第9章頻率特性

1、第9章 電路的頻率特性教學(xué)提示：電路中傳輸?shù)碾娦盘?hào)往往不是單一頻率的正弦量。如無(wú)線電通信、廣播、電視等所傳輸?shù)恼Z(yǔ)言、音樂(lè)、圖像信號(hào)，都是由很多頻率的正弦分量所組成，并且把它們調(diào)制到很高的頻率上（載波）以便通過(guò)天線把電波發(fā)射出去，接收機(jī)則把收到的電波進(jìn)行解調(diào)，恢復(fù)那些有用的頻率分量。本章的任務(wù)就是討論在不同頻率信號(hào)激勵(lì)下電路的傳輸特性。教學(xué)要求：研究線性網(wǎng)絡(luò)的頻率特性是電路分析的重要內(nèi)容。學(xué)習(xí)本章要認(rèn)真理解網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和頻率特性的概念，了解典型網(wǎng)絡(luò)的選頻特性，牢固掌握串聯(lián)諧振電路及并聯(lián)諧振電路的特點(diǎn)及分析方法。9.1 電路的頻率響應(yīng)分析電路的頻率響應(yīng)應(yīng)先掌握該電路在正弦穩(wěn)態(tài)下的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，電路的任何一

2、個(gè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線都可稱(chēng)為在指定輸入和輸出下的頻率響應(yīng)。9.1.1 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)電路（網(wǎng)絡(luò)）本身的性能是由電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定的。在正弦穩(wěn)態(tài)下，表征電路或系統(tǒng)的重要性能之一是網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（network function），用表示，其定義為 （9.1）圖9.l 一般線性網(wǎng)絡(luò)如圖9.1所示網(wǎng)絡(luò)，最常用的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)之一為電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)（傳遞函數(shù)）即 （9.2） 通常為一復(fù)數(shù)，可寫(xiě)為 （9.3）式中， 稱(chēng)為電路的幅頻特性（amplitude-frequency characteristic ），稱(chēng)為相頻特性(phase-frequency characteristic ),二者合稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)的頻

3、率特性（頻率響應(yīng)）。9.1.2 一階RC電路分析對(duì)于一階RC電路如圖9.2(a)所示。其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)（電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)）= 從而有 式中，幅頻特性 （9.4） 相頻特性 （9.5） 由此可知，當(dāng)=0時(shí)，得：，當(dāng)=時(shí)，得：，當(dāng)=時(shí)，得：，該RC電路的頻率特性可大致畫(huà)為圖9.2（b）和圖9.2（c）。由幅頻特性 (a)一階RC電路（b）幅頻特性 (c）相頻特性 圖9.2 RC網(wǎng)絡(luò)及其幅相特性可知，該網(wǎng)絡(luò)對(duì)于低頻信號(hào)有較大輸出，但對(duì)于高頻分量卻阻止通過(guò)，故稱(chēng)該網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為低通函數(shù)。為了衡量電路對(duì)信號(hào)的通過(guò)能力，通常定義網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的模下降到最大值的時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率為截止頻率(cut-off frequency)，記

4、為。對(duì)于上述低通電路，其截止頻率 0這一頻率范圍稱(chēng)為電路的通頻帶（簡(jiǎn)稱(chēng)通帶）;而這一頻率范圍稱(chēng)為阻帶。下面具體說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的作用。在圖9.2（a）電路中，設(shè)R1k，ClF，輸入信號(hào)其中。根據(jù)疊加原理，響應(yīng)應(yīng)為的四個(gè)分量分別作用的結(jié)果。應(yīng)用相量法，設(shè)激勵(lì)相量為 ,響應(yīng)相量為,則RC電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為=對(duì)于不同頻率，值分別為： = = =考慮到輸入相量（對(duì)應(yīng)不同頻率）: V VVV所以對(duì)應(yīng)各頻率的響應(yīng)相量分別為： V V V V最后得電路響應(yīng)V由上可見(jiàn)，電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是聯(lián)系輸入和輸出的紐帶，它對(duì)輸入信號(hào)加工后，使各頻率分量的幅度和相位發(fā)生不同程度的變化。由于網(wǎng)絡(luò)的低通特性，雖然輸入信號(hào)的各分量幅度相

