高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題14 幾何證明選講

1、【2013考綱解讀】（1）了解平行線截割定理，會(huì)證明并應(yīng)用直角三角形射影定理.（2）會(huì)證明并應(yīng)用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理.（3）會(huì)證明并應(yīng)用相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理.（4）了解平行投影的含義，通過圓柱與平面的位置關(guān)系了解平行投影；會(huì)證平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）.（5）了解下面定理：定理：在空間中，取直線 為軸，直線與相交于點(diǎn) O ，其夾角為,  圍繞旋轉(zhuǎn)得到以 O 為頂點(diǎn)，為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸 交角為 （與平行，記 0），則： ，平面與圓錐的交線為橢圓； ，平面與圓錐的交線為拋物線； ，平面與圓錐的

2、交線為雙曲線.（6）會(huì)利用丹迪林（Dandelin）雙球（如圖所示，這兩個(gè)球位于圓錐的內(nèi)部，一個(gè)位于平面的上方，一個(gè)位于平面的下方，并且與平面及圓錐面均相切，其切點(diǎn)分別為F、E）證明上述定理情形：當(dāng)>時(shí)，平面與圓錐的交線為橢圓.（圖中上、下兩球與圓錐面相切的切點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，線段BC與平面相交于點(diǎn)A.）（7）會(huì)證明以下結(jié)果： 在（6）中，一個(gè)丹迪林球與圓錐面的交線為一個(gè)圓，并與圓錐的底面平行，記這個(gè)圓所在平面為'；如果平面與平面'的交線為m，在（5）中橢圓上任取一點(diǎn)A，該丹迪林球與平面的切點(diǎn)為F，則點(diǎn)A到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)A到直線m的距離比是小于1的常數(shù)e.（稱點(diǎn)F為這個(gè)

3、橢圓的焦點(diǎn)，直線m為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e為離心率.）（8）了解定理（5）中的證明，了解當(dāng)無限接近時(shí),平面的極限結(jié)果.【重點(diǎn)知識(shí)整合】 (6)相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長(zhǎng)比都等于相似比；相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于相似比的平方 (7)相似三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似(簡(jiǎn)敘為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似)；如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等

4、，那么這兩個(gè)三角形相似(簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似)；如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似(簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似)(8)直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩條直角邊的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷系纳溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)2直線與圓的位置關(guān)系(1)圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半(2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)(3)弦切角定理：弦切角等于它所夾弧的度數(shù)的一半(4)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角的度數(shù)如

5、果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上(5)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(6)相交弦定理：圓內(nèi)兩條相交弦，被交點(diǎn)分成兩段的積相等(7)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的線段的比例中項(xiàng)(8)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，兩切線長(zhǎng)相等；圓心和這點(diǎn)的連線平分兩切線的夾角(9)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等(10)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是

6、直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑(11)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心(12)從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這點(diǎn)到每條割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等【高頻考點(diǎn)突破】【解析】(1)證明四邊形ABCD是平行四邊形，AC，ABCD，ABFCEB，ABFCEB.【變式探究】如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若，則的值為_【規(guī)律方法】(1)求證三角形相似應(yīng)從邊、角關(guān)系出發(fā)，探尋證明思路；(2)由相似三角形的性質(zhì)，得出相關(guān)的結(jié)論，在解題過程中應(yīng)注意相關(guān)圖形的性質(zhì) 考點(diǎn)二 圓周角和弦切角如圖，AB是圓O的直徑，D為圓

7、O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DADC，求證：AB2BC【變式探究】如圖所示，圓O上一點(diǎn)C在直徑AB上的射影為D，AD1，AC，則AB_，CD_.【方法技巧】(1)圓周角的性質(zhì)非常豐富，要根據(jù)具體情況具體分析，應(yīng)特別注意圓周角、圓心角與弦切角的特殊關(guān)系；(2)直徑所對(duì)的圓周角為直角這一結(jié)論在解題時(shí)特別重要 考點(diǎn)三 圓的切割線定理及應(yīng)用例3、如圖所示，PA為O的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過點(diǎn)O的割線，PA10，PB5，BAC的平分線與BC和O分別交于點(diǎn)D和E，求AD·AE的值【解析】如圖所示，連接CE，【變式探究】圓中問題的解決往往不是弧立的，其中必然交匯著直線型問題

