第7章 彎曲應(yīng)力

1、第7章 彎曲應(yīng)力7.1 引言前一章討論了梁在彎曲時(shí)的內(nèi)力剪力和彎矩。但是，要解決梁的彎曲強(qiáng)度問題，只了解梁的內(nèi)力是不夠的，還必須研究梁的彎曲應(yīng)力，應(yīng)該知道梁在彎曲時(shí)，橫截面上有什么應(yīng)力，如何計(jì)算各點(diǎn)的應(yīng)力。在一般情況下，橫截面上有兩種內(nèi)力剪力和彎矩。由于剪力是橫截面上切向內(nèi)力系的合力，所以它必然與切應(yīng)力有關(guān)；而彎矩是橫截面上法向內(nèi)力系的合力偶矩，所以它必然與正應(yīng)力有關(guān)。由此可見，梁橫截面上有剪力FQ時(shí)，就必然有切應(yīng)力；有彎矩M時(shí)，就必然有正應(yīng)力s。為了解決梁的強(qiáng)度問題，本章將分別研究正應(yīng)力與切應(yīng)力的計(jì)算。7.2 彎曲正應(yīng)力7.2.1 純彎曲梁的正應(yīng)力由前節(jié)知道，正應(yīng)力只與橫截面上的彎矩有關(guān)，而

2、與剪力無關(guān)。因此，以橫截面上只有彎矩，而無剪力作用的彎曲情況來討論彎曲正應(yīng)力問題。在梁的各橫截面上只有彎矩，而剪力為零的彎曲，稱為純彎曲。如果在梁的各橫截面上，同時(shí)存在著剪力和彎矩兩種內(nèi)力，這種彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲。例如在圖7-1所示的簡支梁中，BC段為純彎曲，AB段和CD段為橫力彎曲。分析純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的方法、步驟與分析圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力一樣，需要綜合考慮問題的變形方面、物理方面和靜力學(xué)方面。 圖7-1變形方面 為了研究與橫截面上正應(yīng)力相應(yīng)的縱向線應(yīng)變，首先觀察梁在純彎曲時(shí)的變形現(xiàn)象。為此，取一根具有縱向?qū)ΨQ面的等直梁，例如圖7-2(a)所示的矩形截- 150 -面梁，并

3、在梁的側(cè)面上畫出垂直于軸線的橫向線m-m、n-n和平行于軸線的縱向線d-d、b-b。然后在梁的兩端加一對大小相等、方向相反的力偶Me，使梁產(chǎn)生純彎曲。此時(shí)可以觀察到如下的變形現(xiàn)象。縱向線彎曲后變成了弧線a'a'、b'b', 靠頂面的aa線縮短了，靠底面的bb線伸長了。橫向線m-m、n-n在梁變形后仍為直線，但相對轉(zhuǎn)過了一定的角度，且仍與彎曲了的縱向線保持正交，如圖7-2(b)所示。梁內(nèi)部的變形情況無法直接觀察，但根據(jù)梁表面的變形現(xiàn)象對梁內(nèi)部的變形進(jìn)行如下假設(shè)：(1) 平面假設(shè) 梁所有的橫截面變形后仍為平面且仍垂直于變形后的梁的軸線。(2) 單向受力假設(shè) 認(rèn)為梁由

4、許許多多根縱向纖維組成，各纖維之間沒有相互擠壓，每根纖維均處于拉伸或壓縮的單向受力狀態(tài)。根據(jù)平面假設(shè)，前面由實(shí)驗(yàn)觀察到的變形現(xiàn)象已經(jīng)可以推廣到梁的內(nèi)部。即梁在純彎曲變形時(shí)，橫截面保持平面并作相對轉(zhuǎn)動(dòng)，靠近上面部分的縱向纖維縮短，靠近下面部分的縱向纖維伸長。由于變形的連續(xù)性，中間必有一層縱向纖維既不伸長也不縮短，這層纖維稱為中性層(圖7-3)。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。由于外力偶作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)因此梁的變形也應(yīng)該對稱于此平面，在橫截面上就是對稱于對稱軸。所以中性軸必然垂直于對稱軸，但具體在哪個(gè)位置上，目前還不能確定?？疾旒儚澢耗骋晃⒍蝑x的變形(圖7-4)。設(shè)彎曲變形以后，微段左右

5、兩橫截面的相對轉(zhuǎn)角為dq，則距中性層為y處的任一層縱向纖維bb變形后的弧長為b'b'=(+y)d式中，為中性層的曲率半徑。該層纖維變形前的長度與中性層處縱向纖維OO長度相等，又因?yàn)樽冃吻?、后中性層?nèi)纖維OO的長度不變，故有bb=OO=O'O'=d由此得距中性層為y處的任一層縱向纖維的線應(yīng)變=b'b'-bb(+y)d-dy= (a) bbd- 151 -上式表明，線應(yīng)變 隨y按線性規(guī)律變化。物理方面 根據(jù)單向受力假設(shè)，且材料在拉伸及壓縮時(shí)的彈性模量E相等，則由虎克定律，得=E=Ey (b) 式(b)表明，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力按線性規(guī)律變化，橫截面上中性

6、軸處，y=0，因而s=0，中性軸兩側(cè)，一側(cè)受拉應(yīng)力，另一側(cè)受壓應(yīng)力，與中性軸距離相等各點(diǎn)的正應(yīng)力數(shù)值相等（圖7-5）。靜力學(xué)方面 雖然已經(jīng)求得了由式(b)表示的正應(yīng)力分布規(guī)律，但因曲率半徑r和中性軸的位置尚未確定，所以不能用式(b)計(jì)算正應(yīng)力，還必須由靜力學(xué)關(guān)系來解決。 在圖7-5中，取中性軸為z軸，過z、y軸的交點(diǎn)并沿橫截面外法線方向的軸為x軸，作用于微面積dA上的法向微內(nèi)力為sdA。在整個(gè)橫截面上，各微面積上的微內(nèi)力構(gòu)成一個(gè)空間平行力系。由靜力學(xué)關(guān)系可知，應(yīng)滿足åFx=0，åMy=0，åMz=0三個(gè)平衡方程。由于所討論的梁橫截面上設(shè)有軸力，F(xiàn)N=0，故由