5、同，但輸出信號(hào)頻率較高的分量幅度大大被抑制（衰減）了。具體的波形變化如圖9.3所示。圖9.3 RC電路對(duì)多頻信號(hào)的響應(yīng)下面再介紹一種全通函數(shù)。如圖9.4（a）所示，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為 =圖9.4 RC全通網(wǎng)絡(luò)的幅相特性式中 由此可以畫(huà)出該電路的幅頻和相頻特性，如圖9.4（b），(c）所示。由于其輸出與輸入幅度相等且不隨頻率改變，故稱(chēng)之為全通網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)從零漸增時(shí)，其相頻特性將從0o變?yōu)?180o。就是說(shuō)，這種網(wǎng)絡(luò)可實(shí)現(xiàn)各種相位變化（只要適當(dāng)選取R、C的值即可），因而稱(chēng)之為相移網(wǎng)絡(luò)。在工程實(shí)際中，分析網(wǎng)絡(luò)的頻率特性常用計(jì)算機(jī)方法進(jìn)行。在電子、通信、自動(dòng)控制等系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，常常由于工作頻率范圍很寬而不

6、便畫(huà)出幅頻特性曲線，可以將頻率特性的縱、橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)刻度。這樣做的優(yōu)點(diǎn)是特性曲線可以用折線近似，而且可以在很寬的頻率范圍內(nèi)較完整地畫(huà)出曲線。這種用對(duì)數(shù)坐標(biāo)畫(huà)出的幅頻和相頻特性稱(chēng)為波特圖（Bode圖）。工程上，幅頻特性取對(duì)數(shù)后以分貝（dB）作單位，并稱(chēng)為增益，用G表示，即 dB由上可得RC低通網(wǎng)絡(luò)的波特圖，如圖9.5所示。圖9.5 RC低通網(wǎng)絡(luò)的波特圖由圖可見(jiàn)，在截止頻率處特性的折線與實(shí)際情況僅有3dB的誤差。這樣做，不僅可以在很寬的頻率范圍內(nèi)用折線畫(huà)出幅頻特性，而且簡(jiǎn)便直觀。思考與練習(xí)9.1-1 試求題9.1-1圖所示RC電路的Hu。繪出電路的頻率響應(yīng)曲線。說(shuō)明該電路具有高通性質(zhì)。計(jì)算截止頻

7、率與電路參數(shù)的關(guān)系。題9.1-1圖9.1-2 試根據(jù)電抗與頻率的關(guān)系來(lái)說(shuō)明圖9.2（a）所示電路是低通電路，圖9.6是高通電路。 9.2 RLC串聯(lián)諧振電路諧振（resonance）是人們?cè)跈C(jī)械、電子、建筑等領(lǐng)域經(jīng)常遇到的一種物理現(xiàn)象.含有電感、電容和電阻元件的單口網(wǎng)絡(luò)，在某一工作頻率上，出現(xiàn)端口電壓和電流波形相位相同的情況時(shí)，稱(chēng)電路發(fā)生諧振。能發(fā)生諧振的電路，稱(chēng)為諧振電路（resonant circuit）。諧振電路在電子和通信工程中得到廣泛應(yīng)用。本節(jié)討論RLC串聯(lián)諧振電路諧振時(shí)的特性。 1. 串聯(lián)諧振含有電感和電容的電路，對(duì)于正弦信號(hào)所呈現(xiàn)阻抗一般為復(fù)數(shù)。RLC串聯(lián)電路中，若調(diào)整電路參數(shù)后

