11從梯子的傾斜程度談起（第二課時(shí)）

1、第二課時(shí)課 題 §1.1.2 從梯子的傾斜程度談起(二)教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點(diǎn) 1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正弦和余弦的意義. 2.能夠運(yùn)用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算. 4.理解銳角三角函數(shù)的意義. (二)能力訓(xùn)練要求 1.經(jīng)歷類比、猜想等過程.發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn). 2.體會數(shù)形結(jié)合的思想，并利用它分析、解決問題，提高解決問題的能力. (三)情感與價(jià)值觀要求 1.積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲. 2.形成合作交流的意識以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn) 1.理解

2、銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明. 2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比. 3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn) 用函數(shù)的觀點(diǎn)理解正弦、余弦和正切.教學(xué)方法 探索交流法.教具準(zhǔn)備 多媒體演示.教學(xué)過程 .創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引入新課 師我們在上一節(jié)課曾討論過用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度，并且得出了當(dāng)傾斜角確定時(shí)，其對邊與斜邊之比隨之確定.也就是說這一比值只與傾斜角有關(guān)，與直角三角形的大小無關(guān).并在此基礎(chǔ)上用直角三角形中銳角的對邊與鄰邊之比定義了正切. 現(xiàn)在我們提出兩個(gè)問題： 問題1當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，其他邊之間的比也確定嗎?

3、問題2梯子的傾斜程度與這些比有關(guān)嗎?如果有，是怎樣的關(guān)系? .講授新課 1.正弦、余弦及三角函數(shù)的定義 多媒體演示如下內(nèi)容：想一想：如圖(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?(2) 有什么關(guān)系? 呢?(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論?(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論?請同學(xué)們討論后回答. 生A1C1BC1，A2C2BC2，A1C1/A2C2.RtBA1C1RtBA2C2. (相似三角形對應(yīng)邊成比例). 由于A2是梯子A1B上的任意點(diǎn)，所以，如果改變A2在梯子A1B上的位置，上述結(jié)論仍成立. 由此我們可得出結(jié)論：

4、只要梯子的傾斜角確定，傾斜角的對邊.與斜邊的比值，傾斜角的鄰邊與斜邊的比值隨之確定.也就是說，這一比值只與傾斜角有關(guān)，而與直角三角形大小無關(guān). 生如果改變梯子A1B的傾斜角的大小，如虛線的位置，傾斜角的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值隨之改變. 師我們會發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)變化的過程.對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值都隨著傾斜角的改變而改變，同時(shí)，如果給定一個(gè)傾斜角的值，它的對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值是唯一確定的.這是一種什么關(guān)系呢? 生函數(shù)關(guān)系. 師很好!上面我們有了和定義正切相同的基礎(chǔ)，接著我們類比正切還可以有如下定義：(用多媒體演示) 在RtABC中，如果銳角A確定，那么A的對邊與斜

5、邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.如圖，A的對邊與鄰邊的比叫做A的正弦(sine)，記作sinA，即 sinA A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦(cosine)，記作cosA，即 cosA= 銳角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函數(shù)(trigonometricfunction). 師你能用自己的語言解釋一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA都是之A的三角函數(shù)”呢? 生我們在前面已討論過，當(dāng)直角三角形中的銳角A確定時(shí).A的對邊與斜邊的比值，A的鄰邊與斜邊的比值，A的對邊與鄰邊的比值也都唯一確定.在“A的三角函數(shù)”概念中，A是自變量，其取值范圍是0°<A<90°

6、;；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng). 2.梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系 師我們上一節(jié)知道了梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我們想到梯子的傾斜程度是否也和sinA、cosA有關(guān)系呢?如果有關(guān)系，是怎樣的關(guān)系?19生如圖所示，ABA1B1，在RtABC中，sinA=，在RtA1B1C中，sinA1=. , 即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡， 所以梯子的傾斜程度與sinA有關(guān)系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的傾斜程度. 生同樣道理cosA= cosA1, AB=A1B1 即cos