7、29;Fx=0，得FN=dA=0 (c) Aò將式(b)代人式(c)，得òAdA=EAòyEdA=AòAydA=ESz=0 式中，E/r 恒不為零，故必有靜矩Sz=òydA=0，由第5章知道，只有當(dāng)z軸通過- 152 -截面形心時(shí)，靜矩Sz才等于零。由此可得結(jié)論：中性軸z通過橫截面的形心。這樣就完全確定了中性軸在橫截面上的位置。由于所討論的梁橫截面上沒有內(nèi)力偶My，因此由åMy=0,得My=zdA=0 (d) Aò將式(b)代人式(d)，得òAzdA=EòAyzdA=EIyz=0 上式中，由于y軸為對稱軸

8、，故Iyz=0，平衡方程純彎曲時(shí)各橫截面上的彎矩M均相等。因此，由åMzz=0自然滿足。 åM=0，得M=將式(b)代人式(e)，得 òydA (e) AM=由式(f)得 òyEyEdA=AòAy2dA=EIz (f) 1M （7-1） =EIz式中，為中性層的曲率，EIz為抗彎剛度，彎矩相同時(shí)，梁的抗彎剛度愈大，梁的曲率越小。最后，將式(7-1)代入式(b)，導(dǎo)出橫截面上的彎曲正應(yīng)力公式為=My （7-2） Iz式中，M為橫截面上的彎矩，Iz為橫截面對中性軸的慣性矩，y為橫截面上待求應(yīng)力的y坐標(biāo)。應(yīng)用此公式時(shí)，也可將M、y均代入絕對值，s是拉

9、應(yīng)力還是壓應(yīng)力可根據(jù)梁的變形情況直接判斷。以中性軸為界，梁的凸出一側(cè)為拉應(yīng)力，凹入一側(cè)為壓應(yīng)力。以上分析中，雖然把梁的橫截面畫成矩形，但在導(dǎo)出公式的過程中，并沒有使用矩形的幾何性質(zhì)。所以，只要梁橫截面有一個(gè)對稱軸，而且載荷作用于對稱軸所在的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，式(7-1)和式(7-2)就適用。由式(7-2)可見，橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上。用ymax表示最遠(yuǎn)點(diǎn)至中性軸的距離，則最大彎曲正應(yīng)力為- 153 -max上式可改寫為 Mymax =IzM （7-3） Wzmax=其中Wz=Iz （7-4） ymax為抗彎截面系數(shù)，是僅與截面形狀及尺寸有關(guān)的幾何量，量綱為長度3。高度為h

10、、寬度為b的矩形截面梁，其抗彎截面系數(shù)為bh3/12bh2Wz= h/26直徑為D的圓形截面梁的抗彎截面系數(shù)為D4/64D3Wz= D/232工程中常用的各種型鋼，其抗彎截面系數(shù)可從附錄的型鋼表中查得。當(dāng)橫截面對中性軸不對稱時(shí)其最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力將不相等。用式(7-3)計(jì)算最大拉應(yīng)力時(shí)，可在式(7-4)中取ymax 等于最大拉應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離；計(jì)算最大壓應(yīng)力時(shí)，在式(7-4)中應(yīng)取ymax等于最大壓應(yīng)力點(diǎn)至中性軸的距離。例7-1 受純彎曲的空心圓截面梁如圖7-6(a)所示。已知：彎矩M= l kN.m，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=25mm。試求橫截面上a、b、c及d四點(diǎn)的應(yīng)力,并繪過a、

11、b兩點(diǎn)的直徑線及過c、d兩點(diǎn)弦線上各點(diǎn)的應(yīng)力分布圖。解：- 154 -（1） 求 Izp(D4-d4)(504-254)Iz=´(10-3)4m4=2.88´10-7m4 6464（2） 求sa 點(diǎn)ya=D=25mm 2M1´103-3a=ya=´25´10Pa=86.8MPa(壓應(yīng)力) -7Iz.88´10b 點(diǎn)yb=d=12.5mm 2M1´103b=yb=´12.5´10-3Pa=43.4MPa(拉應(yīng)力) -7Iz.88´10c 點(diǎn)21d2)21252)yc=(D-442=(50-442=

12、21.7mm M1´103c=yc=´21.7´10-3Pa=75.3MPa(壓應(yīng)力) -7Iz.88´10yd=0d=Myd=0 Izd 點(diǎn)給定的彎矩為正值，梁凹向上，故a及c點(diǎn)是壓應(yīng)力，而b點(diǎn)是拉應(yīng)力。過a、b的直 徑線及過c、d的弦線上的應(yīng)力分布圖如圖7-6(b)、(c)所示。7.2.2 橫力彎曲梁的正應(yīng)力公式（7-2）是純彎曲情況下以7-2-1提出的兩個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)導(dǎo)出的。工程上最常見的彎曲問題是橫力彎曲。在此情況下，梁的橫截面上不僅有彎矩，而且有剪力。由于剪力的影響，彎曲變形后，梁的橫截面將不再保持為平面，即發(fā)生所- 155 -謂的“翹曲”現(xiàn)象，

13、如圖7-7（a）。但當(dāng)剪力為常量時(shí)，各橫截面的翹曲情況完全相同，因而縱向纖維的伸長和縮短與純彎曲時(shí)沒有差異。圖7-7（b）表示從變形后的橫力彎曲梁上截取的微段，由圖可見，截面翹曲后，任一層縱向纖維的弧長AB，與橫截面保持平面時(shí)該層纖維的弧長完全相等，即AB=AB。所以，對于剪力為常量的橫力彎曲，純彎曲正應(yīng)力公式(7-2)仍然適用。當(dāng)梁上作用有分布載荷，橫截面上的剪力連續(xù)變化時(shí)，各橫截面的翹曲情況有所不同。此外，由于分布載荷的作用，使得平行于中性層的各層纖維之間存在擠壓應(yīng)力。但理論分析結(jié)果表明，對于橫力彎曲梁，當(dāng)跨度與高度之比lh大于5時(shí)，純彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式(7-2)仍然是適用的，其結(jié)果能夠滿

14、足工程精度要求。例7-2 槽形截面梁如圖7-8(a)所示，試求梁橫截面上的最大拉應(yīng)力。解 繪M圖，得B、C兩截面的彎矩MB=-10kN.m，MC=7.5kN.m,如圖7-8(b)所示。求截面的形心及對形心軸的慣性矩，取參考坐標(biāo)z1Oy，如圖7-8(c)所示，得截面形心C的縱坐標(biāo)=因y為對稱軸，故 350´500´250-250´400´200mm=317mm 350´500-250´4001=0過形心C取z軸，截面對z軸的慣性矩為1Iz=´350´5003+350´500´(317-250)2