8、使得阻抗為純電阻性，則稱(chēng)電路發(fā)生了串聯(lián)諧振（series resonance）(共振)。如圖9-6所示RLC串聯(lián)電路。圖9.6 串聯(lián)諧振電路其總阻抗 = 電路中的電流隨著頻率的變化，電流的幅值和相位將不斷變化。當(dāng)阻抗的虛部X=0時(shí)，則電路呈純電阻性。電壓和電流同相。電路發(fā)生諧振。由諧振條件X0，即 令此時(shí)的角頻率為0，解上式得 （9.6） 0稱(chēng)為諧振角頻率，對(duì)應(yīng)的諧振頻率 （9.7）當(dāng)電源頻率一定時(shí)，可調(diào)節(jié)電路中的電感L或電容C的數(shù)值，使電路諧振。例如在無(wú)線電接收機(jī)中，就是用調(diào)節(jié)電容達(dá)到諧振的辦法來(lái)選擇所要接收的信號(hào)。由于RLC串聯(lián)電路阻抗的模故電流有效值（為頻率的函數(shù)）由上可知，當(dāng)電路發(fā)生諧

9、振時(shí)，電抗X=0，因而阻抗為極小值，且為電阻性。所以在電壓US為定值的條件下電流為極大值，并且電流與電源電壓同相。這時(shí)的阻抗和電流分別為 和 Z0稱(chēng)為諧振阻抗，I0為諧振時(shí)的電流。在偏離諧振頻率時(shí)，I將逐步變小。有關(guān)各量的變化如圖9.7所示。圖9.7 RLC串聯(lián)電路的頻率特性電路諧振時(shí)，電路的感抗和容抗在量值上相等，即 諧振時(shí)，電路中感抗或容抗吸收的無(wú)功功率與電阻吸收的有功功率之比稱(chēng)為電路的品質(zhì)因數(shù)（quality factor），用字母 Q0表示，即 （9.8） 諧振時(shí)，電感和電容兩端的電壓分別為： （9.9） （9.10）上述結(jié)果表明，電感兩端電壓與電容兩端電壓有效值大小相等，且等于電源電

10、壓有效值的Q0倍。即 （9.11）在無(wú)線電技術(shù)中使用的RLC串聯(lián)電路的品質(zhì)因數(shù)Q0的值通常在幾十以上，因而在諧振時(shí)電感或電容上的電壓可達(dá)電源電壓的幾十倍以上，這種特性是RLC串聯(lián)電路所特有的，因而串聯(lián)諧振又稱(chēng)為電壓諧振。在電訊技術(shù)中，當(dāng)輸入信號(hào)微弱時(shí)，可利用電壓諧振來(lái)獲得一個(gè)較高的輸出電壓，而在電力工程中，過(guò)高的電壓會(huì)使電容器和電感線圈的絕緣被擊穿而造成損害，因而常常要避免諧振或接近諧振的情況發(fā)生。例9.1 在圖9.6所示的RLC串聯(lián)電路中假設(shè)信號(hào)源電壓UslmV，頻率f2MHz，回路的電感量 L30H，Q040。若用調(diào)節(jié)電容 C的辦法使電路對(duì)信號(hào)頻率諧振，試求諧振時(shí)的電容量C，回路電流I0和

11、電容電壓UC。解： 諧振時(shí)，電容C為回路中的電阻 所以回路電流（諧振時(shí)的電流） 電容上的電壓 例9.2 在圖9.8中，若R=l，L=2H，C=50pF，試求電路的諧振頻率，品質(zhì)因數(shù)和電容兩端的電壓。 圖9.8 例9.2電路圖解： 諧振頻率= 品質(zhì)因數(shù)電容上電壓2. 頻率特性在研究頻率特性之前，我們以收音機(jī)的輸入回路為例先介紹選擇性（selectivity）的概念。收音機(jī)輸入回路的模型如圖9.9所示。各個(gè)不同頻率的廣播電臺(tái)所發(fā)射的無(wú)線電波，都會(huì)在接收線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓，并產(chǎn)生一定的電流。如果調(diào)節(jié)電容C，使回路與頻率為的發(fā)生諧振，那么回路對(duì)所呈現(xiàn)的阻抗就最小，電流也就最大。因而，能在電感兩端得到一