7、A>cosA1， 所以梯子的傾斜程度與cosA也有關(guān)系.cosA的值越小，梯子越陡. 師同學(xué)們分析得很棒，能夠結(jié)合圖形分析就更為妙哉!從理論上講正弦和余弦都可以刻畫梯子的傾斜程度，但實(shí)際中通常使用正切. 3.例題講解 多媒體演示.例1如圖，在RtABC中，B=90°，AC200.sinA0.6，求BC的長. 分析：sinA不是“sin”與“A”的乘積，sinA表示A所在直角三角形它的對邊與斜邊的比值，已知sinA0.6，0.6. 解：在RtABC中，B90°，AC200. sinA0.6，即=0.6，BCAC×0.6200×0.6=120. 思考：

8、(1)cosA? (2)sinC？ cosC? (3)由上面計(jì)算，你能猜想出什么結(jié)論? 解：根據(jù)勾股定理，得 AB=160. 在RtABC中，CB90°. cosA0.8， sinC= =0.8， cosC 0.6， 由上面的計(jì)算可知 sinAcosCO.6， cosAsinC0.8. 因?yàn)锳+C90°，所以，結(jié)論為“一個(gè)銳角的正弦等于它余角的余弦”“一個(gè)銳角的余弦等于它余角的正弦”.例2做一做：如圖，在RtABC中，C=90°，cosA，AC10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你還能得出類似例1的結(jié)論嗎?請用一般式表達(dá).分析：這是正弦、余弦定義

9、的進(jìn)一步應(yīng)用，同時(shí)進(jìn)一步滲透sin(90°-A)cosA，cos(90°-A)=sinA. 解：在RtABC中，C90°，AC=10，cosA，cosA,AB=,sinB根據(jù)勾股定理，得BC2AB2-AC2()2-102=BC.cosB,sinA可以得出同例1一樣的結(jié)論.A+B=90°，sinA：cosB=cos(90-A)，即sinAcos(90°-A)； cosAsinBsin(90°-A)，即cosAsin(90°-A). .隨堂練習(xí) 多媒體演示 1.在等腰三角形ABC中，AB=AC5，BC=6，求sinB，cosB，

10、tanB. 分析：要求sinB，cosB，tanB，先要構(gòu)造B所在的直角三角形.根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可過A作ADBC，D為垂足. 解：過A作ADBC，D為垂足. AB=AC，BD=DC=BC=3. 在RtABD中，AB5，BD=3， AD4. sinB cosB, tanB=. 2.在ABC中，C90°，sinA，BC=20，求ABC的周長和面積. 解：sinA= ，sinA=，BC20， AB25. 在RtBC中，AC=15， ABC的周長AB+AC+BC25+15+2060， ABC的面積：AC×BC=×15×20150.3.(2003

11、年陜西)(補(bǔ)充練習(xí))在ABC中.C=90°，若tanA=，則sinA= . 解：如圖，tanA=.設(shè)BC=x，AC=2x，根據(jù)勾股定理，得AB=.sinA=.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們類比正切得出了正弦和余弦的概念，用函數(shù)的觀念認(rèn)識了三種三角函數(shù)，即在銳角A的三角函數(shù)概念中，A是自變量，其取值范圍是0°<A<90°；三個(gè)比值是因變量.當(dāng)A確定時(shí)，三個(gè)比值分別唯一確定；當(dāng)A變化時(shí)，三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對應(yīng).類比前一節(jié)課的內(nèi)容，我們又進(jìn)一步思考了正弦和余弦的值與梯子傾斜程度之間的關(guān)系以及用正弦和余弦的定義來解決實(shí)際問題. .課后作業(yè) 習(xí)題1、2第1、2、3、4題 .活動與探究已知：如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，求證：BC2AB·BD.(用正弦、余弦函數(shù)的定義證明) 過程根據(jù)正弦和余弦的定義，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一個(gè)直角三角形中，在RtABC中，CDAB.所以圖中含有三個(gè)直角三角形.例如B既在RtBDC中，又在RtABC中，涉及線段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定義得co