15、121-´250´4003+250´300´(317-200)2mm4 12=1728´106mm4B截面的最大拉應(yīng)力為- 156 -BtMB10´103´(500-317)´10-3=ymax=Pa=1.06MPa Iz1728´106´(10-3)4MC7.5´103´317´10-3=ymax=Pa=1.38MPa 6-34Iz1728´10´(10)C截面的最大拉應(yīng)力為 Ct可見，梁的最大拉應(yīng)力發(fā)生在C截面的下部邊緣線上。7.3彎曲切應(yīng)力

16、橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的內(nèi)力除彎矩外還有剪力，因而在橫截面上除正應(yīng)力外還有切應(yīng)力。本節(jié)按梁截面的形狀，分幾種情況討論彎曲切應(yīng)力。7.3.1 矩形截面梁的切應(yīng)力在圖7-9(a)所示矩形截面梁的任意截面上，剪力FQ皆與截面的對稱軸y重合， 見圖7-9(b)?，F(xiàn)分析橫截面內(nèi)距中性軸為y處的某一橫線，ss上的切應(yīng)力分布情況。 根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在截面兩側(cè)邊緣的s和s處，切應(yīng)力的方向一定與截面的側(cè)邊相切，即與剪力FQ的方向一致。而由對稱關(guān)系知，橫線中點(diǎn)處切應(yīng)力的方向，也必然與剪力FQ的方向相同。因此可認(rèn)為橫線ss上各點(diǎn)處切應(yīng)力都平行于剪力FQ。由以上分析，我們對切應(yīng)力的分布規(guī)律做以下兩點(diǎn)假設(shè)：1橫

17、截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的方向均與剪力FQ的方向平行。2切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布?，F(xiàn)以橫截面m-m和n-n從圖7-9(a)所示梁中取出長為dx的微段，見圖7-10(a)。設(shè)作用于微段左、右兩側(cè)橫截面上的剪力為FQ，彎矩分別為M和M+dM，再用距中性層為y的rs截面取出一部分mnsr，見圖7-10 (b)。該部分的左右兩個(gè)側(cè)面mr和ns上分別作- 157 -用有由彎矩M和M+dM引起的正應(yīng)力smr及sns。除此之外，兩個(gè)側(cè)面上還作用有切應(yīng)力t。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，截出部分頂面rs上也作用有切應(yīng)力t'，其值與距中性層為y處橫截面上的切應(yīng)力t數(shù)值相等，見圖7-10(b)、(c)。設(shè)截出部分mnsr的

18、兩個(gè)側(cè)面mr和ns上的法向微內(nèi)力smrdA和snsdA合成的在x軸方向的法向內(nèi)力分別為FN1及FN2，則FN2可表示為FN2=同理 òA1nsdA=òM+dMM+dMy1dA=A1IzIzòA1y1dA=M+dM*Sz （a） IzFN1=M*Sz （b） Iz式中，A1為截出部分mnsr側(cè)面ns或mr的面積，以下簡稱為部分面積S*z為A1對中性軸的靜矩。考慮截出部分mnsr的平衡，見圖7-10(c)由åFx=0，得FN2-FN1-'bdx=0 （c）將式(a)及式(b)代入式(c)，化簡后得dMS*z =dxIzb'- 158 -注意到

19、上式中dM=FQ，并注意到t'與t數(shù)值相等，于是矩形截面梁橫截面上的切dx應(yīng)力計(jì)算公式為=FQS*zIzb （7-5）式中，F(xiàn)Q為橫截面上的剪力，b為截面寬度，Iz為橫截面對中性軸的慣性矩，S*z為橫截面上部分面積對中性軸的靜矩。對于給定的高為h寬為b的矩形截面(圖7-11)，計(jì)算出部分面積對中性軸的靜矩如下bh2S=y1dA=by1dy1=(-y2)A1y24*Zòòh/2將上式代入（7-5），得h2=(-y2) （7-6） 2Iz4由(7-6)可見，切應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。當(dāng)y=±h2時(shí)，t=0，即截面的上、下邊緣線上各點(diǎn)的切應(yīng)力為零。當(dāng)y=

20、0時(shí)，切應(yīng)力t有極大值，這表明最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其值為 FQmax=將Iz=bh3/12代人上式，得 FQh28Izmax=3FQ 2bh (7-7)可見，矩形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力FQ/bh的1.5倍。根據(jù)剪切虎克定律，由式(7-6)可知切應(yīng)變FQh2=(-y2) G2GIz4- 159 -(7-8)式(7-8)表明，橫截面上的切應(yīng)變沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。沿截面高度各點(diǎn)具有按非線性規(guī)律變化的切應(yīng)變，這就說明橫截面將發(fā)生扭曲。由式(7-8)可見，當(dāng)剪力FQ為常量時(shí)，橫力彎曲梁各橫截面上對應(yīng)點(diǎn)的切應(yīng)變相等，因而各橫截面扭曲情況相同。這一情況已在5-7-2中做了說明。

21、例7-3 矩形截面梁的橫截面尺寸如圖7-12(b)所示。集中力F=88kN，試求1-1截面上的最大切應(yīng)力以及a、b兩點(diǎn)的切應(yīng)力。解 支反力FA、FB分別為FA=40kN，F(xiàn)B=48kN1-1截面上的剪力FQ1=FA=40kN截面對中性軸的慣性矩40´703Iz=´(10-3)4m4=1.143´10-6m4 12截面上的最大切應(yīng)力tmaxa點(diǎn)的切應(yīng)力 3FQ13´40´103=Pa=21.4MPa -62A2´40´70´10S*z=Aaya=40´(70170-25)´10-6´25

22、+´(-25)´10-3m3=1.2´10-5m3 22240´103´1.2´10-5a=Pa=10.5MPa -6-3Izb1.143´10´40´10b點(diǎn)的切應(yīng)力 FQ1S*zS*z=Abyb=40´(70170-15)´10-6´15+´(-15)´10-3m3=2´10-5m3 22240´103´2´10-5b=Pa=17.5MPa -6-3Izb1.143´10´40´10

