一元二次方程》課件

1、實(shí)際問題 1. 正方形桌面的面積正方形桌面的面積是是 m2 ，求它的邊長。，求它的邊長。94可以直接計(jì)算出結(jié)果?？梢灾苯佑?jì)算出結(jié)果。提示提示根據(jù)正方形面積公式根據(jù)正方形面積公式 S = a2 ，得到，得到9342a cm 可以用列方程求解嗎？可以用列方程求解嗎？a2 = 94新課導(dǎo)入2.兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的積是兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的積是 255，求這兩個(gè)數(shù)。，求這兩個(gè)數(shù)。實(shí)際問題 可以直接計(jì)可以直接計(jì)算出結(jié)果嗎？算出結(jié)果嗎？1，2，3，4，5，6 ?可以用列方程求解?？梢杂昧蟹匠糖蠼狻Ｌ崾咎崾驹O(shè)前一個(gè)奇數(shù)為設(shè)前一個(gè)奇數(shù)為 x ， 則后一個(gè)奇數(shù)為則后一個(gè)奇數(shù)為 x + 2x（ x 2 ） = 255整理，

2、得整理，得x2 2x = 255x2 2x = 255 像這樣的方程有廣泛的應(yīng)用，繼續(xù)像這樣的方程有廣泛的應(yīng)用，繼續(xù)解決一些實(shí)際問題，總結(jié)一元二次方程解決一些實(shí)際問題，總結(jié)一元二次方程的概念。的概念。 3. 用用 11 cm長的鐵絲，折成一個(gè)面積為長的鐵絲，折成一個(gè)面積為 30 cm2的矩形，求這個(gè)矩形的長與寬的矩形，求這個(gè)矩形的長與寬.實(shí)際問題設(shè)矩形的長為設(shè)矩形的長為 x cm，則寬為（則寬為（11x ） cm ，x（ 11x）整理，得整理，得x2 11x = 30提示提示根據(jù)矩形的面積為根據(jù)矩形的面積為30 cm2，得，得= 30幾何圖形幾何圖形面積問題面積問題 4. 長長 5 m的梯子斜

3、靠在墻上，梯子的底端與墻的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是的距離是3 m。若梯子底端向左滑動(dòng)的距離與梯子。若梯子底端向左滑動(dòng)的距離與梯子頂端向下滑動(dòng)的距離相等，求梯子滑動(dòng)的距離。頂端向下滑動(dòng)的距離相等，求梯子滑動(dòng)的距離。實(shí)際問題5 m3 m勾股定理勾股定理問題問題3 m5 m設(shè)梯子滑動(dòng)的距離為設(shè)梯子滑動(dòng)的距離為 x m， 則滑動(dòng)后梯子頂端離地面（則滑動(dòng)后梯子頂端離地面（4x ）m ，梯子底端離墻（梯子底端離墻（3x）m， 根據(jù)勾股定理，滑動(dòng)前梯子根據(jù)勾股定理，滑動(dòng)前梯子的頂端離地面的頂端離地面 4 m，提示提示(4x)2 (3x)2滑動(dòng)后，三邊仍符合勾股定理，得滑動(dòng)后，三邊仍符合勾股定理

4、，得= 525 mx4xx整理，得整理，得2x2 2x = 0觀觀 察察x2 2x = 255a2 = 94x2 11x = 302x2 2x = 0 x218x45 = 0這些方程有什么共同點(diǎn)？這些方程有什么共同點(diǎn)？ 方程兩邊方程兩邊都是整式。都是整式。 方程中只含方程中只含有一個(gè)未知數(shù)。有一個(gè)未知數(shù)。 未知數(shù)的未知數(shù)的最高次數(shù)是最高次數(shù)是2。知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)一元一元 方程兩邊都是整式，只含有方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未一個(gè)未知數(shù)知數(shù)，并且未知數(shù)的，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是最高次數(shù)是2的方的方程，叫做程，叫做一元二次方程一元二次方程（quadratic equation in one unk

