第2講.全等三角形輔助線--旋轉(zhuǎn)與平移_圖文

1、 三角形全等輔助線旋轉(zhuǎn)與平移共同的特點(diǎn)：都有長度相等，且有一端點(diǎn)重合的線段中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)： A'CB等腰直角三角形, 等邊三角形旋轉(zhuǎn) CBAEBA正方形旋轉(zhuǎn) FDCFEDCBA 【精選例題】旋轉(zhuǎn) 中點(diǎn)類【例1】 以ABC 的兩邊AB 、AC 為腰分別向外作等腰R t A B D 和等腰R t A C E ，90BAD CAE =連接DE ，M 、N 分別是BC 、DE 的中點(diǎn)探究：AM 與DE 的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)ABC 為直角三角形時(shí)，AM 與DE 的位置關(guān)系是 ；線段AM 與DE 的數(shù)量關(guān)系是 ； （2）將圖中的等腰Rt ABD 繞點(diǎn)A 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) (090<&

2、lt; 后，如圖所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由 【例2】 （順義區(qū)2009一模第25題）已知：在Rt ABC 中，AB BC =，在Rt ADE 中，AD DE =，連結(jié)EC ，取EC 的中點(diǎn)M ，連結(jié)DM 和BM 若點(diǎn)D 在邊AC 上，點(diǎn)E 在邊AB 上且與點(diǎn)B 不重合，如圖，探索BM 、DM 的關(guān)系并給予證明；圖1ABCDEM 如果將圖中的ADE 繞點(diǎn)A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45的角，如圖，那么中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明圖2MEDCBA 【例3】 在四邊形ABCD 中，設(shè)M , N 分別為CD , AB 的中點(diǎn)，求證(12MN AD

3、BC +，當(dāng)且僅當(dāng)AD BC 時(shí)等號(hào)成立N MDCBA【例4】 如圖所示，在ABC 的AB 邊上取兩點(diǎn)E 、F ，使AE BF =，連接CE 、CF ，求證：AC BC +>EC FC +CBA O E F對(duì)角互補(bǔ)類【例5】 如圖，90ABC =，BD 為ABC 的角平分線，將一三角板的直角頂點(diǎn)固定在點(diǎn)D ，另外兩邊分別交AB ，BC 于E ，F(xiàn) 兩點(diǎn)，證明：DE DF =EDAB C 【例6】 如圖，120ABC =，BD 為ABC 的角平分線，60DEF =且角的兩邊分別交AB ，BC 于E ，F(xiàn) 兩點(diǎn)，證明：DE DF =ABCD【例7】 如圖，在四邊形ABCD 中，90ADC A

4、BC =，AD CD =，DP AB 于P ，若四邊形ABCD的面積為18，求DP 的長PDCBA【例8】 直角三角形ABC 中9068A AB BC =，；P 為BC 的中點(diǎn)，ABC 繞著點(diǎn)P 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到DEF ，求重疊部分PQKR 的面積 【例9】 已知，在四邊形ABCD 中，90ABC ADC =，對(duì)角線AC 平分BAD ，在DA 的延長線上任取一點(diǎn)E ，連接EC ，作12ECF BCD =，使CF 與AB 的延長線交于F ，連結(jié)EF ，請(qǐng)畫出完整圖形，探究：線段BF 、EF 、ED 之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由 DCBA【例10】 （1）如圖1，四邊形ABCD 中，AB C

5、B =，60ABC =，120ADC =，請(qǐng)你猜想線段DA 、DC 之和與線段BD 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；圖1DBA（2）如圖2，四邊形ABCD 中，AB BC =，60ABC =，若點(diǎn)P 為四邊形ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，且120APD =，請(qǐng)你猜想線段PA 、PD 、PC 之和與線段BD 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論P(yáng)圖2DC BA 平移【例11】 如圖所示，在ABC 中，90B =，M 為AB 上的一點(diǎn)，且AM BC =；N 為BC 上的一點(diǎn)，且CN BM =連接AN 、CM 交于點(diǎn)P ，求證：45APM =PN M CBA【例12】 (07年北京中考 如圖，已知ABC 請(qǐng)你在BC 邊上分別

