11從梯子的傾斜程度談起（第二課時）

1、第二課時課 題 §1.1.2 從梯子的傾斜程度談起(二)教學目標 (一)教學知識點 1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關系的過程，理解正弦和余弦的意義. 2.能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關系，進行簡單的計算. 4.理解銳角三角函數(shù)的意義. (二)能力訓練要求 1.經(jīng)歷類比、猜想等過程.發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點. 2.體會數(shù)形結合的思想，并利用它分析、解決問題，提高解決問題的能力. (三)情感與價值觀要求 1.積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學產(chǎn)生好奇心和求知欲. 2.形成合作交流的意識以及獨立思考的習慣.教學重點 1.理解

2、銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據(jù)直角三角形的邊角關系，進行簡單的計算.教學難點 用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切.教學方法 探索交流法.教具準備 多媒體演示.教學過程 .創(chuàng)設情境，提出問題，引入新課 師我們在上一節(jié)課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，并且得出了當傾斜角確定時，其對邊與斜邊之比隨之確定.也就是說這一比值只與傾斜角有關，與直角三角形的大小無關.并在此基礎上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切. 現(xiàn)在我們提出兩個問題： 問題1當直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎?

3、問題2梯子的傾斜程度與這些比有關嗎?如果有，是怎樣的關系? .講授新課 1.正弦、余弦及三角函數(shù)的定義 多媒體演示如下內(nèi)容：想一想：如圖(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關系?(2) 有什么關系? 呢?(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結論?(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結論?請同學們討論后回答. 生A1C1BC1，A2C2BC2，A1C1/A2C2.RtBA1C1RtBA2C2. (相似三角形對應邊成比例). 由于A2是梯子A1B上的任意點，所以，如果改變A2在梯子A1B上的位置，上述結論仍成立. 由此我們可得出結論：

4、只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關，而與直角三角形大小無關. 生如果改變梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變. 師我們會發(fā)現(xiàn)這是一個變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時，如果給定一個傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關系呢? 生函數(shù)關系. 師很好!上面我們有了和定義正切相同的基礎，接著我們類比正切還可以有如下定義：(用多媒體演示) 在RtABC中，如果銳角A確定，那么A的對邊與斜

5、邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，A的對邊與鄰邊的比叫做A的正弦(sine)，記作sinA，即 sinA A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦(cosine)，記作cosA，即 cosA= 銳角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函數(shù)(trigonometricfunction). 師你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數(shù)”呢? 生我們在前面已討論過，當直角三角形中的銳角A確定時.A的對邊與斜邊的比值，A的鄰邊與斜邊的比值，A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“A的三角函數(shù)”概念中，A是自變量，其取值范圍是0°<A<90°

6、;；三個比值是因變量.當A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應. 2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關系 師我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關系呢?如果有關系，是怎樣的關系?19生如圖所示，ABA1B1，在RtABC中，sinA=，在RtA1B1C中，sinA1=. , 即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡， 所以梯子的傾斜程度與sinA有關系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度. 生同樣道理cosA= cosA1, AB=A1B1 即cos

7、A>cosA1， 所以梯子的傾斜程度與cosA也有關系.cosA的值越小，梯子越陡. 師同學們分析得很棒，能夠結合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實際中通常使用正切. 3.例題講解 多媒體演示.例1如圖，在RtABC中，B=90°，AC200.sinA0.6，求BC的長. 分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA0.6，0.6. 解：在RtABC中，B90°，AC200. sinA0.6，即=0.6，BCAC×0.6200×0.6=120. 思考：

8、(1)cosA? (2)sinC？ cosC? (3)由上面計算，你能猜想出什么結論? 解：根據(jù)勾股定理，得 AB=160. 在RtABC中，CB90°. cosA0.8， sinC= =0.8， cosC 0.6， 由上面的計算可知 sinAcosCO.6， cosAsinC0.8. 因為A+C90°，所以，結論為“一個銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個銳角的余弦等于它余角的正弦”.例2做一做：如圖，在RtABC中，C=90°，cosA，AC10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.分析：這是正弦、余弦定義

9、的進一步應用，同時進一步滲透sin(90°-A)cosA，cos(90°-A)=sinA. 解：在RtABC中，C90°，AC=10，cosA，cosA,AB=,sinB根據(jù)勾股定理，得BC2AB2-AC2()2-102=BC.cosB,sinA可以得出同例1一樣的結論.A+B=90°，sinA：cosB=cos(90-A)，即sinAcos(90°-A)； cosAsinBsin(90°-A)，即cosAsin(90°-A). .隨堂練習 多媒體演示 1.在等腰三角形ABC中，AB=AC5，BC=6，求sinB，cosB，

10、tanB. 分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構造B所在的直角三角形.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質，可過A作ADBC，D為垂足. 解：過A作ADBC，D為垂足. AB=AC，BD=DC=BC=3. 在RtABD中，AB5，BD=3， AD4. sinB cosB, tanB=. 2.在ABC中，C90°，sinA，BC=20，求ABC的周長和面積. 解：sinA= ，sinA=，BC20， AB25. 在RtBC中，AC=15， ABC的周長AB+AC+BC25+15+2060， ABC的面積：AC×BC=×15×20150.3.(2003

11、年陜西)(補充練習)在ABC中.C=90°，若tanA=，則sinA= . 解：如圖，tanA=.設BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理，得AB=.sinA=.課時小結本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認識了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，A是自變量，其取值范圍是0°<A<90°；三個比值是因變量.當A確定時，三個比值分別唯一確定；當A變化時，三個比值也分別有唯一確定的值與之對應.類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關系以及用正弦和余弦的定義來解決實際問題. .課后作業(yè) 習題1、2第1、2、3、4題 .活動與探究已知：如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，求證：BC2AB·BD.(用正弦、余弦函數(shù)的定義證明) 過程根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一個直角三角形中，在RtABC中，CDAB.所以圖中含有三個直角三角形.例如B既在RtBDC中，又在RtABC中，涉及線段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定義得co