5、nown）。）。二次二次 下列哪些是一元二次方程？下列哪些是一元二次方程？3252xx20 x 2(3)(24)xxx23(31)(2)yyy2321xxx2351xx 判斷一個(gè)方判斷一個(gè)方程是否為一元二程是否為一元二次方程，不能只次方程，不能只看表面，能化簡看表面，能化簡時(shí)應(yīng)先化簡。時(shí)應(yīng)先化簡。一元二次方程必須符合三個(gè)條件一元二次方程必須符合三個(gè)條件n 整式方程。整式方程。n 一個(gè)未知數(shù)。一個(gè)未知數(shù)。n 未知數(shù)的最高次數(shù)為未知數(shù)的最高次數(shù)為 2。x2 2x = 255a2 = 94x2 11x = 302x2 2x = 0 x218x45 = 0 一元二次方程有很多很多，一元二次方程有很多很

6、多，你能表示出它們的一般形式嗎？你能表示出它們的一般形式嗎？ax2 + bx +c = 0二次項(xiàng)二次項(xiàng)一次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)a0一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn) 當(dāng)當(dāng) a = 0 時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，方程變?yōu)?bxc = 0 ，不再，不再是一元二次方程。是一元二次方程。為什么要限制為什么要限制a0，b、c 可以為零嗎？可以為零嗎？的強(qiáng)調(diào)的強(qiáng)調(diào)ax2 + bx +c = 0n “ = ”左邊最多有三項(xiàng)，一次項(xiàng)、常數(shù)左邊最多有三項(xiàng)，一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)可不出現(xiàn)，但二次項(xiàng)必須有。項(xiàng)可不出現(xiàn)，但二次項(xiàng)必須有。n “ = ”左邊按未知數(shù)左邊按未

7、知數(shù) x 的降冪排列。的降冪排列。n “ = ”右邊必須整理為右邊必須整理為 0。例題 將方程將方程 化成一元二化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。 825218xx其中二次項(xiàng)系數(shù)為其中二次項(xiàng)系數(shù)為 4，解：解：去括號(hào)，得：去括號(hào)，得：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一般形式為：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一般形式為：一次項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)為 26，常數(shù)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)為 22。240 1610418xxx2426220 xx例題 將方程將方程 化成一化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二元二次方程的一般形式，并寫出其

8、中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。 21221xxx其中二次項(xiàng)系數(shù)為其中二次項(xiàng)系數(shù)為 2，解：解：去括號(hào)，得：去括號(hào)，得：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一般形式為：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得一般形式為：一次項(xiàng)系數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)為 2，常數(shù)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)為4。222141xxx 22240 xxx 22xx兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的積是兩個(gè)連續(xù)正奇數(shù)的積是 255，求這兩個(gè)數(shù)。，求這兩個(gè)數(shù)。設(shè)前一個(gè)奇數(shù)為設(shè)前一個(gè)奇數(shù)為 x ， 則后一個(gè)奇數(shù)為則后一個(gè)奇數(shù)為 x + 2，x（ x 2 ） = 255整理，得整理，得x2 2x = 255前面的前面的“實(shí)際問題實(shí)際問題2”中：中：回顧回顧131114

9、3131951525511172551519500前面的前面的“實(shí)際問題實(shí)際問題 4”中：中：回顧回顧x 222xx001 02 43 124 24 5 406 607845 m3 m設(shè)梯子滑動(dòng)的距離為設(shè)梯子滑動(dòng)的距離為 x m，2x2 2x = 0 長長 5 m的梯子斜靠在墻上，梯子的底的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是端與墻的距離是3 m。若梯子底端向左滑。若梯子底端向左滑動(dòng)的距離與梯子頂端向下滑動(dòng)的距離相等，動(dòng)的距離與梯子頂端向下滑動(dòng)的距離相等，求梯子滑動(dòng)的距離。求梯子滑動(dòng)的距離。x =17歸納歸納當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，x = 15當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，x2 2x = 255x = 0當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，x

10、= 1當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，2x2 2x = 0 x =17，x = 15 都是方程都是方程 x2 2x = 255 的解。的解。x = 0，x = 1 都是方程都是方程 2x2 2x =0 的解。的解。 為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只為了與以前所學(xué)的一元一次方程等只有一個(gè)解的區(qū)別，我們稱：有一個(gè)解的區(qū)別，我們稱： 一元二次方程一元二次方程的解也叫做一元二次方程的的解也叫做一元二次方程的根根（root）。）。知識(shí)要點(diǎn)知識(shí)要點(diǎn)x =17，x = 15 都是方程都是方程 x2 2x = 255 的解。的解。x = 0，x = 1 都是方程都是方程 2x2 2x =0 的解。的解。兩個(gè)連續(xù)兩個(gè)連續(xù)正正奇數(shù)的