8、，在解題中要善于根據(jù)圖中的知識(shí)分析直線型(特別是三角形)問題的一些性質(zhì)如本例是先通過弦切角定理，弄清楚PAB和PCA的一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，又根據(jù)半圓上的圓周角是直角求出了AC，AB的長(zhǎng)，最后根據(jù)圓周角相等解決了ACEADB，這個(gè)過程體現(xiàn)了分析解決圓中問題的一般思考方法 【難點(diǎn)探究】難點(diǎn)一相似三角形的性質(zhì)和判定例1、如圖，ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積SAD·AE，求BAC的大小難點(diǎn)二 平行線分線段成比例定理例2、如圖，已知梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于P點(diǎn)，兩腰BA、CD的延長(zhǎng)線相交于O點(diǎn)，EFBC且EF過P點(diǎn)求證：(

9、1)EPPF；(2)OP平分AD和BC.【分析】要證明兩條線段相等，除了以前所學(xué)過的證明方法外，還可利用比例線段來證明一般地，要證明線段ab，只要證明或者先證，再證明mn，即可得到結(jié)論難點(diǎn)三 切割定理與相交弦定理例3、如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于AB的中點(diǎn)P，PD，OAP30°，則CP_.【答案】a【解析】由于P為AB的中點(diǎn)，則OAAB且平分AB，在RtAPO中，OAa，OAP30°，則APaBP，由相交弦定理得：AP·BPCP·PD，CPa.難點(diǎn)四 圓內(nèi)接四邊形例4、如圖，已知ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H，B60&#

10、176;，F(xiàn)在AC上，且AEAF.(1)證明：B、D、H、E四點(diǎn)共圓；(2)證明：CE平分DEF. (2)連結(jié)BH，則BH為ABC的平分線，得HBD30°.由(1)知B、D、H、E四點(diǎn)共圓，所以CEDHBD30°.又AHEEBD60°，由已知可得EFAD.可得CEF30°.所以CE平分DEF. 【點(diǎn)評(píng)】熟記圓的切線性質(zhì)、圓周角定理、切割線定理、相交弦定理，這些知識(shí)點(diǎn)是解決有關(guān)圓的問題的關(guān)鍵，要好好理解【歷屆高考真題】【2012年高考試題】1 2012·遼寧卷 如圖18，O和O相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)DB并延

11、長(zhǎng)交O于點(diǎn)E.證明：(1)AC·BDAD·AB；(2)ACAE.圖182.2012·江蘇卷如圖17，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BDDC，連結(jié)AC，AE，DE.求證：EC.圖17證明：如圖，連結(jié)OD，因?yàn)锽DDC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DAC，于是ODBC.3 2012·湖北卷如圖16所示，點(diǎn)D在O的弦AB上移動(dòng)，AB4，連結(jié)OD，過點(diǎn)D作OD的垂線交O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_圖164 2012·全國卷 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AEBF.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F

12、運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為()A16 B14C12 D10【答案】B【解析】取單位長(zhǎng)度為7的正方形，(1)直接作出圖形可得到結(jié)果，如圖所示，(2)建立坐標(biāo)系，取正方形邊長(zhǎng)為7分單位，計(jì)算7次可得第7次時(shí)該點(diǎn)的橫坐標(biāo)與E點(diǎn)相同，根據(jù)對(duì)稱性應(yīng)選擇14次7 2012·湖南卷 如圖13，過點(diǎn)P的直線與O相交于A，B兩點(diǎn)若PA1，AB2，PO3，則O的半徑等于_圖13因?yàn)镃FAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因?yàn)镕GBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDGBD.9.2

13、012·陜西卷如圖15，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFDB，垂足為F，若AB6，AE1，則DF·DB_.圖1510 2012·天津卷 如圖13所示，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF3，F(xiàn)B1，EF，則線段CD的長(zhǎng)為_圖13【答案】【解析】本題考查選修41幾何證明選講中圓的性質(zhì)，考查推理論證及運(yùn)算求解能力，中檔題由相交弦的性質(zhì)可得|AF|×|FB|EF|×|FC|，|FC|2，又FCBD，即BD，由切割定理得|BD|2|DA|×

14、;|DC|4|DC|2，解之得|DC|.【2011年高考試題】一、選擇題:1(2011年高考北京卷理科5)如圖，AD，AE，BC分別與圓O切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G。給出下列三個(gè)結(jié)論：學(xué)&科&AD+AE=AB+BC+CA；AF·AG=AD·AEAFB ADG其中正確結(jié)論的序號(hào)是A B C D二、填空題:1. (2011年高考天津卷理科12)如圖,已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1.若CE與圓相切,則線段CE的長(zhǎng)為 .【答案】【解析】設(shè)AF=4x,BF=2x,BE=x,則由相