12、個(gè)頻率為的較高電壓。對(duì)于別的電臺(tái)，如頻率為的,頻率為的因未發(fā)生諧振，電路對(duì)它們呈現(xiàn)的阻抗較大，相應(yīng)的電流就較小。結(jié)果收聽(tīng)到的就是頻率為的電臺(tái)廣播的語(yǔ)音信號(hào)。所以諧振回路具有對(duì)頻率的選擇能力。通常，電路從輸入的全部信號(hào)中選出所需信號(hào)的能力稱(chēng)為電路的選擇性。為了說(shuō)明電路選擇性的好壞，必須研究諧振回路中電流（或電壓）的大小和頻率的關(guān)系，即頻率特性。圖9.9 收音機(jī)的輸入回路 圖9.10串聯(lián)諧振電路 在圖9.10中，若取電阻R上的電壓為u2，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)= = 因，代入上式可改寫(xiě)為，= （9.12） 其幅頻特性= （9.13）因?yàn)?，代入上式又可得? （9.14） 由上可見(jiàn)，當(dāng)=0或=時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，電路

13、諧振，達(dá)最大值，說(shuō)明RLC串聯(lián)電路具有帶通濾波特性。式(9.13）不僅與頻率有關(guān)，而且與Q0的大小有關(guān)。圖9.11為不同Q0值的頻率特性。圖9.11 電流諧振曲線式(9.14)也可改寫(xiě)為= （9.15） 下面介紹諧振電路通頻帶(band-width）的概念。圖9.12 通頻帶示意圖在廣播和通訊中，所傳輸?shù)男盘?hào)往往不是一個(gè)頻率，而是占有一定的頻率范圍，這個(gè)范圍稱(chēng)為信號(hào)的頻帶。如廣播電臺(tái)為保證不失真地傳輸音樂(lè)節(jié)目，其頻帶寬度可達(dá)9kHz，這就希望電路的諧振曲線不要太尖銳，否則就會(huì)把一部分需要傳輸?shù)男盘?hào)抑制掉，降低廣播的質(zhì)量。當(dāng)電路外加電壓的幅值保持不變時(shí)，電路中電流不小于諧振電流值的倍的頻率范圍，

14、稱(chēng)為諧振電路的通頻帶，用f表示，如圖9.12所示，其通頻帶的寬度為或用角頻率表示式中，（或）稱(chēng)為電路的下邊界頻率（或下邊界角頻率），（或）稱(chēng)為上邊界頻率（或上邊界角頻率）。 根據(jù)通頻帶的定義，由式(9.14）在通頻帶的邊界頻率上應(yīng)滿(mǎn)足 =可解得將以上二式相加和相減，得： （9.16） （9.17）由式（9.16）可知，代入式（9.17），得所以得通頻帶 （9.18）或者 （9.19） 由上可知，諧振電路的通頻帶與品質(zhì)因數(shù)成反比。品質(zhì)因數(shù)越高，電路的通頻帶越窄，選擇信號(hào)的能力越強(qiáng)；若品質(zhì)因數(shù)越小，則通頻帶越寬，選擇信號(hào)的能力越差。工程上，若信號(hào)占的頻帶窄，則應(yīng)用高Q0值電路；若信號(hào)占有的頻帶寬，

15、就必須用小Q0值的電路，以便增加通頻帶，有利于選擇有用的信號(hào)。思考與練習(xí)9.2-1 若RLC串聯(lián)電路的輸出電壓取自電容，則該電路具有帶通、高通、低通三種性質(zhì)中的哪一種？9.2-2 RLC串聯(lián)電路中R=l0，L=0.2mH，C=5nF，計(jì)算：（1）0；（2）Q；（3）BW；（4）電流為其諧振時(shí)電流的80%時(shí)的頻率值。(106rad/s;5104rad/s;1.019106rad/s;0.981106rad/s)9.3 GLC并聯(lián)諧振電路1. 并聯(lián)諧振 串聯(lián)諧振電路適用于信號(hào)源內(nèi)阻比較小的情況，如果信號(hào)源內(nèi)阻很大，串聯(lián)回路的品質(zhì)因數(shù)Q將很低，使諧振特性顯著變壞，在這種情況下應(yīng)采用并聯(lián)諧振電路。圖9

