(*) 根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計(jì)值是下列方程組的解： Sj 0即 0)(12211jtnptptptttXXXXXj=1,2,p (*) 解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計(jì)值。 為了與AR(p)模型的Yule Walker方程估計(jì)進(jìn)行比較，將(*)改寫成： nptjttnptjtptpnptjttnptjttXXnXXnXXnXXn111221111j=1,2,p由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估

44、計(jì)值 knpttktkXXn11代入，上式表示的方程組即為： jpjpjj2211或 jpjpjjrrrr2211j=1,2,pj=1,2,p解該方程組，得到： pppppprrrrrrrrrrrr21102120111021即為參數(shù)的最小二乘估計(jì)。 Yule Walker方程組的解12011102120112pppppp比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n足夠大時(shí)，二者是相似的。2的估計(jì)值為： pnSpnnptt1221 需要說(shuō)明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。 如果包含常數(shù)項(xiàng)，該常數(shù)項(xiàng)并不影響模型的原有性質(zhì)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)適當(dāng)?shù)淖冃?，可將包含常?shù)項(xiàng)的模型轉(zhuǎn)換為不含

45、常數(shù)項(xiàng)的模型。 下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說(shuō)明。 對(duì)含有常數(shù)項(xiàng)的模型 qtqttptpttXXX1111方程兩邊同減/(1-1-p)，則可得到 qtqttptpttxxx1111其中其中piiXx11pttti, 1, 1、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn)、殘差項(xiàng)的白噪聲檢驗(yàn) 由于由于ARMA(p,q)模型的識(shí)別與估計(jì)是在假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一白噪聲模型的識(shí)別與估計(jì)是在假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是一白噪聲的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此，如果估計(jì)的模型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此，如果估計(jì)的模型確認(rèn)正確的話，殘差應(yīng)代表一白噪聲序列。一白噪聲序列。 如果通過(guò)所估計(jì)的模型計(jì)算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說(shuō)明如果

46、通過(guò)所估計(jì)的模型計(jì)算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說(shuō)明模型的識(shí)別與估計(jì)有誤，需重新識(shí)別與估計(jì)。模型的識(shí)別與估計(jì)有誤，需重新識(shí)別與估計(jì)。 在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列是否存在自相關(guān)。在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列是否存在自相關(guān)。 六、模型的檢驗(yàn)六、模型的檢驗(yàn) 時(shí)間序列模型的識(shí)別與估計(jì)過(guò)程往往是同步進(jìn)行的。由于在實(shí)際識(shí)別ARMA(p,q)模型時(shí)，滯后項(xiàng)階數(shù)的選擇并不是一件容易的事，因此模型在識(shí)別與估計(jì)之后還需進(jìn)行檢驗(yàn)。 2、AIC與與SBC模型選擇標(biāo)準(zhǔn)模型選擇標(biāo)準(zhǔn) 另外一個(gè)遇到的問(wèn)題是，在實(shí)際識(shí)別另外一個(gè)遇到的問(wèn)題是，在實(shí)際識(shí)別ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有可能存模型時(shí)，需多次反復(fù)償

47、試，有可能存在不止一組在不止一組p,q值都能通過(guò)識(shí)別檢驗(yàn)。值都能通過(guò)識(shí)別檢驗(yàn)。 顯然，增加顯然，增加p與與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時(shí)降低了自由度。但卻同時(shí)降低了自由度。 因此，對(duì)可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ停嬖谥Ｐ偷囊虼?，?duì)可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ停嬖谥Ｐ偷摹昂?jiǎn)潔性與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問(wèn)題。簡(jiǎn)潔性與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問(wèn)題。 可用QLB的統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行2檢驗(yàn)：在給定顯著性水平下，可計(jì)算不同滯后期的QLB值，通過(guò)與2分布表中的相應(yīng)臨界值比較，來(lái)檢驗(yàn)是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設(shè)。 若大于相應(yīng)臨界值，則應(yīng)拒絕所估計(jì)的模型，需重新識(shí)別與估計(jì)。 其中，n為待估參數(shù)個(gè)數(shù)p+q+

48、可能存在的常數(shù)項(xiàng)），T為可使用的觀測(cè)值，RSS為殘差平方和Residual sum of squares）。 在選擇可能的模型時(shí)，AIC與SBC越小越好 顯然，如果添加的滯后項(xiàng)沒(méi)有解釋能力，則對(duì)RSS值的減小沒(méi)有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個(gè)數(shù)，因此使得AIC或SBC的值增加。 需注意的是：在不同模型間進(jìn)行比較時(shí)，必須選取相同的時(shí)間段。 常用的模型選擇的判別標(biāo)準(zhǔn)有：赤池信息法常用的模型選擇的判別標(biāo)準(zhǔn)有：赤池信息法Akaike information criterion，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為AIC與施瓦茲貝葉斯法與施瓦茲貝葉斯法Schwartz Bayesian criterion，簡(jiǎn)記為，簡(jiǎn)記為SBC