23、7.3.2 工字形截面梁的切應(yīng)力工字形截面由上、下翼緣及腹板構(gòu)成，見圖7-13(a)，現(xiàn)分別研究腹板及翼緣上的- 160 - FQ1S*z切應(yīng)力。1工字形截面腹板部分的切應(yīng)力腹板是狹長矩形，因此關(guān)于矩形截面梁切應(yīng)力分布的兩個(gè)假設(shè)完全適用。在工字形截面梁上，用截面m-m和n-n截取dx長的微段，并在腹板上用距中性層為y的rs平面在微段上截取出一部分mnsr，見圖7-13(b)、(c)，考慮mnsr部分的平衡，可得腹板的切應(yīng)力計(jì)算公式=FQS*zIzd (7-9)式(7-9)與式(7-5)形式完全相同，式中d為腹板厚度。計(jì)算出部分面積Al對中性軸的靜矩S*z=代人式(7-9)整理，得 1HhHh1

24、hh(+)b(-)+(+y)d(-y) 22222222h2=b(H-h)+4d(-y2) （7-10） 8Izd422FQ由式(7-10)可見，工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力 t 按拋物線規(guī)律分布，見圖7-13(c)。以y=0及y=±h/2分別代人式(7-10)得中性層處的最大切應(yīng)力及腹板與翼緣交界處的最小切應(yīng)力分別為max=FQ8IzdbH2-(b-d)h2min=FQ8IzdbH2-bh2由于工字形截面的翼緣寬度b遠(yuǎn)大于腹板厚度d，即b>>d，所以由以上兩式可以看- 161 -出，tmax與tmin實(shí)際上相差不大。因而，可以認(rèn)為腹板上切應(yīng)力大致是均勻分布的。若以圖7-1

25、3(c)中應(yīng)力分布圖的面積乘以腹板厚度d，可得腹板上的剪力FQ1。計(jì)算結(jié)果表明，F(xiàn)Q1約等于(0.95-0.97) FQ?？梢?，橫截面上的剪力FQ絕大部分由腹板承受。因此，工程上通常將橫截面上的剪力FQ除以腹板面積近似得出工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力為=FQhd （7-11）2工字形截面翼緣部分的切應(yīng)力現(xiàn)進(jìn)一步討論翼絳上的切應(yīng)力分布問題。在翼緣上有兩個(gè)方向的切應(yīng)力：平行于剪力FQ方向的切應(yīng)力和平行于翼絳邊緣線的切應(yīng)力。平行于剪力FQ的切應(yīng)力數(shù)值極小，無實(shí)際意義，通常忽略不計(jì)。在計(jì)算與翼緣邊緣平行的切應(yīng)力時(shí)，可假設(shè)切應(yīng)力沿翼緣厚度大小相等，方向與冀緣邊緣線相平行，根據(jù)在冀緣上截出部分的平衡，由圖7

26、-13(d)可以得出與式(7-9)形式相同的冀緣切應(yīng)力計(jì)算公式=FQS*zIzt （7-12）式中t為翼緣厚度，圖7-13(c)中繪有冀緣上的切應(yīng)力分布圖。工字形截面梁翼緣上的最大切應(yīng)力一般均小于腹板上的最大切應(yīng)力。從圖7-13(c)可以看出，當(dāng)剪力FQ的方向向下時(shí)，橫截面上切應(yīng)力的方向，由上邊緣的外側(cè)向里，通過腹板，最后指向下邊緣的外側(cè)，好象水流一樣，故稱為“切應(yīng)力流”。所以在根據(jù)剪力FQ的方向確定了腹扳的切應(yīng)力方向后，就可由“切應(yīng)力流”確定翼緣上切應(yīng)力的方向。對于其他的L形、丁形和Z形等薄壁截面，也可利用“切應(yīng)力流”來確定截面上切應(yīng)力方向。7.3.3 圓形截面梁的切應(yīng)力在圓形截面梁的橫截面

27、上，除中性軸處切應(yīng)力與剪力平行外，其他點(diǎn)的切應(yīng)力并不平行于剪力?？紤]距中性軸為y處長為b的弦線AB上各點(diǎn)的切應(yīng)力如圖7-14(a)。根據(jù)切應(yīng)力互等定理，弦線兩個(gè)端點(diǎn)處的切應(yīng)力必與圓周相切，且切應(yīng)力作用線交于y軸的某點(diǎn)p。弦線中點(diǎn)處切應(yīng)力作用線由對稱性可知也通過p點(diǎn)。因而可以假設(shè)AB線上各點(diǎn)切應(yīng)力作用線都通過同一點(diǎn)p，并假設(shè)各點(diǎn)沿y方向的切應(yīng)力分量y相等，則可沿用前述方法計(jì)算圓截面梁的切應(yīng)力分量y，求得y后，根據(jù)已設(shè)定的總切應(yīng)力方向即可求得總切應(yīng)力。- 162 -圓形截面梁切應(yīng)力分量y的計(jì)算公式與矩形截面梁切應(yīng)力計(jì)算公式形式相同。y=FQS*zIzb （7-13）22*式中b為弦線長度，b=2R

28、-ySz；仍表示部分面積A1對中性軸的靜矩，見圖7-14(b)。圓形截面梁的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，且中性軸上各點(diǎn)的切應(yīng)力分量y與總切應(yīng)力大小相等、方向相同，其值為max4FQ= 3R2 （7-14）由式(7-14)可見，圓截面的最大切應(yīng)力tmax為平均切應(yīng)力7.3.4 環(huán)形截面梁的切應(yīng)力 FQR2的 43倍。圖7-15所示為一環(huán)形截面梁，已知壁厚t遠(yuǎn)小于平均半徑R，現(xiàn)討論其橫截面上的切應(yīng)力。環(huán)形截面內(nèi)、外圓周線上各點(diǎn)的切應(yīng)力與圓周線相切。由于壁厚很小，可以認(rèn)為沿圓環(huán)厚度方向切應(yīng)力均勻分布并與圓周切線相平行。據(jù)此即可用研究矩形截面梁切應(yīng)力的方法分析環(huán)形截面梁的切應(yīng)力。在環(huán)形截面上截取dx長的

29、微段，并用與縱向?qū)ΨQ平面夾角 q 相同的兩個(gè)徑向平面在微段中截取出一部分如圖7-15(b)，由于對稱性，兩個(gè)rs面上的切應(yīng)力'相等?？紤]截出部分的平衡圖7-15(b)，可得環(huán)形截面梁切應(yīng)力的計(jì)算公式- 163 -y=FQS*z2tIz(7-15)式中，t為環(huán)形截面的厚度。環(huán)形截面的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處。計(jì)算出半圓環(huán)對中性軸的靜矩S=及環(huán)形截面對中性軸的慣性矩 *ZòA1ydA»2RcostRd=2R2t 0ò/2Iz=òAydA»22ò20R2cos2tRd=R3t將上式代入式(7-15)得環(huán)形截面最大切應(yīng)力max=FQ(