6、取兩點(diǎn)D 、E (BC 的中點(diǎn)除外 ，連結(jié)AD 、AE ，寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形； CB A請(qǐng)你根據(jù)使成立的相應(yīng)條件，證明AB AC AD AE +>+ DE CB A 【例13】 如圖14-1，ABC 的邊BC 在直線l 上，AC BC ，且AC BC =；EFP 的邊FP 也在直線l 上，邊EF 與邊AC 重合，且EF FP =（1）在圖14-1中，請(qǐng)你通過觀察、測量，猜想并寫出AB 與AP 所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將EFP 沿直線l 向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP 交AC 于點(diǎn)Q ，連結(jié)AP ，BQ 猜想并寫出BQ

7、與AP 所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；（3）將EFP 沿直線l 向左平移到圖14-3的位置時(shí)，EP 的延長線交AC 的延長線于點(diǎn)Q ，連結(jié)AP ，BQ 你認(rèn)為（2）中所猜想的BQ 與AP 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由 A （E ）B C （F ） PlllB FC 圖14-1圖14-2圖14-3 平移加旋轉(zhuǎn)【例14】 如圖，已知E 是正方形ABCD 的邊AB 的中點(diǎn)，B 的外角CBG 的平分線BF 交DE 的垂線EF于F 。（1）DE 與EF 是什么關(guān)系？（不用證明） （2）若E 為AB 上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)A 、B 除外），結(jié)論（1）還成立嗎

8、？若成立，給出證明，若不成立，請(qǐng)說明理由。 【例15】 (2004年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 如圖，梯形ABCD 中，AD BC ，以兩腰AB ，CD 為一邊分別向兩邊作正方形ABGE 和DCHF ，連接AD 的垂直平分線l 交線段EF 于點(diǎn)M 求證：點(diǎn)M 為EF 的中點(diǎn)MlHFDEBA 旋轉(zhuǎn)不變性08年北京中考真題1. 中點(diǎn)倍長 08年宣武二模25已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ，BE=EF，BEF=90，按圖1放置，使點(diǎn)F 在BC 上，取DF 的中點(diǎn)G ，聯(lián)結(jié)EG 、CG.（1）探索EG 、CG 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系并證明；（2）將圖1中BEF 繞B 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45，再聯(lián)結(jié)DF ，取DF

9、 中點(diǎn)G （如圖2），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；（3）將圖1中BEF 繞B 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（旋轉(zhuǎn)角在0到90之間），再聯(lián)結(jié)DF ，取DF 的中點(diǎn)G （如圖3），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論.圖1 圖圖3D A G F E C B G FE C B A D D G FE C B A 2. 旋轉(zhuǎn)拼湊09崇文一模 08朝陽一模 探究操作題（江蘇鹽城）如圖甲，在ABC中，ACB為銳角點(diǎn)D 為射線BC 上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD ，以AD 為一邊且在AD 的右側(cè)作正方形ADEF 解答下列問題：（1）如果AB=AC，BAC=90º當(dāng)點(diǎn)D 在線段BC 上時(shí)（與點(diǎn)B 不重合）

10、，如圖乙，線段CF 、BD 之間的位置關(guān)系為 ，數(shù)量關(guān)系為 當(dāng)點(diǎn)D 在線段BC（2）如果ABAC，BAC90º，點(diǎn)D 在線段BC 上運(yùn)動(dòng)試探究：當(dāng)ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CFBC（點(diǎn)C 、F 重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由（畫圖不寫作法）（3）若AC BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF 的邊DE 與線段CF 相交于點(diǎn)P ，求線段CP 長的最大值A(chǔ) B C E F 第28題圖 圖甲 圖乙 F E A E C B 圖丙 08年門頭溝二模25. 如圖，把一副三角板如圖1放置，其中ACB=DEC=90°，A=45°，D=30°，斜邊AB=6cm

11、，DC=7cm，把三角板DCE 繞點(diǎn)C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15得到D/CE/如圖2這時(shí)AB 與CD/相交于點(diǎn)O ，D/E/與AB 相交于點(diǎn)F （1）求OFE/的度數(shù)； （2）求線段AD/的長 （3）若把三角形D/CE/繞著點(diǎn)C 順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)30 得D/CE/，這時(shí)點(diǎn)B 在D/CE/的內(nèi)部、外部、還是邊上？證明你的判斷A C E 圖1 圖108東城一模25已知ABC 中，AB=AC=3,BAC=900,點(diǎn)D 為BC 上一點(diǎn)，把一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在D 處.（1）如圖1，若BD=CD, 將三角板繞點(diǎn)D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交AB 、AC 于點(diǎn)E 、點(diǎn)F, 求出重疊部分AEDF 的面積（