16、.13 GLC并聯(lián)電路圖9.13是最簡(jiǎn)單的GLC并聯(lián)電路，利用與串聯(lián)諧振電路的對(duì)偶性。其總導(dǎo)納 其總電流 由此可知，要使GLC并聯(lián)電路發(fā)生諧振，即電流與電壓同相，必須滿(mǎn)足導(dǎo)納B的虛部為零。即由上式可以求得諧振角頻率或諧振頻率 GLC并聯(lián)電路的諧振狀態(tài)稱(chēng)為并聯(lián)諧振（parallel resonance）。其諧振頻率只與電路參數(shù)L、C有關(guān)。當(dāng)電路諧振時(shí)，電納為零，即，這時(shí)導(dǎo)納為極小值，且為純電導(dǎo)性（因而阻抗為極大值，且為純電阻性）。 所以在電壓一定的條件下，電流也是極小值，并且總電流與電壓同相。諧振時(shí)的導(dǎo)納為即諧振阻抗最大為 諧振時(shí)電壓 （9.20）諧振時(shí)，電抗（感抗或容抗）吸收的無(wú)功功率為（或）

17、電阻吸收的有功功率為,所以電路的品質(zhì)因數(shù) （9.21）當(dāng)電路發(fā)生并聯(lián)諧振時(shí)，由于，并且，所以電感支路和電容支路的電流分別為： （9.22）即電感支路的電流與電容支路的電流數(shù)值相等，且等于總電流的Q0倍，但相位相反。這種情況是并聯(lián)諧振所特有的現(xiàn)象，所以并聯(lián)諧振又稱(chēng)為電流諧振。圖9.14為GLC并聯(lián)諧振電路中各電流隨頻率變化的變化曲線。 圖9.14 并聯(lián)諧振電路中各電流隨頻率變化的情形 圖9.15 例9.4電路圖例9.4 在圖9.15所示的GLC并聯(lián)電路中，若G=0.2mS，L=100H，C=400pF，電流源=2mA。當(dāng)電源角頻率為多少時(shí)，電路發(fā)生諧振？求諧振時(shí)各支路電流和電路兩端的電壓。解：

18、為使電路諧振，電源的角頻率應(yīng)為 rad/s這時(shí)諧振導(dǎo)納mS所以電路兩端的電壓V流過(guò)電阻G的電流mA電路的品質(zhì)因數(shù)所以電感和電容支路的電流分別為： mAmA 例9.5 在圖9.16(a）所示電路中，已知uS=100V,RS=100K, R=100K,L=100H，C=100pF,電路諧振，求電壓U和IC。 (a) (b) 圖9.16 例9.5電路圖解： 首先作出圖9.17(a)的等效電路，如圖9.17(b)所示。由電路參數(shù)，得諧振阻抗考慮電源內(nèi)阻RS的影響后，等效的諧振阻抗由于故諧振時(shí)電壓電容支路的電流0.05A=50mA或者，考慮電源內(nèi)阻后的等效品質(zhì)因數(shù)為也可以求得mA2. 頻率持性對(duì)于圖9.