15、交弦定理得:,即,即,由切割線定理得:,所以.2. (2011年高考湖南卷理科11)如圖2，A,E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC=4，ADBC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則的AF長(zhǎng)為 .3. (2011年高考廣東卷理科15)（幾何證明選講選做題）如圖4，過圓外一點(diǎn)分別作圓的切線和割線交圓于。且，是圓上一點(diǎn)使得，則 .【答案】【解析】由題得4(2011年高考陜西卷理科15)（幾何證明選做題）如圖 【答案】【解析】又所以，即三、解答題:1(2011年高考遼寧卷理科22)（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且E

16、C=ED.（I）證明：CD/AB；（II）延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓.2. (2011年高考全國新課標(biāo)卷理科22)（本小題滿分10分） 選修4-1幾何證明選講如圖，D，E分別是AB,AC邊上的點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，已知第22題圖為方程的兩根，（1） 證明 C,B,D,E四點(diǎn)共圓；（2） 若，求C,B,D,E四點(diǎn)所在圓的半徑。分析：（1）按照四點(diǎn)共圓的條件證明；（2）運(yùn)用相似三角形與圓、四邊形、方程的性質(zhì)及關(guān)系計(jì)算。解：（）如圖，連接DE，依題意在中，3.(2011年高考江蘇卷21)選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分） 如圖，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，其

17、半徑分別為與，圓的弦交圓于點(diǎn)（不在上），求證：為定值。解析：考察圓的切線的性質(zhì)、三角形相似的判定及其性質(zhì)，容易題。證明：由弦切角定理可得【2010年高考試題】一、填空題：1(2010年高考天津卷理科14)如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P。若，則的值為 。 【答案】2. (2010年高考湖南卷理科10)如圖1所示，過外一點(diǎn)P作一條直線與交于A，B兩點(diǎn)，已知PA2，點(diǎn)P到的切線長(zhǎng)PT 4，則弦AB的長(zhǎng)為_.PTOAB圖1【答案】6【解析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理所以3（2010年高考廣東卷理科14）（幾何證明選講選做題）如圖3，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，它們相交于A

18、B的中點(diǎn)P，PD=，OAP=30°，則CP_.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，由垂徑定理知， .在中，.由相交線定理知，即，所以4（2010年高考陜西卷理科15）(幾何證明選做題)如圖,已知的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為,以為直徑的圓與交于點(diǎn),則. ABCDO5（2010年高考北京卷理科12）如圖，的弦ED，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A。若BDAE，AB4, BC2, AD3,則DE ；CE 。二、解答題：1（2010年高考江蘇卷試題21）選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）AB是圓O的直徑，D為圓O上一點(diǎn)，過D作圓O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若DA=DC，求證：AB=2BC。解析 本

19、題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結(jié)OD，則：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以O(shè)C=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）證明：連結(jié)OD、BD。因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以ADB=900，AB=2 OB。因?yàn)镈C 是圓O的切線，所以CDO=900。又因?yàn)镈A=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。2. (2010年全國高考寧夏卷22）（本小題滿分10分）選修

20、4-1：幾何證明選講 如圖，已經(jīng)圓上的弧，過C點(diǎn)的圓切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：（）ACE=BCD；（）BC2=BF×CD。【2009年高考試題】7（2009廣東幾何證明選講選做題15）如圖4，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且，則圓O的面積等于 .【解析】解法一：連結(jié)、，則，則；解法二：，則.8.（2009海南寧夏22）如圖，已知的兩條角平分線AD和CE相交于H，F(xiàn)在AC上，且AE=AF。 （I）證明：B，D，H，E四點(diǎn)共圓； （）證明： （）連結(jié)BH，則BH為ABC的平分線， 得HBD=300由（）知B、D、H、E四點(diǎn)共圓，所以CED=HBD=300又AHE=EBD=600， 由已知可得EFAD，可得CEF=300所以CE平分DEF9（2009遼寧22） 已知ABC中，AB=AC，D是ABC外接圓劣弧AC的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長(zhǎng)BD至E。 （I）求證：AD的延長(zhǎng)線平分CDE； （II）若BAC=30°，ABC中BC邊上的高為，求ABC外接圓的面積?！?008年高考試題】1（2008