12、直接寫出結(jié)果）；（2）如圖2，若BD=CD, 將三角板繞點(diǎn)D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AB 于點(diǎn)E 、另一條直角邊交AB 的延長線于點(diǎn)F, 設(shè)AE x ，兩塊三角板重疊部分的面積為y ，求出 y 與x 的函數(shù)關(guān)系式, 并寫出自變量x 的取值范圍；（3）若2BD CD =, 將三角板繞點(diǎn)D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AC 于點(diǎn)F 、另一條直角邊交射線AB 于點(diǎn)E ，設(shè)CF=(1 x x >，兩塊三角板重疊部分的面積為y ，求出 y 與x 的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量x的取值范圍 08年石景山二模25我們做如下的規(guī)定：如果一個(gè)三角形在運(yùn)動(dòng)變化時(shí)保持形狀和大小不變，則把這樣的三角形稱為三角形板.

13、把兩塊邊長為4的等邊三角形板ABC 和DEF 疊放在一起，使三角形板DEF 的頂點(diǎn)D 與三角形板ABC 的AC 邊中點(diǎn)O 重合，把三角形板ABC 固定不動(dòng)，讓三角形板DEF 繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE 與射線AB 相交于點(diǎn)M ，射線DF 與線段BC 相交于點(diǎn)N （1）如圖1，當(dāng)射線DF 經(jīng)過點(diǎn)B ，即點(diǎn)Q 與點(diǎn)B 重合時(shí)，易證ADM CND 此 時(shí)，AM ·CN= （2）將三角形板DEF 由圖1所示的位置繞點(diǎn)O 沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為其中090<< ，問AM ·CN 的值是否改變？說明你的理由（3）在（2）的條件下，設(shè)AM= x，兩塊三角形板重疊面積為y ，

14、求y 與x 的函數(shù)關(guān)系式（圖2，圖3供解題用）圖2圖3圖1AB CMND(OAMNEFEA 線段和差問題 08海淀一模25已知：如圖，一塊三角板的直角頂點(diǎn)P 放在正方形ABCD 的AB 邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)C ，三角板的另一條直角邊與AD 交于點(diǎn)Q （1）請(qǐng)你寫出此時(shí)圖形中成立的一個(gè)結(jié)論（任選一個(gè)）； （2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，有AQ+BC=CQ，請(qǐng)證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)Q 在AD 的什么位置時(shí)，可證得PC=3PQ，并寫出解答過程等分面積題08石景山一模25閱讀下面問題的解決過程： 問題解決：如圖，已知四邊形ABCD ，過點(diǎn)B 作一直線 （不必寫作法），使其等分四邊形ABCD 的面積，

15、并證明A B CDP 新定義型（07北京中考真題）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，類似地，我們定義：至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形. （1）請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱；（2）如圖，在ABC 中，點(diǎn)D 、E 分別在AB 、AC 上，設(shè)CD 、BE 相交于O ，若60A =，12DCB EBC A =，請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與A 相等的角，并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形；（3）在ABC 中，如果A 是不等于60º的銳角，點(diǎn)D 、E 分別在AB 、AC 上，且12DCB EBC A =，探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并

16、證明你的結(jié)論.08 年房山二模 七、解答題（本題滿分 7 分）23四邊形一條對(duì)角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線的兩端點(diǎn)的距 離不相等，但到另一對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)如圖 l，點(diǎn) P 為四邊形 ABCD 對(duì)角線 AC 所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PAPC，則點(diǎn) P 為四邊形 ABCD 的準(zhǔn)等距點(diǎn) (1如圖 2，畫出菱形 ABCD 的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn) (2如圖 3，作出四邊形 ABCD 的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn) (尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法 (3如圖 4，在四邊形 ABCD 中，P 是 AC 上的點(diǎn)，PAPC，延長 BP 交 CD 于點(diǎn) E，延長 DP 交 BC 于點(diǎn) F， 且CDF=CBE，CE=CF