第六章 異方差與序列相關(guān)3

1、第三節(jié) 廣義最小二乘法Y=X+，=(1,",n)'，E()=0的方差協(xié)方差矩陣為：E(12)E(12)"E(1n)E(')=#%#=22E(n1)E(n2)"E(n)其中為n×n的實(shí)對(duì)稱矩陣。若=In，則E(')=2In滿足古典假定。若In，則不滿足古典假定，我們稱為非球型擾動(dòng)。特別的：12 0 " 01 0 " 0200"0 "0 2=22為異方差的情形。 1）2=# # % # # % #0 0 " 2"0 0 nn12）2=2#T1一、廣義最小二乘法思想：對(duì)原模型進(jìn)

2、行適當(dāng)?shù)淖儞Q（從出發(fā)）將擾動(dòng)項(xiàng)的方差協(xié)方差矩陣化成2In以滿足古典假定。做法：由于對(duì)稱且正定，則存在一個(gè)非奇異的n×n矩陣P，使得#T2"T1%#為一階自回歸形式的自相關(guān)情形。 "11=P'P，于是=(P'P)1對(duì)模型進(jìn)行變換：Y=X+，用P左乘方程兩邊得：PY=PX+P令Y*=PY，X*=PX，*=P則模型變?yōu)椋篩*=X*+*； E(*')=EP(P)'=PE(')P'=2(PP')=P(P'P)P'=In212所以變換后模型的擾動(dòng)項(xiàng)滿足古典線性回歸模型的假定。用OLS估計(jì)新方程得：=(X*

3、'X*)1X*'Y*=(PX)'(PX)1(PX)'(PY)=X'(P'P)X1X'(P'P)YGLS=X'1X1X'1Y為廣義最小二乘估計(jì)量。 GLS)=2(X*'X*)1=2(X'1X)1 Var(GLS二、異方差、自相關(guān)時(shí)模型的GLS估計(jì)=(X'X)1X'Y= 1)=I時(shí)，GLSOLS1 0 " 01 0 " 0000 0 ""2222時(shí)，E(')= 2）=# # % # # % #0 0 0 0 ""nn1&

4、quot; 0 0 " 011 " 00 2 " 00 1，變換矩陣為：P=# #%#% 0 0 "1n0 0 " =X'1X1X'1Y=wXX'1wXY， iiiiiiGLSii其中wi=1i，即為WLS估計(jì)。若已知，可以直接進(jìn)行GLS（即為WLS）估計(jì)。若未知，需要先估計(jì)權(quán)重wi=估計(jì)。 1i后，可以做GLS，有了的估計(jì)13）=2#T1#T2"T1%#時(shí)，模型存在一階自相關(guān)，此時(shí) "10121+101=1+221"""000變換矩陣為： 000#0"00&q

5、uot;00"00 """"1P=0"0000 ""#"""000"1010010"0"0"0001P'P， 21此時(shí)，P'P=(12)1,1=PY=PX+P具體化為：11Y2Y1*X2X1， Y*=,X=#YYXXT1T1TT從前的廣義差分變換相當(dāng)于忽略了第一項(xiàng)。=X'1X1X'1Y。 GLS估計(jì)：GLS若已知，我們可以直接對(duì)Y和X進(jìn)行變換，然后進(jìn)行OLS估計(jì)。若未知，我們則先要對(duì)進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)的方法即為前面關(guān)于

6、自相關(guān)修正中的說明。說明：一般地，對(duì)于非球型擾動(dòng)來說，都是未知的。若要進(jìn)行GLS我，再將代入GLS估計(jì)中去。我們稱這種們先得對(duì)進(jìn)行估計(jì)得到做法為可行的廣義最小二乘估計(jì)（FGLS估計(jì)）：111FGLS=X'XX'Y廣義最小二乘估計(jì)量的有效性是一個(gè)BLUE（best linear unbiased estimator ）估計(jì)量. GLS=(X*'X*)1X*'Y*=(PX)'(PX)1(PX)'(PY)=X'(P'P)X1X'(P'P)YGLS=X'1X1X'1Y=X'1X1X'1(X+)=+X'1X1X'1)=+X'1X1X'1E()= E(GLS)=2(X*'X*)1=2(X'1X)1 Var(GLS存在非球形擾動(dòng)時(shí)，OLS=(X'X)1X'Y，Var(OLS)=2(X'X)1X'X(X'X)1 可以證明OLS不如GLS有效。證明：Var(GLS)Var(OLS)2(X'X)1X'(X'1X)1X'1(X'X)1X'(X&