11、積是奇數(shù)的積是 255，求這兩個(gè)數(shù)。，求這兩個(gè)數(shù)。x =17，x = 15 都是方程都是方程 x2 2x = 255 的解。的解。 這兩個(gè)解都是該這兩個(gè)解都是該實(shí)際問題的答案嗎？實(shí)際問題的答案嗎？觀觀 察察只有只有 x = 15 是該題的答案。是該題的答案。即這兩個(gè)正奇數(shù)為即這兩個(gè)正奇數(shù)為 15、17。注意注意 由實(shí)際問題列出方程并得出方程由實(shí)際問題列出方程并得出方程的解后，還要考慮這些解是否確實(shí)是的解后，還要考慮這些解是否確實(shí)是實(shí)際問題的解。實(shí)際問題的解。 下列方程的根是什么？下列方程的根是什么？2216402 360 xx（）， （ ）18x 12x 28x 22x 只含有一個(gè)未知數(shù)，并且

12、未知數(shù)的最高次數(shù)只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是是 2的整式方程叫做一元二次方程。的整式方程叫做一元二次方程。1.一元二次方程的概念：一元二次方程的概念： 2.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式: 一般地，任何一個(gè)關(guān)于一般地，任何一個(gè)關(guān)于 x 的一元二次方程都的一元二次方程都可以化為可以化為 （a，b，c為常數(shù)，為常數(shù)，a0）的形式，稱為一元二次方程的一般形式。的形式，稱為一元二次方程的一般形式。20axbxc課堂小結(jié) 也叫做一元二次方程的根。也叫做一元二次方程的根。3. 一元二次方程的解：一元二次方程的解： 4. 實(shí)際問題與一元二次方程的聯(lián)系：實(shí)際問題與一元二次方程的聯(lián)系：

13、 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程并得出解后，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程并得出解后，要考慮是否符合題目要求及實(shí)際情況。要考慮是否符合題目要求及實(shí)際情況。 1. 求證：關(guān)于求證：關(guān)于 x 的方程（的方程（m28m+17）x2 + 2mx + 1 = 0， 不論不論 m 取何值，該方程都是一元二次方程。取何值，該方程都是一元二次方程。 證明：2410m 2281741mmm240m28170mm 即二次項(xiàng)系數(shù)不等于即二次項(xiàng)系數(shù)不等于 0，不論，不論 m 取取何值，該方程都是一元二次方程。何值，該方程都是一元二次方程。隨堂練習(xí) 2. 根據(jù)下列問題，列出關(guān)于根據(jù)下列問題，列出關(guān)于 的方程，并的方程，并將

14、其化為一元二次方程的一般形式：將其化為一元二次方程的一般形式： （1）4個(gè)完全相同的正方形的面積之和是個(gè)完全相同的正方形的面積之和是25，求正方形的邊長求正方形的邊長 ； （2）一個(gè)矩形的長比寬多）一個(gè)矩形的長比寬多2，面積是，面積是100，求矩形的長求矩形的長 ； xxx24250 x 221000 xx （3）把長為）把長為1的木條分成兩段，使較短的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長平方，求較短一段的長 ； （4）一個(gè)直角三角形的斜邊長為）一個(gè)直角三角形的斜邊長為10，兩，兩條直角邊相差條直角邊相差2，求較長

15、的直角邊長，求較長的直角邊長 ；xx224960 xx2310 xx 3. 將下列方程化為一元二次方程的一般將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。22514481422532183xxxx xxxx （1） （2） （3） （4） 原方程一般形式二次二次項(xiàng)系項(xiàng)系數(shù)數(shù)一次一次項(xiàng)系項(xiàng)系數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)2514xx 2481x 4225x x32183xxx25410 xx 24810 x 248250 xx23710 xx 514481042583174. 下面哪些數(shù)是方程下面哪些數(shù)是方程 的根？的根？ 4，3，2，1，0，1，2，3，4 0121022xx解：將上面的這些數(shù)代入后，解：將上面的這些數(shù)代入后，