30、2R2t)2t3t=FQRt (7-16)注意上式等號右端分母pRt為環(huán)形橫截面面積的一半，可見環(huán)形截面梁的最大切應(yīng)力為平均切應(yīng)力的兩倍。7.4 彎曲強(qiáng)度計(jì)算梁在受橫力彎曲時(shí)，橫截面上既存在正應(yīng)力又存在切應(yīng)力，下面分別討論這兩種應(yīng)力的強(qiáng)度條件。7.4.1彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件橫截面上最大的正應(yīng)力位于橫截面邊緣線上，一般說來，該處切應(yīng)力為零。有些情況下，該處即使有切應(yīng)力其數(shù)值也較小，可以忽略不計(jì)。所以，梁彎曲時(shí)，最大正應(yīng)力作用點(diǎn)可視為處于單向應(yīng)力狀態(tài)。因此，梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為- 164 -smax=(M)max£s （7-17） Wz對等截面梁，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面上

31、，這時(shí)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為smax=Mmax£s （7-18） Wz式(7-17)、式(7-18)中，s為許用彎曲正應(yīng)力，可近似地用簡單拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力來代替，但二者是略有不同的，前者略高于后者，具體數(shù)值可從有關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范或手冊中查得。對于抗拉、壓性能不同的材料，例如鑄鐵等脆性材料，則要求最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力都不超過各自的許用值。其強(qiáng)度條件為stmax£st，scmax£sc （7-19）7.4.2 彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件一般來說，梁橫截面上的最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸處，而該處的正應(yīng)力為零。因此最大切應(yīng)力作用點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)。這時(shí)彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件為max=

32、(FQS*zIzb)max£t （7-20）對等截面梁，最大切應(yīng)力發(fā)生在最大剪力所在的截面上。彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件為max=FQmaxS*zmaxIzb£ （7-21）許用切應(yīng)力t通常取純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力。對于梁來說，要滿足抗彎強(qiáng)度要求，必須同時(shí)滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。也就是說，影響梁的強(qiáng)度的因素有兩個(gè)：一為彎曲正應(yīng)力一為彎曲切應(yīng)力。對于細(xì)長的實(shí)心截面梁或非薄壁截面的梁來說，橫截面上的正應(yīng)力往往是主要的切應(yīng)力通常只占次要地位。例如圖7-16所示的受均布載荷作用的矩形截面梁，其最大彎曲正應(yīng)力為- 165 -圖7-16max=MmaxWzql23ql2= b

33、h24bh26而最大彎曲切應(yīng)力為max=二者比值為 3FQmax2Aql33ql= 2bh4bhmaxmax3ql2l= 3qlh4bh即，該梁橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力與最大彎曲切應(yīng)力之比等于梁的跨度l與截面高度h的比。當(dāng)l>>h時(shí)，最大彎曲正應(yīng)力將遠(yuǎn)大于最大彎曲切應(yīng)力。因此，一般對于細(xì)長的實(shí)心截面梁或非薄壁截面梁，只要滿足了正應(yīng)力強(qiáng)度條件，無需再進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算。但是，對于薄壁截面梁或梁的彎矩較小而剪力卻很大時(shí)，在進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算的同時(shí)，還需檢查切應(yīng)力強(qiáng)度條件是否滿足。另外，對某些薄壁截面(如工字形、T字形等)梁，在其腹板與翼緣聯(lián)接處，同時(shí)存在相當(dāng)大的正應(yīng)力和切應(yīng)力。這樣的點(diǎn)

34、也需進(jìn)行強(qiáng)度校核，將在第10章進(jìn)行討淪。- 166 -圖7-17例7-4 T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖7-17(a)所示，鑄鐵抗拉許用應(yīng)力為st=30MPa，抗壓許用應(yīng)力為sc=140MPa。已知截面對形心軸z的慣性矩為Iz=763cm4，且y1=52mm，試校核梁的強(qiáng)度。解 由靜力平衡方程求出梁的支反力為FA=2.5kN,FB=10.5kN做彎矩圖如圖7-17(b)所示。最大正彎矩在截面C上，MC=2.5Kn.m，最大負(fù)彎矩在截面B上，MB=-4kN.m。T形截面對中性軸不對稱，同一截面上的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力并不相等。在截面B上，彎矩是負(fù)的，最大拉應(yīng)力發(fā)生于上邊緣各點(diǎn)，且t=MBy1I

35、z4´103´52´10-3=Pa=27.2MPa -24763´(10)最大壓應(yīng)力發(fā)生于下邊緣各點(diǎn)，且c=MBy2Iz40´103´(120+20-52)´10-3 =Pa=46.2MPa-24763´(10)在截面C上，雖然彎矩MC的絕對值小于MB，但Mc是正彎矩，最大拉應(yīng)力發(fā)生于截面的下邊緣各點(diǎn)，而這些點(diǎn)到中性軸的距離卻比較遠(yuǎn)，因而就有可能發(fā)生比截面B還要大的拉應(yīng)力，其值為t=MCy2Iz2.5´103´(120+20-52)´10-3 =Pa=28.8MPa-24763

36、0;(10)所以，最大拉應(yīng)力是在截面C的下邊緣各點(diǎn)處，但從所得結(jié)果看出，無論是最大拉應(yīng)力或最大壓應(yīng)力都未超過許用應(yīng)力，強(qiáng)度條件是滿足的。- 167 -由例7-4可見，當(dāng)截面上的中性軸為非對稱軸，且材料的抗拉、抗壓許用應(yīng)力數(shù)值不等時(shí)，最大正彎矩、最大負(fù)彎矩所在的兩個(gè)截面均可能為危險(xiǎn)截面，因而均應(yīng)進(jìn)行強(qiáng)度校核。例7-5 簡支梁AB如圖7-18(a)所示。l=2m，a=0.2m。梁上的載荷為q=10kNm，F(xiàn)=200kN。材料的許用應(yīng)力為s=160MPa， t=100MPa。試選擇適用的工字鋼型號。解 計(jì)算梁的支反力，然后做剪力圖和彎矩圖，如圖7-18(b)、(c)所示。根據(jù)最大彎矩選擇工字鋼型號，

