高一數(shù)學函數(shù)的極值與導數(shù)ppt課件

1、3.3.2函數(shù)的極值與導數(shù)1.;2021-03-28aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0, x(x-1)0, 得得x0 x1x1， 則則f(x)單增區(qū)間（單增區(qū)間（，0 0）, ,（1 1，+）令令x(x-1)0,x(x-1)0,得得0 x1, 0 x1, f(x)單減區(qū)單減區(qū)(0,2).(0,2).注意注意:求單調區(qū)間求單調區(qū)間: 1:首先注意首先注意 定義域定義域, 2:其次區(qū)間其次區(qū)間不能不能用用 ( U) 連接連接（第一步）（第一步）解：解：（第二步）（第二步）（第三步）（第三步）單調區(qū)間27x21-x31f(x)233 yxOabyf(x)x1 f (

2、x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)在在x1 、 x3處函數(shù)值處函數(shù)值f(x1)、 f(x3) 與與x1 、 x3左右近旁左右近旁各點處的各點處的函數(shù)值函數(shù)值相比相比,有什么特點有什么特點?f (x2)、 f (x4)比比x2 、x4左右近旁左右近旁各點處的各點處的函數(shù)值函數(shù)值相比相比呢呢?觀察圖像觀察圖像：4函數(shù)的極值定義函數(shù)的極值定義設函數(shù)設函數(shù)f(x)在點在點x0附近有定義，附近有定義，如果對如果對X0附近的所有點，都有附近的所有點，都有f(x)f(x0), 則則f(x0) 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作的一個極小值，記作y極小值極小值= f(x0)；oxyox

3、y0 x0 x函數(shù)的函數(shù)的極大值極大值與與極小值極小值統(tǒng)稱統(tǒng)稱為為極值極值. (極值即極值即峰谷處峰谷處的值）的值）使函數(shù)取得極值的使函數(shù)取得極值的點點x0稱為稱為極值點極值點5（1）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個定義區(qū)間內可能有多個極大而言的，在函數(shù)的整個定義區(qū)間內可能有多個極大值或極小值值或極小值（2）極大值不一定比極小值大）極大值不一定比極小值大（3）可導函數(shù)可導函數(shù)f(x),點是極值點的點是極值點的必要條件必要條件是在該是在該 點的導數(shù)為點的導數(shù)為0例：例：y=x36 1理解極值概念時需注意的幾點理解極值概念時需注意的

4、幾點 (1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點的左右兩側附近的點而言的 (2)極值點是函數(shù)定義域內的點，而函數(shù)定義域的端點絕不是函數(shù)的極值點 (3)若f(x)在a，b內有極值，那么f(x)在a，b內絕不是單調函數(shù)，即在定義域區(qū)間上的單調函數(shù)沒有極值總結總結7 (4)極大值與極小值沒有必然的大小關系一個函數(shù)在其定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值可能大于另一點的極大值(如圖(1) (5)若函數(shù)f(x)在a，b上有極值，它的極值點的分布是有規(guī)律的(如圖(2)所示)，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點 2導數(shù)為導數(shù)為0的點不一定是極

5、值點的點不一定是極值點8練習：練習： 下圖是導函數(shù)下圖是導函數(shù) 的圖象的圖象, 試找出函數(shù)試找出函數(shù) 的極值點的極值點, 并指出哪些是極大值點并指出哪些是極大值點, 哪些是極小值點哪些是極小值點.)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy9 yxO探究：探究：極值點處導數(shù)值極值點處導數(shù)值(即切線斜率）有何特點？即切線斜率）有何特點？結論結論:極值點處，如果有切線，切線水平的極值點處，如果有切線，切線水平的.即即: f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考;若 f (x0)=0，則，則x0是否為極值點？是否為極

6、值點？x yO分析yx3是極值點嗎？）（處，在，得由0, 0003)( ,)(23xfxxxfxxf10進一步探究:極值點兩側函數(shù)圖像單調性有何特點?極大值極大值極小值極小值即即: 極值點兩側極值點兩側單調性單調性互異互異11 f (x)0 yxOx1aby f(x)極大值點兩側極大值點兩側極小值點兩側極小值點兩側 f (x)0 f (x)0探究探究:極值點兩側極值點兩側導數(shù)正負符號導數(shù)正負符號有何規(guī)律有何規(guī)律?x2 xXx2 2 f (x) f(x) xXx1 1 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0極大值極大值減減f (x) 0注意注意:(1) f (x0)

