江蘇南京四區(qū)縣2013高三上學(xué)期12月聯(lián)考--數(shù)學(xué)

1、江蘇南京四區(qū)縣 2013 高三上學(xué)期 12 月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1本試卷共 4 頁，包括填空題（第 1 題第 14 題） 、解答題（第 15題第 20 題）兩部分本試卷滿分為 160 分，考試時間為 120 分鐘2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級、學(xué)號寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案寫在答題紙上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)考試結(jié)束后，交回答卷紙參考公式：1樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中是1n x x這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)2柱體、錐體的體積公式：V柱體Sh，V錐體Sh，其中S是柱13（錐）體的底面面積，h是高一填空題（本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分請把答案填寫在

2、答題紙相應(yīng)位置上）1已知集合M1，2，3，4，5，N2，4，6，8，10，則MN 2若(1 2 )( ,i iabi a bR,i為虛數(shù)單位), 則ab= 3. 函數(shù))2lg()(xxf的定義域?yàn)?.4. 程序框圖（即算法流程圖）如圖（右）所示，其輸出結(jié)果開始3a13 aa100?a 輸出a結(jié)束是否是_.5. 若將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6 個點(diǎn)的正方體玩具） ，先后拋擲兩次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率是 6. 在ABC 中，sin:sin:sin2:3:4ABC ，則cosC= 7. 在等比數(shù)列na中，nS為其前n項(xiàng)和，已知5423aS，6523aS，則

3、此數(shù)列的公比q為 8. 已知向量),cos6, 9(),3, 5(ba 是第二象限角，)2/(baa，則tan= 9. 設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列命題： 若m，則m；若m/，m，則；若，則；若m，n，m/n，則/上面命題中，真命題的序號是 （寫出所有真命題的序號）10. 函數(shù)xxxxycossin2sincos22, 2, 0 x的最大值為 11.設(shè)橢圓C：)0( 12222babyax的左、右焦點(diǎn)分別為12,F F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A與2AF垂直的直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q，且02221QFFF則橢圓C的離心率為 12. 過圓x2y21 上一點(diǎn)P作圓的切線與x軸和y軸分

4、別交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|2|OBOA的最小值是 13.已知ABC的三邊長a，b，c成等差數(shù)列，且22284abc，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是 14. 設(shè)函數(shù)( )f x的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)l使得對于任意()xM MD，有xlD ，且()( )f xlf x，則稱( )f x為M上的l高調(diào)函數(shù)如果定義域?yàn)镽的函數(shù)( )f x是奇函數(shù)，當(dāng)0 x時，22( ) |f xxaa，且( )f x為R上的 4 高調(diào)函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 二解答題（本大題共 6 小題，共計 90 分請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15 （本小題滿分 14 分）在三角形

5、ABC中，已知2AB ACABAC ，設(shè)CAB，（1）求角的值；（2）若4 3cos( - )=7 ，其中5(,)36，求cos的值.16(本小題滿分 14 分)如圖的幾何體中，AB 平面ACD，DE 平面ACD，ACD為等邊三角形，ABDEAD2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)（1）求證：/AF平面BCE；（2）求證：平面BCE 平面CDE.BAEDCF17. （本小題滿分 14 分） 某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進(jìn)行開發(fā)建設(shè),陰影部分為一公共設(shè)施建設(shè)不能開發(fā),且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上),公共設(shè)施邊界為曲線2( )1(0)f xaxa 的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M、N

6、，交曲線于點(diǎn)P，設(shè)( ,( )P t f t（1）將OMN（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積S表示成t的函數(shù)( )S t；（2）若在12t 處，( )S t取得最小值，求此時a的值及( )S t的最小值.18. （本小題滿分 16 分）如圖：已知,A B是圓224xy與x軸的交點(diǎn)，P為直線:4l x 上的動點(diǎn)，,PA PB與圓224xy的另一個交點(diǎn)分別為,M N.（1）若P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6)，求直線MN的方程；OxyMNPBNMPAO（2）求證:直線MN過定點(diǎn).19 （本題滿分 16 分）已知函數(shù)f(x)axx2xlna(a0，a1)（1）當(dāng)a1 時，求證：函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；（2）若函數(shù)

7、y|f(x)t|1 有三個零點(diǎn)，求t的值；（3）若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，試求a的取值范圍20 （本題滿分 16 分）設(shè)等差數(shù)列na的公差0d，數(shù)列nb為等比數(shù)列，若aba11，33ba ，57ba （1）求數(shù)列nb的公比q；（2）若*,Nmnbamn，求n與m之間的關(guān)系；（3）將數(shù)列na，nb中的公共項(xiàng)按由小到大的順序排列組成一個新的數(shù)列nc，是否存在正整數(shù)rqp,)(rqp使得rqp,和rcqcpcrqp,均成等差數(shù)列？說明理由?！緮?shù)學(xué)附加題】21 選做題在 A、B、C、D 四小題中只能選做 2 題，每小題 10 分，共計 20 分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答