37、Mmax=45kN·m，由彎曲正莊力強(qiáng)度條件，有Mmax45´10333 Wz=m=281cm6s160´10查型鋼表，選用22a工字鋼，其Wz=309cm3。校核梁的切應(yīng)力。代入切應(yīng)力強(qiáng)度條件 Iz*Sz腹板厚度d=0.75cm。由剪力圖FQmax=210kN。=18.9m，max=FQmaxS*zIzb210´103=Pa=148MPa> -2-218.9´10´0.75´10tmax超過t很多，應(yīng)重新選擇更大的截面。現(xiàn)以25b工字鋼進(jìn)行試算。由表查出， Iz*Sz=21.27cm，d=lcm。再次進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校

38、核。210´10321.27´10-2tmax=´1´10-2Pa=98.7MPa<t因此，要同時(shí)滿足正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件，應(yīng)選用型號為25b的工字鋼。7.5 提高彎曲強(qiáng)度的一些措施前面曾經(jīng)指出，彎曲正應(yīng)力是控制抗彎強(qiáng)度的主要因素。因此，討論提高梁抗彎- 168 -強(qiáng)度的措施，應(yīng)以彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件為主要依據(jù)。由max=為了提高梁的強(qiáng)度，可以從以下三方面考慮。7.5.1 合理安排梁的支座和載荷 Mmax£可以看出，Wz從正應(yīng)力強(qiáng)度條件可以看出，在抗彎截面模量Wz不變的情況下，Mmax越小，梁的承載能力越高。因此，應(yīng)合理地安排梁的支承及加

39、載方式，以降低最大彎矩值。例如圖7-19(a)所示簡支梁，受均布載荷q作用，梁的最大彎矩為Mmax=12ql。8圖7-19如果將梁兩端的鉸支座各向內(nèi)移動(dòng)0.2l，如圖7-19(b)所示，則最大彎矩變?yōu)?Mmax=12ql，僅為前者的15。 40由此可見，在可能的條件下，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整梁的支座位置，可以降低最大彎矩值，提高梁的承載能力。例如，門式起重機(jī)的大梁圖7-20(a)，鍋爐筒體圖7-20(b)等，就是采用上述措施，以達(dá)到提高強(qiáng)度，節(jié)省材料的目的。圖7-20再如，圖7-21(a)所示的簡支梁AB，在集中力F作用下梁的最大彎矩為- 169 -Mmax=1Fl 4如果在梁的中部安置一長為l/2的輔助

40、梁CD(圖7-21b)，使集中載荷F分散成兩個(gè)F/2的集中載荷作用在AB梁上，此時(shí)梁AB內(nèi)的最大彎矩為Mmax=1Fl 8如果將集中載荷F靠近支座，如圖(7-21c)所示，則梁AB上的最大彎矩為Mmax=5Fl 36圖由上例可見，使集中載荷適當(dāng)分散和使集載荷盡可能靠近支座均能達(dá)到降低最大彎矩的目的。7.5.2 采用合理的截面形狀由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可知，梁的抗彎能力還取決于抗彎截面系數(shù)WZ。為提高梁的抗彎強(qiáng)度，應(yīng)找到一個(gè)合理的截面以達(dá)到既提高強(qiáng)度，又節(jié)省材料的目的。比值Wz 圖7-21 AWz值越大，截面越趨于合理。例如圖7-22中A可作為衡量截面是否合理的尺度，所示的尺寸及材料完全相同的兩個(gè)矩形

41、截面懸臂梁，由于安放位置不同，抗彎能力也不同。豎放時(shí)bh2Wzh= Abh6平放時(shí)b2hWzb= Abh6當(dāng)h>b時(shí)，豎放時(shí)的WzW大于平放時(shí)的z，因此，矩形截面梁豎放比平放更為合理。AA- 170 -在房屋建筑中，矩形截面梁幾乎都是豎放的，道理就在于此。表7-1列出了幾種常用截面的Wz值，由此看出，工字形截面和槽形截面最為合A理，而圓形截面是其中最差的一種，從彎曲正應(yīng)力的分布規(guī)律來看，也容易理解這一事實(shí)。以圖7-23所示截面面積及高度均相等的矩形截面及工字形截面為例說明如下：梁橫截面上的正應(yīng)力是按線性規(guī)律分布的，離中性軸越遠(yuǎn)，正應(yīng)力越大。工字形截面有較多面積分布在距中性軸較遠(yuǎn)處，作用著

42、較大的應(yīng)力，而矩形截面有較多面積分布在中性軸附近，作用著較小的應(yīng)力。因此，當(dāng)兩種截面上的最大應(yīng)力相同時(shí)，工字形截面上的應(yīng)力所形成的彎矩將大于矩形截面上的彎矩。即在許用應(yīng)力相同的條件下，工字形截面抗彎能力較大。同理，圓形截面由于大部分面積分布在中性軸附近，其抗彎能力就更差了。圖7-22 圖7-23W表7-1 幾種常用截面的zA值合考慮剛度、穩(wěn)定性以及結(jié)構(gòu)、工藝等方面的要求，才能最后確定。在討論截面的合理形狀時(shí)，還應(yīng)考慮材料的特性。對于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，如各種鋼材，宜采用對稱于中性軸的截面，如圓形、矩形和工字形等。這種橫截面上、下邊緣最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力數(shù)值相同，可同時(shí)達(dá)到許用應(yīng)力值。對

43、抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，如鑄鐵，則宜采用非對稱于中性軸的截面，如圖7-24所示。我們知道鑄鐵之類的脆性材料，抗拉能力低于抗壓能力，所以在設(shè)計(jì)梁的截面時(shí)，應(yīng)使中性軸偏于受拉應(yīng)力一側(cè)，通過調(diào)整截面尺寸，如能使y1和y2之比接近下列關(guān)系：tmax=cmaxMmaxy1IzMmaxy2Iz=y1t= y2c- 171 -圖7-24則最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力可同時(shí)接近許用應(yīng)力，式中st和sc分別表示拉伸和壓縮許用應(yīng)力。7.5.3 采用等強(qiáng)度梁橫力彎曲時(shí)，梁的彎矩是隨截面位置而變化的，若按式（7-18）設(shè)計(jì)成等截面的梁，則除最大彎矩所在截面外，其它各截面上的正應(yīng)力均未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料強(qiáng)度得不到充分發(fā)