19、17(a)所示的GLC并聯(lián)電路，若以G中的電流,為輸出，則網(wǎng)絡(luò)函數(shù)= = （a）GLC并聯(lián)電路 (b) GLC并聯(lián)電路幅頻特性圖9.17 GLC并聯(lián)電路及其幅頻特性考慮到，則上式改寫(xiě)為= (9.23)與串聯(lián)諧振電路相似，其幅頻特性為= （9.24）特性曲線示于圖9.18(b)?？紤]到，諧振時(shí)，代入式(9.24)又可得到= (9.25)上式表明，在某頻率處的電壓與諧振時(shí)的電壓U0之比和式（9.24）一樣具有帶通特性。這給分析并聯(lián)諧振電路的電流、電壓特性帶來(lái)方便。并聯(lián)諧振電路的通頻帶與串聯(lián)諧振電路的表達(dá)形式相同，不再贅述。思考與練習(xí)9.3-1對(duì)題9.3-1圖所示4個(gè)電路：（1）當(dāng)時(shí)，哪些電路相當(dāng)于

20、短路，哪些電路相當(dāng)于開(kāi)路？（2）有人認(rèn)為在另一頻率2時(shí)，（c）(d)兩電路相當(dāng)于開(kāi)路。是否可能？如有可能，2是大于還是小于1？（a） (b) (c) (d)題9.3-1圖9.4 應(yīng)用我國(guó)1970年4月24日發(fā)射的“東方紅一號(hào)”人造衛(wèi)星向地球發(fā)回的電子音樂(lè)信號(hào)由共9個(gè)音節(jié)所對(duì)應(yīng)的頻率如下： 216.63Hz 293.66Hz 329.63Hz1 349.23Hz2 392.00Hz3 440.00Hz5 523.25Hz6 587.33Hz 698.46Hz 這些信號(hào)是被調(diào)制到20.009MHz的載波頻率上向地球發(fā)射的，即，為音樂(lè)信號(hào)。在接收機(jī)中只要把諧振回路的諧振頻率調(diào)到上，就可以把電子音樂(lè)信

21、號(hào)選擇出來(lái)，其他和等信號(hào)群都被抑制。其原理如圖9.18所示。圖9.18 諧振電路的選頻原理圖9.5 小結(jié)1一階RC低通和高通電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)形式分別為 =和 = 2在RLC串聯(lián)諧振電路中，諧振時(shí)因諧振阻抗最?。ǎ亩芈冯娏髯畲?。諧振條件 品質(zhì)因數(shù) L、C上電壓 通頻帶 與以上對(duì)偶，在GLC并聯(lián)諧振電路中，諧振時(shí)因諧振阻抗最大，從而諧振電壓最大。諧振條件 品質(zhì)因數(shù) L、C上電壓 通頻帶 5分析網(wǎng)絡(luò)特別是濾波器的頻率特性時(shí)，一種快速的方法是使用MATLAB通用軟件通過(guò)計(jì)算機(jī)求解。 9.6 習(xí)題 9.6.1 填空題1含RLC電路的串聯(lián)諧振角頻率為 ，并聯(lián)諧振角頻率為 。2RLC串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)

22、Q與電路參數(shù)間的關(guān)系 。3RLC并聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)Q與電路參數(shù)間的關(guān)系 。4RLC串聯(lián)諧振電路的品質(zhì)因數(shù)Q越 ，選擇性越好。5RLC并聯(lián)電路的諧振角頻率為 ，當(dāng)時(shí)呈阻性，當(dāng)時(shí)呈 ，當(dāng)時(shí)呈 。6對(duì)某RLC串聯(lián)電路端口外加電壓源供電，改變使該端口處于諧振狀態(tài)時(shí)， 最大， 最小，功率因數(shù)= 。7.當(dāng)某端口處于諧振狀態(tài)時(shí)，該端口的無(wú)功功率Q= 。8網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是 由決定的，與 無(wú)關(guān)。9.6.2 選擇題1根據(jù)有關(guān)概念判斷下列哪些電路有可能發(fā)生諧振？（ ）A.純電阻電路 B.RL電路 C.RLC電路 D. RC電路2 題9.6.2-2圖所示RLC并聯(lián)電路，保持不變，發(fā)生并聯(lián)諧振的條件為（ ）。A. B. C. D. 題9.6.2-2圖 題9.6.2-3圖3. 題9.6.