8、，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A選修 41：（幾何證明選講）如圖，從圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A B, ，AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過點(diǎn)M且不過圓心O的一條弦，求證：O CP D、 、 、 四點(diǎn)共圓B選修 42：(矩陣與變換)已知二階矩陣M有特征值3 及對應(yīng)的一個特征向量111e ，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，2）變換成（9，15） ，求矩陣MMPABOCD（第 21A 題）C選修 44:（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為2 2sin()4，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為415315xtyt （t為參數(shù)）

9、 ，求直線l被曲線C所截得的弦長. D選修 45（不等式選講）已知實(shí)數(shù), ,x y z滿足2xyz，求22223xyz的最小值；必做題第 22 題、第 23 題，每小題 10 分，共計 20 分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22袋中裝著標(biāo)有數(shù)字 1，2，3，4 的卡片各 1 張，甲從袋中任取 2張卡片(每張卡片被取出的可能性都相等)，并記下卡面數(shù)字和為X，然后把卡片放回，叫做一次操作（1）求在一次操作中隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(X)；（2）甲進(jìn)行四次操作，求至少有兩次X不大于E(X)的概率23 （本小題滿分 10 分）對一個邊長互不相等的凸(3)n

10、 n 邊形的邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色所有不同的染色方法記為( )P n（1）求(3), (4), (5)PPP； （2）求( )P n參考答案一填空題 12，4 2. 2 3. 1 , 4. 283 5. 536 6. 14 7. 38. 34 9. 10. 2 11. 21 e 12. 3 13. (2 6,2 714. 1, 1；解析：由( )f x為奇函數(shù)及0 x時的解析式知( )f x的圖象如下圖右所示，222(3)()faafa，由2222(4)()(3)fafaafa，故2243aa+ ，從而21a ，又21a 時，恒有(4)(

11、 )f xf x，故21a 即可a3an-1ana2a1-a2a2-a2a2Oyx1O-1yx二解答題15解：（1）由2AB ACABAC ，得2cosABACABAC 所以1cos2，又因?yàn)? 為三角形ABC的內(nèi)角，所以3，6 分（2）由（1）知：3sin2，且(0,)2，所以1sin()78 分故coscos()cos()cossin()sin4 31133 3727214. 14 分16 （1）證明：取CE的中點(diǎn)G，連結(jié)FGBG、F為CD的中點(diǎn)，/GFDE且12GFDEAB 平面ACD，DE 平面ACD， /ABDE，/GFAB 又12ABDE，GFAB 四邊形GFAB為平行四邊形，則/

12、AFBG AF 平面BCE，BG 平面BCE， /AF平面BCE7分（2）證明：ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，AFCD DE 平面ACD，AFACD 平面，DEAF /BGAF，,BGDE BGCD又CDDED， BG 平面CDEBAEDCFGBG 平面BCE， 平面BCE 平面CDE14 分17解：（1）2yax ，切線的斜率為2at，1 分切線l的方程為2(1)2()yatat xt 令0,y 得22221121222atatatatxtatatat 21(,0)2atMat,3 分令0t ,得2222121,(0,1)yatatatNat 5 分MON的面積22221 1(1)(

13、)(1)224atatS tatatat 6 分(2) 2 422222321(1)(31)( )44a tatatatS tatat 0,0at,由( )0S t,得21310,3atta 得8 分當(dāng)21310,3atta 即時, ( )0S t當(dāng)21310,03atta 即時, ( )0S t1, ( )3tS ta當(dāng)時有最小值已知在12t 處, ( )S t 取得最小值,故有114,233aa12 分故當(dāng)41,32at時,2min4 1(1)123 4( )( )4 12343 2S tS 14 分18解（1）直線PA方程為2yx , 由2224yxxy解得(0,2)M,2 分直線PB的

14、方程36yx ,由22364yxxy解得86( ,)55N,4 分所以MN的方程22yx 6 分(2)法一：設(shè)(4, )pt,則直線PA的方程為(2)6tyx,直線 PB 的方程為(2)2tyx224(2)6xytyx得22272224(,)3636ttMtt，同理222288(,)44ttNtt10 分直線MN的斜率222222224883647222812364tttttkttttt12 分直線MN的方程為22228288()1244tttyxttt,化簡得：22881212ttyxtt14 分所以直線MN過定點(diǎn)(1,0)16 分注：其他解法酌情對應(yīng)給出相應(yīng)的分?jǐn)?shù).法二：設(shè)01122(4,