7、 =0， x0不一定是極值點不一定是極值點(2)只有只有f (x0) =0且且x0兩側單調性不同不同 ， x0才是極值點才是極值點. (3)求求極值點，極值點，可以先求可以先求f (x0) =0的點，的點，再再列表判斷單調列表判斷單調性性結論：結論：極值點處，極值點處，f (x) =012因為因為 所以所以例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.4431)(3xxxf解解:, 4431)(3xxxf. 4)(2xxf令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x當當 , 即即 , 或或 ;當當 , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x當當 x 變化時變化時, f (x) 的變化情況

8、如下表的變化情況如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) )(xf +單調遞增單調遞增單調遞減單調遞減單調遞增單調遞增3/283/4所以所以, 當當 x = 2 時時, f (x)有極大值有極大值 28 / 3 ;當當 x = 2 時時, f (x)有極小值有極小值 4 / 3 .13變式變式求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)(xf +單調遞增單

9、調遞增單調遞減單調遞減 )121,(),121(1212449所以所以, 當當 時時, f (x)有極小值有極小值121x.2449)121(f14求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) )(xf +單調遞增單調遞增單調遞減單調遞減單調遞增單調遞增5454所以所以, 當當 x = 3 時時, f (x)有極大值有極大值 54 ;當當 x =

10、3 時時, f (x)有極小值有極小值 54 .15求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 當當 x = 2 時時, f (x)有極小值有極小值 10 ;當當 x = 2 時時, f (x)有極大值有極大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 當當 x = 1 時時, f (x)有極小值有極小值 2 ;當當 x = 1 時時, f (x)有極大值有極大

11、值 2 .16求解函數(shù)極值的一般步驟：求解函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域）確定函數(shù)的定義域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并列成表格若干個開區(qū)間，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符號，來判斷的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況在這個根處取極值的情況總結總結17 例例2求函數(shù)f(x)x32x21在區(qū)間1,2上的最大值與最小值 分析首先求f(x)在(1,2)內的極值然后將f(x)的各極值與f(1)，f(2)比較，其中最大的一個是最

12、大值，最小的一個是最小值 解析f(x)3x24x.18 故f(x)最大值1，f(x)最小值2. 點評利用求最值的步驟求解 1、函數(shù)最大值及最小值點必在下面各種點之中：導數(shù)等于0的點、導數(shù)不存在的點或區(qū)間的端點 2、函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù)是f(x)在a，b上存在最值的充分而非必要條件19變式：變式：求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間在區(qū)間1，5內內 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 將二次函數(shù)將二次函數(shù)f(x)=x2-4x+6配方，利用配方，利用二次函數(shù)單調性處理二次函數(shù)單調性處理20 故函數(shù)故函數(shù)f(x) 在區(qū)間在區(qū)間1，5內的極小值為內的極小值為3，最大值為最大值為11

13、，最小值為，最小值為2 法二、法二、解、解、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）50y-+3112y21 例例3已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1時取得極值，且f(1)1， (1)試求常數(shù)a、b、c的值； (2)試判斷x1時函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由 解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0. 又f(1)1，abc1.22 點評若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，則一定有f(x0)0，因此我們可根據(jù)極值得到一個方程，來解決參數(shù)23242526 而x10，x1.再代入f(x1)或f(x2)，得a2.

14、a2，b0.27注意注意：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內定義：函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內定義的，是的，是局部性質局部性質。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有上可能有多個極大值或極小值多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來，并對同一個函數(shù)來說，在某說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值一點的極大值也可能小于另一點的極小值。思考思考1. 判斷下面判斷下面4個命題，其中是真命題序號為個命題，其中是真命題序號為 。 f (x0)=0,則則f (x0)必為必為極值；極值； f (x)= 在在x=0 處取處取極大值極大值0，函數(shù)的極小值函數(shù)的極小值一定小于一定小

15、于極大值極大值函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個。函數(shù)的極小值（或極大值）不會多于一個。函數(shù)的極值即為最值函數(shù)的極值即為最值3x281)6()(23xaaxxxf有極大值和極小值有極大值和極小值,求求a范圍范圍?思考思考2解析 :f(x)有極大值和極小值極大值和極小值 f(x)=0有2實根, 0已知函數(shù)已知函數(shù)解得 a6或a329練習練習1： 求求 在在 時極值。時極值。44xx31y3), 0 ( x30練習練習2:若若f(x)=ax3+bx2-x在在x=1與與 x=-1 處有極值處有極值.(1)求求a、b的值的值(2)求求f(x)的極值的極值.31練習練習3： 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x2-2(m-1)x+4在區(qū)間在區(qū)間1,5內內的最小值為的最小值為2，求，求m的值的值 32練習練習4 ： 設設f(x)=ax3+x恰有三個單調區(qū)間，試確定實恰有三個單調區(qū)間，試確定實數(shù)數(shù)a的取值范圍，并求出這三個單調區(qū)間的取值范圍，并求出這三個單調區(qū)間