44、揮。為了減少材料消耗、減輕重量，可把梁制成截面隨截面位置變化的變截面梁。若截面變化比較平緩，前述彎曲應(yīng)力計(jì)算公式仍可近似使用。當(dāng)變截面梁各橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力相同，井與許用應(yīng)力相等時(shí)，即max=M(x)=s W(x)時(shí)，稱為等強(qiáng)度梁。等強(qiáng)度梁的抗彎截面模量隨截面位置的變化規(guī)律為Wz(x)=M(x) （7-22） s由式(7-22)可見，確定了彎矩隨截面位置的變化規(guī)律，即可求得等強(qiáng)度梁橫截面的變化規(guī)律，下面舉例說明。設(shè)圖7-25(a)所示受集中力F作用的簡支梁為矩形截面的等強(qiáng)度梁，若截面高度h=常量，則寬度b為截面位置x的函數(shù)，b=b(x)，矩形截面的抗彎截面模量為b(x)h2Wz(x)=6

45、彎矩方程式為M(x)=FLx 0£x£ 22將以上兩式代人式(7-22)，化簡后得 圖7-25- 172 -b(x)=3Fx （a） 2hs可見，截面寬度b(x)為x的線性函數(shù)。由于約束與載荷均對稱于跨度中點(diǎn)，因而截面形狀也對跨度中點(diǎn)對稱(圖7-25b)。在左、右兩個(gè)端點(diǎn)處截面寬度b(x)=0，這顯然不能滿足抗剪強(qiáng)度要求。為了能夠承受切應(yīng)力，梁兩端的截面應(yīng)不小于某一最小寬度bmin，見圖7-25(c)。由彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件3FQmax3=£t 2A2bminhFmax得bmin=若設(shè)想把這一等強(qiáng)度梁分成若干狹條，然后疊置起來，并使其略微拱起，這就是汽車以及其他車輛

46、上經(jīng)常使用的疊板彈簧，如圖7-26所示。若上述矩形截面等強(qiáng)度梁的截面寬度b為常數(shù)，而高度h為x的函數(shù)，即h=h(x)，用完全相同的方法可以求得 3F 4ht （b）h(x)=3Fx bs （c） 圖7-26hmin=3F (d) 4bt按式(c)和式(d)確定的梁形狀如圖7-27(a)所示。如把梁做成圖7-27(b)所示的形式，就是廠房建筑中廣泛使用的“魚腹梁”。- 173 -圖7-27 圖7-28使用公式(7-17)，也可求得圓截面等強(qiáng)度梁的截面直徑沿軸線的變化規(guī)律。但考慮到加工的方便及結(jié)構(gòu)上的要求，常用階梯形狀的變截面梁(階梯軸)來代替理論上的等強(qiáng)度梁，如圖7-28所示。7.6 開口薄壁桿

47、件的彎曲中心在前面討論中指出，當(dāng)桿件有縱向?qū)ΨQ面，且載荷也作用于對稱面內(nèi)時(shí)，桿件的變形是平面彎曲。對非對稱桿件來說，即使橫向力作用于形心主慣性平面內(nèi)，桿件除彎曲變形外，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖7-29(a)所示。只有當(dāng)橫向力的作用平面平行于形心主慣性平面，且通過某一特定點(diǎn)A時(shí)，桿件才只有彎曲而無扭轉(zhuǎn)圖7-29(b)。這一特定點(diǎn)A稱為彎曲中心。 圖7-29開口薄壁桿件的彎曲中心有較大的實(shí)際意義，而且它的位置用材料力學(xué)的方法就可確定。為此，首先討論開口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力計(jì)算。圖7-30- 174 -圖7-30(a)為一開口薄壁桿件，y和z為橫截面的形心主慣性軸，設(shè)載荷F平行于y軸，且通過彎曲中心。這

48、時(shí)桿件只有彎曲而無扭轉(zhuǎn)，z軸為彎曲變形的中性軸。橫截面上的彎曲正應(yīng)力仍由式(7-2)計(jì)算。至于彎曲切應(yīng)力由于桿件的壁厚t遠(yuǎn)小于橫截面的其它尺寸，所以可以假設(shè)沿壁厚t切應(yīng)力的大小無變化。又因桿件的內(nèi)側(cè)表面和外側(cè)表面都為自由面，未作用任何與表面相切的載荷，所以橫截面上的切應(yīng)力應(yīng)與截面的周邊相切。以相距為dx的兩個(gè)橫截面和沿薄壁厚度t的縱向面，從桿中截出一部分abcd圖7-30(b)、(c)。在這一部分的ad和bc面上作用著彎曲正應(yīng)力，在底面dc上作用著切應(yīng)力。這些應(yīng)力的方向都平行于x軸。由7-3所述的方法，求得bc和ad面上的合力FN1和FN2分別是FN1=M*Sz IzFN2=M+dM*Sz I

49、z式中M和(M+dM)分別是bc和ad兩個(gè)橫截面上的彎矩；S*z是截面上截出部分面積(圖中畫陰影線的面積)對中性軸的靜矩：Iz是整個(gè)截面對中性軸的慣性矩。根據(jù)橫截面上的切應(yīng)力分布規(guī)律和切應(yīng)力互等定理，底面dc上的內(nèi)力為ttdx把作用于abcd部分上的力投影于，x軸由平衡條件'åFx=0，可知FN2-FN1-'tdx=0即 M+dM*M*'Sz-Sz-tdx=0 IzIz*FSdMSz由此求得 '=Qz dxIztIzt由切應(yīng)力互等定理可知，t'等于橫截面上距自由邊緣為x處的切應(yīng)力t，即=FQS*zIzt （7-23）這就是開口薄壁桿件彎曲切應(yīng)力

50、的計(jì)算公式。- 175 -圖7-31求得開口薄壁桿件橫截面上彎曲切應(yīng)力后，就可以確定彎曲中心的位置?，F(xiàn)以槽鋼為例，說明確定彎曲中心的方法。設(shè)槽形截面尺寸如圖7-31(a)所示，且外力平行于y軸。當(dāng)計(jì)算上翼緣距右邊為x處的切應(yīng)力t1時(shí)，*SZ=th 2代人公式(7-23)，得1=FQh2Iz可見，上翼緣上的切應(yīng)力t1，沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，見圖7-31(b)。如以FQ1代表上冀緣上切向內(nèi)力系的合力，則FQ1=ò1dA=òA1b0FQhFQb2ht =2Iz4Iz （a）用同樣的方法可以求得下翼緣上的內(nèi)力F'Q1。F'Q1與FQ1大小相等，但方向相反。計(jì)算腹