49、）：）：)ln()ln(2)ln(TnRSSTSBCnRSSTAIC 中國(guó)支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法GDP是I(1)時(shí)間序列。 可以對(duì)經(jīng)過(guò)一階差分后的GDP建立適當(dāng)?shù)腁RMA(p,q)模型。 記GDP經(jīng)一階差分后的新序列為GDPD1，該新序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)圖如下：-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1AC-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.024681012141618GDPD1PAC 例、；中國(guó)支出法例、；中國(guó)支出法GDP的的ARMA(p,q)模型估計(jì)。模型估計(jì)。 圖形：

50、樣本自相關(guān)函數(shù)圖形呈正弦線型衰減波，而偏自相關(guān)函數(shù)圖形則在滯后兩期后迅速趨于0。因此可初步判斷該序列滿足2階自回歸過(guò)程AR(2)。表表 9.2.2 中國(guó)中國(guó) GDP一階差分序列的樣本自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)一階差分序列的樣本自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)kkr*krkkr*krkkr*kr10.8590.8597-0.034-0.25213-0.361-0.08620.622-0.4418-0.1120.01214-0.3630.07630.378-0.0659-0.1750.0415-0.3080.04340.1910.06610-0.228-0.11716-0.216-0.02250.0870.

51、07711-0.282-0.19217-0.128-0.04860.036-0.05112-0.32-0.0218-0.059-0.002426. 0222|*kr 自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)值：自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)的函數(shù)值： 相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾性；相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾性； 偏自相關(guān)函數(shù)值在偏自相關(guān)函數(shù)值在k2以后，以后，可認(rèn)為：偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。再次驗(yàn)證了一階差分后的可認(rèn)為：偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。再次驗(yàn)證了一階差分后的GDP滿足滿足AR(2)隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程。設(shè)序列GDPD1的模型形式為 ttttGDPDGDPDGDPD2211111有如下Yule Walker 方程：

52、622. 0859. 01859. 0859. 01121解為： 442. 0,239. 121用用OLSOLS法回歸的結(jié)果為：法回歸的結(jié)果為： ttttGDPDGDPDGDPD211653. 01593. 11 （7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有時(shí)，在用回歸法時(shí)，也可加入常數(shù)項(xiàng)。 本例中加入常數(shù)項(xiàng)的回歸為： ttttGDPDGDPDGDPD211678. 01495. 159.9091 （1.99） （7.74） （-3.58） r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22 n模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn) 下表列出三模型的殘差項(xiàng)的自相

53、關(guān)系數(shù)及QLB檢驗(yàn)值。 模型1與模型3的殘差項(xiàng)接近于一白噪聲，但模型2存在4階滯后相關(guān)問(wèn)題，Q統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)也得出模型2拒絕所有自相關(guān)系數(shù)為零的假設(shè)。因此: 模型1與3可作為描述中國(guó)支出法GDP一階差分序列的隨機(jī)生成過(guò)程。表表 9.2.3 模模 型型 殘殘 差差 項(xiàng)項(xiàng) 的的 自自 相相 關(guān)關(guān)系系 數(shù)數(shù) 及及 Q 檢檢 驗(yàn)驗(yàn) 值值 模 型 1 模 型 2 模 型 3 K Resid-ACF Q Resid-ACF Q Resid-ACF Q 1 0.382 3.3846 0.258 1.5377 0.257 1.5263 2 0.014 3.3893 -0.139 2.0077 -0.040 1.

54、5646 3 -0.132 3.8427 -0.246 3.5677 -0.059 1.6554 4 -0.341 7.0391 -0.529 11.267 -0.328 4.6210 5 -0.170 7.8910 -0.300 13.908 -0.151 5.2864 6 0.253 9.9097 0.271 16.207 0.345 9.0331 7 0.144 10.613 0.158 17.051 0.155 9.8458 8 0.057 10.730 0.116 17.541 0.076 10.059 9 -0.019 10.745 0.097 17.914 0.011 10.06

55、4 10 -0.146 11.685 -0.036 17.969 -0.123 10.728 11 -0.233 14.329 -0.136 18.878 -0.230 13.319 12 -0.049 14.461 0.064 19.104 -0.012 13.328 n用建立的用建立的AR(2)AR(2)模型對(duì)中國(guó)支出法模型對(duì)中國(guó)支出法GDPGDP進(jìn)行外推預(yù)測(cè)。進(jìn)行外推預(yù)測(cè)。 模型1可作如下展開： )()(3222111ttttttGDPGDPGDPGDPGDPGDP3221211)()1 (ttttGDPGDPGDPGDP 于是，當(dāng)已知t-1、t-2、t-3期的GDP時(shí)，就可對(duì)第t期的GDP作出外推預(yù)測(cè)。 模型3的預(yù)測(cè)式與此相類似，只不過(guò)多出一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)。 對(duì)2019年中國(guó)支出法GDP的預(yù)測(cè)結(jié)果億元） 預(yù)測(cè)值 實(shí)際值 誤差 模型1 95469 95933 -0.48% 模型3 97160 95933 1.28%