15、),( ,),(,)PyM x yN xy，003326BPAPyykk ，即1212322yyxx,兩邊平方得：221222129(4)4(2)(2)xxxx，整理得12129(2)222xxxx即121225()80 x xxx（1）,設(shè)MN的方程為()yk xm，代入2240 xy中得22222(1)240kxk mxk m，得22212122224,11k mk mxxx xkk代入(1)式得222228108011k mk mkk，即22(54)0kmm.當(dāng)0k ，1m ，或4m （舍）當(dāng)0k 時，直線MN即為直線 AB，所以直線MN過定點(diǎn)(1,0).19解：（1）( )ln2ln2

16、(1)lnxxfxaaxaxaa3 分由于1a ，故當(dāng)(0,)x時，ln0,10 xaa ，所以( )0fx，故函數(shù)( )f x在(0,)上單調(diào)遞增5 分（2）當(dāng)0,1aa時，因?yàn)?0)0f ，且( )fx在 R 上單調(diào)遞增，故( )0fx有唯一解0 x 7 分所以,( ),( )x fxf x的變化情況如下表所示：x(,0)0(0,)( )fx0( )f x遞減極小值遞增又函數(shù)|( )| 1yf xt有三個零點(diǎn)，所以方程( )1f xt 有三個根，而11tt ，所以min1( ( )(0)1tf xf ，解得2t 10分（3）因?yàn)榇嬖?2, 1,1x x ，使得12|()()|1f xf x

17、e，所以當(dāng) 1,1x 時，maxminmaxmin|( ( )( ( )| ( ( )( ( )1f xf xf xf xe11分由（2）知，( )f x在 1,0上遞減，在0,1上遞增，所以當(dāng) 1,1x 時，minmax( ( )(0)1,( ( )max( 1),(1)f xff xff12分而11(1)( 1)(1 ln )(1 ln )2lnffaaaaaaa ，記1( )2ln (0)g ttt tt ，因?yàn)?2121( )1(1)0g tttt （當(dāng)1t 時取等號） ，所以1( )2lng tttt 在(0,)t上單調(diào)遞增而(1)0g，故當(dāng)1t 時，( )0g t ；當(dāng)01t 時，

18、( )0g t 即當(dāng)1a 時，(1)( 1)ff；當(dāng)01a時，(1)( 1)ff14 分當(dāng)1a 時，由(1)(0)1ln1ffeaaeae ；當(dāng)01a時，由11( 1)(0)1ln10ffeaeaae 綜上可知，所求a的取值范圍為10,aee16 分20、解：（1）設(shè)nb的公比為q，由題意daaqdaaq6242 即daaqdaaq62422 分1q不合題意，故311142qq，解得22q 2q4分（2）由mnba 得1) 1(maqdna，又aaaqd22 2ad 6 分1)2(211mn即2112) 1(1mmn8 分*1Nn 0)(1m 1221mnm為奇數(shù)，且10分（3）若na與nb有

19、公共項(xiàng)，不妨設(shè)mnba 由（2）知：1221mnm為奇數(shù)，且令)( 12*Nkkm，則11122)2(kkmaabacnn12 12 分若存在正整數(shù))(rqprqp、滿足題意，則)2()2()2(22111rapaqarpqrpq11222rpq，又)(222222211時取當(dāng)且僅當(dāng)rprprPrp又rp ，211222rprp 14 分又xy2在 R 上增，2rpq。與題設(shè)2rpq矛盾，若不存在rqp、滿足題意。16 分【數(shù)學(xué)附加題】21A選修 41：（幾何證明選講）證明：因?yàn)镻A，PB為圓O的兩條切線，所以O(shè)P垂直平分弦AB， 在Rt OAP中，2OM MPAM，4 分在圓O中，AM BM

20、CM DM，所以O(shè)M MPCM DM， 8 分又弦CD不過圓心O，所以O(shè) C P D, , , 四點(diǎn)共圓10 分B選修 42：(矩陣與變換)MPABOCD（第 21A 題）設(shè)abcdM，則1133113abcd ，故3,3abcd+ 4 分19215abcd，故29,215abcd+7 分聯(lián)立以上兩方程組解得1,4,3,6abcd ，故M=1436 10 分C選修 44:（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）解：將方程2 2sin()4，415315xtyt 分別化為普通方程：22220 xyxy，3410 xy (6 分)由曲線C的圓心為( 1,1)C ，半徑為2，所以圓心C到直線l的距離為25，故所求弦長為222 462 2( )55(10 分)D選修