51、板上距中性軸為y處的切應(yīng)力t2時(shí)bthdh2S=+(-y2) 224*z代人公式(7-23)，得FQbthdh22=+(-y2) Izd224可見腹板上切應(yīng)力t2沿高度按拋物線規(guī)律變化。以FQ2代表腹板上切向內(nèi)力系的合- 176 -力，則FQ2=òh2h-2FQbthdh2FQbth2dh32+(-y)ddy=(+) Izd224Iz212槽形截面對中性軸z的慣性矩Iz約為bth2dh3Iz»+212以Iz代人上式，得FQ2=FQ (b)至此，我們已經(jīng)求得了截面上的三個(gè)切向內(nèi)力FQ1、F'Q1和FQ2，見圖7-31(c)。FQ1和F'Q1組成力偶矩FQ1h，

52、將它與FQ2合并，得到內(nèi)力系的最終合力。這一合力仍等于FQ2 (FQ2=FQ)，只是作用線向左平移了一個(gè)距離e。如對腹板中線與z軸的交點(diǎn)取矩，由合力矩定理知FQ1h=FQe以式(a)代人上式，得e=FQ1hFQb2h2t (7-24) =4Iz由于截面上切向內(nèi)力系的合力FQ (即截面上的剪力)在距腹板中線為e的縱向平面內(nèi)，如外力F也在同一平面內(nèi)，則桿件就只有彎曲而無扭轉(zhuǎn)，這就是圖7-29(b)所表示的情況。若外力沿z軸作用，因z軸是橫截面的對稱軸，因此桿將產(chǎn)生平面彎曲而無扭轉(zhuǎn)變形。這表明彎曲中心一定在截面的對稱軸上。所以，F(xiàn)Q和對稱軸的交點(diǎn)A即為彎曲中心也稱為剪切中心。在槽形截面的情況下，彎曲

53、中心A在對稱軸z上，其位置由公式7-24確定。該式表明，彎曲中心的位置與外力的大小和材料的性質(zhì)無關(guān)，它是截面圖形的幾何性質(zhì)之一。由以上分析可知，對于具有一個(gè)對稱軸的截面，例如槽形、T形、開口環(huán)形和等邊角鋼等，截面的彎曲中心一定位于對稱軸上。因此，只要確定出e值后，即可定出彎曲中心的位置。對于具有兩個(gè)對稱軸的截面，例如矩形、圓形和工字形等，彎曲中- 177 -心必在兩對稱軸的交點(diǎn)上，即截面形心和彎曲中心重合。如截面為反對稱，例如Z字形截面，則彎曲中心必在反對稱的中點(diǎn)，也與形心重合。表7-2給出了幾種常見開口薄壁截面梁彎曲中心的位置。表7-2 開口薄壁靛面的彎曲中心的位置綜上所述，當(dāng)外力通過彎曲中

54、心時(shí)，無論是平行于y軸或沿著z軸，外力和橫截面上的剪力在同一縱向平面內(nèi)，桿件只有彎曲變形。反之，若外力F不通過彎曲中心，這時(shí)把外力向彎曲中心簡化，將得到一個(gè)通過彎曲中心的力F和一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩。通過彎曲中心的橫向力F仍引起上述彎曲變形，而扭轉(zhuǎn)力偶矩卻將引起桿件的扭轉(zhuǎn)變形，這就是圖7-29(a)所表示的情況。對實(shí)體截面或閉口薄壁截面桿件，因其彎曲中心和形心重合或靠近形心，且切應(yīng)力數(shù)值通常又較小，所以不必考慮彎曲中心的位置。但對于開口薄壁截面桿件，因其承受扭轉(zhuǎn)變形的能力很差，所以外力的作用線應(yīng)盡可能通過彎曲中心，以避免產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。因此，確定開口薄壁桿件彎曲中心的位置，是具有實(shí)際意義的。例7-6 試

55、確定圖7-32(a)所示開口薄壁截面的彎曲中心，設(shè)截面中線為圓周的一部分。解 以截面的對稱軸為z軸，y、z軸為形心主慣性軸，因而彎曲中心A必在z軸上。設(shè)剪力FQ過彎曲中心A，且平行于y軸。用與z軸夾角為q的半徑截取部分面積A1，其對z軸的靜矩為- 178 -圖7-32S=*ZòA1ydA=2RsinjtRdj=tR2(cos-cos ) ò整個(gè)截面對z軸的慣性矩為Iz=òAydA=22ò-(Rsinj)2tRdj=tR3(-sin cos )代入公式(7-23)，得=FQ(cos-cos )tR(-sin cos )以圓心為力矩中心，由合力矩定理FQe=

56、積分后求得 òARdA=R-òtRd tR(-sin cos FQ(cos-cos )e=2R當(dāng)a=sin-cos -sincos (a) p時(shí)，得到半圓形開口薄壁截面如圖7-33(b)，此時(shí)由式(a)得 2e=4R 當(dāng)a=p時(shí)，得到圓形開口薄壁截面如圖7-33(c)，此時(shí)由式(a)得e=2R習(xí) 題7-l 把直徑d=lmm的鋼絲繞在直徑D=2m的輪緣上，已知材料的彈性模量E=200GPa，試求鋼絲內(nèi)的量大彎曲正應(yīng)力。7-2 簡支梁受均布載荷如圖所示。若分別采用截面面積相等的實(shí)心和空心圓截- 179 -面，且Dl=40mm，d23=。試分別計(jì)算它們的最大彎曲正應(yīng)力。并問空心截

57、面比實(shí)D25心截面的最大彎曲正應(yīng)力減小了百分之幾?7-3 圖示圓軸的外伸部分是空心圓截面，試求軸內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。7-4 某操縱系統(tǒng)中的搖臂如圖所示，右端所受的力F1=8.5kN，截面1-1和2-2均為高度比hb=3的矩形，材料的許用應(yīng)力s=50MPa。試確定1-1和2-2兩個(gè)橫截面的尺寸。7-5 橋式起重機(jī)大梁AB的跨長l=16m，原設(shè)計(jì)最大起重量為100kN。若在大梁上距B端為x的C點(diǎn)懸掛一根鋼索，繞過裝在重物上的滑輪，將另一端再掛在吊車的吊鉤上。使吊車駛到C的對稱位置D。這樣就可吊運(yùn)150kN的重物。試問x的最大值等于多少，設(shè)只考慮大梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。- 180 -7-6 圖示軋輥軸直徑D=280mm，L=1000mm，l=450mm，b=100mm，軋輥材料的彎曲許用應(yīng)力s=100MP。試求軋輥能承受的最大軋制力F(F=qb)。7-7 割刀